專題03數形思想之角平分線問題重點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，OC是的平分線，OD是的平分線，那么下列各式中正確的是（）．A． B．C． D．2．己知：；②；③；④，其中能夠得到射線OM是的平分線的有（）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．如圖，，OC平分且，則的度數為（）．A． B． C． D．4．如圖，∠AOB是直角，∠AOC＝28°36′24″，OD平分∠BOC，則∠COD的度數為()A．36°32′38″ B．30°81′88″ C．30°41′48″ D．31°12′18″5．已知，過點作射線、，使、是的平分線，則的度數為（）A． B．或 C．或 D．6．如圖，直線AB，CD相交于點O，AOC30，OE⊥AB，OF是AOD的角平分線．若射線OE，OF分C別以18/s，3/s的速度同時繞點O順時針轉動，當射線OE，OF重合時，至少需要的時間是（）A．8s B．11s C．s D．13s7．如圖，直線，相交于點，，，平分，給出下列結論：①當時，；②為的平分線；③若時，；④．其中正確的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個8．如圖，∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，則∠EOF的度數為（）A．40° B．50° C．60° D．70°9．如圖，點是直線上一點，以點為端點在直線上方作射線和射線，若射線平分，，則的度數是（）A． B． C． D．10．下列四個說法：①射線AB和射線BA是同一條射線；②兩點之間，線段最短；③和38.15°相等；④畫直線AB=3cm；⑤已知三條射線OA，OB，OC，若，則射線OC是∠AOB的平分線．其中正確說法的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．已知：∠AOB＝25°，過點O作射線OC，OM平分∠COA，，且使關于有無數多個解，則∠BOM＝__________．12．如圖，平分，，與的差為80°，則__________．13．（1）已知點A、B、C三個點在同一條直線上，若線段，，則線段_______．（2）己知A、B、C三點在同一條直線上，M、N分別為線段AB、BC的中點，且，，則MN的長為_________．（3）己知，，則_________．（4）已知，，OD、OE分別平分、，則_________．14．已知，如圖，A、O、B在同一直線上，OF平分，，．（1）射線OD是_______的角平分線；（2）的補角是_______；（3）的余角是_______；（4）_______是的余角；（5）的補角是_______；（6）_______是的補角．15．如圖，，OD、OE分別平分和，，則_______．16．如圖，若OC、OD三等分，則______________，_______，_______．17．如圖，DC平分，EC平分，已知，，則________．18．已知，線段AB垂直于線段CD，垂足為O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，則∠EOF＝____°．19．已知，射線在同一平面內繞點O旋轉，射線分別是和的角平分線．則的度數為______________．20．如圖，直線AB⊥OC于點O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個頂點與點O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現將三角形EOF以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉至三角形E′OF′，同時直線PQ也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉至P′Q′，設運動時間為m秒（0≤m≤20），當直線P′Q′平分∠E′OF′時，則∠COP′＝___．三、解答題21．如圖1，在內部作射線，，在左側，且．（1）圖1中，若平分平分，則______；（2）如圖2，平分，探究與之間的數量關系，并證明；（3）設，過點O作射線，使為的平分線，再作的角平分線，若，畫出相應的圖形并求的度數（用含m的式子表示）．22．已知∠AOD＝40°，射線OC從OD出發，繞點O以20°/秒的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t秒（t≤7）．射線OE、OF分別平分∠AOC、∠AOD．（1）如圖①，如果t＝4秒，求∠EOA的度數；（2）如圖①，若射線OC旋轉時間為t秒，求∠EOF的度數（用含t的代數式表示）；（3）射線OC從OD出發時，射線OB也同時從OA出發，繞點O以10°/秒的速度逆時針旋轉，射線OC、OB在旋轉過程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，請你借助圖②和備用圖進行分析后，直接寫出的值．23．已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數；③當α=130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數式表示）．24．已知：是內的射線．（1）如圖1，若平分平分．當射線繞點O在內旋轉時，_______度．（2）也是內的射線，如圖2，若平分平分，當繞點O在內旋轉時，求的大小．（3）在（2）的條件下，若，當在內繞O點以每秒的速度逆時針旋轉t秒，如圖3，且，求t的值．25．定義：過角的頂點在角的內部作一條射線，得到三個角，若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱這條射線為這個角的“二倍角線”．（1）如圖1，∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“二倍角線”，則∠AOC＝．（2）如圖2，射線OB為∠COD的“二倍角線”，且∠DOB＝2∠BOC．射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，問的值是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由；（3）如圖3．已知∠AOB＝120°，射線OC、OD為∠AOB的“二倍角線”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，將∠COD繞點O以10°/秒的速度順時針轉動，運動時間為t秒（0≤t≤14），射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線．OB、OM、ON三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出t所有可能的值．專題03數形思想之角平分線問題重點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，OC是的平分線，OD是的平分線，那么下列各式中正確的是（）．A． B．C． D．【標準答案】D【思路指引】根據角平分線定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線，得出角與角的關系．再根據選項選取正確答案．【詳解詳析】是的平分線，是的平分線，，，即故選：D．【名師指路】本題考查了角平分的定義，解題關鍵是由角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉化求解．2．己知：；②；③；④，其中能夠得到射線OM是的平分線的有（）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【標準答案】B【思路指引】根據角平分線的定義逐個判斷即可．【詳解詳析】解：①若OM在∠AOB的內部，，則OM是的平分線，若OM在∠AOB的外部，則OM不是的平分線，故①錯誤；②若OM在∠AOB的內部，，則OM是的平分線，若OM在∠AOB的外部，則OM不是的平分線，故②錯誤；③∵，∴OM在∠AOB的內部，又∵，∴OM是的平分線，故③正確；④∵，∴OM在∠AOB的內部，但無法證明，∴OM不一定是的平分線，故④錯誤，故選：B．【名師指路】本題考查了角的角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關鍵．3．如圖，，OC平分且，則的度數為（）．A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】根據OC平分且可得，再結合即可求得答案．【詳解詳析】解：∵OC平分且，∴，又∵，∴，故選：B．【名師指路】本題考查了角的計算，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關鍵．4．如圖，∠AOB是直角，∠AOC＝28°36′24″，OD平分∠BOC，則∠COD的度數為()A．36°32′38″ B．30°81′88″ C．30°41′48″ D．31°12′18″【標準答案】C【思路指引】由直角的定義可得∠AOB=90°，結合度分秒的換算可求解∠BOC的度數，利用角平分線的定義可求解∠COD的度數．【詳解詳析】解：∵∠AOB是直角，∴∠AOB=90°，∵∠AOC=28°36'24''，∴∠BOC=90°-28°36'24''=61°23'36''，∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOC=30°41'48''，故選：C．【名師指路】本題主要考查角平分線的定義，度分秒的換算，求解∠BOC的度數是解題的關鍵．5．已知，過點作射線、，使、是的平分線，則的度數為（）A． B．或 C．或 D．【標準答案】B【思路指引】考慮線段OC在角的內部和外部兩種情況，每一種情況都用角的定義和角平分的定義求解，經計算結果為20°或40°．【詳解詳析】解：當OC在∠AOB的內部時，如圖所示：∵∠AOC＝20°，∠AOB＝100°，∴∠BOC＝100°﹣20°＝80°，又∵OM是∠BOC的平分線，∴∠BOM＝＝40°；當OC在∠AOB的外部時，如圖所示：∵∠AOC＝20°，∠AOB＝100°，∴∠BOC＝100°+20°＝120°，又∵OM是∠BOC的平分線，∴∠BOM＝＝60°；綜合所述∠BOM的度數有兩個，為60°或40°；故選：B．【名師指路】本題綜合了角平分線定義和角的和差知識，重點掌握角的計算，難點是分類計算角的大小．6．如圖，直線AB，CD相交于點O，AOC30，OE⊥AB，OF是AOD的角平分線．若射線OE，OF分C別以18/s，3/s的速度同時繞點O順時針轉動，當射線OE，OF重合時，至少需要的時間是（）A．8s B．11s C．s D．13s【標準答案】D【思路指引】設首次重合需要的時間為t秒，則OE比OF要多旋轉120゜+75゜，由此可得方程，解方程即可．【詳解詳析】∵∠BOD=∠AOC=30゜，OE⊥AB∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90゜+30゜=120゜，∠AOD=180゜-∠AOC=150゜∵OF平分∠AOD∴∴∠EOD+∠DOF=120゜+75゜設OE、OF首次重合需要的時間為t秒，則由題意得：18t?3t=120+75解得：t=13即射線OE，OF重合時，至少需要的時間是13秒故選：D【名師指路】本題考查了角平分線的性質，補角的含義，垂直的定義，角的和差運算，運用了方程思想來解決，本題的實質是行程問題中的追及問題．7．如圖，直線，相交于點，，，平分，給出下列結論：①當時，；②為的平分線；③若時，；④．其中正確的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【標準答案】B【思路指引】由鄰補角，角平分線的定義，余角的性質進行依次判斷即可．【詳解詳析】解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，∴當∠AOF=50°時，∠DOE=50°；故①正確；∵OB平分∠DOG，∴∠BOD=∠BOG，∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，故④正確；∵，∴∠BOD=180°-150°=30°，∴故③正確；若為的平分線，則∠DOE=∠DOG，∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，∴∠EOF=30°，而無法確定，∴無法說明②的正確性；故選：B．【名師指路】本題考查了鄰補角，角平分線的定義，余角的性質，數形結合是解決本題的關鍵．8．如圖，∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，則∠EOF的度數為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【標準答案】C【思路指引】通過∠EOF的兩倍和180°-∠EOF相等建立等式，再解出∠EOF即可．【詳解詳析】OE平分∠BOC，OF平分∠AOC又解得∠EOF=60°故選C【名師指路】本題考查角平分線的有關計算，容斥原理，掌握這些是本題關鍵．9．如圖，點是直線上一點，以點為端點在直線上方作射線和射線，若射線平分，，則的度數是（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】先由平角的定義求得∠COB，在根據角平分線的定義求∠AOB即可.【詳解詳析】∵∠DOB+∠COB=180°，∴∠COB=

180°

-∠DOB=180°

-110°=

70°，因為射線平分，∴∠AOB=

COB=35°，故選：B【名師指路】此題考查了平角的定義和角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解答此題的關鍵.10．下列四個說法：①射線AB和射線BA是同一條射線；②兩點之間，線段最短；③和38.15°相等；④畫直線AB=3cm；⑤已知三條射線OA，OB，OC，若，則射線OC是∠AOB的平分線．其中正確說法的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】A【思路指引】根據射線的性質；數軸上兩點間的距離的定義；角平分線的定義，線段的性質解答即可．【詳解詳析】解：①射線AB和射線BA表示不是同一條射線，故此說法錯誤；②兩點之間，線段最短，故此說法正確；③38°15'≠38.15°，故此說法錯誤；④直線不能度量，所以“畫直線AB=3cm”說法是錯誤的；⑤已知三條射線OA，OB，OC，若，則OC不一定在∠AOB的內部，故此選項錯誤；綜上所述，正確的是②，故選：A．【名師指路】本題考查了射線的性質；數軸上兩點間的距離的定義；角平分線的定義，線段的性質等知識，解題的關鍵是了解直線的性質；數軸上兩點間的距離的定義等．二、填空題11．已知：∠AOB＝25°，過點O作射線OC，OM平分∠COA，，且使關于有無數多個解，則∠BOM＝__________．【標準答案】20°或50°【思路指引】根據關于x的方程有無數多個解，可求出m、n的值，再分兩種情況分別畫出圖形進行解答即可．【詳解詳析】解：∵關于x的方程有無數多個解，即關于x的方程有無數多個解，∴2m＝4+n，2m＝3n，解得，m＝3，，∴，（1）當OC在∠AOB的內部時，如圖1，∵，∠AOB＝25°，∴∠BOC＝×25°＝15°，∠AOC＝×25°＝10°，又∵OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝5°，∴∠BOM＝∠BOC+∠COM＝15°+5°＝20°；（2）當OC在∠AOB的外部時，如圖2，∵，∠AOB＝25°，∴∠BOC＝3∠AOB＝7×25°＝75°，∠AOC＝2∠AOB＝2×25°＝50°，又∵OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝25°，∴∠BOM＝∠BOA+∠AOM＝25°+25°＝50°，綜上所述，∠BOM＝20°或∠BOM＝50°，【名師指路】本題考查一元一次方程的解，角平分線的定義，確定m、n的值，再根據題意分兩種情況分別畫出圖形是解題的關鍵．12．如圖，平分，，與的差為80°，則__________．【標準答案】120°【思路指引】觀察圖形可知，結合已知相等角可得到，有角平分線的性質可得到和的倍數關系，結合與的差為80°，求出，進而求出的值．【詳解詳析】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵與的差為80°，即，∴，∴．故答案為：120°【名師指路】本題考查了角度計算和角平分線的定義，準確識圖理清圖中各角度之間的關系，然后根據與的差為80°列出方程是解題的關鍵．13．（1）已知點A、B、C三個點在同一條直線上，若線段，，則線段_______．（2）己知A、B、C三點在同一條直線上，M、N分別為線段AB、BC的中點，且，，則MN的長為_________．（3）己知，，則_________．（4）已知，，OD、OE分別平分、，則_________．【標準答案】13或3或130或3065或15【思路指引】（1）本題沒有給出圖形，在畫圖時，應考慮到A、B、C三點之間的位置關系的多種可能，再根據正確畫出的圖形解題．（2）分情況討論，當C在線段AB上和線段AB的延長線上，然后根據線段中點的性質，可得MB，NB，根據線段的和差，可得答案．（3）本題是角的計算的多解問題，求解時要注意分情況討論，可以根據OA在∠BOC的位置關系分為OA在∠BOC的內部和外部兩種情況求解．（4）需要分類討論：射線OC在∠AOB的內部和射線OC在∠AOB的外部兩種情況．再結合角平分線的定義，由∠DOE、∠BOD與∠EOB的和差關系可求得∠DOE的度數．【詳解詳析】解：（1）本題有兩種情形：當點C在線段AB上時，如圖，AC＝AB?BC，又∵AB＝8，BC＝5，∴AC＝8?5＝3；當點C在線段AB的延長線上時，如圖，AC＝AB＋BC，又∵AB＝8，BC＝5，∴AC＝8＋5＝13，故填：3或13．（2）本題有兩種情形：當C在線段AB延長線上時，如圖1：∵M、N分別為AB、BC的中點，∴BM＝AB＝4，BN＝BC＝；∴MN＝BM＋BN＝．當C在AB上時，如圖2：同理可知BM＝4，BN＝，∴MN＝BM－BN＝；故填：或．（3）本題有兩種情形：當OC在∠AOB內部，∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，∴∠AOC＝∠AOB?∠BOC＝30°；當OC在∠AOB外部，∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝130°；故填：30或130．（4）∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，且OD，OE分別為∠AOB，∠BOC的角平分線，∴∠BOD＝∠AOB＝40°，∠EOB＝∠BOC＝25°，當OC在∠AOB內時，如圖1，∴∠DOE＝∠DOB?∠EOB＝40°?25°＝15°．②當OC在∠AOB外時，如圖2，∠DOE＝∠DOB＋∠EOB＝40°＋25°＝65°．綜上所述，∠DOE的度數為65°或15°．故填：65或15．【名師指路】本題考查分類討論的思想，在未畫圖類問題中，正確畫圖很重要，分類討論體現了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．14．已知，如圖，A、O、B在同一直線上，OF平分，，．（1）射線OD是_______的角平分線；（2）的補角是_______；（3）的余角是_______；（4）_______是的余角；（5）的補角是_______；（6）_______是的補角．【標準答案】和和【思路指引】由角平分線的定義，補角、余角的定義，分別進行計算，即可得到答案．【詳解詳析】解：根據題意，（1）∵∴射線OD是的角平分線；（2）∵，∴的補角是；（3）∵OF平分，，∴，∴，∵，∴；∴的余角是和；（4）∵，，∴，∴是的余角；（5）∵，∴，∴的補角是和；（6）∵，，∴，∴是的補角．故答案為：；；和；；和；．【名師指路】本題考查了角平分線的定義，補角、余角的定義，解題的關鍵是熟練掌握幾何圖形中角的運算．15．如圖，，OD、OE分別平分和，，則_______．【標準答案】40【思路指引】根據OD平分，可得，再結合可得，最后再根據OE平分即可求得答案．【詳解詳析】解：∵OD平分，，∴，又∵，∴，又∵OE平分，∴，故答案為：40．【名師指路】本題考查了角的計算，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關鍵．16．如圖，若OC、OD三等分，則______________，_______，_______．【標準答案】3AOD【思路指引】根據OC、OD三等分可得，由此即可求得答案．【詳解詳析】解：∵OC、OD三等分，∴，∴3，，∴，∴，故答案為：3；；；AOD．【名師指路】本題考查了角的三等分線及角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關鍵．17．如圖，DC平分，EC平分，已知，，則________．【標準答案】【思路指引】連接DE，根據三角形角平分線的性質及內角和定理可求出∠DCE與∠A、∠ADC、∠AEC之間的關系，同理可求出∠DCE與∠A、∠ADB、∠AEB之間的關系，代入數值進行計算即可；【詳解詳析】連接DE，如圖1在△BDE中，∠1＋∠2＝180°?∠DBE＝70°，在△ADE中，∠ADE＋∠AED＝180°?∠DAE＝130°，∴∠ADB＋∠AEB＝（∠ADE＋∠AED）?（∠1＋∠2）＝60°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠3＋∠4＝30°，在△DEC中，∠DCE＝180°?（∠1＋∠2）?（∠3＋∠4）＝180°?70°?30°＝80°.故答案為：.【名師指路】本題考查三角形角平分線的性質及內角和定理，掌握上述知識點是解題關鍵.18．已知，線段AB垂直于線段CD，垂足為O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，則∠EOF＝____°．【標準答案】107或163##163或107【思路指引】分兩種情況：①射線OF在∠BOC內部；②射線OF在∠BOD內部．【詳解詳析】解：∵AB⊥CD，垂足為O，∴∠AOC=∠COB=90°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE=∠AOC=45°．分兩種情況：①如圖1，射線OF在∠BOC內部時，∵∠AOE=45°，∠BOF=28°，∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=107°；②如圖2，射線OF在∠BOD內部時，∵∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=28°，∴∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=163°．故答案為107或163．【名師指路】本題考查了垂直的定義，角平分線定義以及角的計算，進行分類討論是解題的關鍵．19．已知，射線在同一平面內繞點O旋轉，射線分別是和的角平分線．則的度數為______________．【標準答案】50°或130°##130°或50°【思路指引】分射線OC在∠AOB的內部和射線OC在∠AOB的外部，分別畫出圖形，結合根據角平分線定義求解．【詳解詳析】解：若射線OC在∠AOB的內部，∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOC+∠BOC=50°；若射線OC在∠AOB的外部，①射線OE，OF只有1個在∠AOB外面，如圖，∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=50°；②射線OE，OF都在∠AOB外面，如圖，∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=130°；綜上：∠EOF的度數為50°或130°，故答案為：50°或130°．【名師指路】本題考查的是角的計算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關鍵．注意分類思想的運用．20．如圖，直線AB⊥OC于點O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個頂點與點O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現將三角形EOF以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉至三角形E′OF′，同時直線PQ也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉至P′Q′，設運動時間為m秒（0≤m≤20），當直線P′Q′平分∠E′OF′時，則∠COP′＝___．【標準答案】或【思路指引】由題意，分兩種情況討論，當平分時，當平分時作出圖形，分別畫出對應圖，對比開始時刻的角度，通過角度的加減計算即可．【詳解詳析】平分，，以每秒的速度繞點O逆時針旋轉，以每秒的速度點O順時針旋轉，①如圖1中，當平分時，解得，②如圖2，當平分時，解得故答案為：或【名師指路】本題考查了角度的計算，角平分線的定義，垂直的定義，通過旋轉的速度和時間可得旋轉的角度，對比旋轉之前的圖形是解題的關鍵．三、解答題21．如圖1，在內部作射線，，在左側，且．（1）圖1中，若平分平分，則______；（2）如圖2，平分，探究與之間的數量關系，并證明；（3）設，過點O作射線，使為的平分線，再作的角平分線，若，畫出相應的圖形并求的度數（用含m的式子表示）．【標準答案】（1）120；（2），見解析；（3）見解析，或【思路指引】（1）根據角平分線的性質得到，再結合已知條件即可得出答案；（2）根據角平分線的性質與已知條件進行角之間的加減即可證明出結論；（3）根據角平分線的性質結合已知條件進行角度之間的加減運算，分類討論得出結論即可．【詳解詳析】解：（1）∵，，∴，∴，∵平分平分，∴，∴，∴，故答案為：120；（2）．證明：∵平分，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴；（3）如圖1，當在的左側時，∵平分，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．∵為的平分線，∴．∴；如圖2，當在的右側時，∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∵為的平分線，．綜上所述，的度數為或．【名師指路】本題主要考查了角平分線的性質與角度之間的加減運算，關鍵在于根據圖形分析出各角之間的數量關系．22．已知∠AOD＝40°，射線OC從OD出發，繞點O以20°/秒的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t秒（t≤7）．射線OE、OF分別平分∠AOC、∠AOD．（1）如圖①，如果t＝4秒，求∠EOA的度數；（2）如圖①，若射線OC旋轉時間為t秒，求∠EOF的度數（用含t的代數式表示）；（3）射線OC從OD出發時，射線OB也同時從OA出發，繞點O以10°/秒的速度逆時針旋轉，射線OC、OB在旋轉過程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，請你借助圖②和備用圖進行分析后，直接寫出的值．【標準答案】（1）60°；（2）；（3）或【思路指引】（1）根據角分線的定義、旋轉的過程即可求解；（2）根據旋轉的過程和角分線的定義進行角的計算即可；（3）分兩種情況討論：OB落在不同位置時進行角的計算即可．【詳解詳析】解：（1）如圖①，根據題意，得∠DOC＝4×20°＝80°∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°，∵射線OE平分∠AOC，∴，答：∠EOA的度數為60°．（2）根據題意，得∠COD＝（20t）°∴∠AOC＝（40+20t）°∵射線OE、OF分別平分∠AOC、∠AOD，∴，∠AOF＝20°，∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°，答：∠EOF的度數為．（3）∵射線OE、OF分別平分∠AOC、∠AOD，根據題意，得∴，①如圖②：當OB落在OF和OD之間時，∠BOD＝40﹣10t，40﹣10t＝10，解得t＝3．②如圖3：當OB落在OD和OE之間時，∠BOD＝10t﹣40，10t﹣40＝10解得t＝5．當t＝3時，的值為，當t＝5時，的值為．答：的值為或．【名師指路】此題考查了幾何圖形中角的和差倍分運算，角平分線的定義以及一元一次方程的應用，掌握角平分線的定義以及和差的關系是解題的關鍵．23．已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數；③當α=130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數式表示）．【標準答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°【思路指引】（1）根據角的和差和角平分線的定義即可得到結論；（2）根據角的和差和角平分線的定義即可得到結論．【詳解詳析】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案為：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；

③解：補全圖形如圖3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）當∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖2，∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+°)，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+°)-(-n°+°)=m°+n°，當∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖3，∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+°)，∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+°)+(-n°+°)=180°-m°-n°，綜上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，則∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．故答案為：m°+n°或180°-m°-n°．【名師指路】本題考查了角的計算，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵．24．已知：是內的射線．（1）如圖1，若平分平分．當射線繞點O在內旋轉時，_______度．（2）也是內的射線，如圖2，若平分平分，當繞點O在內旋轉時，求的大小．（3）在（2）的條件下，若，當在內繞O點以每秒的速度逆時針旋轉t秒，如圖3，且，求t的值．【標準答案】（1）79；（2）70.5°；（3）47秒【思路指引】（1）依據OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，即可得到∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD；（2）依據OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根據∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC進行計算即可；（3）依據∠AOM=（11°+t+17°），∠DON=（158°-11°-t），∠AOM：∠DON=3：4，即可得到方程，進而得出t的值．【詳解詳析】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，∴∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=79°，故答案為：79；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠A