專題06立體幾何中的距離問題

。常考題型目錄

題型1兩點之間的距離..............................................................................2

題型2點到直線的距離..............................................................................7

?類型1定義法...............................................................................7

?類型2等面積法............................................................................13

題型3兩條直線的距離..............................................................................19

?類型1定義法（找公垂線段）.................................................................19

?類型2轉(zhuǎn)化法..............................................................................24

題型4點到平面的距離.............................................................................25

?類型1定義法..............................................................................25

?類型2轉(zhuǎn)化為距離相等的點.................................................................33

?類型3等體積法............................................................................36

?類型4補全長方體..........................................................................45

題型5直線到平面的距離...........................................................................47

題型6平面到平面的距離...........................................................................54

Q知識梳理

知識點.空間中的距離

一.距離定義

1?點到平面的距離：平面外一點p在該平面上的射影為P",則線段PP”的長度就是點到平面的距離.

2.兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距

離.求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度，

注：①和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線；

②公垂線與兩條直線相交的點所形成的線段,叫做這兩條異面直線的公垂線段；

③兩條異面直線公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離

④公垂線段是異面直線上任意兩點的最小距離

3.直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行，這條直線上的任意一點到這個平面的距離叫做這條直線到

這個平面的距離.

4.平面與平面的距離

兩個平行平面的公垂線、公垂線線段的定義：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公

垂線，其中夾在這兩個平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.

兩個平行平面的距離：兩個平行平面的共垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離

空間距離包括空間內(nèi)任意兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離以及兩個

平行平面的距離，其中兩點間距離和點到直線的距離可以用兩點間距離公式處理；點到平面的距離、直線

到平面的距離以及兩個平行平面的距離都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.

二.求距離的方法

求距離的關(guān)鍵是化歸，即應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法，將空間距離向平面距離化

歸.

1.求空間中兩點間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形.

2.求點到面的距離

(1)定義法，由線面垂直定義或面面垂直性質(zhì),直接作出點到平面的垂線、垂線段的長度就是點到面的距

離.通常要借助某個直角三角形求解.

(2)當(dāng)該點作已知平面的垂線不易作出時，利用線面平行的位置關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為與已知平面等距離的點作

垂線，然后再計算.

(3)等體積轉(zhuǎn)化法.利用棱錐，一般是三棱錐的底面與頂點的輪換性，轉(zhuǎn)化為三棱錐的高.例如在三棱錐

A-BCD中,若求點A到平面BCD的距離?？上惹骎A-BCD因為VA-BCD=:%D〃，所以卜=再旦

,其中V=VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC,轉(zhuǎn)換原則是V易求.

但題型分類

題型1兩點之間的距離

【例題1】（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，線段AB,BD在平面型，口口L□，目□口=

A.19B.17C.15D.13

【答案】D

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理求解.

連接。。，因為□□L*所以口口=JUCf+口療=5,

又因為。O_L口,￡7/7c口所以。Z71口口,

所以口口=J皿+。萬=13,

故選:D.

【變式1-1】1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）上、下底面面積分別為36Tl和49n,母線長為5的圓臺，其

兩底面之間的距離為（）

A.4B.3V2C.2V3D.2V6

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題意得到所以圓臺上、下底面半徑分別為6和7,再畫出圖形，利用勾股定理求解即可.

【詳解】設(shè)圓臺的母線長I、高h(yuǎn)和上、下兩底面圓的半徑r,R,

由題意可知：□=S.n/J2=36n,n4=49n,解得￡7=6,□=7,

如圖可得：□口=6,□□=7,口口=5,口□=□—□=1,□□=□□=h,

滿足關(guān)系式。,即25=%+1,求得力=2V6,

即兩底面之間的距離為2佃.

【變式1-1]2.（2023春?上海浦東新?高二華師大二附中校考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，□口=15,

□□=20.現(xiàn)將ACBD沿對角線BD翻折，使得平面ABD與平面CBD垂直，此時A、C兩點之間的距離

為____________

【答案】V337

【分析】根據(jù)題意過點a乍口。，口口,垂足為口，過點a乍。Di,垂足為口，連接口口,口口,

利用面面垂直的性質(zhì)得到□口,利用勾股定理計算即可求解.

【詳解】如圖，過點O作。O_L口□,垂足為O,過點、口乍口□工口口,垂足為O,連接。O,口口,

因為在矩形ABCD中，□□=15,口口=20,

所以口口=y/DLf+=Vl52+202=25,

則R3OZZ7O中，由面積相等可得g□□=%UU-口口,

解得￡70=12,則270=J03-口^=Vl52-122=9

同理DZ7=12,口口=9,所以口口=7,

在R3OZ7/并,□□=｛口己+[JCf=V72+122=Vl93,

因為平面平面OOO,且平面。O￡7n平面￡700=口□,又因為O￡7_L口□,

且。Ou平面。。/27,所以平面因為。Ou平面。￡7￡7,所以□□L口口,

在以卬口中,口口=J□d2'+口^=在44+193=V337,

故答案為：V337.

【變式1-1]3.（2023?山東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱OZ7。-口1口1口1中,

4口口口=》口口=□□、=',口口=2,氤口是口曲中氤,點。是線段4口上一動點，點。在平面

上移動，則。，須點之間距離的最小值為（）

A.B;C.ID.1

323

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可證：&〃II平面,可得0,0兩點之間距離的最小值為0，利用等體積法求0,

即可得結(jié)果.

【詳解】建接口1口^口口1于點、口,連接口。，

,；口,口分別為口1口,。中）中點，則。。H口]□,

且￡7￡7u平面￡7￡74,仁平面。?？?

□1□II平?同□□□、,

則點。到平面的距離相等，設(shè)為〃，則，，。兩點之間距離的最小值為。，

即點&到平面的距離為D,

??,&O的中點。在。■上,則點。到平面的距離為。，

由題意可得為￡70=□□=□、口=1,□□]=□□=□□、=V2,

由口，貝其xZ7x^xV2xV2xy=^x1x^x1x1,解得Z7=y,

故。，事點之間距離的最小值為□=.

故選：A.

【變式1-1J4.（2023?高一課時練習(xí)）皿矩形。口口口所在平面外一點，且mi平面ABCD,P到B、

C、D三點的距離分別為遍、/t、代，則&點到O點的距離為.

【答案】1

【分析】分別設(shè)?？?口,□□=□,□□=口,利用勾股定理建立等式分別求出，即得.

【詳解】如圖所示,設(shè)□□=□,□□=口,□□=口,因為□□上平■面□□□□,

易得1口□,口□1口□,口□1口口,

在R3口口0^,口口=vCf+=V5,

同理。口=J海+爐=V13,口口=J廳+廳+8=折,

解得￡7=1,□=2,□=272,所以￡70=1,口口=2,口口=2五,

故答案為：1.

題型2點到直線的距離

?類型1定義法

【例題2-1]（2023秋?湖北咸寧統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體。?？凇Ｒ环健?。'方中，點口為棱口0

的中點，則點方到直線。）勺距離為（）

A.3B.2&C.皚D.竽

55

【答案】C

【分析】作出輔助線，找到點方到直線的距離，并求出各邊長度，由余弦定理得到C0SN方0。，由同

角三角函數(shù)關(guān)系得到sinzdUD,求出點到直線的距離.

【詳解】鏈接。'口，tin.da,過點、已作仃口工口方彘口,

故方OBP為點方到直線口厘勺距離,

.曲體□□□□-方方方的棱長為2,

.'.￡7口=[j口=V22+22=2V2,□□=J□Ilf'+□曰=V4+1=V5,

￡7ZZ7=\ZL7ZZ7+ZZ7爐—48+1-3,

Bcf+ucf-[j己_8+5-9_同

在仆dD[J^,cosz￡7ZZ7Z7=

orin.nn2x2>/2xV51。

故□口=Ji-cos2/方DZ7=嚓.

點。到直線。?。菥嚯x為匚iu=廿口3\。乙己口口=2近乂嚕=塢.

1U0

故選：C

【變式2-1J1.（多選X2023?福建廈門?廈門雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方悻□□□□一

口1口1口1口種，E.F,G分別為棱?？?，口口,勺中點，點P為線段&A的動點，則（）

A.兩條異面直線4%口￡74所成的角為45。

B.存在點p,使得&。/平面口?？?/p>

C.對任意點P,平面□□□11平面￡7。0

D.點0到直線口中］距離為4

【答案】BCD

【分析】根據(jù)異面直線所成角的概念結(jié)合正方體的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)

線面垂直的判定定理可得。OJ■平面,然后根據(jù)線線垂直的判定定理可判斷C,利用余弦定理結(jié)合

條件可判斷D.

【詳解】對于A,由正方體的性質(zhì)可知口。1〃04,兩條異面直線&UWZ70所成的角即為

60°,所以A錯誤

對于B,當(dāng)點P與點功重合時，由耐知□□=□□,口、口口、=□□,

即以□□“口、口、,□□=□、口「四邊形&為平行四邊形，故4口//40,

又口、口仁平面。?！?,口Du平面□口□,則口、口”鈿口□口,所以B正確；

對于C,連結(jié)￡7。，由于，平面OZ7/7O,Z7Ou平面￡70。。，故1口□,

又口口=口口,口口=□□/□=乙□□口椒&□□口三△□□口，故乙□□口=4口□口，或乙□□□+

4□□□=90°,故,

又口相交，u平面□□□[,故□□1^口口口[,又口口匚礴□□□,故對任意點

口,平面口□口1母面口□口,所以C正確；

對于D,由正方體的性質(zhì)可得aa=4V2,=V22+42+42=6,Z7=V22+42=2V5,

□、序+口昌-口d_62+(4切_(2、⑸_42

所以COSN□]□]□=

-2口——2x6x472—~2

所以/&&￡7=45°,所以點a到直線勺距離。=口、口由4口、口[口=4冊又當(dāng)=4,所以D正

確.

故選：BCD.

【變式2-1]2.（2021春廣東東莞?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)口口1Rt△口口淅狂的平面口/口□口=

90。，PB、PC分另！I與皈45°和30。角，2,點P到BC的距離是________________.

【答案】a

【分析】根據(jù)題意畫出幾何體，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可求得OOEI3為點P到BC的距離,

由勾股定理計算結(jié)果為近.

【詳解】如圖所示：

根據(jù)題意可知/0口。=45°,N￡700=30°,又0/7=2,

所以2,口口=2V2;□□=2V3,￡70=4;

又乙□□口=90°,所以?！?=4；

作ZZ7Z71口方口，由OZZ7，平面O,oaoou平面。，所以□□工口口,□□L□□

又口口門口□二U,口口口口匚鉀口□口,所以口口上平面口口□,

又口□u平面口口□,所以1口□,所以。OBP為點P到BC的距離；

易知口口=V3,由勾股定理可得口口=4UlJ+口d=V7.

即點P到BC的距離V7.

故答案為：V7

【變式2-1]3.（2023秋?江蘇南京?南京市秦淮中學(xué)?？计谀┤鐖D，在棱長為1的正方體?？凇？?

口1口1口1口1中,。為02勺中點，點O在線段4入，點￡冽直線O4的距離的最小值為.

【答案】f

【分析】取aa的中點口，連接oo,□□「證得。a〃平面口□□,把ao上任一點到平面a口口

的距離即為兩條異面直線0a與O&的距離，過點乜作a￡71,利用面面垂直的性質(zhì)定理，證得

□iD_L平面■口口,過點乍￡7切/〃。交&。于點口,得到。夕/4口取□[□=□□，蘸口□,

證得平面在直角△口口加,求得a。的值，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，取&&的中點。，連接O。，口□、,而以□□川口口,

又OOu平面□□、仁平面□[□□,所以〃平面&OZ7,

所以直線4O上任一點到平面&DOB勺距離即為兩條異面直線&a與Z74的距離，

過點口、作口1口工口1口,

因為平面&1平面&□、口、□],且a〃u平面a口□、□、,所以&平面&□口.

過點、口^口口”口口^口1方彘口,孰□□"□］口,

取口、口=口口,連接口，，則四邊形OZ7O4是矩形，可得￡70上平面打?！?,

在直角△口、口6，由4。?□］□=口1口?口、口,所以&/7=筆等=修1=

?小?+（護

故點。到直線的距離的最小值為9.

故答案為：f.

【變式2-1】4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）等于90。的二面角O-□-。內(nèi)有一點口，過O有口口JL。于

點口，口。，行O,如果。口=口。=。，則尊［|中］距離為（）

A.2Z7B.yC.<2UD.2VD

【答案】C

【分析】由線面垂直的判定及性質(zhì)確定。到與勺距離對應(yīng)線段，進而求長度.

由OD1口,□□LD,Uu口,Z7cD,則Z7Z71D,□□1D,

目ULJc□口=口,口口，口口通口□□□,根□遹□□□□,

□函□□□口:口,連接。O,口口通口口口口,故￡7,口口、

所以。到2勺距離為線段口OB勺長度，二面角口一口-%90°,W口口=口□=□□,

且乙口□□=90°,w口口=e口口=V2L7.

故選：C

?類型2等面積法

【例題2-2]（2023秋?陜西渭南?統(tǒng)考期末）在長方體口。。。一口]中,如果口。=口□=1,

□口、=2,那么A到直線4灘距離為（）

A3V6B3V6C2V6D2V3

3233

【答案】D

【分析】由已知可得V6,口口=OO.根據(jù)等面積法，即可求出答案.

5

【詳解】

如圖，連結(jié)。。，

因為&。是長方體的體對角線，所以。1￡7=4口仔+皿+口㈠=厭,

口口=Jg+口d=V2.

由長方體的性質(zhì)可知，L平面口□口口,

因為口口匚平面□□□□,所以￡7&1

所以,口山口=；口口、x0^7=72.

設(shè)A到直線勺距離為ZZ7,則口叫口=；口1口乂口=；x展口=迎,

所以，￡7=第=竽.

故選：D.

【變式2-2]1.（2023?江西贛州?統(tǒng)考一模）古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第三卷中記載著一個確

定重心的定理："如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直

線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積"，即。=

口人V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積,S表示平面圖形的面積，加示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）.

已知RfACB中，口□工口□,口口=2,口口=4,則AACB的重心G到AC的距離為（）

A]B.|C.lD.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，用式子分別表示出圓錐體積、三角形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長，進而求

出距離.

【詳解】直角三角形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積為。=gx4nX4=等；

三角形面積，=gx4x2=4,記重心勺距離為力,

由口=G,可得等=（2n/i）x4,解得4=|,

所以△重心G到距離為|.

故選：B.

【變式2-2]2.（2022秋?上海徐匯?位育中學(xué)?？计谀┮阎襟w￡7口口口一口口⑸□曲，□□=6,

點P在平面口&&內(nèi)，。1。=3夜，求點P到O4距離的最小值為.

【答案】2V3

【分析】分別取的中點以口尚姜口口、□、口、□]□、證明出0al平面

對于平面O04內(nèi)任意一點。，過點0（乍00/04分別交□[□、□口、于點、口、□、￡7,分析

可知點。到直線。a的距離等于線段。勺長，當(dāng)口口工口闔.oa最短，此時點。到直線oa的距

離取到最小值，利用等面積法求解即可.

【詳解】分別取。4的中點以口，浸妾口1口、口、口、口'口、口□,

□□口□、口、且口口=口[口「所以，四邊形ma&為平行四邊形，

所以，口□〃舊口、目,

因為aa分別為。&、?？冢┑闹悬c，

班口口1□□旦口口=口□,

所以，四邊形〃0〃力平行四邊形，

板口口U口色口□=口口=6,

...□□1平面口,□□1平面□□、口口,

???口口、口□、U平面,則aO_L□口,￡7/71口□、,

□□[=口1口1,則q/z/j.,

因為ZZ7i￡7n□□=□，:.1平面a。。，

???□、￡7=；￡7|￡7=；xV62+62=3V2,

對于平面J內(nèi)任意一點Z7,

過點&乍0以7〃4分別交&&、□、口、□□、于氤口、口、口,

???□□川□□一：.□□“□□i,

所以點U到直線O&的距離等于點。到直線O&的距離，

???口口心平面口、口口,故口。1□□「所以點。到直線的距離為線段口。的長，

???□[□]口□,則4口、□□是以q口a為直角的直角三角形，

當(dāng)OO1時，。潑短，此時點o到直線04的距離取到最小值.

在正方體中I口'口'平面。,又□］口u平面□□□［口、1

所以441□】口,又□［口=口］口=3握,

所以40=J/7.2+&小=舊+（3夜f=3V6,

所以在R30￡70中由等面積法可得：

；□、□.□□=：口、口.口口,即口口=筆浮=霓=25

NNLJyLJOVO

所以二用」直線?？诘木嚯x取到最小值為2g,

故答案為：2Vs.

【變式2-2］3.（2023秋?河南開封?統(tǒng)考期末）如圖,在四棱錐口-□□□峰,□□□□口口，□口

，平面□□口口?！酢酢酢?矩形點、。在棱口□上，目口與O位于平面口?？谥校﹥蓚?cè).

（1）證明||平面￡7￡7口

②若口口=口口=5,口口=2,00=3,試問在線段Z7O上是否存在點D,使得△口口口與△口。。的面積

相等？若存在，求學(xué)110。的距離;若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析

⑵存在，色警

【分析】Q）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得0口IIoa根據(jù)線面平行的判定定理即可得ooII平面a

根據(jù)DOlloa及線面平行的判定定理即可得0/7||平面。Z7&根據(jù)。On□□=儂面面平行的判定定

理即可得平面ODDII平面?？赼再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證明；

⑵過o作oa垂足為a過。（乍oa垂足為a連接過o作。垂足為a連接

Da先根據(jù)線面垂直的判定定理證明。平面口可得口a同理可得OOJ.根據(jù)△

□□口與△oo畫面積相等，底相同,可得高也相同，即□□沒口口=a根據(jù)三角形相似及邊長之

間關(guān)系，找到各個長度，根據(jù)勾股定理求出口口=再求出建立等式解出即可.

【詳解】(1)證明:因為平面

□口咫面□□口口,

所以￡7。II□口,

因為Z7Z7u平面口□□口□u平面□□口

所以口口呼面

因為底面口口。%矩形，

所以￡7011口□,

因為Z7Z7u平面口□□口□u平面□□口

所以口口呼面

因為ZZ7/7nuu=a

且□□U平面□□□,□口U平面□□口

所以平面OOOII平面OZZ7O,

又因為口。u平面口口口

所以?？趞|平面ma

(2)設(shè)線段￡70上存在點O使得△□□口與△OO/j的面積相等，

過。作口Z7JL□口，垂足為口,

因為口口1平面□□□□,

所以口口人口口,

故SII□□

所以△□□□“□□□,

故也=露

“口□口口

因為口口=口□,

所以

過U作口□]口口,垂定為□函妾□口，

過□作口□、oo,垂足為a連接oa如圖所示:

因為□□工^^口口口口口口北口□,

所以□□L底面口□口口,

所以O(shè)Z7J_口口,

又□□'口口,口口門口□=口,

所以□□上平面□□口

因為DOu平面￡70。

則S1口□,

同理可得。口1口口

因為△口口口與4口口療勺面積相等,

所以?！?=口□,

在△。。。中,根據(jù)等面積法可得￡70=

則S二三口守+。廳=蔡

設(shè)□□=口,0<￡7<5,

則ZZ7/Z7=5—￡7

因為￡701LJU,DDL□□,

所以ZZ7OII□口,

所以△□□□?4□□□

因為赤=近

所以口口=喑,

所以S=飛口守+。廳=恪券+廳=口口=焉

整理得33行-400-261=0,

因為0<D<5,所以O(shè)=型^守，

故存在a且2口型距離為生等.

【點睛】方法點睛:此題考查立體幾何中線面關(guān)系及點存在問題的綜合問題，屬于難題，關(guān)于點存在問題的解題

方法有：

Q)先假設(shè)其存在；

(2)然后將假設(shè)作為條件與已知條件一起進行推理論證和計算；

⑶在推理論證和計算無誤的前提下得到了合理的結(jié)論,則說明存在；

(4)如果得到不合理的結(jié)論，則說明不存在.

題型3兩條直線的距離

?類型1定義法(找公垂線段)

【例題3-1]（2021?北京?校考強基計劃）已知矩形口口口。中,LJn=2,LJU=1,折疊使點A,C重合，

折痕為口口，打開平面口□口口，使二面角口-口□-。的大小為三，則直線口口與直線口口的距離為（）

A.B.孚C.lD.平

242

【答案】B

【分析】設(shè)。2勺中點為P,0中）中點為Q,則口a為口。與DOB勺公垂線段，利用題設(shè)中的二面角可求

公垂線段的長度.

【詳解】如圖,設(shè)的中點為P,則折疊后二面角。一□□-仲平面角為NOOO.

又口口=。口=1，于是△Z7OO是邊長為苧的正三角形.

C

NB

設(shè)oa的中點為Q,則OO為口口與口中）公垂線段，也即直線口。與直線的距離，為￡70=5x?=

Vis

故選：B.

【變式3-1】1.（2023秋?河南商丘?校聯(lián)考期末）已知菱形。OS中，上口□口=g,沿對角線。，折

起,使二面角口-□□-。的平面角為口，若異面直線。口與。。的距離是菱形邊長的9,則口=（）

AB.；C；D.3

6432

【答案】C

【分析】先找到二面角口□—。的平面角為再證明口。是異面直線。口與006勺距離，在

RCJ&OZZ7口中求解.

【詳解】如圖，設(shè)菱形的邊長為2。，連接兩條對角線□口=口

易得口Z7J.,口口=□口=圾口

菱形3OU2對角線口。折起，連接O。，得到三棱錐。-□□口

在菱形OO0S1翻著后垂直不變，即｛1鄉(xiāng)；匣

所以是二面角。一□□—O的平面角，即乙口□口=D

□□'□□

\口□

又因為J口口門口□=□

、□□，□□匚面□□口

所以O(shè)O1平面OOO,取。。中點。，連接OO

又因為。口U平面。OZ7

所以Z7Z7J.口□

在4口口坊,□口=□□=V3ZJ,并且％口中）中點，

所以口□

故S是異面直線。八。邱距離

又因為異面直線oa與口為勺距離是菱形邊長的?

所以￡70=9x20=1。

在ROa口口袋,4□□口=y

3

V3n

所以cos鄉(xiāng)=攜=嘉=,又因為小0?

一~22

所好

故選：C

【變式3-1]2.（2021秋?上海楊浦?上海市楊浦高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知四棱錐口-□□□￡,

。口口口為矩形，□□l^^UUUU,□口=3,口口=5,口口=4①，異面直線Z70與oa之間的距離

為

【答案】2夜

【分析】由條件計算各邊長度，將棱推補成長方體，在長方體找到公垂線段，求出長度即可.

【詳解】因為□□上平面口□口口,所以□□人口口,口口=5,口口=3,

所以￡7。=4,￡7/27=4①，所以￡70=4,

因為。O_L□□1OU,□□,口□=口口=4,口口=3

因此我們將四棱錐口-。?？?。構(gòu)建成長方體￡7000-□□□□.

接下來我們尋找異面直線006勺公垂線

￡70在平面的投影為□□,□□工□□,

易證DO_L平面￡70。，故得￡701口□,□□LUU,

連接口。，口口與口口^交于口,則為05勺中點，

作￡7中中點Z7,連接?！?,聃□□“□□,：.□□\□□,□□!.□□,

所以￡7。是￡7，的公垂線段,即￡7中長度就是異面直線口口與Z72之間的距離.

目口□=；□口=2盤,

故答案為：2V2.

【變式3-1】3.（2022秋?上海靜安??？计谀┱姐酢酢酢?4&&&,棱長為口，則棱0a所

在直線與直線間的距離為.

【答案】f/7

【分析】欲求棱04所在直線與面對角線所在直線間的距離，先找到這兩條直線的公垂線段，即與

這兩條直線都垂直相交的線段,在求出公垂線段的長度即可.

【詳解】如圖，取口口中點￡7,連接&￡7,

在正方悻口口□□-□]a4中，

因為ZZ7i/Z7i_L平面ZZ7ZZ7iZZ7￡7i,面□

所以a&iU.D,

又□、□1□□、3□]□C\□□、=口,

則aa是異面直線&a和〃a的公垂線，

因為，正方體。?？?。一&□、口、口[,棱長為。，

所以a

故答案為：f口

【變式3-1]4（2021秋?上海浦東新?上海師大附中?？计谀┰诶忾L為1的正方悻口□□□-口[口]口1□]

中，直線AC與直線&a的距離是_____.

【答案】1

【分析】在左方悻□□□□-口口】&a中，找到異面直線AC與直線&&的公垂線段，求其長度即可.

【詳解】如圖，取AC與aa的中點a0，

因為□□=口口受口逐中點,則OO1口□,同理口O_L,

所以直線AC與直線&&的距離為線段￡70長,

又□□=□□、=、，所以直線AC與直線a&的距離為1.

?類型2轉(zhuǎn)化法

【例題3-2】（多選）（2023秋?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？计谀┰谂綉K□□□□一口1口1口1口1中,

□□==2口口=2,則（）

A.與口a是異面直線B.0a與是異面直線

c.異面直線&&與oe的距離為1D.異面直線口口與口。的距離為萼

0

【答案】ABD

【分析】利用異面直線的定義判斷選項AB,求出異面直線&&與。於距離為2,即可判斷選項C,把異

面直線O&與。中]距離轉(zhuǎn)化為。。到平面的距離，再轉(zhuǎn)化為點。到平面ooa的距離，再利用

等體積法求解判斷.

【詳解】如圖所示，。口與是異面直線,。4與O4是異面直線，所以選項AB正確；

由正方體得O41平面,所以O(shè)41.又口口1所以O(shè)&是異面直線&&與

口木公垂線段，又□□、=2,所以異面直線&&與距離為2,所以選項C錯誤;

因為。。||口口，口口立平面□□□”□□、u平面□□□],所以?！?||平面Z7/74,所以到平面

□□口、的距離就是異面直線與勺距離，即點。到平面。的距離就是異面直線與口勺

距離?設(shè)距離為力，由題得O4=V22+12=后因為□□「□□□=□□-□□□、，jx2x1x2=g.；x

2s,：.h=:述.所以異面直線。&與Z7G）距離為堂,所以選項D正確.

D3

故選：ABD

題型4點到平面的距離

?類型1定義法

【例題4-1】（2023春?湖南?瀏陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓柱O4的上、下底面圓心分別為4,0,

底面圓直徑2,圓柱高為百，C是下底面圓周上一動點，連接。4,過作圓柱的截面，當(dāng)截面

與圓柱的下底面所成的角最小時，點。到截面的距離為（）.

A.亨B.yC.1D.與動點C的位置有關(guān)

【答案】A

【分析】根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，利用二面角的正切值分析得D點與C點重合時，二面角

最小，從而可求解.

【詳解】?.?截面過。a,.截面與圓柱的下底面的交線過C點，

設(shè)交線為I,連接口。，過點。向I引垂線，垂足點為D,連接&H,

則NOZ7&為截面與圓柱的下底面所成的角O,且tanZ7=等=%，

二要使a最小，則。怎大，而口口工口口=1,

此時D點與c點重合，平面&□口，且'在截面內(nèi)，從而截面垂直于平面a口□,

.?點。到截面的距離為點。到直線。0的距離"色=警=,

LJLJ\Z4

故選:A.

【變式4-1]1.（2023春?河南?清豐縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在直四棱柱。。?？谝豢?口]□[

中，四邊形OOO與平行四邊形，平面4001平面/7100.

（1）求證：￡701口口;

Q）若□□、=2口口=2□口=4,口,4分別為,0&的中點，求。到平面BDF的距離.

【答案】Q）證明見解析

⑵夜

【分析】（1）先證明出1平面■□口,再利用線面垂直的判定定理證明出口〃1口口；

（2）連接。1口，證明出口￡71平面BDF.進而求出點平面BDF的距離.

【詳解】（1）由題意知Oa1平面0/700,口口匚平苞□□□□,所以口口11口□.

過。在平面4口o內(nèi)作直線。014。；交a。于點G,

因為平面平面平面。1?！?0平面477/7=口,□□U平面口1口□,

所以O(shè)O1平面

又。Ou平面&Z7Z7,所以。ZZ71口□.

因為口1口（\口口=口,口、口,OOu平面&。口，所以Z7Z71平面40口，

又口□u平面.口口,所以加71口口.

（2）連接aZ7,由（1）知口□1口□,因為□口,所以。口口.

因為磔Z70中點，目=2口口=200=4,

所以&0=□[□=□口=口口=2,

□、口1□口,□[口=2V2,□口=2A/2,

口口=J22+（275）2=2V3,□]□=V42+22=2V5,

所以a爐+g=口?，因此a口，口口,又因為OZ7n□口=U,

所以打。1平面BDF.

因為R￡74的中點，所以點房!!平面BDF的距離為3^27=^x272=72.

【變式4-1]2.（2023?高一單元測試）在棱長為。的正方體?？?4。1a中，點。為等邊三

角形a。。中線4。上一點，記鼻!1平面a口、口□、平面aa。。以及平面口?？谥芯嚯x的平方和

為口,則廳勺最小值為

【答案】￥

[分析】作圖找到啰|」平面口、口1口□、平面口、口1。。以及平面?？?。。的距離對應(yīng)線段，結(jié)合器=

票=焉=De[0,1],黑=1-罪=黑得到B于x的關(guān)系式，由二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.

LJLJULJLJ\LJLJ\LJU\LJ

【詳解】由正方體的性質(zhì)知：&。在平面&40。平面以及平面oooo上的射影分別為

口、□,□,□,□□t

又。在&□上,故。在平面a□、□口、平面a□、￡7。以及平面。ooo上的射影a口,a分別在線段

□、□,□、□,ZZ7ZZZ_tI

所以〃=口療+口仃+口療,

個口、口=□□~□□_r~ic.rn11口口=1_口,口=□口曰r~ir~i=rin=-/~1/"7=0

胃口\口一□□一口「［，］，5口一口、口一□［□i耳—一QU'~2'

所以門口=以口=卜〃,S=￡7（1-0,故口=孚（行-R+?=字（。-乎+）,

當(dāng)。=|時，2勺最小值為，

故答案為：去

【變式4-1]3.（2023?高一課時練習(xí)）已知正方體□[口、&&的棱長為1,0是口4的中

點，則點O到平面口。&&的距離為.

【答案】4

【分析】利用幾何法，芭妾口皿于口.連接&O,取a中）中點口，連接DO.證明出。。即為

點0到平面OZ704的距離,進而求出OZ7.

【詳解】如圖示，連接口0交O4于￡7,連接取ao的中點O,連接口a

在正方悻□□□□一口1口1口、口1中,□□□]□[為正方形,所以1口、口,且口、口=；□]□=

:乒彳=冬

因為a4遹□□□、□[,□]□u畫□□口口],所以□口[1口、口.

因為aau面ooaa,□□、u面。oaa,□口□、=□、,

所以口遹口口口口.

因為a為。的中點，型&&的中點，所以□、□“□□、縣□□屋口、口矚

所以口□遹口口口回.

所以￡70即為點o到平面&的距離，

即點o到平面&的距離為9.

故答案為：y

【變式4-1】4.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，?！ㄊ侨忮F。-口口）勺高,線段。2勺中點為

□,日□□±口口,口口—口□—口□—2.

Q）證明：OO1平面OOZ27;

（2）求尊!|平面口。。的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵等.

【分析】（1）根據(jù)已知條件證明。。1口□,□□\□□,由直線與平面垂直的判定定理即可證明.

（2）法一：在平面?！?0中,過口點作口□]口口，硼□□:L平面□□□,再求值即可；法二：二倒平

面￡7。跳勺距離，是三棱錐。-￡70。的高，利用等體積法求解.

【詳解】（1）因為口口=□口,線段口。的中點為O,所以口口，

因為是三棱錐OOG勺高，所以。平面OOD,

因為OOu平面。OO,所以?？凇?

因為Z7Z7u平面Z7Z7Z7,口/Ju平面□□□,□□□=口,解以□□工平面□□口

（2）法一：（綜合法）

在平面,過□點作□□L□口，如圖所示,

p

B

因為口￡7_L平面OZ27O,OOu平面ODO,所以O(shè)ZZ71.□□.

因為。O_L□口,OOu平面￡700,U[Ju平面口口口,口口=口,所以□□1平面□□□.

在RtAZZZ/ZZDt3,口口=；口口=口療+口存=gx在+4=V2.

所以在RtADOOtf3,□□=廳+=V4+2=V6,

所以口口=匹篙=緣=坐，所以儂」平面。叱元勺距離為等.

LJLJVOo3

法二：（等體積法）

設(shè)。到平面DZ7。的距離為口，則在R3Z7DD中,口口=；口口=□仃+g=；xV4+4=夜.

在砰口乙沖,□□=三口