5.4.2正弦函數、余弦函數的性質第2課時單調性、最大值與最小值第五章三角函數人教A版

數學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標學習目標1.掌握y=sin

x,y=cosx的最大值與最小值,并會求簡單三角函數的值域或最值.(數學運算)2.掌握y=sin

x,y=cosx的單調性,并能利用單調性比較大小.(數學運算)3.會求函數y=Asin

x(ωx+φ)及y=Acosx(ωx+φ)的單調區間.(邏輯推理)基礎落實·必備知識一遍過知識點:正弦函數、余弦函數的圖象和性質

函數y=sin

xy=cosx圖象

定義域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期為2π最小正周期為2π奇偶性奇函數偶函數函數y=sin

xy=cosx單調性在每一個閉區間[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都單調遞增;在每一個閉區間[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都單調遞減在每一個閉區間[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都單調遞增;在每一個閉區間[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都單調遞減最值當x=+2kπ(k∈Z)時,ymax=1;當x=-+2kπ(k∈Z)時,ymin=-1當x=2kπ(k∈Z)時,ymax=1;當

x=(2k+1)π(k∈Z)時,ymin=-1函數y=sin

xy=cosx圖象的對稱性對稱中心為(kπ,0)(k∈Z),對稱軸為直線x=+kπ(k∈Z)對稱中心為(+kπ,0)(k∈Z),對稱軸為直線x=kπ(k∈Z)名師點睛對單調區間的理解(1)k取Z內的每一個值,都對應著一個單調遞增區間及單調遞減區間,這些區間是斷開的.(2)正弦函數和余弦函數不是定義域內的單調函數.(3)正弦函數或余弦函數取最值時,對應著圖象的最高點或最低點.微思考

重難探究·能力素養速提升問題1函數的單調性是函數的重要性質.結合圖象容易觀察一個周期內的正弦函數的單調性,但由于三角函數的周期性,在此基礎上,如何歸納概括正弦函數的單調區間并給出一般的形式?體會研究周期函數單調性的一般思路.問題2余弦函數與正弦函數的單調性研究過程相似,類比研究余弦函數的單調性并給出一般形式.探究點一求三角函數的單調區間問題3如何利用正、余弦函數來求正余弦型函數的單調區間?基本思想是什么?【例1】

求下列函數的單調遞減區間:分析

(1)可采用整體換元法并結合正弦函數、余弦函數的單調區間求解;(2)可先將自變量x的系數轉化為正數再求單調區間.規律方法

與正弦函數、余弦函數有關的單調區間的求解技巧(1)結合正弦、余弦函數的圖象,熟記它們的單調區間;(2)確定函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調區間的方法:采用“換元”法整體代換,將ωx+φ看作一個整體,可令“z=ωx+φ”,即通過求y=Asin

z的單調區間求出原函數的單調區間.若ω<0,則可利用誘導公式將x的系數轉變為正數.探究點二單調性在三角函數中的應用問題4單調性的直接應用就是比較函數值大小.關鍵在于如何把自變量轉化到同一個單調區間?1.利用單調性比較三角函數值的大小【例2】

比較下列各組數的大小:規律方法

比較三角函數值大小的方法(1)通常利用誘導公式化為銳角三角函數值;(2)不同名的函數化為同名函數;(3)自變量不在同一單調區間化至同一單調區間.問題5單調性可以直接根據函數求出,逆向思考,若已知某函數的單調性,能求解什么問題?2.已知三角函數的單調情況求參數問題D探究點三正弦函數、余弦函數的最大(小)值問題問題6求函數值域的方法,一般來說,就是要知道函數的類型或者是函數的單調性,據此得出函數值域.問題7由正、余弦函數構成的一些函數,可否識別出函數類型?類型1

一次函數類型【例4】

求下列函數的值域:又sin

x≥0時,0≤2sin

x≤2,∴函數y=|sin

x|+sin

x的值域為[0,2].(2)y=|sin

x|+sin

x.類型2

二次函數類型【例5】

求使下列函數取得最大值和最小值時的x的值,并求出函數的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sin

x-2;類型3

反比例函數類型

規律方法

與三角函數有關的函數的值域(或最大(小)值)的求解思路1.求形如y=asin

x+b的函數的最值或值域時,可利用正弦函數的有界性(-1≤sin

x≤1)求解.2.對于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函數,當定義域為R時,值域為[-|A|+k,|A|+k];當定義域為某個給定的區間時,需確定ωx+φ的范圍,再結合函數的單調性確定值域.3.求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函數的值域或最大(小)值時,可以通過換元,令t=sin

x,將原函數轉化為關于t的二次函數,利用配方法求值域或最大(小)值,求解過程中要注意正弦函數的有界性.4.求形如

,ac≠0的函數的值域,可以用分離常量法求解,也可以利用正弦函數的有界性建立關于y的不等式解出y的取值范圍.學以致用·隨堂檢測促達標123456789101112A級必備知識基礎練1.(多選題)函數y=|sinx|的一個單調遞增區間是(

)BC123456789101112B123456789101112B123456789101112B123456789101112B1234567891011126.函數,x∈[0,π]的單調遞增區間為

,單調遞減區間為

.

1234567891011127.sin1,sin2,sin3按從小到大排列的順序為

.

sin3<sin1<sin2解析

因為sin(π-2)=sin

2,sin(π-3)=sin

3,y=sin

x在(0,)上單調遞增,且0<π-3<1<π-2<,所以sin(π-3)<sin

1<sin(π-2),即sin

3<sin

1<sin

2.1234567891011128.若y=asinx+b的最大值為3,最小值為1,則ab=

.

±2123456789101112B級關鍵能力提升練C12345678910111212345678910111211.已知函數f(x)=2cosx-sin2x+a,且f(π)=1.(1)求實數a的值;123456789101112解(1)因為函數f(x)=2cos

x-sin2x+a,f(π)=1,所以2cos

π-sin2π+a=1,即