第02講圓與方程目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：二元二次方程表示的曲線與圓的關系 1題型二：求圓的方程 2題型三：與圓有關的軌跡問題 5題型四：與圓有關的最值問題 8題型五：直線與圓的位置關系 11題型六：圓的切線 16題型七：圓的弦長 20題型八：圓與圓的位置關系 24題型九：圓的公共弦問題 27題型一：二元二次方程表示的曲線與圓的關系典型例題例題1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考階段練習）若表示圓的一般方程，則實數a的取值范圍是．【答案】【詳解】因為表示圓，所以，即，化簡得，解得，故答案為：例題2．（2023·全國·高二隨堂練習）討論方程所表示的曲線．【答案】答案見解析【詳解】方程可化為.當，即或時，表示圓；當，即時，表示點；當，即時，軌跡不存在；綜上所述當時，軌跡不存在；時，表示點；或時，表示圓.精練核心考點1．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學校考階段練習）方程表示一個圓，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由方程，可化為，要使得方程表示一個圓，則滿足，解得，所以實數的取值范圍為.故選：A.2．（2023秋·湖南·高二校聯考階段練習）若方程表示的曲線為一個圓，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【詳解】因為方程表示的曲線為一個圓，所以，即，解得或．故選：B.題型二：求圓的方程典型例題例題1．（2023·河南·校聯考模擬預測）圓心在射線上，半徑為5，且經過坐標原點的圓的方程為（

）.A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為圓心在射線上，故設圓心為，又半徑為5，且經過坐標原點，所以，解得或（舍去），即圓的圓心坐標為，則圓的方程為，即.故選：C例題2．（2023秋·河北·高二統考階段練習）已知.(1)求點到直線的距離；(2)求的外接圓的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）直線的方程為，化簡可得，所以點到直線的距離.（2）設的外接圓的方程為，將的坐標代入，得，即解得；故所求圓的方程為.例題3．（2023秋·云南昆明·高二校考階段練習）（1）求過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程.（2）已知某圓經過，兩點，圓心M在直線上，求該圓的方程．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1），所以交點坐標為設所求直線方程為：則，所以所求直線方程為（2）由圓心M在直線上，設又，所以所以，半徑為所以圓的方程為：精練核心考點1．（2023秋·江蘇連云港·高二贛榆一中校考階段練習）圓心在直線上，且經過點，的圓的方程為．【答案】【詳解】圓經過點和，，AB中點為，所以線段AB的垂直平分線的方程是．聯立方程組，解得．所以，圓心坐標為，半徑，所以，此圓的標準方程是．故答案為：2．（2023秋·河南鄭州·高二校考階段練習）已知三角形ABC的三個頂點分別為，，，求(1)邊上的高所在直線的方程；(2)三角形外接圓的方程【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得斜率，則上的高所在直線斜率為，方程為，即（2）設外接圓的方程為，則，解得，則圓方程為，即3．（2023·全國·高二課堂例題）已知都是上的三點，求這個圓的方程．【答案】【詳解】設所求圓的方程為，因為都是圓上的點，所以有：，解得：，故所求圓的方程為：．題型三：與圓有關的軌跡問題典型例題例題1．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二中學校考階段練習）已知，，為平面內的一動點，且滿足，則點的軌跡方程為．【答案】【詳解】設，由，則，即，即，所以點的軌跡方程為.故答案為：例題2．（2023·江蘇·高二專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：“平面內到兩個定點A、B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，，則點P的軌跡方程為.【答案】【詳解】設點，則化簡得：.故答案為：例題3（2023秋·高二課時練習）已知圓經過點，且被直線平分.(1)求圓的一般方程；(2)設是圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）直線恒過點.因為圓恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標為，又圓經過點，所以圓的半徑，所以圓的方程為，即.（2）設.因為為線段的中點，所以，因為點是圓上的動點，所以，即，所以的軌跡方程為.精練核心考點1．（2023秋·廣西·高二桂林中學校聯考階段練習）已知圓，直線過點.(1)當直線與圓相切時，求直線的斜率；(2)線段的端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）已知的圓心是，半徑是，設直線斜率為則直線方程是，即，則圓心到直線距離為，解得直線的斜率.（2）設點則，由點是的中點得，所以①因為在圓上運動，所以②①代入②得，化簡得點的軌跡方程是.2．（2023秋·江蘇連云港·高二校考階段練習）已知圓O：，直線的方程為.若直線過定點P，點M，N在圓O上，且⊥，Q為線段的中點，求點Q的軌跡方程．【答案】【詳解】直線的方程為，即，則有，解得，即點P的坐標為．因為點M，N在圓O上，且⊥，Q為線段MN的中點，則，設的中點，

由垂徑定理得，即，化簡可得，即為點Q的軌跡方程．3．（2023·全國·高三專題練習）已知兩定點和，求到點和的距離的平方和是16的點的軌跡方程.【答案】【詳解】設點到點和的距離的平方和等于16，則，整理得：.所以到點和的距離的平方和是16的點的軌跡方程為.題型四：與圓有關的最值問題典型例題例題1．（2023秋·四川德陽·高二四川省德陽中學校校考階段練習）若圓被直線平分，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．9【答案】D【詳解】由題意圓被直線平分，即圓心在直線上，故，即，故，當且僅當，結合，即時去等號，即的最小值為為9，故選：D例題2．（2023·浙江·模擬預測）已知圓和點，由圓外一點向圓引切線，切點分別為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，連接，則，可得，所以，即，可得，所以，當時，.故選：C.

例題3．（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學校聯考階段練習）已知是圓上不同的兩個動點，且為坐標原點，則的取值范圍為．【答案】【詳解】設線段的中點為，連接，圓的圓心為，半徑為，由于，所以，即三角形是等腰直角三角形，所以，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，即圓，，即，所以.故答案為：

精練核心考點1．（2023秋·湖北·高二湖北省羅田縣第一中學校聯考階段練習）若點在圓上運動，為的中點．點在圓上運動，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】∵點在圓上運動，，∴中點到圓心的距離為，由圓的定義可知，點的運動軌跡為以，半徑的圓，又∵點在圓∴的最小值為：.故選：B.2．（2023秋·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學校考階段練習）若平面內兩定點，間的距離為2，動點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，設，由，得，即，所以點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.又，其中可看作圓上的點到原點的距離的平方，所以，所以，即的最大值為.故選：D.3．（2023·全國·高一專題練習）已知復數z滿足，則的最大值是．【答案】8【詳解】設，由，得，即，因此在復平面內，復數對應的點在以為圓心，為半徑的圓上，而表示點與點的距離，顯然圓心與點的距離，所以的最大值是.故答案為：8題型五：直線與圓的位置關系典型例題例題1．（2023秋·高二課時練習）若對圓上任意一點，的取值與x，y無關，則實數a的取值范圍是（）A． B．C．或 D．【答案】D【詳解】依題意表示到兩條平行直線和的距離之和的5倍．因為這個距離之和與x，y無關，故兩條平行直線和在圓的兩側，畫出圖像如圖所示，故圓心到直線的距離，解得或，當時，兩直線在圓的同側，不符合題意，所以

故選：D．例題2．（2023秋·湖北·高二湖北省羅田縣第一中學校聯考階段練習）已知直線，若直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【詳解】直線，即，令，解得，所以直線過定點，圓的圓心，半徑，因為，所以點在圓內，則圓心到直線的距離（時取等號），所以（時取等號），所以的最小值為.故選：C.例題3．（2023秋·福建莆田·高二莆田一中校聯考階段練習）已知圓，直線.當直線l被圓C截得弦長取得最小值時，直線l的方程為.【答案】【詳解】由直線，得，令，解得，即直線過定點，圓得圓心，半徑，當直線時，直線l被圓C截得弦長取得最小值，，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：.例題4．（2023秋·山東·高二校聯考階段練習）已知圓經過點，，并且直線l：平分圓．(1)求圓的方程；(2)若直線：與圓交于，兩個不同的點，是否存在直線，使得（為坐標原點），若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）根據題意可知線段AB的中點，且直線的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的方程為，化簡得．因為圓C經過A，B兩點，所以圓心在線段AB的垂直平分線上，又因為直線l：平分圓C，所以圓心在直線l上，由，解得，所以圓心的坐標為，又因為圓的半徑，所以圓C的方程為．（2）存在直線m使得，設，，由（1）可知圓C的方程為，將代入圓的方程，整理并化簡得，由，得，所以，，所以，化簡得，即，解得，經檢驗滿足，所以存在直線m當時，使得．

精練核心考點1．（2023·江蘇·高二專題練習）已知關于x的方程有兩個不同的解，則實數k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，半圓與直線有兩個交點，又直線過定點，如圖所示，

又點，當直線過A點時，在AM位置時，斜率當直線和半圓相切即在BM位置時，由半徑，解得，由圖可得當時，半圓與直線有兩個交點，即方程有兩個不同的實根，綜上所述：故選：B2．（2023秋·云南·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，點，若直線：上存在點M，使得，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設，由，可得，整理得，因為直線：與圓有公共點，所以，即，解得或．所以的取值范圍為.故選：B.3．（2023秋·江蘇鹽城·高二統考階段練習）若直線被圓所截得的弦長為，則的最小值為．【答案】【詳解】由，則圓心為，半徑為2，由直線被圓所截得的弦長為，故直線過圓心，所以且，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：4．（2023秋·江蘇連云港·高二贛榆一中校考階段練習）已知點，，動點滿足．(1)求動點的軌跡方程；(2)直線過點且與點的軌跡只有一個公共點，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）設，由條件，則，整理：，即點的軌跡方程為.（2）過點的直線與點的軌跡只有一個公共點，即直線與相切，

當直線的斜率存在時，不妨設，則圓心到直線的距離，得：，此時；當的斜率不存在時，直線此時直線與圓相切；綜上所述，滿足題意得直線的方程為：或題型六：圓的切線典型例題例題1．（2023秋·天津武清·高二天津市武清區楊村第一中學校考階段練習）已知圓被直線截得的弦長為，若過點作圓的切線，則切線長為.【答案】【詳解】圓，即，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，則，解得，到圓心的距離為，故切線長為.故答案為：.例題2．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二中學校考階段練習）已知圓過點，圓心在直線上，且圓與軸相切．(1)求圓的標準方程；(2)過點作圓的切線，求此切線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：由題意，圓心在直線上，故設圓心，由于圓與軸相切，∴半徑，則圓的方程為：，又∵圓過點，∴，解得：，∴圓的標準方程為．（2）解：當切線斜率不存在時，因為圓心到直線的距離為，所以是圓的切線方程．當切線斜率存在時，設切線斜率為，則切線方程為，即，由直線與圓相切得，解得：，因此過點與圓相切的切線方程為，即，綜上知，過點圓的切線方程為或．例題3．（2023秋·遼寧·高二校聯考階段練習）已知點，，點A關于直線的對稱點為B.(1)求的外接圓的方程；(2)過點作的外接圓的切線，求切線方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）點關于直線的對稱點為，設點，則，解得，即，又，所以，所以的外接圓是以線段為直徑的圓，因為，則圓的半徑為，又AB的中點為，即為圓心，設為，所以的外接圓方程是.

（2）由（1）知，圓的方程為，已知點，因為，則點在圓外，則過點作圓的切線有兩條.當切線斜率存在時，設切線方程為，即，由題意得，圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為.當切線斜率不存在時，切線方程為.綜上，切線方程為或.

精練核心考點1．（2023·江蘇·高二專題練習）已知圓C與直線相切于點，且圓心C在直線上．過原點引圓C的切線，則切線長為．【答案】【詳解】設圓心坐標為，圓的半徑為，由題意，圓心到的距離為，即，又圓心到的距離也是，即，故，整理得，即，則圓心坐標為，半徑為，原點到圓心的距離是，于是過原點作圓的切線長為：.故答案為：2．（2023秋·陜西渭南·高二校考階段練習）已知圓，直線l過點.(1)求圓C的圓心坐標及半徑；(2)若直線l與圓C相切，求直線l的方程.【答案】(1)圓C的圓心坐標是，半徑為2(2)或【詳解】（1）將圓C的方程化成標準式方程得，圓C的圓心坐標是，半徑為2；（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程是，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，即，由圓心到直線l的距離等于圓C的半徑，可得，解得，故直線l的方程是.綜上所述，直線l的方程是或.3．（2023秋·高二課前預習）過點作圓的切線l，求切線l的方程.【答案】或【詳解】解法1：當切線斜率不存在時，方程為，與圓不相切，所以切線斜率存在，設切線方程為，即，由圓心到切線l的距離等于圓的半徑1，得，解得或，所以所求切線l的方程為或.解法2：當切線斜率不存在時，方程為，與圓不相切，所以切線斜率存在，設切線方程為，因為直線l與圓相切，所以方程組只有一組解，消得，則，解得或，所以所求切線l的方程為或.題型七：圓的弦長典型例題例題1．（2023春·全國·高二校聯考階段練習）若圓與圓的公共弦長為，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【詳解】圓與圓兩式相減，整理得公共弦所在直線方程為，又，圓心為，半徑為2，公共弦長為，則圓心到直線的距離，化簡得，解得：．驗證知符合題意.故選：A.

例題2．（2023秋·上海浦東新·高二上海市建平中學校考階段練習）已知動直線與圓，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為.【答案】【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因為動直線，即，令，解得，即動直線過定點，可得，即點在圓C內，則圓心C到動直線的距離，可得直線l被圓C所截得的弦長為，當且僅當時，等號成立，所以直線l被圓C所截得的弦長的最小值為.故答案為：.例題3．（2023秋·高二課時練習）已知直線與直線垂直，且它被圓所截得的線段的長為，求直線的方程．【答案】或【詳解】設直線的斜率為，易知直線的斜率為，依題意可得，解得；設直線的方程為，將圓化為標準方程為，所以圓心坐標為，半徑為，根據弦長公式可得圓心到直線的距離，又，解得或；故直線的方程為或例題4．（2023秋·湖南長沙·高二長沙市明德中學校考階段練習）已知坐標平面上點?與兩個定點?的距離之比等于2.(1)求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形;(2)記（1）中的軌跡為?，過點?的直線?被?所截得的線段的長為?，求直線?的方程.【答案】(1)點?點軌跡方程為?，其軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓(2)?或?【詳解】（1）由題可知，?整理得:?，故點?點軌跡方程為?，其軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓.（2）由題可知:①當直線?斜率不存在時，此時直線?的方程為:?，滿足弦長為?.②當直線的斜率存在時，不妨設為?，則直線方程為:，?即:，則圓心到直線的距離為，因為直線?被?所截得的線段的長為?，所以，得，解得?，所以直線方程為?.綜上，滿足條件的直線?的方程為?或?.精練核心考點1．（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）直線被圓截得的弦長最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】將圓方程化為標準式可得，即可知圓心，半徑；根據弦長公式可知，當圓心到直線距離最小時，截得的弦長最大，易知圓心到直線的距離為，由三角函數值域可知當時，，此時弦長為.故選：A2．（2023秋·江蘇南通·高二統考階段練習）已知圓C的圓心在直線上，且該圓與x軸相切.(1)若圓C經過點，求該圓的方程；(2)若圓C被直線截得的弦長為，求該圓的方程.【答案】(1)或；(2)或.【詳解】（1）由圓C的圓心在直線上可設圓心為，由于該圓與x軸相切.，故圓的半徑，故可設圓的方程為，又圓C經過點，故，即，解得或，所以圓的方程為或；（2）由（1）知圓的方程為，圓心到直線的距離為，圓C被直線截得的弦長為，故，即，解得，故圓的方程為或.3．（2023秋·四川德陽·高二四川省德陽中學校校考階段練習）圓，直線.(1)證明：不論取什么實數，直線與圓相交；(2)求直線被圓截得的線段的最短長度，并求此時的值.【答案】(1)證明見解析(2)當時，最短弦長為【詳解】（1）因為直線的方程可化為，所以過直線與的交點.又因為點到圓心的距離，所以點在圓內，所以過點的直線與圓恒交于兩點.（2）由（1）可知：過點的所有弦中，弦心距，因為弦心距?半弦長和半徑構成直角三角形，所以當時，半弦長的平方的最小值為，所以弦長的最小值為.此時，.因為，所以，解得，所以當時，得到最短弦長為.

題型八：圓與圓的位置關系典型例題例題1．（2023秋·天津武清·高二天津市武清區楊村第一中學校考階段練習）圓與圓的位置關系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內切【答案】C【詳解】由題意，圓，可得圓心坐標，半徑為，圓，則圓心坐標為，半徑為，可得兩圓的圓心距，則，即，所以圓與圓相交.故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習）（用兩種方法求解）已知圓：，圓：，試判斷圓與圓的位置關系．【答案】相交．【詳解】方法一（代數法）由消去二次項得：，把代入并整理得，解得，因此圓的方程與圓的方程組成的方程組有兩個不同的解，所以圓與圓相交.方法二（幾何法）圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，顯然，所以圓與圓相交.例題3．（2023·全國·高二專題練習）已知圓：與圓：，當m為何值時，(1)兩圓外切；(2)兩圓內含．【答案】(1)或；(2)【詳解】（1）方程可化為，所以圓的圓心坐標為，半徑，方程可化為，所以圓的圓心坐標為，半徑，因為圓與圓外切，所以，所以所以或；（2）因為圓與圓內含，所以，所以，所以.精練核心考點1．（2023秋·上海浦東新·高二上海市建平中學校考階段練習）圓和圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．內含【答案】A【詳解】方程可化為，所以圓的圓心坐標為，半徑，方程可化為，所以圓的圓心坐標為，半徑，所以兩圓的圓心距為，又，所以圓與圓相交.故選：A.2．（2023·全國·高二課堂例題）判斷圓與圓的位置關系．【答案】相交【詳解】把圓的方程化成標準方程，得．圓的圓心是點，半徑．把圓的方程化成標準方程，得．圓的圓心是點，半徑．兩圓心之間的距離，從而，所以圓與圓相交，它們有兩個公共點．

題型九：圓的公共弦問題典型例題例題1．（2023秋·全國·高二階段練習）圓與圓的公共弦長的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】由，得，圓心，半徑；由，得，圓心，半徑，所以兩圓圓心均在直線上，半徑分別為1和，

如圖，當兩圓相交且相交弦經過