PAGEPAGE15基本初等函數的導數素養目標學科素養1.能依據導數的定義推導常用函數的導數．2．駕馭基本初等函數的導數公式．(重點)3．利用基本初等函數的導數公式解決有關問題．(難點)1.數學抽象；2．邏輯推理；3．數學運算情境導學高鐵是目前特別受歡迎的交通工具，既低碳又快捷．設一高鐵走過的路程s關于時間t的函數為s＝f(t)，求它的瞬時速度，即f(t)的導數．依據導數的定義，運算比較困難，是否有更好的求導方法呢？1．幾個常用函數的導數函數用定義法求導數y＝f(x)＝cy′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(c－c,Δx)＝0y＝f(x)＝xy′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx－x,Δx)＝1y＝f(x)＝x2y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x＋Δx)＝2xy＝f(x)＝x3y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2y＝f(x)＝eq\f(1,x)y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2＋x·Δx)))＝－eq\f(1,x2)y＝f(x)＝eq\r(x)y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\f(1,2\r(x))推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)若f(x)＝2，則f′(x)＝2.()×提示：f′(x)＝0.(2)若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x2.()×提示：f′(x)＝2x.(3)若f(x)＝x－1，則f′(x)＝－eq\f(1,x2).(√)2．基本初等函數的導數公式(1)若f(x)＝c(c是常數)，則f′(x)＝0；(2)若f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，則f′(x)＝αxα－1；(3)若f(x)＝sinx，則f′(x)＝cosx；(4)若f(x)＝cosx，則f′(x)＝－sinx；(5)若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝axln_a；特殊地，f(x)＝ex，則f′(x)＝ex；(6)若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝eq\f(1,xlna)；特殊地，f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x).推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3).()×提示：∵sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)(常數)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝0.(2)(2x)′＝x2x－1.()×提示：(2x)′＝2xln2.(3)(lnx)′＝eq\f(1,x).(√)1．函數f(x)＝0的導數是(A)A．0 B．1C．不存在 D．不確定2．若函數f(x)＝x，則f′(2)＝()A．0 B．1C．2 D．不存在B解析：f′(x)＝1，∴f′(2)＝1.3．若函數f(x)＝x2，則曲線y＝f(x)在x＝eq\f(1,2)處的切線斜率為()A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．不存在B解析：∵f′(x)＝2x，∴k＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＝1.4．若函數y＝10x，則y′|x＝1等于()A．eq\f(1,10) B．10C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)C解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.5．給出下列命題：①若y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②若y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③若y＝2x，則y′＝2xln2；④若y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).其中正確命題的個數為()A．1 B．2C．3 D．4C解析：對于①，y′＝0，故①錯；對于②，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故②正確；明顯③④正確，故選C．【例1】求下列函數的導數：(1)y＝x12；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝eq\r(5,x3)；(4)y＝7x；(5)y＝log5x.解：(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\f(3,5))′＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5).(4)y′＝(7x)′＝7xln7.(5)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5).1．若所求函數符合導數公式，則干脆利用公式求解，公式法最簡捷．2．對于不能干脆利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導”的基本原則，避開不必要的運算失誤．比如對帶根號的函數，一般先將其轉化為分數指數冪，再利用公式(xα)′＝αxα－1進行求導．3．要特殊留意“eq\f(1,x)與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導數區分．若g(x)＝log3x,則g′(x)＝eq\f(1,xln3).【例2】已知質點的運動方程是s＝sint.(1)求質點在t＝eq\f(π,3)時的速度；(2)求質點運動的加速度．解：(1)∵v(t)＝s′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即質點在t＝eq\f(π,3)時的速度為eq\f(1,2).(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程對時間的導數，加速度是速度對時間的導數．2．求函數在某定點(點在函數曲線上)的導數的步驟：(1)先求函數的導函數；(2)把對應點的橫坐標代入導函數求相應的導數值．1．求函數f(x)＝eq\f(1,\r(3,x))在(1,1)處的導數．解：∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))′＝(x－eq\f(1,3))′＝－eq\f(1,3)x－eq\f(4,3)＝－eq\f(1,3\r(3,x4))，∴f′(1)＝－eq\f(1,3\r(3,1))＝－eq\f(1,3).2．求函數f(x)＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))處的導數．解：∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).探究題1求過曲線f(x)＝cosx上一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))且與曲線在這點的切線垂直的直線方程．解：因為f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx.則曲線f(x)＝cosx在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))的切線斜率為f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以所求直線的斜率為eq\f(2\r(3),3)，所求直線方程為y－eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\f(2\r(3),3)x－eq\f(2\r(3),9)π＋eq\f(1,2).探究題2分別求雙曲線y＝eq\f(1,x)與拋物線y＝x2的交點處的切線方程．解：易求得雙曲線y＝eq\f(1,x)與拋物線y＝x2的交點為(1,1)．雙曲線y＝eq\f(1,x)在交點處的切線的斜率為y′|x＝1＝－1，故切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.拋物線y＝x2在交點處的切線的斜率為y′|x＝1＝2，故切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.求曲線方程或切線方程時，應留意：(1)切點是曲線與切線的公共點，切點坐標既滿意曲線方程也滿意切線方程；(2)曲線在切點處的切線的斜率，即對應函數在該點處的導數．(3)必需明確已知點是不是切點，假如不是，應先設出切點．已知函數y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝________.eq\f(1,e)解析：設切點為(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，∴k＝eq\f(1,x0)，∴y＝eq\f(1,x0)·x.又點(x0，y0)在曲線y＝lnx上，∴y0＝lnx0，∴lnx0＝eq\f(x0,x0)，∴x0＝e，∴k＝eq\f(1,e).1．函數y＝x2在x＝1處的導數是()A．0 B．1C．2 D．3C解析：易得y′＝2x，故函數y＝x2在x＝1處的導數是2×1＝2.故選C．2．已知f(x)＝lnx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))的值為()A．1 B．－1C．e D．eq\f(1,e)C解析：由f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x).所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,\f(1,e))＝e.故選C．3．函數f(x)＝x3，f′(x0)＝6，則x0＝()A．eq\r(2) B．－eq\r(2)C．±1 D．±eq\r(2)D解析：∵f′(x)＝3x2，∴3xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝±eq\r(2).故選D．4．(多選)下列結論正確的是()A．若f(x)＝0，則f′(x)＝0B．若f(x)＝cosx，則f′(x)＝sinxC．若f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(x)＝－eq\f(1,x2)D．若f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x)ACD解析：對A，f(x)為常數，明顯成立；對B，f′(x)＝－sinx，故B錯誤；對C，D，明顯都成立．故選ACD．5．求下列函數的導數：(1)y＝eq\r(x3)；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))；(3)y＝(eq\r(3))x.解：(1)y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)x.(2)∵y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(3)y′＝[(eq\r(3))x]′＝(eq\r(3))xlneq\r(3)＝eq\f(1,2)(eq\r(3))xln3.

1．由定義求出的常用函數的導數可作為公式干脆運用．2．熟記基本初等函數的導數公式．3．留意區分f(x)＝ax(a>0，且a≠1)及f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的導數：(ax)′＝axlna，(logax)′＝eq\f(1,xlna).課時分層作業(十四)基本初等函數的導數(60分鐘100分)eq\f(基礎對點練,基礎考點分組訓練)學問點1幾個常用函數的導數公式的應用1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，則α等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)D解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝eq\f(1,4).2．(5分)給出下列結論：①若f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(x)＝－eq\f(3,x4)；②若f(x)＝eq\r(3,x)，則f′(x)＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若f(x)＝3，則f′(1)＝0.其中正確的個數是()A．1 B．2C．3 D．03．(5分)(多選)在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點的坐標為()A．(1,1) B．(－1，－1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))AB解析：切線的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，設切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切點坐標為(1,1)或(－1，－1)．故選AB．4.(5分)已知拋物線C：y＝x2，過第一象限的點(a，a2)作拋物線C的切線l，則直線l與y軸的交點的坐標為________．(0，－a2)解析：明顯點(a，a2)為拋物線C：y＝x2上的點，∵y′＝2x，∴直線l的方程為y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直線l與y軸的交點的坐標為(0，－a2)．學問點2基本初等函數的導數5．(5分)若函數f(x)＝cosx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A．0 B．1C．－1 D．eq\f(π,2)C解析：∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－sineq\f(π,2)＝－1.6．(5分)已知函數f(x)＝2－x，則f′(x)＝()A．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlog2eD．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xeq\f(1,ln2)A解析：∵f(x)＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，∴f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2.7．(5分)給出下列結論：①(cosx)′＝sinx；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3)；③若y＝eq\f(1,x2)，則y′＝－eq\f(1,x)；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq\f(1,2x\r(x)).其中正確的個數是()A．0 B．1C．2 D．3B解析：因為(cosx)′＝－sinx，所以①錯誤．sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②錯誤.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝eq\f(－2,x3)，所以③錯誤.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,\r(x))))′＝＝eq\f(1,2x\r(x))，所以④正確.8.(5分)已知直線y＝kx是曲線y＝3x的切線，則k的值為________．eln3解析：設切點為(x0，y0)．因為y′＝3xln3，①所以k＝3x0ln3，所以y＝3x0ln3·x.又因為(x0，y0)在曲線y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，②所以x0＝eq\f(1,ln3)＝log3e.所以k＝eln3.9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝________.1解析：因為f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去)．故x＝1.10.(5分)直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x＞0)的一條切線，則實數b＝________.ln2－1解析：設切點坐標為(x0，y0)，則y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.eq\f(實力提升練,實力考點適度提升)11．(5分)設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2020(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosxC解析：f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4為最小正周期，故f2020(x)＝f4(x)＝cosx.A．64 B．32C．16 D．813.(5分)點P是f(x)＝x2上隨意一點，則點P到直線y＝x－1的最短距離是________．eq\f(3\r(2),8)解析：與直線y＝x－1平行的f(x)＝x2的切線的切點到直線y＝x－1的距離最小．設切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4).即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直線y＝x－1的距離最短．∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),8).14.(5分)下列結論正確的有________．①若f(x)＝x4，則f′(2)＝32；②若f(x)＝eq\f(1,\r(x))，則f′(2)＝－eq\f(\r(2),2)；③若f(x)＝eq\f(1,x2·\r(x))，則f′(1)＝－eq\