高考數學快速提升成績題型訓練恒成立問題

1.（1）若關于X的不等式/一如-。>0的解集為（-8,+8）,求實數4的取值范圍;

（2）若關于x的不等式/一以-4?-3的解集不是空集,求實數。的取值范圍.

2.三個同學對問題“關于x的不等式/+2x+8Nax在［1,12］上恒成立，求實數a

的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”.

丙說：“把不等式兩邊看成關于x的函數，作出函數圖像”.

參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，求。的取值范圍.

3.若對任意的實數x,sin?x+2kcosx-24-2<0恒成立，求攵的取值范圍。

4.對于滿足la區2的所有實數a,求使不等式/+6+1>2。+尸恒成立的彳的

取值范圍。

5.已知向量a=，,x+l),B=(1-元/),若函數f(x)^a-b在區間(一1,1)上是增函數,

求大的取值范圍.

6.已知函數/(%)是定義在［-1,1］上的奇函數，且/⑴=1,若。力e［~\,i］,a+b^Q,

有3改〉o.

a+h

⑴證明/(幻在上的單調性；

⑵若/(x)W/-2am+1對所有a￡1,1］恒成立，求〃?的取值范圍。

7.已知函數/(x)=x3+3ax-l,g(x)=r(x)-ax-5,W1/'(x)是/(x)的導函數.

(1)對滿足-的一切。的值，都有g(x)<0,求實數x的取值范圍；

⑵設。=->，當實數〃?在什么范圍內變化時，函數y=/(x)的圖象與直線

y=3只有一個公共點.

8.設aeR,二次函數/。)=仆2_2%一2a.若/(x)>0的解集為A,

8={xll<x<3},An8/0,求實數a的取值范圍.

9.已知函數/(x)=lnx,g(x)=~ax2+bx,awO.

若b=2,且Mx)=/(x)—g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍;

4光2_7

10.（稍難）已知函數/（》）="一-,XG[O,1].

2-x

（1）求/（X）的單調區間和值域；

（2）設aN1,函數g（x）=l-342x-2a,xe[0,l],若對于任意X|G[O,1]，總存在

X。e[O,l]使得g（x0）=/區）成立，求。的取值范圍.

11.（難）設x=3是函數/（x）=（x?+ax+b）e3r（xeR）的一個極值點.

⑴求。與匕的關系式（用”表示。），并求/（x）的單調區間；

⑵設a>0,g（x）=（a2+?"若存在04引0,4]使得|/?）-g&Ml成立,

求a的取值范圍.

答案：

1.(1)設/(x)=x2-ax-a.則關于x的不等式-ax-a〉0的解集為

(-00,4-00)0/(%)>0在(-00,+00)上恒成立<=>/min(3)>。，

即/mm(x)=—生子>0,解得一4<a<0

(2)設/(x)=/—ax—a.則關于X的不等式爐-ax-aw-3的解集不是空集

O/(X”-3在(-8,+00)上能成立"九上)"3,

即九n(x)=-"普"3,解得a4-6或a22.

2.關鍵在于對甲，乙，丙的解題思路進行思辨，這一思辨實際上是函數思想

的反映.

設/(x)=x2+25+,_5x],g(x)=ax.

甲的解題思路，實際上是針對兩個函數的，即把已知不等式的兩邊看作兩個

函數，

設/(x)=x2+25+|x3-5x21,g(x)=ax

其解法相當于解下面的問題：

對于Xie[l,12],x2G[1,12],若/(xj2g(z)恒成立,求a的取值范圍.

所以,甲的解題思路與題目xe[l,12],/(x)Ng(x)恒成立，求a的取值范圍的

要求不一致.因而，甲的解題思路不能解決本題.

按照丙的解題思路需作出函數〃力=/+25+卜3-5》2]的圖象和

g(x)=ax的圖象，然而，函數/(x)的圖象并不容易作出.

由乙的解題思路，本題化為斗在xe[l,12]上恒成立，等價于xw[l,12]

時,△DNa成立.

%_L

由△^=%+§+2在戶2拒€[1,12]時,有最小值2+4拒,于是，o<2+4V2.

XX

3.依定義/(x)=x2(l-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,

則/'(工)=-31+2x+t.

/(x)在區間(-1,1)上是增函數等價于r(x)>0在區間(-1,1)上恒成立；

而r(x)>0在區間(-1,1)上恒成立又等價于，>31—2x在區間(-1,1)上恒成

立；

設g(x)=3x2-2x,xe(-1,1)

進而f>g(x)在區間(-1,1)上恒成立等價于摩gmax(x)，Xe(-1,1)

考慮到g(x)=3x2-2x,xe(―1,1)在11,；)上是減函數,在上是增函數，

則gmax(x)=g(T)=5.于是，亡的取值范圍是摩5.

4.解法1.由題意g(x)=3x?-ax+3a-5,這一問表面上是一個給出參數。的

范圍，解不等式g(x)<0的問題，實際上，把以x為變量的函數g(x),改為以a為

變量的函數，就轉化為不等式的恒成立的問題，即

令夕(4)=(3-％”+3/-5,(-1<a<1),貝!J對-恒有g(x)<0,即

(p(a)<0,從而轉化為對-iWaWl,夕(4)<0恒成立，又由夕(。)是a的一次函數,

因而是一個單調函數，它的最值在定義域的端點得到.為此

只需［嗎即已x—2<0,

［奴-1)<0［3X2+X-8<0.

9

解得，vxvl.

3

故時，對滿足-iVaWl的一切a的值，都有g(x)<0.

解法2.考慮不等式g(元)=3x2—ax+3a—5<0.

由—知，/=。2_36。+60〉0,于是,不等式的解為

a-yja2-36。+60+-36^+60

---------------<x<---------------.

66

但是,這個結果是不正確的，因為沒有考慮。的條件,還應進一步完善.

M?!'幾/\u—\ci~—36。+60./\a+J。——36a+60

為此，以g(Q)=---------------,力)二-----------------；-----------------,

66

不等式化為g(a)<x</7(〃),T〈aKl恒成立，即

Jg(\a)/max<x<h(\a)/mm,-1<a<1.

由于g(q)=m工亙在—iwawi上是增函數，則

6

2

gS)max=g⑴=一葭

/?(。)="包請””在TWOWI上是減函數，則/7(吟血=力(1)=1.所以，

2,

--<X<1.

3

故時，對滿足的一切a的值，都有g(x)<0.

5.解法一：由題設，awO.

f(x)=0的兩個根為Xj=—J2T——,x2——卜J2T——,顯然,xl<0,x2>0.

a\aci\a

(1)當Q<0時，A={x|Xj<x<x2},

4n6w0z>1<v=^—卜J2T——>1ci<-2.

ava

(2)當a>0時，A=|x|x<Xj}U{x|x>x2},

APlBw0<x=y>尤2<3—FJ2H——<3==^a>-.

a>1a7

于是,實數a的取值范圍是(-8,-2)鳴,+8)

解法二：

(1)當a<0時，因為〃x)的圖象的對稱軸5<0,則對xe(l,3),/⑴最大,

/max(x)=/(l)="2-2a>0.na<-2.

(2)當a>0時,九式“，》€(1,3)在/⑴或“3)實現,

由/(1)=-2—a<0J(3)=7a—6,則/(3)=7a—6>Ona>?

于是,實數。的取值范圍是(-8,-2川仁,+，|.

這個解法的關鍵是用函數思想指導,學會用函數和變量來思考.

6.只研究第(I)問.b=2時,〃(x)=Inx-gax?-2x,

r-j.i...1-ax"+2x—1

貝lj/z(x)x=ax-2=------------.

XX

因為函數〃(x)存在單調遞減區間，所以“(X)<0有解.

由題設可知，Mx)的定義域是(0,+00),

而/，(x)<0在(o,+8)上有解,就等價于〃'(x)<0在區間(0,4-00)能成立,

即a>士-2,xe(0,+oo)成立，進而等價于a>“min(X)成立，其中

無X

U

"min(x)=T?

于是，a>-1,

由題設a#0,所以a的取值范圍是(-l,0)U(0,+8)

8.本題的第(H)“若存在4/2€[0,4]使得忱(。)-?)卜1成立，求。的取

值范圍.”如何理解這一設問呢？如果函數/(x)在xe[0,4]的值域與g(x)在

xe[0,4]的值域的交集非空，則一定存在e[0,4]使得|/1)-g&)|<1成立,

如果函數“X)在xe[0,4]的值域與g(x)在xe[0,4]的值域的交集是空集，只要這

兩個值域的距離的最小值小于1即可.

由(I)可得，函數“X)在xe[0,4]的值域為[-(2。+3川,。+6],

又g(x)在xe[0,4]的值域為a2+^,p+^e4,

存在0④e[0,4]使得|/(/-g?)|<1成立，等價于&穌(x)-g,疝,(x)|<1或

|gmax(x)Tmin(x)|<l，容易證明，>。+6.

于是，卜+升(”+6)<l，no<a<*

a>0.

9.(])對函數/(x)求導，得/，(X)=_4X2+16X_7__(2X_1)(2X-7)

(2-x)2(2-x)2

令八x)=0解得x」期」.

22

可以求得，當xe(O,g)時，/(x)是減函數；當xe(g,l)時，/(x)是增函數.

當xe[O,l]時，/(x)的值域為[-4,—3].

(2)對函數g(x)求導，得g'(x)=3(一一/).

因為當xe(O,l)時，g,(x)<3(l-a2)<0.

因此當xe(0,1)時，g(x)為減函數，

從而當xe[0,1]時有g(x)e[g(l),g(0)].

又g⑴=1-2"3a2,g(0)=—2a,

即時有g(x)的值域為是[1-2a-3a2,-2a].

如何理解“任給.e[0,1],/(x,)e[一4,一3],存在與e[0,1]使得g(x0)=/(x,)”,

實際上,這等價于/(x)值域是g(x)值域的子集，即[1-2a-3/,—2a]n[T,-3].

這就變成一個恒成立問題，/(x)的最小值不小于g(x)的最小值，/(x)的最大值不

大于g(x)的最大值

1-2G—3ci~4-4,?

n即n<

—2a>-3.②

解①式得3或aJ

解②式得

又4,故a的取值范圍為

11.分析一：前面兩小題運用常規方法很快可以得到，(D〃=3〃z+6(II)當

機<0時，/(X)在1-8,1+2]單調遞減，在(1+2,1)單調遞增，在(1,+8)上單調遞

mJm

減.(IH)為/\x)>3m對]￡[一1,1]恒成立，即3〃？(x-1)[_x-(1+—)]>3m

m

7

Vm<0,/.(x—1)Lx~(1+—)]〈1(*)

m

1°x=l時，(*)化為0〈1恒成立，m<0

2°xWl時，*/xG[—1,1],2Wx—1<0

71

運用函數思想將(*)式化為1)——L,令LX—1,貝卜￡[-2,0],

mx-\

記=則g(f)在區間[-2,0]是單調增函數；

13

，g?)min=g(-2)=-2-M=-5

2344

由(*)式恒成乂，必有一<——=>——<m,又〃2<0,則—<加<0

m233

4

綜合1。、2。得——〈根<0

3

分析二：(HI)中的ff(x)>3m,即mx2一2(機+l)x+2>0對xE恒成立，

2222

?/m<0/.x2(m+1)%H—<0BPx2(m+l)x+—<0,xw[-1,110

tntnmm

\7

運用函數思想將不等式轉化為函數值大于0,設=+再

mm

運用數形結合思想，可得其函數開口向上，由題意知①式恒成立，

(22

...rg(-l)<0=1+2+嬴+/<0解之得/<相又“<0所以/<相<0

g⑴<0-1<033

即用的取值范圍為(-20)。

通過上述的等價轉化，使恒成立的解決得到簡化，其中也包含著函數思

想和數形結合思想的綜合運用。

13.分析：在不等式中出現了兩個字母：x及a,關鍵在于該把哪個字母看成是一

個變量，另一個作為常數。顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉化為在［-2,

2］內關于a的一次函數大于0恒成立的問題。

解：原不等式轉化為(xT)a+x2-2x+l>0,

設f(a)=(x-l)a+x2-2x+l,則f(a)在［-2,2］上恒大于0,故有:

［/(-2)>O0np-4x+3>0.a，g卜>3或苫<1

〈即《解得：〈f

/(2)>x*2-1>0*>1或工<一1

/.x<-l或x>3.

14.分析：第一問是利用定義來證明函數的單調性，第二問中出現了3個字

母，最終求的是用的范圍，所以根據上式將加當作變量，。作為常量，而x則根據

函數的單調性求出/(x)的最大值即可。

(1)簡證：任取X1,%2且X]<々，貝1」一々€[-1,1]

>0」.(玉一%)(/(玉)+/(-彳2))〉0又是奇函數

/.(X1-x2)(/(x1)-/(x2))>0“X)在[-1,1]上單調遞增O

(2)解：/(x)4優之一2〃m+1對所有x￡恒成立，即

222

m-2am+1>,vfmaK=f(1)=1/.m-2am+l>1m-2am>0

1

a<——

口門oi,—..g(-1)=1+2。20

即g(〃)=-2〃團+機,20在r，一1,1]上怛成乂。/.<2

L」[g(l)=l-2a>0?<1

2

11

——<a<—

22o

15.分析：該題就轉化為被開方數mV+6蛆+m+820在R上恒成立問題，并且注

意對二次項系數的討論。

略解：要使y=J"zx：+6加x+加+8在R上'恒成立,即用/+6〃?x+〃?+820在R上

恒成立。

r〃z=o時，8>o.,.m=o成立

m>0

X機K0時,0<m<1

A=36/n2-4(m+8)-32/n(/n-l)<0

由1°,2°可知，04用41

16.⑴分析：y=/(x)的函數圖像都在X軸上方，即與X軸沒有交點。

略解：A=a2-4(3-tz)=a2+4a-12<0/.-6<a<2

/、22

⑵/(x)=-2-a+3,令/(X)在［-2,2］上的最小值為89)。

<2)4

(1)當一］<—2,即a>4時，g(a)=/(—2)=7—3aN0又?.F>4

.'.a不存在。

2

(2)當一2W—巴<2,即一44a<4時，g(a)=/(］)=——a+3>0：.-6<a<2又

?/-4<a<4-4<a<2

⑶當一］〉2,即。<—4時，g(a)=/(2)=7+?>0a>-7又?.?a<—4

-7<a<-4

總上所述，-7<a<2o

⑶解法一：分析：題目中要證明/(x)2。在［-2,2］上恒成立，若把。移到等號的左

邊，則把原題轉化成左邊二次函數在區間［-2,2］時恒大于等于0的問題。

略解：/(x)=f+ax+3-a-220,即/(x)=