2005年考研數學二真題

一、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設y=(l+sinx『,那么辦|°=.

3

(2)曲線丁=生工的斜漸近線方程為______.

Nx

⑶f—.

JO(2-X2)71-X2

(4)微分方程盯'+2丁=*111；1滿足式1)=—,的解為.

9

(5)當X—>0時，a(x)=kx2與尸(x)=Jl+xarcsin無一Jcosx是等價無窮小,那么k=

(6)設%,%,。3均為3維列向量，記矩陣

A=(al,a2,a3),B=(a,+az+a3+2a2+4a3,a,+3a2+9a3),

如果網=1,那么忸"

二、選擇題(此題共8小題，每題4分，總分值32分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內)

(7)設函數=+,那么f(x)在(-8,+8)內

M—V

(A)處處可導.(B)恰有一個不可導點.

(C)恰有兩個不可導點.(D)至少有三個不可導點.[]

(8)設F(x)是連續函數f(x)的一個原函數，ON"表示"M的充分必要條件是N",那么必有

(A)F(x)是偶函數0f(x)是奇函數.

(B)F(x)是奇函數Of(x)是偶函數.

(C)F(x)是周期函數Of(x)是周期函數.

(D)F(x)是單調函數Of(x)是單調函數.[]

=『+2,

(9)設函數y=y(x)由參數方程1x'確定，那么曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標

y=ln(l+r)

是

(A)-In2+3.(B)--ln2+3.

88

(C)-81n2+3.(D)81n2+3.[]

(10)設區域D={(x,y)|x2+/<4,x>0,y>0},f(x)為D上的正值連續函數，a,b為常數，那么

[-(?a]f(x)+hy/fiy)

JJVTw+VTooa

(11)設函數”(x,y)=e(x+y)+0(無-y)+I*其中函數尹具有二階導數，—具有一階導數,

那么必有

d2u_d2u

dx2dy2

d2u_d2ud'u_d2u

dxdydy~dxdydx2

(12)設函數—，那么

ex~'-1

(A)x=O,x=l都是f(x)的第一類間斷點.

(B)x=O,x=l都是f(x)的第二類間斷點.

(C)x=0是f(x)的第一類間斷點，x=l是f(x)的第二類間斷點.

(D)x=0是f(x)的第二類間斷點，x=l是f(x)的第一類間斷點.[]

(13)設為,4是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為四,%，那么%，4%+%)線

性無關的充分必要條件是

(A)4Ho.(B)九2/°-(C)4=0-(D)22=0.[J

(14)設A為n[H>2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A*,8*分別為A,B的伴隨矩

陣，那么

(A)交換4"的第1列與第2列得8*.(B)交換A*的第1行與第2行得3”.

(C)交換4*的第1列與第2列得—8*.(D)交換A*的第1行與第2行得—8*.

三、解答題(此題共9小題，總分值94分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(此題總分值11分)

f(x-f)/⑺力

設函數f(x)連續，且/(0)70,求極限lim?()

(16)(此題總分值n分)

如圖，G和。2分別是>=；(1+")和,="的圖象，過點(0,1)的曲線。3是一單調增函數的圖象.過

。2上任一點M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和/v.記G，。2與。所圍圖形的面積為5(x)；

C2,C3與/v所圍圖形的面積為S2(y),如果總有S,(x)=S2(y),求曲線C,的方程x=(p(y).

(17)(此題總分值11分)

如圖，曲線C的方程為y=f(x),點(3,2)是它的一個拐點，直線4與。分別是曲線C在點(0,0)與(3⑵處

的切線，其交點為(2,4).設函數f(x)具有三階連續導數，計算定積分工(x2+x)/"x)dx.

(18)(此題總分值12分)

用變量代換x=cos?0<r(萬)化簡微分方程(l-x2)/-^+y=0,并求其滿足

y=l,y=2的特解.

A=0x=0

(19)(此題總分值12分)

函數f(x)在［0,1］上連續，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(l)=l.證明:

(I)存在J6(0,1),使得/?=1-4；

(II)存在兩個不同的點〃<e(0,l),使得廣吐/1'(?)=L

(20)(此題總分值10分)

函數z=f(x,y)的全微分dz=2此比-2"僅，并且f(l,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域。={(x,y)x?+)-41}

4

上的最大值和最小值.

(21)(此題總分值9分)

計算二重積分JJ|x2+y2-lpo-,其中。={(x,y)|0<x<l,0<y<l}.

D

(22)(此題總分值9分)

r

確定常數a,使向量組4=(1,1,4)7,。2=(1,4,1)、a3=(6Z,l,l)可由向量組

B\=(1,1,。)'，用=(—2,0,4)、回=(-2,4a)7"線性表示，但向量組回，打，尸3不能由向量組%，。2，出線

性表示.

(23)(此題總分值9分)

-123一

3階矩陣A的第一行是(a,。,c),a,。,c不全為零，矩陣8=246(k為常數)，且AB=O,求線性

36k

方程組Ax=0的通解.

2005年考研數學二真題解析

一、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設y=(l+sinx)”,那么dy=—TOIX.

X=7C--------------------

【分析】此題屬基此題型，募指函數的求導(或微分)問題可化為指數函數求導或取對數后轉化為

隱函數求導.

【詳解】方法一：y=(l+sinx)x=eNMMmx),于是

y,=e-r>n(I+sinA).山(]+Sinx)+X.儂*],

1+sinx

從而dy=y\7i)dx=-71dx.

方法二：兩邊取對數，lny=xln(l+sinx),對求導，得

xcosx

—y,=ln(l+sinx)+

y1+sinx

cos尤

于是y'=(l+sinx)”?[ln(l+sinx)+x----------],故

1+sinx

dy=y\7t)dx=-7tdx.

x=n

fl+rV3

(2)曲線y=l窄一的斜漸近線方程為y=x+2.

Jx2

【分析】此題屬基此題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可.

3

【詳解】因為a=lim四=lim支g=l,

?i°X13Xyjx

33

lim[/(x)-ax\^lim。""廠一”=-

3

于是所求斜漸近線方程為y=x+1.

,、pxdx7t

⑶\-------二一.

JO(2-X2)71^±

【分析】作三角代換求積分即可.

【詳解】令%=5皿/,那么

rfdcost冗

=-arctan(co^)一

J°l+cos2ro4

(4)微分方程9'+2)，=%111%滿足＞(1)=-^的解為y=gxln

【分析】直接套用一階線性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式:

y=Q(x)/""'＞尤+C],

再由初始條件確定任意常數即可.

【詳解】原方程等價為

y+-y=lnx,

x

于是通解為y=[JInx?+C]=J?[J/Inxdx+C]

=~xlnx—x+C——，

39x2

由y(D=-,得C=0,故所求解為y='xlnx-

939

_________________o

(5)當x-0時，a(x)=k%2與￡(x)=Jl+xancsinx-Jcosx是等價無窮小,那么k=—.

【分析】題設相當于=由此確定k即可.

xf。a(x)

Z?(x)Vl+xarcsinx-vcosx

【詳解】由題設,lim———=lim-----------------------

?i。a(x)z。kx

xarcsinx+1-cosx

=lim

A-?0kjc(Jl+xarcsin%+Vcosx)

1xarcsinx+l-cosx31，口，3

=—hm------------------=—=1,得k=一.

2kDx4k4

(6)設外,%，。3均為3維列向量，記矩陣

4二(%,%，%)，3=(a1+。2+二3,21+2。2+423，二1+322+923)，

如果同=1,那么冏=2.

【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質進行計算即可.

【詳解】由題設，有

-11r

二(%,%，%)123，

149

111

于是有忸|=|41231x2=2.

149

二、選擇題(此題共8小題，每題4分，總分值32分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內)

(7)設函數/(x)=lim小+葉,那么f(x)在(-00,4-00)內

(A)處處可導.(B)恰有一個不可導點.

(C)恰有兩個不可導點.(D)至少有三個不可導點.[C]

【分析】先求出f(x)的表達式，再討論其可導情形.

【詳解】當忖＜1時，/(x)=lim^1+^=1；

當國=1時，=次節=1；

n-VYI

當國＞1時,個)=臥號+/=|承

一尤3,X<—1,

即/(x)=<1,可見f(x)僅在x=±l時不可導，故應選(C).

X3,X>1.

(8)設F(x)是連續函數f(x)的一個原函數，"MoN"表示"M的充分必要條件是N",那么必有

(B)F(x)是偶函數Of(x)是奇函數.

(B)F(x)是奇函數Of(x)是偶函數.

(C)F(x)是周期函數Of(x)是周期函數.

(D)F(x)是單調函數。f(x)是單調函數.[A]

【分析】此題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.

【詳解】方法一：任一原函數可表示為F(x)=「/(f)力+C,且尸(幻=/(%).

J0

當F(x)為偶函數時，有F(-x)=F(x),于是F(—x)?(―1)=尸(幻，即一/(-%)=/(x),也即

f(-x)=-f(x),可見f(x)為奇函數；反過來，假設f(x)為奇函數，那么「/⑺力為偶函數，從而

J0

F(x)=「/⑺力+C為偶函數，可見(A)為正確選項.

J0

1、

方法二:令f(x)=l,那么取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x尸X,那么取F(x)=—排除(D);故應選(A).

2

X=t~4-

(9)設函數戶y(x)由參數方程《'確定，那么曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫

y=ln(l+?)

坐標是

(A)—In2+3.(B)—In2+3.

88

(C)-81n2+3.(D)81n2+3.[A]

【分析】先由x=3確定t的取值，進而求出在此點的導數及相應的法線方程，從而可得所需的橫坐標.

【詳解】當x=3時，有產+2f=3,得"1"=一3(舍去，此時y無意義)，于是

dy

,?=晨可見過點x=3(此時y=ln2)的法線方程為:

dx心2t+2

y—in2=-8(x—3),

令y=0,得其與x軸交點的橫坐標為：-)n2+3,故應(A).

8

(10)設區域。={(乂丁),2+/w4,xZ0,yZ0},f(x)為D上的正值連續函數，a,b為常數，那么

+bylf(y)t

,ab,,、a+b

(A)abK.(B)一7t.(C)(a+b)7T.(D)----TT.[D]

22

【分析】由于未知f(x)的具體形式，直接化為用極坐標計算顯然是困難的.此題可考慮用輪換對稱性.

【詳解】由輪換對稱性，有

a+brr.a-\-b1Q+b-

=2JJdo=——-—^■?2*'=——應選(D).

(11)設函數〃(x,y)=0(x+y)+0(x-y)+〃⑺沒，其中函數0具有二階導數，〃具有一階導

Jx-y

數，那么必有

d2ud2ud2u_d2u

(A)(B)

dx2~Sy2,dx1歹，

d2ud2ud2ud2u

(C)(D)=—V，[B

dxdydxdydx2

c2d2ud2u

【分析】先分別求出92、再比擬答案即可.

eVdxdy

【詳解】因為一■=e'(x+y)+"(x-y)+“(x+y)—/(x—y),

dx

k=e'(x+y)-o'(x-y)+〃(x+y)+”(x-y),

于是二=+y)+—y)+-y)-U(x-y),

ox

=(p\x+y)-(p\x-y)+，(x+y)+-y),

dxdy

/=<p\x+y)+(p\x-y)+w'Qc+y)-y/'(x-y)，

辦

可見有嗎=空，應選(B).

dx28y2

(12)設函數/(x)=——，那么

M-1

(B)x=O,x=l都是f(x)的第一類間斷點.

(B)x=O,x=l都是f(x)的第二類間斷點.

(C)x=0是f(x)的第一類間斷點，x=l是f(x)的第二類間斷點.

(E)x=0是f(x)的第二類間斷點，x=l是f(x)的第一類間斷點.[D]

【分析】顯然x=O,x=l為間斷點，其分類主要考慮左右極限.

【詳解】由于函數f(x)在x=O,x=l點處無定義，因此是間斷點.

且lim/(x)=oo,所以x=0為第二類間斷點；

x->0

lim/(%)=0,lim/(%)=-1,所以x=l為第一類間斷點，故應選(D).

.r—1'x->r

(13)設4,4是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為%,。2,那么%，4%+。2)

線性無關的充分必要條件是

(A)4Ho.(B)22^0.(C)2,=0.(D)22=0.[B]

【分析】討論一組抽象向量的線性無關性，可用定義或轉化為求其秩即可.

【詳解】方法一：令人q+心4%+。2)=°，那么

k}ax+k2Z}ay+k2A2a2=0,(匕+k2At)at+k2A2a2=0.

由于%,%線性無關，于是有

當4工0時，顯然有匕=。?2=0，此時％，A(四+。2)線性無關；反過來，假設%,

4囚+%)線性無關，那么必然有；12#0(,否那么，％與4%+。2)=4%線性相關)，故應選(B).

方法二:由于[?,,+%)]=[%，4%+%2%]=口，%]14

04

12,

可見四,+=2)線性無關的充要條件是=4W0-故應選(B).

0九

(14)設A為n(n>2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A*,8*分別為A,B的伴

隨矩陣，那么

(B)交換4*的第1列與第2列得8*.(B)交換A*的第1行與第2行得5*.

(C)交換A*的第1列與第2列得—8*.(D)交換4*的第1行與第2行得—3*.

[C|

【分析】此題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質，只需利用初等變換與初等矩陣的關系以及伴隨

矩陣的性質進行分析即可.

【詳解】由題設，存在初等矩陣用2(交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得)，使得g2A=8,

于是=(七”=刈昂|?昂=一4*忌，即

A*用2=-8",可見應選(0.

三、解答題(此題共9小題，總分值94分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(此題總分值11分)

f(XT)/⑺山

設函數f(x)連續，且/(0)70,求極限lim%----------.

或―。力

【分析】此類未定式極限，典型方法是用羅必塔法那么，但分子分母求導前應先變形.

【詳解】由于j：f(x-t)dt=￡于(u)(-du)=j；f(u)du，于是

f"⑺力+xf{x}-xf(x)￡'f(t)dt

=lim包----------------------二lim7』-----------

ff(u)du+xf(x)f于(u)du+xf(x)

JOJO

_阮4〃o)=1

口"("％"/小/(0)+/(0)2-

/x+/⑴

(16)(此題總分值11分)

如圖，G和。2分別是)，=：(1+")和,="的圖象，過點(0,1)的曲線C3是一單調增函數的圖象.過

。2上任一點M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線。和記G，。2與。所圍圖形的面積為M(X)；

C2,C3與/v所圍圖形的面積為S2(y),如果總有S,(x)=S2(y),求曲線C,的方程x=g(y).

【分析】利用定積分的兒何意義可確定面積S1(x),§2。)，再根據S|(x)=S2(y)建立積分等式，然

后求導引出微分方程，最終可得所需函數關系.

【詳解】如圖，有

5(x)=-g(1+")]力=；(ev-x-l),

S2(y)=J：(M

由題設，得g(e*—x—l)=J；(lnr—火。)山，

而^=6”,于是一(y-lny-1)=f(]nt-(p(t))dt

2Jl

兩邊對y求導得」(l-')=lny—例>),

2y

v—1

故所求的函數關系為：x=e(y)=lny------.

2y

(17)(此題總分值11分)

如圖，曲線C的方程為y=f(x),點(3,2)是它的一個拐點，直線4與。分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處

的切線，其交點為(2,4).設函數f(x)具有三階連續導數，計算定積分工(x2+x)/"(x)dx.

【分析】題設圖形相當于f(x)在x=0的函數值與導數值，在x=3處的函數值及一階、二階導數值.

【詳解】由題設圖形知，f(0)=0,r(0)=2;f(3)=2,尸(3)=-2,/(3)=0.

由分部積分，知

f

=-￡(2X+l)df'(x)=~(2x+l)f(x)o+2jof\x)dx

=16+2[/(3)-/(0)]=20.

(18)(此題總分值12分)

用變量代換X=COS?0<r<〃)化簡微分方程(1一Y)y"一孫，+y=0,并求其滿足

y=l,y=2的特解.

",￥=0x=Q

【分析】先將y',y"轉化為半,學，再用二階常系數線性微分方程的方法求解即可.

dtdt2

【詳解】y=^.—=--

dtdxsin?dt

2

n_dy'dt_rcosrdy1dy1

dtdxsintdtsin/dtsin.

d2y

代入原方程，得—f-+y=O.

dr

2

解此微分方程，得y=C}cosr+Qsin/=C1x+C2^i-x,

將初始條件y=l,y'=2代入，有6=2,。2=1-故滿足條件的特解為丁=2》+廬7.

x=0x=0

(19)(此題總分值12分)

函數f(x)在［0,1］上連續，在(0,1)內可導,且f(0)=0,f(l)=L證明:

(I)存在。e(0,l),使得/?)=1-八

(II)存在兩個不同的點〃<e(0,l),使得廣(〃)/0=1.

【分析】第一局部顯然用閉區間上連續函數的介值定理；第二局部為雙介值問題，可考慮用拉格朗日

中值定理，但應注意利用第一局部已得結論.

【詳解】⑴令-(x)=/(x)—l+x,那么F(x)在［0,1］上連續，且F(0)=-l<0,F(l)=l>0,于是由介

值定理知,存在。e(0,1),使得理?)=0,即./?《)=1—J.

(II)在［0,目和KJ］上對f(x)分別應用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點〃e(0看)4e(夕1),

使得八〃)=坦二臀」，⑹二牛弊

于是/'⑺f'(G/?1一""-U.&=i.

J'J°jJ\-￡

(20)(此題總分值10分)

函數z=f(x,y)的全微分dz=2xi/x-2)Uy,并且f(l,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域。={(x,y)x?+)-W1}

4

上的最大值和最小值.

【分析】根據全微分和初始條件可先確定f(x,y)的表達式.而f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值，可

能在區域的內部到達，也可能在區域的邊界上到達，且在邊界上的最值又轉化為求條件極值.

.【詳解】由題設，知理=2x,且=一2),

dxdy

于是f(x,y)=x2+C(y),且C'(y)=-2y,從而C(y)=-y2+C,

再由f(l,l)=2,得C=2,故f(x,y)^x2-y2+2.

令笠=0,笠=0得可能極值點為x=0,y=0.且A=Z4|=2,8=蕓=0,

dxdydx~I(仇。)dxdy(。。)

d2f

C=—2

(0,0)

△=82_AC=4>0,所以點（0,0）不是極值點，從而也非最值點.

再考慮其在邊界曲線一+9=1上的情形：令拉格朗日函數為

F(-)+噌+jl),

行

尸

-一

，

小

耳

解<-+B=-2y+—y=0,

3^f一

K=—+2_—1=0,

4

得可能極值點x=0,y=2,4=4；x=0,y=-2,A=4；x=l,y=0,2=-1；x=-l,y=0,2=-l.代

入f(x,y)得/(0,+2)=-2,/(±l,0)=3,可見z=f(x,y)在區域O={(x,y)V+X<1}內的最大值為3,最

4

小值為-2.

(21)(此題總分值9分)

計算二重積分JJ|x2+y2-lpo-,其中D={(x,y)|0<x<l,0<y<l}.

D

【分析】被積函數含有絕對值，應當作分區域函數看待，利用積分的可加性分區域積分即可.

【詳解】記R={(“,*+/《Leo},

22

D2={(x,y)|x+y>1,(x,y)e￡>},

于是JJ—+V_1收=-“(12+y2-V)dxdy+JJC.^2+y2~^)dxdy

DD,D2

￡]

=-1^dO^(r2-V)rdr+jj(x2+y2-V)dxdy-(x2+y2-l)dxdy

“■DP

胃+1同(，+丁T"-J?河(產-1)江號。

(22)(此題總分值9分)

確定常數a,使向量組4=(l,l,a)T,4=(l,a,l)r,q=可由向量組

B\=（1,1,。）,，人=（一2,4,4）「，￡3=（—2,。,。）7線性表示，但向量組回,，2，尸3不能由向量組%，%，。3線

性表示.

【分析】向量組可由向量組女，22，四線性表示，相當與方程組:

<7,=X、/3\+X2/32+x3/3y,i-1,2,3.

均有解，問題轉化為“4,62，63）=丫電,4/以,?），'=1,2,3是否均成立？這通過初等變換化解體形

討論即可.而向量組四,42,四不能由向量組四,。2，。3線性表示，相當于至少有一個向量0（/=1,2,3）不

能由四,02，。3表示，即至少有一方程組

/3i=xlal+x2a2+x3a3,j=1,2,3,無解.

【詳解】對矩陣彳=（4