11.1空間幾何體一、單選題1．已知正三棱錐的側棱與底面邊長的比值為，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐的高為（

）A．1 B． C． D．2．《九章算術》是我國古代的數學專著，是“算經十書”（漢唐之間出現的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．3．廡殿頂是中國古代傳統建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”，如圖（1）所示.現有如圖（2）所示的廡殿頂式幾何體，其中正方形邊長為3，，且到平面的距離為2，則幾何體的體積為（

）A． B． C． D．4．已知斜三棱柱中，O為四邊形對角線的交點，設四棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則（

）A． B． C． D．5．如圖，為球形物品設計制作正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒，最少用料分別記為，則它們的大小關系為（

）A． B．C． D．6．榫卯結構是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個結構能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．7．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖、八角攢尖．如圖是圓形攢尖，可近似看作圓錐與圓柱的組合體（圓錐與圓柱的底面重合且半徑相等），已知此組合體中圓柱底面的半徑為4，圓錐與圓柱的高相等，若圓錐的頂點與圓柱的上、下底面圓周都在同一個球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．8．我國南北朝時期的著名數學家祖晅提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等．運用祖暅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即．圖3是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，類比上述半球的體積計算方法，運用祖暅原理可求得該帳篷的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知直四棱柱的側棱長為3，底面是邊長為2的菱形，為棱上的一點，且為底面內一動點（含邊界），則下列命題正確的是（

）A．若與平面所成的角為，則點的軌跡與直四棱柱的交線長為B．若點到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C．若以為球心的球經過點，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D．經過三點的平面截直四棱柱所得的截面面積為410．圖1中的掃地機器人的外形是按照如下方法設計的：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形．德國工程師勒洛首先發現這個曲邊三角形能夠像圓一樣當作輪子用，故稱其為“勒洛三角形”．將其推廣到空間，如圖2，以正四面體的四個頂點為球心，以正四面休的校長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體叫做“勒洛四面休”．則下列結論正確的是（

）A．若正三角形的邊長為，則勒洛三角形面積為B．若正三角形的邊長為，則勒洛三角形的面積比正三角形的面積大C．若正四面體的棱長為2，則勒洛四面體能容納的最大球的半徑為D．若正四面體的棱長為2，則勒洛四面體表面上交線的長度小于11．在正四棱臺中，，，為棱上的動點（含端點），則下列結論正確的是（

）A．四棱臺的表面積是B．四棱臺的體積是C．的最小值為D．的最小值為12．如圖，在直三棱柱中，，側面的對角線交點O，點E是側棱上的一個動點，下列結論正確的是（

）

A．直三棱柱的側面積是B．直三棱柱的外接球表面積是C．直三棱柱的內置球的最大表面積為D．的最小值為三、填空題13．已知棱長相等的正三棱錐底面的三個頂點均在以為球心的球面上（其中為的中心），球面與棱分別交于點．若球的表面積為，則多面體的體積為．14．不計容器壁厚度的有蓋立方體容器的邊長是1，向其中放入兩個小球，則這兩個小球的體積之和的最大值是.15．如圖，表示水平放置的的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為.16．早期的畢達哥拉斯學派學者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構成四種規則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個等邊三角形組成的正多面體，共有12個頂點，30條棱，20個面，是五個柏拉圖多面體之一．如果把按計算，則該正二十面體的外接球半徑與棱長的比為；該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于．四、解答題17．已知圓錐的頂點為，母線所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為.(1)求該圓錐的側面積；(2)求圓錐的內切球的表面積；(3)求該圓錐的內接正四棱柱的側面面積的最大值.18．下圖是一塊圓錐體工件，已知該工件的底面半徑，母線，

(1)是圓的一條直徑的兩個端點，母線的中點，用軟尺沿著圓錐面測量兩點的距離，求這個距離的最小值；(2)現將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，求這個正方體體積.19．如圖，在高為2的正三棱柱中，是棱的中點．(1)求該正三棱柱的體積；(2)求三棱錐的體積；(3)設為棱的中點，為棱上一點，求的最小值．20．《九章算術·商功》:“斜解立方，得兩塹(qiàn)堵(dǔ).斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉(biē)臑(nào).陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣.”劉徽注:“此術臑者，背節也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云·中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數，數同而實據半，故云六而一即得.”陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑.(1)在下左圖中畫出陽馬和鱉臑(不寫過程，并用字母表示出來)，求陽馬和鱉臑的體積比;(2)若:①在右圖中，求三棱錐的高.②求三棱錐外接球的表面積.21．（1）已知的直觀圖是邊長為a的正三角形.求原三角形的面積；（2）如圖，是水平放置的斜二測畫法的直觀圖，能否判斷的形狀；（3）若（2）中的邊A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是多少？22．如圖，幾何體為一個圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合，圓錐的頂點為P，圓柱的上、下底面的圓心分別為、，且該幾何體有半徑為1的外接球（即圓錐的頂點與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上），外接球球心為O．(1)若圓柱的底面圓半徑為，求幾何體的體積；(2)若，求幾何體的表面積．參考答案：1．B【分析】根據球心到底面的距離、底面三角形的外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理，求得，然后可得棱錐的高.【詳解】如圖，為等邊三角形，設為中點，面，，則，所以，設三棱錐外接球的半徑為，由正棱錐的性質可知球心為在上，則，即，所以.由，解得.所以三棱錐的高為.故選：B.

2．C【分析】由已知條件確定球心的位置，根據球的半徑求得棱柱的高，可計算表面積.【詳解】設，的中點分別為，，連接，取的中點．直三棱柱中，，，四邊形是平行四邊形，有，因為三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分別是，的外接圓圓心．因為平面，所以平面，所以為的外接球的球心．連接，因為球的表面積為，所以球的半徑為1，即，，則，，可得，，所以三棱柱的表面積，故選：C．3．D【分析】取的中點分別為，把可得幾何體分割為一個三棱柱和一個四棱錐，結合柱體和錐體的體積公式，即可求解.【詳解】取的中點分別為，連接，可得幾何體分割為一個三棱柱和一個四棱錐，將三棱柱補成一個上底面與矩形全等的矩形的平行六面體，可得該三棱柱的體積為平行六面體的一半，則三棱柱的體積為，四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選：D.4．B【分析】先過O往上、下底面作高，然后把體積比通過割補法轉化即可.【詳解】設點O到底面、的距離分別是,三棱柱的高為,且,∴,∴，故選:B.5．B【分析】由題意包裝盒的最少用料為球形物品的外切多面體，根據多面體的結構特征求出正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒的內切球半徑與其表面積的關系，再進行比較.【詳解】由題意包裝盒的最少用料為球形物品的外切多面體，下面求正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒的內切球的半徑與其表面積的關系.設球形物品的半徑為，則正方體的棱長為，表面積；設正四面體的棱長為，則正四面體的表面積為，如圖正四面體，由正四面體的對稱性與球的對稱性可知內切球的球心在正四面體的高上，如圖，底面等邊三角形的高，外接圓半徑，正四面體的高，體積，所以，又，所以，所以正四面體的表面積；設正八面體的棱長為，如圖，在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，四邊形為正方形，，在中，，則該正八面體的體積，該八面體的表面積，因為，即，解得，所以，所以.故選：B.6．C【分析】根據幾何體的結構特征可知球心在直線上，由勾股定理可得，進而可得，進而，即可求解，由體積公式即可求解.【詳解】如圖，分別過點作的垂線，垂足分別為，連接，則，故.取的中點，連接，又，則.由對稱性易知，過正方形的中心且垂直于平面的直線必過線段的中點，且所求外接球的球心在這條直線上，如圖.設球的半徑為，則，且，從而，即，當點在線段內（包括端點）時，有，可得，從而，即球心在線段的中點，其半徑.當點在線段外時，，解得（舍）.故所求外接球的體積.故選：C

7．D【分析】畫出示意圖，根據線段數量關系即可求解.【詳解】如圖，是圓錐的錐頂，是圓柱上底面的圓心，是圓柱下底面的圓心，是圓球的圓心，是圓柱上底面和圓球的交點，，

設圓錐和圓柱的高為，則，，因為，所以，所以，所以球的半徑為，所以球的體積為.故選：D.8．D【分析】由圖利用幾何關系先求截面為的面積為，再求四邊形面積為，然后由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積計算即可.【詳解】設截面與底面的距離為h，在帳篷中的截面為，設底面中心為O，截面中心為，則，所以，所以截面為的面積為．設截面截正四棱柱得四邊形為，截正四棱錐得四邊形為，底面中心O與截面中心之間的距離為，在正四棱柱中，底面正方形邊長為，高為，所以，所以為等腰直角三角形，所以，所以四邊形邊長為，所以四邊形面積為，所以圖2中陰影部分的面積為，與截面面積相等，由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，即．故選：D．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是理解祖暅原理，結合圖形帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積計算.9．AD【分析】判斷P點軌跡與直四棱柱的交線，根據弧長公式求解判斷A，判斷P點位置求出體積最大值判斷B，計算球與直四棱柱公共部分體積判斷C，利用，求得，得出四邊形面積判斷D.【詳解】如圖，對于A，可知的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點的軌跡與直四棱柱的交線為圓弧，圓弧長為，故A正確．對于B，可知點在線段上，所以當點與點重合時，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯誤．對于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯誤．對于D，經過三點的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設的中點為的中點為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．故選：AD10．BC【分析】對于A，由圖可知勒洛三角形的面積為個扇形面積減去個正三角形面積，對于B，根據扇形的面積公式計算判斷，對于C，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，由于正四面體的棱長為，其可以在棱長為的正方體中截出，從而可求得結果，對于D，由對稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點，然后利用余弦定理求解.【詳解】A選項：由題意可知：，以為圓心的扇形面積是，的面積是，則勒洛三角形的面積為個扇形面積減去個正三角形面積，即，所以A錯誤；B選項：設圓半徑為，如圖，

易得的面積為，陰影部分面積為，B正確；C選項：根據題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，設點為該球與勒洛四面體的一個切點，為該球球心，

所以，由四面體的性質可知該球球心為正四面體的中心，半徑為，連接，則，，三點共線，此時，為正四面體的外接球的半徑，由于正四面體的棱長為，其可以在棱長為的正方體中截出，所以正四面體的外接球的半徑為棱長的正方體的外接球半徑，即正方體體對角線的一半，所以，則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑；C正確；D選項，由對稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長度大于，D錯誤；故選：BC11．ABD【分析】求出四棱臺的表面積即可判斷A；由正四棱臺的體積公式計算出體積，即可判斷B；將側面展開在同一平面，結合余弦定理即可判斷CD．【詳解】對于A，由題可知，四邊形為正方形，所以，分別取的中點，則為側面高，因為側面為等腰梯形，側面高，所以一個側面的面積為，故正四棱臺的表面積為，故A正確；對于B，連接，取中點，連接，過點作，則正四棱臺的高為，，則，在梯形中，，所以四棱臺的體積，故B正確；

對于C，將側面展開且處于同一平面，連接與交于點，如圖所示，則，所以，由上述結論可知，，由余弦定理得，，解得，則，所以，因為為棱上的動點（含端點），所以點不能共線，所以，故C錯誤；對于D，當點共線時，最短，由余弦定理得，，解得，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD．

12．ABD【分析】利用余弦定理求得，即可求得側面積，可判斷A；利用正弦定理求的外接圓半徑，由直棱柱性質可得外接球球心到底面的距離為1，進而可得球的半徑，可判斷B；當內置球與側面相切時，利用三角形面積公式求的內切圓半徑，然后比較與上下底面相切時的內切球半徑即可得最大內置球的半徑，可判斷C；將側面展開，根據三點共線時路徑最短可判斷D.【詳解】對于A，由余弦定理得，所以，所以直三棱柱的側面積為，A正確；對于B，由正弦定理可得底面的外接圓半徑，易知直三棱柱的外接球球心到底面的距離為1，所以，外接球半徑，所以外接球表面積為，B正確；對于C，若內置球與上下底面相切，則半徑為1；若內置球與三個側面相切，由截面圖可知，該球半徑等于的內切圓半徑，由三角形面積公式可得，解得，因為，所以直三棱柱的內置球的最大半徑為，所以直三棱柱的內置球的最大表面積為，C錯誤；

對于D，將側面繞著旋轉到與側面共面的位置，如圖，則當共線時，取得最小值，D正確.

故選：ABD13．/【分析】首先利用正四面體和球的關系，利用正弦定理求出正四面體的棱長及，作，利用幾何關系得到，再利用體積公式及比列關系求出多面體的體積即可．【詳解】設球的半徑為，由，得，依題意，三棱錐為正四面體，且，設正四面體的棱長為．在等邊三角形中，由正弦定理可得，即，解得，因為平面，平面，所以，所以，作，垂足為H，在中，由，得，所以在中，，因為，，所以為線段的中點，所以，所以，依題意，多面體為正三棱臺，所以，即，又，所以正三棱臺的體積為，故答案為：．14．【分析】根據正方體內切球的特征結合球的體積公式及二次函數性質求最值計算即可.【詳解】如上圖所示，當兩個小球內切于正方體，且兩個小球也相切，球心位于體對角線上時球的體積可取最大，設兩個小球的半徑分別為，作出橫截面如下圖，不妨設分別切于，則有，不妨設，易知，則，則兩球體積之和為，又，顯然當時取得最大值，此時.故答案為：.15．【分析】根據斜二測畫法，，表示其面積，求出答案.【詳解】設的邊上的高為，由斜二測畫法原理可得，所以，又，所以.故答案為：.16．//【分析】首先把正二十面體的外接球轉化成正五棱錐的外接球.設正五棱錐棱長為，利用正弦定理求出正五棱錐的外接圓半徑，再利用勾股定理求出正五棱錐的高，然后可求正五棱錐的外接球半徑：.即可求所對應的比.【詳解】如圖，這個正二十面體上方的一個正五棱錐：則正二十面體的外接球就是這個五棱錐的外接球.不妨設正二十面體的棱長為2.如圖：正五邊形的外接圓半徑就是黃金的外接圓半徑，設為，則.則到正五邊形中心的距離為：.設正二十面體的外接球半徑為，則.所以正二十面體的外接球半徑與棱長的比為：.正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比：.故答案為：；【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是把正二十面體的外接球轉化為正二十面體上方的一個正五棱錐的外接球，然后求正五棱錐的外接球半徑和棱長的關系.17．(1)(2)(3)【分析】（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為、，依題意可得，再由的面積求出，即可得到，從而求出側面積；（2）作出軸截面，利用三角形相似求出內切球的半徑，即可求出球的面積；（3）令正四棱柱的底面邊長為，高為，由三角形相似得到，再由側面積公式及基本不等式計算可得.【詳解】（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為、，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為，則，解得，又，所以，又因為的面積為，，解得（負值舍去），又，所以，圓錐的側面積.（2）作出軸截面如圖所示：根據圓錐的性質可知內切球球心在上，設球心為，切于點，設內切球半徑為，即，則，所以，由（1）可知，圓錐的高，，則有，解得，所以圓錐的內切球的表面積；（3）由（1）知圓錐的高，令正四棱柱的底面邊長為，高為，則，由得，，所以正四棱柱的側面積，當且僅當，即時等號成立，所以該圓錐的內接正四棱柱的側面面積的最大值為.18．(1)(2)【分析】（1）把圓錐的側面自母線剪開展開在平面內，再利用余弦定理求解作答.（2）確定正方體與圓錐的關系，再沿正方體的對角面作出圓錐的軸截面，并求出正方體的棱長，求出體積.【詳解】（1）將圓錐的側面自母線剪開展開在平面內，得到扇形，則點為弧的中點，如圖，

依題意，