第一章古典代數以研究代數方程求解為中心，其歷史源遠流長。19世紀初，年輕數學家伽羅華（Galois）應用群的概念對高次代數方程是否可用根式求解問題進行了透徹研究并給出了明確回答，他成為抽象代數新思想的啟蒙者。隨后，這種把代數變成集合論的、公理化的科學的改造不斷強化，產生了很多新的方法、新的觀點、新的結果。到了20世紀20年代，數學最古老的分支之一的代數學完成了一次根本性的革命，完成了初等代數到近世代數的“飛躍”，即從研究數的運算到研究抽象代數系統的結構之“飛躍”。他的標志是范德瓦爾登的《近世代數學》一書的出版。時至今日抽象代數已經成為很多數學分支中最常用的工具，空前普及。以至近年來，人們不再把這門學問冠以“近世”“抽象”等高貴頭銜，而樸素地稱它為“一般代數學”“基礎代數學”甚至“代數學”。本書仍稱為《抽象代數》只是想把它與僅僅討論以數為對象的那種經典代數加以區別。抽象代數是數學中最適合于自學的學科之一，本課程只假定讀者學過中學代數并知道一點矩陣運算規則，此外不要求任何高等數學內容作為準備知識。學好本課程的關鍵在于對“公理化方法”實質和一些重要抽象概念的理解。切忌把抽象代數單純作為“知識”來學，平均使用力量，每個定義都能背下來，但沒有一個能“悟出真諦”。學習抽象代數的一個重要目的就是要提高“抽象思維”能力。本書共7章，本人將著重介紹二、三、四、五、六章，第一張過于基礎，都是些普通的概念，第七章的內容已在《GaloisTheory》中詳細介紹。大致內容包括：群，環，域，三個方面，三、四章主要介紹群的定義，及幾類特殊群；第四章介紹了群同態——僅僅是保運算的一種n對1的對應關系，n取決于ker中元素個數。同樣第四章完成的是環的這方面的介紹。第五章主要是對域的一些定義性的介紹，以及如何構造域，當然也對多項式環做了一點介紹，主要是為第六章研究多項式分解做一點鋪墊。學完抽象代數印象最深的就是代數系統的定義方式，僅僅是滿足幾條公理的體系，以至于學拓撲感覺很代數，很親切！再一個就是同態的那種對應關系，看似復雜的定理形式實際的內涵確實如此的簡單，明了！第一章集合映射和關系這一章是抽象代數的基礎，也差不多是所有現代數學分支的基礎。大家一定早已熟練，在此只簡要介紹。1.1集合定義：集合、元素、集合相等、空集、子集合、真子集、冪集（集合A的所有子集所形成的集合）、并集、交集在此略下。子集族：設J是一個非空集合（可以有無限多個元素），每個j∈J對應集合S的一個子集Aj，則通常說，Aj是S的一個以J標號的子集族，J稱為指標集。當然還有子集族的交集和并集，余集的定義在此也略下。1.2笛卡兒積和關系定義1對任意集合A和B，集合A*B={（a，b）la∈A,b∈B}稱為A,B的笛卡兒積。（從實數到實數對的構造方法）定義2設A,B都是集合。任取笛卡兒積A*B的一個子集R，我們都說確定了A和B的一個關系R。對任意a∈A，b∈B，如果（a，b）∈R，則說a和b有R關系，記為aRb。（一個新的定義）1.3等價關系、分類和商集定義1等價關系（在高等代數已介紹過，在此略下）定義2設~是集合A上的一個等價關系，對每個x∈A，稱A的子集Sx={yly~x}為元素x的等價類。命題1.3.1符號如定義2所設，則對于任意x∈A，Sx非空；對任意x，y∈A，若Sx≠Sy，則必有Sx∩Sy=?；A恰為其所有不同等價類的并集。（這個命題很不一般，直接推導出拉格朗日（Lagrange）定理：有限群G的任意子群H的階數一定整除G的階數）（證明：首先A的所有元素都在一個等價類里，就算每個元素自己在一個等價類里x~x（反身性），其次假如Sx與Sy交非空，則由等價關系的傳遞性必有Sx=Sy。每個A中的任意元素都分到一個等價類里，且只能在一個等價類里）命題1.3.2若有集合A的一個分類，既有A的子集族Si，i∈△滿足（1）Si∩Sj=?，i≠j，（2）A=∪Si，規定，對任意a，b∈A，a~b當且僅當a，b屬于同一Si，則~為A上等價關系，且諸Si，i∈△恰為~對應的不同的等價類。（根據定義證明比較平凡）定義3設~是集合A上的一個等價關系。說A的子集T是關系~下的一個等價類表示的完全集，如果T中不同元素的等價類也不同，且A=∪St。定義4設~是集合A上的等價關系，T是關系~之下的一個完全集則集合A（上一短線）={Stlt∈T}稱為對等價關系~的商集（等價類為元素的集合，和以后的商群，商環稍有聯系,都是集合的集合）1.4映射首先可以定義映射關系，映射定義略，和以前了解的一樣。定理1.4.1十分平凡，恒等映射、嵌入映射、投影（笛卡兒積A*B到A或B的映射）、等價關系確定的自然映射（元素對應其等價類的映射）在此只簡述。引理1.4.1對任意m∈I，恒有q，r∈I使得m=qn+r，0≤r＜n。而且，滿足上述要求的q，r均由m唯一確定。（高等代數的多項式中早已介紹過更一般的結論）映射像Img（f），單、滿、雙射、復合映射、復合映射滿足結合律、單射滿射的復合依舊是單射和滿射、g*f是滿射，則g是滿射；g*f是單的，則f是單的、可逆映射、定理1.4.2：映射f是可逆的，必要而只要f是雙射。逆映射都不詳述。命題1.4.6設f：A→B，對B的任意子集T，都有f（f原像（T））=T∩Img（f）。（f不一定是滿射，這條命題在3.3節有個小應用，命題3.3.7，類似的群的映射結論）1.5置換只含有限個元素的集合稱為有限集，非空有限集A到A本身的可逆映射稱為A上的置換，也說是A的一個置換。（就是可逆變換）定義一數碼1,2，……，n的每一個有確定次序的排列稱為一個n。在一個n排列中，如果較大的數排在較小的數之前，則說這兩個數構成了一個反序，該排列中出現的反序的個數稱為它的反序數。（和高代行列式中的定義一樣，和之后已證的結論也一樣）以下結論不予證明:命題1.5.2若把一個n排列中某相鄰兩數碼互換位置，則所得到的新排列的反序數與與原排列的反序數差1.命題1.5.3當n＞1時，n！個n排列中，反序數為偶數者恰有一半（任何人對奇偶排列都沒有偏見）命題1.5.4將一n排列之兩數碼（未必相鄰）對調，得到的新排列與原排列的反序數奇偶性相反。排列為偶數的置換稱為偶置換，反之為奇置換。命題1.5.5可由命題1.5.6平凡推出。兩個奇偶性相同的置換復合后必為偶置換，兩個奇偶性相反的置換復合后必為奇置換。（復合為序數的和差）命題1.5.7置換p的逆映射（在此稱為逆置換）p逆與p的奇偶性相同。（由P的定義顯然）1.6運算在抽象代數中，所說的運算是以千差萬別的集合為對象的，不只限于數的運算而已。定義1設S是非空集合，把S*S到S的映射稱為S上的二元運算，簡稱為S的運算。（定義很簡單，不過需要特別注意兩點，1，運算封閉；2，相同元素對應的運算結果相同，良定義。還有以后在判斷是否構成群的時候首先要注意規定的運算是否合理，是否是二元運算！）接下來的工作是延照高等代數第一章多項式的內容，定義整除，再簡略介紹點相關的結論，在此僅摘錄，證明及解釋可參看高等代數第一章的總結。定義若一個整數a可以表示成a=bc，其中b和c都是整數，則說b和c是a的因子，或說它們能整除a，記為bla，cla。如果正整數p不等于0,1且它只有因子1和p，則稱p為素數。引理1.6.1任意兩個非零整數a，b恒有最高公因子d，且必有s，t∈I使d=sa+tb。（高代定理1.3.2）引理1.6.2設b為正整數，a為任意整數，則a和b的最高公因子d可表為d=sa+tb，s，t∈I，0≤s＜b（這條引理稍有新意，在原有的上一條引理的基礎上d=ja+hb，將j用b帶余分解，再合并同類項既得）推論設p為素數。對任意i*∈Ip，如果i≠0，則必有j＜p使i*×j*=1*（此條的證明相對簡單，應用卻在Ip（p為素數）構成群上十分廣泛）結合律及交換律的定義就不多說了！第二章第二章群與子群一個集合，對于它上的一個運算，滿足結合律等幾條極簡單又極自然的要求，即說該集合對這個運算構成群。群是抽象代數最先遇到的代數系統，很基礎，是學習以后內容的前提，也是很有代表性的一個，很有代數的風格。2.1群的定義定義1一個集合G和G上的一個運算·滿足下列條件，則說G對·構成群，或說（G，·）是個群，在不致引起混亂時,也可簡單地說，G是個群：（0）·是二元運算；（1）結合律；（2）有恒等元，即有e∈G，使對任意a∈G，都有e·a=a·e=a；（3）每個元都有逆元素，即對任意a∈G，都有b∈G使得a·b=b·a=e。（封閉，結合律，有單位元，再加上有逆元，使得群內任意元素都能建立關系，比方說環在乘法下就沒有這么好的性質）下面，我們來看，一個群具有怎樣的簡單性質。將來，一旦驗證了某個集合及其上的一個運算滿足了群的定義中的三條要求，那么，它就一定有這些性質，就不需每次都來證明它有這種共性了。這正是公理化方法的優點。命題2.1.1設（G，·）是個群，那么G中任意元素a只有唯一的一個逆元素。（證明的手法是拆分單位元，在以后證明唯一性的時候經常遇到）命題2.1.2設G是個群。對任意a，b∈G有（a逆）逆=a，b逆a逆=（ab）逆。（很平凡，根據定義驗證就可以）命題2.1.3設G為群。對任意a，b，c∈G，ab=ac，蘊涵b=c，ba=ca蘊涵b=c，并分別稱為左，右消去律。（有逆元即滿足消去律，無逆的系統就沒有這么好的性質。而對于有限的集合，還可以自己證明二元運算滿足左右消去律的還能推出有逆元，和單位元，即構成群；對于二元運算滿足分配律的，如環，滿足消去律等價于無零因子）推論略定理2.1.1設·是集合G上的一個運算，只要他滿足（1）結合律；（2）有左單位元；（3）有左逆。則（G，·）是個群("削減"了群的形成條件，在以后經常會由此推出集合為群。證明的主要手法是拆分e，再加上考慮每個元素的左逆即可湊出所要得出的結論，最好自己證一下，加深印象)定理2.1.2設·是集合G上的一個運算且滿足結合律。那么（G，·）是個群，必要而只要，對任意a，b∈G都有唯一的c，d∈G使得a·c=b，d·a=b（這條等價條件應用比較少，形式上很容易能推出單位元和逆）命題2.1.4對任意正整數n，都有a^(-n)=(a^-1)^n（平凡）命題2.1.5設a是群G的一個元素。對任意的m，n都必有a^m·a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^mn.（平凡）群（G，·）的運算通常稱為乘法。當群的運算·滿足交換律時，則稱之為交換群或阿貝爾（abel）群。交換群的運算可稱之為加法。單位元稱為零元素，元素a的逆元素改稱為a的負元素，記為-a，m個a相加記為ma。2.2子群定義1設（G，·）是個群，如果G的子集H對同一運算·也構成群，則說（H，·）是（G，·）的子群。或者，簡單地說，H是G的子群。（很自然的一個定義，子結構在代數系統一直都占有一定的重要地位）命題2.2.1如果H是G的子群，那么H的恒等元f等于G的恒等元e；也就是說e∈H。（很顯然，任意元素和其逆的積都等于e,同樣在以后子域零元和單位元都保留）定理2.2.1設（G，·）是個群，H是G的子集。那么，H是G的子群，當且僅當（1）H非空；（2）如果a，b∈H，則a·b∈H；（3）如果a∈H，則a在G中的逆元屬于H。（首先結合律不需要驗證，首先要驗證·是否是子集合上的二元運算，即封閉性（2），（3）保證了逆和單位元）定理2.2.2設G是個群，H是G的一個子集。那么H是G的子群當且僅當（1）H非空；（2）對任意a，b∈H，都有a·b逆∈H。（近一步簡化子群的等價條件，和上定理類似，個人解釋也類似，可自己驗證，這條等價條件很常用）命題2.2.2設G是個群。對于G的任意的一個子群族，它們的交集仍為G的子群。（運算封閉，結合律，單位元，逆自然在每個集合中都滿足，當然在交集中也滿足，自然構成群）命題2.2.3設H和K都是群G的子群。如果它們的并集也是G的子群，那么必有一個子群包含另一個子群。（反證，在各自的集合找非公共的元素h和k，由于構成群h·k屬于并集，則必屬于H或K，由消去律知另一個也屬于H或K，與假設矛盾。在此想起了向量空間的一條性質，內部和外部作用一定屬于外部！）命題2.2.4設G是個群，a是G的元素。則<{a}>={a^ili∈I}。（循環群，每個群中最基本的子結構，稍有些“拼湊”的意思！）定理2.2.3符號如上所述，則<S>=H。（略）2.3對稱群和置換群群的初等理論中相當多的問題都來自于幾何學，特別是來自對稱性的討論。時至今日，群倫最活躍的幾個領域中，如平面或空間運動，晶體結構，生物遺傳等，群的威力仍主要體現在處理各式各樣的對稱問題上。集合S={1,2，……，n}上所有置換在映射合成之下構成群。今后稱這個群為n次對稱群，記為Sn。同時，實際上，我們也證明了，S上的所有偶置換，在映射的合成之下也構成群，這是Sn的一個最重要的子群，通常記為An，稱為n次交代群。定義1n階對稱群Sn的任意一個子群都稱為置換群。（集合上映射構成的群，研究集合上的映射的重要性可以參看GaloisTheory，域上的自同構與方程有無根式解有緊密關系）命題2.3.1當n≥3時，Sn不是可交換的。（反例易舉，有交叉，不可交換）定義2如果n階置換P，把1到n中若干個數碼i1，i2，……，ik按下方式對應P（i1）=i2，P（i2）=i3，……，P（ik）=i1，而對其余數碼不變，則說P是一個K循環，記P=（i1，i2，……，ik）。（著重定義了一種表示方法）定義3循環（i1，i2，……，ik）與（j1，j2，……，jl）稱為不交的，如果it≠jst=1,2，……，k，s=1,2，……，l。（針對映射交換的定義）命題2.3.2若兩循環不交，則它們可交換。（兩個循環沒什么交叉的地方，沒什么關系，互不影響）定理2.3.1在Sn中，任何一個不等于恒等映射的置換必可表成若干個互不相交的循環的乘積。（很容易證明，只需操作一下，看看先從第一個元素開始映成了什么，依次下來直到回到第一個元素，這就構成了一個循環，再看剩下的第一個，依次下來的各循環都不相交）定理2.3.2設P是個n置換P=P1P2……Pl=Q1Q2……Qk，其中P1P2……Pl與Q1Q2……Qk都是兩兩不交的循環，則必有k=l，且可將Qi順序適當調整，使得P1=Q1，P2=Q2，……，Pk=Qk，此循環不包括1循環在內。（實際操作計算一下很容易，很顯然得出的結論）命題2.3.3任意一個k循環都可以表成若干個2循環的乘積。（任意循環都可以一步一步變兩個元素得到）命題2.3.4在Sn中k循環生成的子群是p階循環群。（很平凡，尤其是看完下一節）命題2.3.5設G是S={1,2，…，n}上的一個置換群，對于S的任意一個子集T，令GT={P∈GlP（t）=t，對每個t∈T}。則GT是G的一個子群。（根據定義，很規范的過程）命題2.3.6設G是S={1,2，……，n}上的一個置換群，T是S的一個子集。令G^T={P∈GlP（T）包含于T}，則G^T是G的一個子群。（也是根據定義驗證就可以，此種集合T以后會知道稱為不變子集，與不變子空間，不動點體都很相近，本書會直接衍變成下一章很重要的不變子群的概念）2.4循環群進一步學習群論還會發現，有一些地位相當重要的群，實際上，可由這種由單個元素生成的子群“拼湊”而成。定義1群G稱為循環群，如果有g∈G，使得G=<g>。也有人稱循環群為巡回群。（很基本的一個群的子結構）命題2.4.1設G是個群，g∈G。如果有不同的整數r和k使得g^r=g^k，則存在一個正整數m使得（1）g^m=e；（同乘其中次數較小者的逆）（2）當1≤i＜j≤m時，g^i≠g^j；（與m最小矛盾）（3）如果有整數t，使得g^t=e,則mlt；（m最小）（4）<g>={e，g，g^2，…，g^(m-1)}.（循環群的結構形式）命題2.4.2設G是個群，g∈G。如果對任意的不同的整數r，k都有g^r≠g^k,則<g>是個無限群。（很容易理解，沒有重復的當然是無限的）定理2.4.1設g是循環群G的一個生成元，那么（1）當有正整數r≠k時，使g^r=g^k時，G是m階循環群，當i，j小于m時g^i≠g^j；（2）當對任意正整數r≠k時均有g^i≠g^j，G={…，e，g，g^2，…}（完全可由上兩個命題平凡推出）命題2.4.3設G={e，g,g^2,…，g^(m-1)}正整數p與m互素且p＜m，那么G=<g^p>（以提到過的1.6節引理1.6.2的推論直接推出，算是數論性質的一個簡單應用，p與m互素，則p和小于m的任意元素相乘可得到除以m余小于m的所有元。以后還會用到，注意感受！）這個命題比較完整地回答了循環群生成元唯一性的問題。命題2.4.4無限循環群的每個子群都是循環群。（還是取次數最小元的一個手法應用，結論比較工整好記，與無限沒什么關系）命題2.4.5和命題2.4.5略2.5階數定義1群G中元素的個數稱為G的階數。當G有無窮多個元素時，說G是無限階的；當G的元素的個數有限的時候，用lGl代表G的元素的個數。對于群G的元素a，如果有非負整數n使得a^n=e，且n為使上等式成立的最小整數，則說n是有限階的，階數為n。（關于群元素數量上的一個定義，方便在數量上考慮群的性質。與本書以后提到的特征數char（）關系緊密，特征數實為加法階數）命題2.5.1設a是G的一個元素。那么a的階數與子群<a>的階數相等。（由定義顯然）定義2設H是G的一個子群，H在群G中確定關系~如下：a，b∈G，a~b當且僅當ab逆∈H，稱~是H在G中確定的右關系。（由子群定義的一個關系，而且是等價關系，由第一章的內容可將G劃分成等價類，而且每個等價類中的元素個數相等，從而得出Lagrange定理，這是本節的主線）命題2.5.2設H是G的子群，則H在G中上確定的右關系~是個等價關系。（由等價關系定義的反身性，對稱性，傳遞性驗證即可）定義3對G之任意非空自己A，B，稱G的子集｛g∈Glg=ab，a∈A，b∈B｝為A與B的乘積，記為AB。（類似笛卡兒積）當A為子群，B={b}時，記Ab=AB，并稱Ab是A在G中的一個右陪集。類似的也可以定義左陪集。（為了和左右關系建立聯系，當然在不變子群的等價定義上也發揮了很大作用）命題2.5.3設H是G的子群，~是H在G中確定的右關系，那么元素a∈G在等價關系~之下的等價類恰好是H的右陪集Ha。（右陪集和右關系的緊密聯系就在這里，等價類就是陪集，比較直觀，證明也很簡單）推論設H是G的子群，a，b∈G。那么ab逆∈H當且僅當Ha=Hb。（a與b等價當然在一個等價類里，陪集就相同，即Ha=Hb）命題2.5.4如果H是G的有限子群，則子集Ha的元素的個數等于H的階數。（推出下面重要定理比較關鍵的一步。Ha明顯階數小于等于H的階數，只需證明Ha元素各不相同，這一點由群的消去律可以給出）拉格朗日（Lagrange）定理設G是個有限群。那么G的任意子群H的階數一定整除G的階數。（定義2總結的主線各個問題都已解決）（值得注意的是并不是G階數的因子數就是某子群的階數，如四次交代群無六階子群）推論1設G是個有限群。那么，它的任意元素a的階數都能整除G的階數。（a的階數等于<a>的階數，<a>是子群）推論2設G是個有限群，lGl是個素數。那么G只有{e}和G兩個子群。（只有兩個平凡因子）推論3設G是個有限群，lGl是個素數。那么G必為循環群。（顯然）命題2.5.5設G是個有限交換群。如果a∈G的階數t大于或等于G中所有元素的階數，那么每個元素的階數均可整除t。（結論稍奇特，沒發現什么應用，證明不難，需要簡單構造一下，打字形式稍復雜，略下）本書關于直積的知識略。第三章第三章群的同態兩個群同構時，猶如一個是另一個的復制品，其大小和結構完全相同（代數性質完全復制）。比同構更一般的概念是同態，猶如從照片上反映人物特性，后者表現前者在一定要求下的基本屬性，不要求一模一樣。同態乃是一個群到另一個群的映射，不要求是雙射，這樣，這樣映射的像通常比原來群要來得“小”些（原來群與同態像階數上有嚴格倍數關系，等于Ker中元素個數，同態像與商群同構--同態基本定理（本章最主要的結論））。同態概念同樣在環論，模論等幾乎所有代數學領域廣泛使用，是代數學的最重要概念之一。這一階段是整個抽象代數學習過程中思想方法上的一次飛躍，如果順利通過本章各個環節，那么在其后的內容的學習上將不會有根本性障礙！3.1群的同構定義1設（G，△）是個群，（H，·）也是個群。如果f：G→H是個雙射，且對任意a，b∈G恒有f（a△b）=f（a·b），則說f是G到H的同構映射，G和H同構。（可以自己想想一個群有什么，就是元素和它們之間的運算關系，再無其他。在代數上，元素一一對應而且保持之間的運算關系就可以看作是同一系統）命題3.1.1設G和H同構，則同構映射f把G中的恒等元映成H中的恒等元。(代數結構相同，恒等元是很特殊且唯一的一個元素，保持下來很顯然且自然）命題3.1.2條件如命題3.1.1，那么對于G中的任意元素a，都有f（a逆）=f（a）逆。（和上一命題一樣，證明起來比較容易，主要就是保運算加上群中元素的逆存在且同態推得，與第三節同態保持的性質一樣）命題3.1.3設A={（G，△），（H，·），（K，#），…}是由一些群構成的一個集合。我們在A中定義關系≈，（G，△）≈（H，·）當且僅當G同構H。那么≈是A上的等價關系。（結論顯然，亦可根據等價關系的定義驗證）命題3.1.4任意n階循環群都同構于（In，+）。（沒什么好說的，顯然）命題3.1.5任意無限循環群都同構于整數加法群（I，＋）。（同上，當然都可以用定義步驟證明）命題3.1.6設群（G，△）同構于群（H，·），而G是個循環群，則H也是循環群。（所有代數性質都保持，當然保結構）命題3.1.7略。命題3.1.8設A是有n個元素的集合，G是A到A的所有可逆映射在映射合成之下構成的群。那么G同構于Sn。（顯然置換就是可逆映射）3.2群上的可逆變換這一節要討論群G上的所有可逆映射在映射合成之下構成的群I（G）的性質。最重要的結論是，任意群必同構于其上可以映射構成群的一個子群。一般的群，由于背景各異而千差萬別，有了如上的“表示定理”，我們只要把群上可逆映射所構成的群討論充分，則其他出之各處的群也就清楚了。定義1設（G，·）是個群。將G到G的可逆映射稱為G上的可逆變換。G上的所有可逆變換在映射的合成之下構成群，記為I（G）。（本節主要討論可逆變換）群G到G本身的同構映射稱為G的自同構。命題3.2.1G的所有自同構的集合Aut（G）是I（G）的一個子群。（由子群的定義或等價條件很容易驗證）命題3.2.2設G是個群，a是G的一個固定元素。通過a可以得到G上的一個變換λa，規定每個x∈G對應ax，即λa（x）=ax，x∈G。則λa是G上的可逆變換，稱為a左乘變換。（驗證可逆即可，λa導出的元素個數小于等于G中元素個數，只驗證單射即一定是滿射。對于任意x，y∈G，若ax=ay，由消去律自然有x=y，故為單射，即左乘變換為可逆變換。當然也可類似定義右乘變換。）命題3.2.3設G是個群，G中元素的所有左乘變換的集合L={λala∈G}是I（G）的一個子群。（結論顯然，用子群的定義簡單驗證即可）命題3.2.4設G為任意一個群，L是其元素導出的所有左乘變換形成的群，則G同構于群L。（規定a→λa，結論顯然）定理3.2.1（凱萊定理）每個群G都同構于其上所有可逆變換構成的群I（G）的一個子群。（G同構于左乘變換群，右乘變換稍有不同）推論每個n階有限群必同構于n階對稱群Sn的一個子群。（可逆變換群同構于Sn）命題3.2.5設G是個群，a是G的一個固定元素，通過a可導出一個G到G的映射γa，γa（x）=axa逆，x∈G。那么γa必為G到G的同構映射。（可逆，保運算，形式上比較好驗證。形式上比較對稱）定義2設G是個群。G的元素a所導出的映射γa稱為a導出的內自同構。（內自同構是群很重要的一個研究方向，在GaloisTheory中有很重要的性質和結論（不動點體上的可離擴張，伽羅華定理等），主要是刻畫群中各元素之間的等價屬性，反應群的結構，此處只是給出了非交換群內自同構的一種構造方法，當然還有其他非此類的自同構關系）在2.3節關于置換群的討論中，我們知道，對有限集S的任意一個子集T，若G是S上的一個置換群，則GT={那些使T不動的的置換}是G的一個子群。一般地，若f是G到G本身的一個映射，T是A的子集，且f（T）包含于T，則說T是f的一個不變子集，此時f在T上的限制就是T到T本身的一個映射。這個概念廣泛的用于數學的各個分支，特別是線性代數，拓撲學，泛函分析，等等。定義3設G是個群，H是G的一個子群。如果H在每個內自同構映射之下都不變，即對任意a∈G，任意h∈H，都有aha逆∈H，則說H是G的不變子群。并記成H?G。（可簡單理解為在G中除本身沒有與H中元等價（代數性質相同，可替換）的元，或者等價也是H中的元。與不動點體相似）命題3.2.6設H是G的子群。那么H是G的不變子群的充分必要條件是對任意g∈G，gH=Hg。（換序是不變子群最大的優勢！是構造商群推到群同態基本定理必不可少的特性，當然下一章會介紹一個與其作用相當的結構-理想）命題3.2.7設G是個群，K是其子群，N是G的不變子群。則KN=NK，且NK也是G的子群。（由于N是不變子群，故易得KN=NK，而且NK=KN是KN是子群的等價條件：由2.5節的定義知KN={x∈Glx=kh，k∈K，h∈N}，首先需驗證運算封閉，k1h1k2h2是否屬于KN,由于KN=NK，交換順序可以證明封閉，而且顯然滿足結合律，ee是單位元，任意逆元屬于KN，所以KN=NK是子群）命題3.2.8設N和H都是群G的不變子群，則NH也是G的不變子群。（由于N,H都是不變子群，易知任意NH的左陪集等于右陪集）命題3.2.9設G是個群，Nα都是G的不變子群，α∈M，那么這些子群的交也是G的不變子群。（首先由子群的結論知不變子群的交是子群，其次用內自同構定義容易驗證驗證是不變子群）3.3群的同態簡單地說：同態就是把原群映成原群（同構），或者除去幾個循環群單位及它們交叉乘項后的群（除去的是Ker中元素），其他性質不變。與由Ker生成的商群代數結構完全相同！定義1設（G，·）是個群，（H，#）也是個群。那么，G到H的映射f稱為G到H的同態映射，如果對任意a，b∈都有f（a·b）=f（a）#f（b）。粗略地說，同態就是保運算的映射。（映射保持了元素間的關系，沒有保持的是對應數量關系）命題3.3.1設f是群G到H的同態映射，eG和eH分別是它們的恒等元。那么f（eG）=eH。（原因與同構保持的性質相同--保運算及群中消去律，只能把恒等元映成恒等元。）命題3.3.2設f是群G到群H的同態映射，。那么，對G中任意元素g，元素f（g）在H中的逆元素恰為f（g逆），即f（g逆）=f（g）逆。（保運算且逆元素存在且唯一推得）命題3.3.3設f是群G到群H的同態映射，那么H中恒等元eH的原像K=f逆（eH）={g∈Glf（g）=eH}是G的不變子群。定義2設f是群G到H的一個同態映射，那么稱eH的原像為映射f的核，記為Ker（f）。（很重要的一個結構，以下敘述方便僅記為Ker）命題3.3.4如果f是群G到群H的同態映射，g是群H到群K的同態映射，則gf是群G到群K的一個同態映射。（這個映射過程的結論比較簡單）定理3.3.1設f是群G到群H的同態映射，g是群H到群K的同態映射。那么，有Ker（gf）=f原像（Ker（g））。（很平凡，過程簡單，很好想出。）定理3.3.2設f是群G到群H的同態映射，g是群H到群K的同態映射，那么Img（gf）=g（Img（f））。（比上一個還平凡，在第一章介紹過）命題3.3.5設f是群G到群H的同態映射。如果A是G的子群，則f（A）是H的子群；如果B是H的子群，則f逆（B）是G的子群。（由本節開篇總結的過程可容易得出結論，A的一些循環群單位及交叉項原封不動，其余的循環群單位及交叉項映成eH；反過來的過程也是類似的，可以自己推得。拋開定義證明，感受這種同態映射的實際過程是很重要的！）命題3.3.6設f是群G到群H的滿同態映射，A是G的不變子群，B是H的不變子群。那么f（A）是H的不變子群，f逆（B）是G的不變子群。（A是G的不變子群，就是對于G上的任意自同構只能把A的元素映到A中，A中的元素不可能與A之外的元素等價。按照同態的映射過程，A會保持一些循環群單位及交叉項不變，其余映成H的單位元，而H上的內自同構會少一些，但一定不會把A的像同構到A的像的外邊，故f（A）是H的不變子群；反過來的過程類似，不變子群的原像是不變子群與Ker中元素作用生成的群，而原群是Ker與H作用（同構意義下）生成的群，因為B是H的不變子群，即B在H中沒有與B同構意義下等價的元素，那么在原群中任意同構都不可能把B不與Ker作用的原像映成H不與Ker作用的原像中的元素，但是不能保證不把Ker中的元素映成H的不與Ker中元素作用的原像，這種理解的漏洞主要在于定義不變子群的內自同構不是群上的所有內自同構，所以反過來的證明可以參考書上“形式上的證明”。結論還是挺重要的）定理3.3.3設f是群G到群H的同態映射，eG和eH分別是G和H的恒等元。那么，f是單射的充分必要條件是Ker（f）={eG}。（由同態實質可簡單推出）命題3.3.7設f是群G到群H的同態映射，B為H的子群。則f（f逆（B））=B∩Img（f）。（很容易理解，前面提到過類似的結論）命題3.3.8設f是群G到群H的同態映射，A是G的子群，則f逆（f（A））=AKer（f）。（f逆（f（A））等于A和Ker作用生成的群，而Ker是不變子群，由命題3.2.7可寫成AKer（f）由前面的鋪墊容易得出，結論也從側面反映了同態的過程）命題3.3.9群G到群H的滿同態映射f是同構映射，當且僅當Ker（f）={eH}，其中eH是H的恒等元。（同態把一部分原封不動，一部分映成eH，現在只有單位元映成單位元，就是全部原封不變）3.4商群總結一下同態在數量上的對應關系：已經反復提過，同態就是把群中的一部分循環群及交叉項同構，剩下的映成像的單位元。而元群的階數等于兩部分元素個數的乘積，而同態像元素個數等于第一部分元素的個數，故同態是n對1的保運算的映射，n取決于Ker中元素的個數。定理3.4.1設N是群G的一個不變子群，G/N代表G對N的所有陪集構成的集合。規定，任意aN，bN∈G/N，對應G/N的元素（a·b）N，則得到G/N的一個運算，記為#，即aN#bN=（a·b）N。進一步，（G/N，#）是個群。（不變子群的換序發揮了很大作用，主要使定義合理，“相同”的元素作用結果應相同唯一，即良定義。其余的結合律，左單位元，左逆元都不是實質上的問題，都比較好解決，所以（G/N，＃）構成群）定義1設N是群G的不變子群。在商集G/N中規定aN#bN=（a·b）N，aN，bN∈G/N。則（G/N，#）構成群，稱為群G對不變子群N的商群。（我們來看看這個群，對應數量上肯定是n對1，陪集的元素個數等于N中元素的個數，是上一章的結論，和同態映射未映成單位元的元素原像是aKer（f）相同，而且形式上也是一模一樣的，推導出同構是十分自然的！此定義就是為了轉換了一下形式闡述同態映射性質而定義的！當然轉換形式會一定程度上簡化形式，不過也會使規律結論失去一定的原本的面目！）命題3.4.1如果G是個群，N是G的不變子群，那么映射f：G→G/N，f（a）=aN，對任意a∈G，是滿同態映射，且Ker（f）=N。（Ker（f）=N顯然，滿同態也比較自然，滿的話，肯定任意陪集都有原像，保運算在定義之初證合理性時就涉及到了）定理（同態基本定理）設G和H都是群，f是G到H的滿同態映射，Ker（f）=K。那么有映射φ：G/K→H，使得φ（aK）=f（a），對每個aK∈G/K，且φ是G/K到H的同構映射。從而G/K≈H。（由前幾個問題的解釋得出結論是平凡的!)敘述手法比較隨意，個人感覺解釋比較清楚，只是寫的一點總結也就不潤色了，當然理解清楚本人的方式可能還需一定的思考過程。第四章第四章環與理想前兩張討論的群是個僅有一個二元運算的代數系統。本書的后幾章將要學習同時具有兩種二元運算的代數系統。當然，一個集合上的兩種二元運算各有各的規律，這就需要讀者首先掌握好有一種二院運算的系統的研究方法，特別是群論的研究方法。初步學習環時可以不比過多在意乘法運算，只當是群上加法運算的一個附加運算即可。所以本章的大部分內容都是按照前兩章的思路平凡地推廣一下：群推廣→環；子群→子環；不變子群→理想；商群→商環；群同態→環同態。同時，一個集合上的兩種二元運算的配合在一起形成一個整體，進一步研究時就需要密切注意這兩種運算之間的聯系，而不是討論那類兩種二元運算“不搭邊”的各自獨立無關系統。（這里主要是域研究的內容方向）近世代數學中常見的有兩個二元運算的代數系統有結合環、Lie環、Jordan環、格和Boole代數，等等。其中結合環背景最為廣泛，研究的歷史最長，已成為近世代數學的最基本的學習內容之一。4.1環的定義定義1設集合R上有兩種二元運算，一個叫加法，記為+，一個叫乘法，記為?，且（1）（R，+）是個交換群；（2）乘法?在R上是結合的；（3）對任意a，b，c∈R，都有a·（b+c）=a·b+a·c，（b+c）·a=b·a+c·a（分配律）。則說（R，+，·）是個結合環，簡單地，說它是個環。（新的代數系統，卻不是全新的，只不過是交換群上多加了一個滿足結合律的新運算，兩運算間滿足一定的分配律）命題4.1.1設（R，+，·）是個環，0是（R，+）的零元素，-a代表（R，+）中a的負元素。那么，對任意a，b，c∈R，有（1）0·a=a·0=0；（2）a·（-b）=（-a）·b=-a·b；（3）（-a）·（-b）=a·b；（4）a·（b-c）=a·b-a·c，（a-b）·c=a·c-b·c。（分配律所保持的性質，第一條用到了加法群中零元及負元的簡單性質；第二條比較關鍵，用到了負元的存在及唯一性，后面兩條就直接得出了）定義2設（R，+，·）是個環，如果R的乘法有單位元e，則說R是個有單位元環，或稱有1環。稱e為R的單位元；對于環R的元素a，若有b≠0以及c≠0使ab=0以及ca=0，則說a是R的一個零因子（那些非零元卻可以發揮類似零元作用的元素）；如果環R不含非零的零因子，則稱R為無零因子環；如果環R的乘法是可換的，則說R是個交換環；有1的交換的無零因子環稱為整環或整區（整環的要求就比較高了，當然性質也比較好，第六章因子分解理論大部分結論都是在整環的基礎上的；整環的規整程度大致可以看作域了，只是非零乘法上不一定構成交換群，不過在我們之前討論的有限集合上，滿足分配律、無零因子即滿足消去律就會存在逆，即構成域！）。命題4.1.2如果（R，+，·），那么R的乘法滿足消去律；即a，b，c∈R，a≠0，則a·b=a·c蘊涵b=c。（群中滿足消去律主要是每個元素都有逆，此處用分配律及零因子來推導出了環中的消去律）命題4.1.3如果環（R，+，·）有乘法恒等元，設為e，那么對任意n∈I，a∈R，有na=（ne）a。（顯然的結論，分配律可以證明）R上所有n階方陣的集合在矩陣的加法和乘法運算下構成一個環，稱為R上的n階全陣環。（很恰當的例子，代數上再普通不過的矩陣例子，很符合環的定義）定義3設R是個有單位元1的環。R的元素a稱為R的一個單位，如果有b∈R使ab=ba=1（環中的單位的另一種說法是乘法下可逆的元素，如全陣環中的可逆矩陣，在第六章會有一些特殊的地方）4.2子環與理想定義1設（R，+，·）是個環，S是R的一個非空子集。如果+和·也是S的運算，且（S，+，·）也是個換，則說（S，+，·）是（R，+，·）的一個子環。（子群向子環的平凡推導，沒什么新意）命題4.2.1設（R，+，·）是個環，S是R的非空子集。那么，S是R的子環的充分必要條件是（1）對任意a，b∈S，有a+b∈S；（2）對任意a∈S，有-a∈S；（3）對任意a，b∈S，有a·b∈S。（首先（1）、（3）驗證了運算封閉，即為二元運算，其次由于是環的子集，當然都滿足結合律及分配律，（1）、（2）是第二章第二節構成子群的等價條件，綜合以上構成了子環）命題4.2.2設（R，+，·）是個環，S是R的非空子集。那么，S是R的子環的充分必要條件是（1）（S，+）是（R，+）的子群；（2）對任意a，b∈S，有a·b∈S。（這個太直接了）命題4.2.3設（R，+，·）是個環，S是R的非空子集。那么，S是R的子環的充分必要條件是（1）對任意a，b∈S，有a-b∈S；（2）對任意a，b∈S，a·b∈S。（此結論進一步簡化了命題4.2.1，在子群的等價條件中出現過）命題4.2.4環R的任意一族子環的交仍是R的子環。（首先環亦是群，一族子群的交仍為子群，這是前面介紹過的結論，在加法群的基礎上，由上面的命題可知只需驗證乘法封閉即可，任意兩元素的積必在每個子環中，當然在它們的交集中，故命題得出）定義2設R是個環，a∈R。作R的子環族A={S是R的子環la∈S}，我們把S的交稱為由R的元素a生成的子環，記為<a>。（以后的符號（），[],<>，{}都會出現，注意記準每個的含義。此定義為單個元素生成循環群的推廣）推論設R是個環，a∈R，那么，由a生成的子環<a>是R的所有包含元素a的子環中的最小者。（任意包含a的子環都包含這樣一個“單位”，很容易想）命題4.2.5設R是個環，a∈R。那么，R中所有形如ma，ma+na^2,……,m1a+m2a+……+mta^t,……的元素做成的集合S恰好就是a生成的子環<a>。（環中無非就是元素加法和乘法相互作用，首先考慮加法即ma，然后考慮乘法a^n，再將它們交叉相加相乘即得到子環，化簡后即為命題形式）命題4.2.6設T是環R的非空子集，則T在R中生成的子環恰為由下述形式元素組成的集合。a1+……an+b1c1+……bmcm+d1e1f1+……+……x1x2……xl+……+z1z2……zl，其中諸ai，bj，……zk均為T中元素或它們的負元。（無非就是加法和乘法的相互作用，使其封閉，第一項是任意兩數相加，第二項是任意兩數相乘后再相加，第三項后依此類推…這種構造性的結構，構造本身就給出了證明）定義3設（R，+，·）是個環，A是R的非空子集。如果（1）（A，+）是（R，+）的子群；（2）對任意x，y∈A和a，b∈R都有ay∈A，xb∈A，則說A是R的理想，從定義中可以看出，A為R的理想則A必為R的子環。因此，有人也稱環的理想為環的理想子環。（不變子群在環中的推廣，主要是為了使商環良定義，從而得到環同態基本定理。理想體現吸附性，和任意元素作用都會被吸進去，當然這種性質是被要求從而得到的）從定義中可以看出，A為R的理想則A必為R的子環。（乘法封閉）命題4.2.7設R是個環，R的一族理想的交集必然也是R的理想。（此種手法又一次用到了，首先子環的交還是子環，其次吸附性在每個理想中都存在當然在它們的交中存在）定義4設R是個子環，T包含于R，T非空。作R的理想族B={I是R的理想，T包含于I}，I的交集得到的理想稱為R的由子集T生成的理想，記為（T）。（又給出了子集構造或生成理想的定義，這種定義早在生成向量空間、子群、子環…就出現過，算是比較常見的定義類型。給出定義當然下面就會討論生成理想的具體形式了）定理4.2.1設T是環R的非空子集。那么，R中所有形如如下的元素的集合恰為（T）：n1a1+……+ntat+r1b1+……+rkbk+c1s1+……+clsl+x1d1y1+……+xidiyi,其中n是整數，a，b，c，d是T中元素，而r，s，x，y是R的元素。（目的就是包含所有R中與T作用的元素。首先是自封閉加法，然后兩項是吸附性的構造，比較簡單，就是這樣的形式）推論1設R是個環，a∈R。那么（a）恰為所有形如下的元素構成的集合：na+ra+as+x1ay1+……+xiayi,其中n為整數，r，s，x，y都是R中的元素。（由上一定理平凡得出）推論2設R是個有恒等元素e的環，a∈R。那么a生成的主理想（a）恰為所有形如下的元素構成的集合：x1ay1+……+xjayj,其中x，y是R的任意元素。（只留了第三類項，x或y為e可得出第二類，都為e得出第一類）命題4.2.8設A.B是R的理想。那么A+B=（A∪B)。（稍不太平凡的形式。首先證明A+B為子環，由命題4.2.3很容易判定，其次乘法的吸附性由A,B都是理想也容易得到。接下來證明A+B=(A∪B)，思路就是互相包含，后者包含前者顯然，其次（A∪B）是包含A，B最小的理想當然包含于A+B，故得證）類似的結論也可以看一下例題7.4.3理想與商環（I）定理4.3.1設（R，+，·）是個環，A是R的理想，作為加法群，得商群R/A，#加法。再在加法群上定義乘法，令任意a+A，b+A，對應ab+A，則構成環。(在加法上，由于滿足交換律，對任意子群都可定義商群，關于群同態的結論自然不消細說；然而對于乘法滿足群同態的性質，保乘法及分配律則并非對于任意子環都成立，由定義的合理性自然需要子環的吸附性，這也是理想定義產生的原因，就是滿足商環定義的合理性，即同一等價類運算作用結果相同，分配律的驗證就比較平凡了)定義設R是個環，A是R的理想，在商集R/A中規定任意a+A，b+A，加法對應（a+b）+A，乘法對應ab+A，得到的環稱為環對理想A的商環，或稱剩余環。（對于環同態的解釋，由于對群同態印象比較深，也可能是對環論接觸的比較少，在環中的特殊含義不太清楚，也沒太感覺。個人的理解還是在群同態元素的數量及加法對應的基礎上添加的乘法及分配律都滿足的一種系統對應，普通的環于我而言還是加法群上添加了附加的，不太重要的乘法及分配律的結構）4.4環的同態映射定義1設（R，+，·）和（S，+，⊙）都是環。R到S的映射φ稱為R到S的環同態映射,如果對任意a，b∈R恒有φ（a+b）=φ（a）#φ（b），φ（a·b）=φ（a）⊙φ（b）。（保運算，同態的基本要求，沒什么新意）特別地，當φ是滿射時，稱S是R的同態像。（R→S滿同態）當φ是雙射時，說φ是R到S的環同構映射。（一一對應，且保運算就是代數結構完全相同，就是同構）定義2設φ是環（R，+，·）到環（S，#，⊙）的環同態映射，那么，稱集合Img（φ）={s∈Sl有r∈R使s=φ（r）}為映射φ的像，稱集合Ker（φ）={r∈Rlφ（r）=0}為映射φ的核。（群到環比較平凡的推廣）命題4.4.1設φ是環（R，+，·）到環（S，#，⊙）的環同態映射。那么φ的像Img（φ）是環S的子環。（首先由上一章的結論，Img（φ）的像一定是加法群，故只需驗證乘法封閉，由保運算，像中任意元素間作用都可以對應到R中的元，故封閉。）命題4.4.2設φ是環（R，+，·）到環（S，#，⊙）的環同態映射。如果φ是滿的，R有恒等元e，則環S必為恒等元，而且恰好就是φ（e）。（一般而言，R與S同態，二者的恒等元沒有什么關系，主要是S中大多數元素可能與R沒什么關系，書上有比較好的例子。當然對于滿同態而言，這種保運算保結構的映射，保持恒等元就再平凡不過了！）命題4.4.3設φ是環（R，+，·）到環（S，#，⊙）的滿的同態映射。那么，如果R是交換的，則S必然也是交換的。（這和上一命題都是那種但凡熟悉同態就無需證明的結論！）命題4.4.4設φ是環（R，+，·）到環（S，#，⊙）的環同態映射。ψ是（S，#，⊙）到環（K，*，△）的同態映射。那么復合映射ψ·φ是R到K的環同態映射。（不好再說平凡了，按定義自己證一下吧）命題4.4.5設φ是環（R，+，·）到環（S，#，⊙）的環同態映射。那么φ的核Ker（φ）必然是環R的理想。（我們來終結一下環同態的過程！概括起來就是定理4.4.1，首先就是上一章總結了好多遍的群同態過程，此處為加法可交換意義下的形式，接下來就要考慮乘法。由于乘法的定義沒有固定形式，加上乘法系統本身就不太成體系，需要深入研究，比方域論的研究，給出嚴格驗證詳細的介紹不太現實，想看都也不太容易。但是符合已由群同態映過來的的元素體系是一定的，正如群同態時循環群間交叉項形成（通過階數）循環群一樣（根據原本的乘法系統，雖說這個由于沒有固定形式也無法輕易給出推斷，不過根據定義可以嚴格證明環同態的基本過程），而Ker的形式比較特別，由于任意元素和0相乘都等于零，可以很容易得出結論）推論同態映射φ為單射的充分必要條件是Ker（φ）={0}。（無需在意環，只從群倫的角度考慮即可，上一章已有的結論）命題4.4.6如果A是環R的理想，那么φ：r→r+A是環R到環R/A的滿的同態映射。（證明下一定理的最后一步工序，滿射及保運算都比較好驗證，就是要和以A為Ker的同態像建立聯系！）定理4.4.1設f是環（R，+，·）到環（S，#，⊙）的滿的同態映射。Ker（f）=A。那么R/A同構于環（S，#，⊙）。（群同態加上附加的群上的乘法及分配律的自然符合這一系統得出的群上附加的乘法及分配律得到的環的同態規律，詳細的過程上面已經總結完了。）第五章第五章從環到域我們已經見過許多種結合環，盡管這些代數系統都滿足環的定義中要求的幾條公理，但具體的集合在有了加乘運算之后形成的代數系統（同構之下不計差異）仍然各有特點。本章主要討論幾種環的重要類型及各類型的關系的關系及轉換。5.1除環和域定義1設（R，+，·）是個至少含2個元素的環。用R0代表R中所有非零元的集合。如果R0在R的乘法下是個群，則說（R，+，·）是個除環。進一步，若（R，+，·）是交換環，又是除環，則說（R，+，·）是個域。有人稱除環為體、除體、斜域。有人稱域為交換除環或交換體。（我會把環看作是交換群上附加了乘法及結合律的代數結構，主要是環在乘法結構下不太有嚴格體系，比較雜亂，性質也不好。然而為了更好討論運算間的關系，這里使乘法系統有了更規整的結構，即構成群。當然這會讓大家更熟悉）定義2設（R，+，·）是個至少含2個元素的環。如果（1）R有乘法恒等元1；（2）對任意r∈R有，只要r≠0，則必有s∈R使得rs=sr=1則說環（R，+，·）是個除環。（很初級的集合構成群的驗證）命題5.1.1只含有限個元素的除環必為域。（之前提過好多遍的結論，最早是在第二章提到過，基本思想就是滿足消去律的有限集合，而且有滿足結合律的二元運算，則集合構成群）命題5.1.2域不含非平凡的理想。（要么只含零元，要么單位元一定屬于理想，由之前知道的理想的形成過程，域中每個元素和單位元相乘都屬于理想，當然得到的理想是平凡的）命題5.1.3設φ是環R到S的環同態，且為滿射。如果R是個域，則φ或者是同構映射，或者將R的所有元素映成S的零元。（環同態中Ker為{0}或R）定義3域（F，+，·）的子集S稱為F的子域，如果它是F的子環且它在F的運算之下本身是個域。（很平凡的定義類型--子結構，不過與群或環不同，域的擴張的研究是很大的代數分支，在本書第7章介紹，當然那只是GaloisTheory的一小部分）定義4設R是個環。如果有自然數m使得，對每個r∈R均有mr=0，而小于m的自然數都不具備該性質，則說環R的特征數char為m，如果找不到滿足上述要求的自然數，則說環R的特征數為0。（僅當作加法運算下的元素階數即可，而且可以明確的說是單位元e的加法階數，因為任意元素a都可以寫成ea，稍有不同之處下面的命題會給出）命題5.1.4有限環的特征數比整除其元數。（拉格朗日定理，第二章階數最主要的結論）命題5.1.5域F的特征數或為0或為素數。（此處稍有不同，主要是結合了乘法的性質。me=0，若m不是素數，m=pq，則me=peqe，由于F是個域，滿足消去律，無零因子，故pe=0或qe=0矛盾）命題5.1.6設域F的特征數為p≠0，那么，對任意a，b∈F，恒有（a+b）^p=a^p+b^p.（張開驗證一下即知其余項都為0）命題5.1.7設環（R，+，·）有1，那么，當1在群（R，+）中階數無限時，R之特征數為0，當1的階數為正整數n時，R之特征數恰為n。（環R的特征數即為1的加法階數，可平凡得出結論）5.2理想與商環（II）定義1環R的理想M≠R稱之為R的極大理想，如果對R的任意理想A，M包含于A，其M≠A蘊涵A=R。換言之，在R中真比A大的理想只有環R本身。（需特殊注意的就是R的極大理想可能不唯一）定理5.2.1設R是個有1的交換環，A是它的一個理想。那么，剩余環R/A為域的充分必要條件是A為R的一個極大理想。(主要體現極大理想的作用，稍樸實的證明方式：R/A是域主要就是需要乘法下構成交換群，結合律及交換律都是保持的，單位元為1+A，最大的問題是乘法的逆元，對于任意的a+A（a不屬于A），必能在R/A找到其逆b+A使得ab+A=1+A。有前面的命題可知，R是有1交換環，（a）={y∈Rly=ax，x∈R}，由于（a）+A也是理想且≠A，由極大性只能=R，故1∈（a）+A，1∈ab+A，1+A=（a+A）（b+A）于是b+A就是a+A的逆，于是R/A是個域。當R/A是個域時，設B是理想，A包含于B，A≠B，b∈B不屬于A，b+A≠A故為非零元，由于R/A是域，則有逆c+A，使得（b+A）（c+A）=1+A，即1=bc+a，由于B是理想，bc∈B，A包含于B，所以1∈B，B=R，A是極大理想)定義2設R是個交換環，P是R的一個理想。如果P≠R且對任意的a，b∈R，ab∈P蘊涵a∈P或b∈P，則說P是R的一個素理想。（這種由需要（剩余環為無零因子環）而構造的定義不太好直接給出理解，主要突出元素與集合間被包含的較直接的關系，在第六章還會有類似的素元的定義）如果{0}是環R的素理想，則說R是個素環。（沒太見過應用）命題5.2.1設R是個交換環。那么，環R的理想P（≠R）為其素理想的充分必要條件是剩余環R/P為無零因子環。（任意元a+P和b+P，若ab+P=P則當P是主理想整環，則a或b屬于P，即a+P或b+P為零元；當R/P無零因子，則a+P或b+P為零元，即a或b屬于P，P是素理想）命題5.2.2設R是個環，A是R的理想。環R/A為交換環的充分必要條件是A包含R中所有形如xy—yx，x，y∈R的元素。（如上面的方法，都是比較正規的證明過程，沒什么新意，也比較平凡，可以自己練習）5.3嵌入問題（本節的主要目的就是介紹由環構造擴張成域的過程）命題5.3.1設R是個環，I是整數環。在I*R中，規定運算，對任意（m，a），（n，b）∈I*R，（m，a）#（n，b）=（m+n，a+b），（m，a）⊙（n，b）=（mn，mb+na+ab）。則（I*R，#，⊙）是個環，R同構于它的一個子環。（通過突破性的構造去得出結論是比較困難的，然而已知構造方式去驗證結論卻是比較容易的，此處就是根據定義驗證（I*R，#，⊙）構成環，比較基礎。證明同構只需將任意元素a→（0，a）即可得出結論）推論任意交換環R必同構于一個有1交換環的子環。（交換性顯然，由上一構造過程的驗證可知（I*R，#，⊙）的恒等元為（1,0））命題5.3.2特征數為n的環恒同構于一個特征數為n的有1環的子環。（由第一個命題的構造方式，只需驗證（I*R，#，⊙）的恒等元（1,0）的加法階數為n即可）定理5.3.1設R是個交換的無零因子環。那么，R必同構于某個域的一個子環。（定理的證明過程也就是把R同構意義下擴成域的過程，構造出來的域就是包含R的最小的域稱為R的分式域，這種構造在GaloisTheory中是很基礎的，正如上面的構造方式構造出恒等元是相對容易的，此處的分式主要體現的是關鍵步驟環中逆的構造，再加上R是個交換無零因子環就構成了域。把環擴成域的方式是比較基礎且實用的手法，書上分了八步，這里的具體內容就不介紹了，可以自己嘗試練習）命題5.3.3設R同構于R’，它們是可交換的無零因子環，Q和Q’分別是它們的分式環，那么，Q同構于Q’。（同構在代數上就是一樣的！R和R’一樣，Q和Q’也一樣）5.4交換環上的多項式定義1設（S，+，·）是個有1交換環。每個形如下面的表達式f（x）=a0+a1x+…+anxn，均稱為是環S上的一個關于x的多項式。（早在高等代數第一章最開始就給出過的定義，好懷念啊！只是那里給出的是實數域上的多項式的定義，這里的是建立在有1交換環上的多項式，對系數系統要求放低了，當然具有更一般的結論，當然較域而言稍不太規整）定義2多項式的加法和乘法的定義，形式稍麻煩，內容較簡單，在此略下。定理5.4.1設S是個有1的交換環，那么，S[x]在上面規定的多項式的加法和乘法之下作成一個有1的交換環。（關于環的按照定義的證明再來回顧一下：加法是S[x]是其上的二元運算，滿足結合律，0是零元，元素加負號即為負元，構成交換群；乘法是其上的二元運算，由多項式乘法的定義滿足交換律結合律，1即為單位元，滿足分配律，S[x]構成有1交換環）定義3環（S[x]，+，·）稱為環S上關于x的多項式環。（把多項式放入代數系統進一步系統研究的一個基礎定義）定義4多項式f（x）=a0+a1x+…+anx^n+…+amx^m中，如果an≠0，而an+1=…=am=0，則說f（x）的次數為n，記為degf（x）=n。（和高等代數中沒什么兩樣）命題5.4.1對任意f（x），g（x）∈S[x]，恒有兩多項式相加的次數小于等于其一次數的最大值；（無須解釋）兩多項式相乘的次數小于等于二者次數的加和。（小于的情況是對于一般環可能有零因子）推論當S是整環時，S[x]亦為整環。（多項式的預算x除了系數的增加再沒有什么，其余都是系數也就是環中元素的運算，S無零因子，S[x]亦無零因子）命題5.4.2設R是有1交換環，R[x]是R上關于x的多項式環。那么，取定u∈R時，φ：a0+a1+…+anx^n→a0+a1u+…+anu^n是環R[x]到R的環同態映射。（按定義很正規的證明，也可很容易感受出保運算，而且是多對一。結構上的意義在于建立了一種S[x]到S的對應聯系）定義5設S是有1交換環，f（x）∈S[x]。說元素r∈S是多項式f（x）的一個根，如果f（r）=0.也可以說r滿足多項式f（x）。（和高等代數中和大家熟知的沒什么差別）命題5.4.3設R是有1交換環，S是R的子環且有（自己的）恒等元，r∈R。如果r不是S[x]中任何非零多項式的根，那么，R的由S∪{r}生成的子環同構于S上的多項式環。（即使不了解域的擴張，也可容易感受到r和x對于S的意義是一樣的，都是和自己本身沒什么關系的東西）命題5.4.4設F是個域，f（x），g（x）∈F[x].那么二者相乘的次數等于二者次數的加和。（域非零元構成群，無零因子）定義6首系數：次數最高項的系數。（高代中一般叫首項系數）命題5.4.5設D是個整環。f（x）∈D[x]，g（x）是D（x）中首系數為1的多項式。那么，必有q（x），r（x）∈D[x]使f（x）=g（x）q（x）+r（x），r的次數小于g的。（在高代里就解釋過，帶余除法自然的過程，當然那是在數域上，也就是下面的定理，這里稍有不同的就是在于，環在乘法下不構成群，任意元素不能在乘法下建立聯系，所以這里做出了一點要求，即g（x）是D（x）中首系數為1的多項式，任意元都能和1建立聯系）定理5.4.2設F是個域。那么，任意f（x），g（x）∈F[x]，只要g（x）≠0，必有q（x），r（x）∈F[x]使f（x）=g（x）q（x）+r（x），r的次數小于g的，包括r=0。（F是域乘法下任意元素間都能建立聯系（任意元都有逆元））定理5.4.3設F是個域。那么，環F[x]的每個理想都是主理想。（結論很特別很好記，證明方法是以前非常慣用的一種手法，取得次數最低的多項式，在高代及本書第一章都有較強的應用（還有一些在習題里），當然最貼近最類似的應用就是在證明循環群的子群是循環群）命題5.4.6設F是個域，f（x）∈F[x]，a∈F。那么，a是f(x)的根，當且僅當x-a整除f（x）。（和高等代數中沒什么差別）命題5.4.7設f（x）是域F上的n次多項式，n≥1.那么，F中至多有n個不同的元素是f（x）的根。（在高等代數1.6中有較詳細的個人證明）命題5.4.8設F是個域，f（x）=a0+a1x+…+anx^n,an≠0，I是f（x）在F[x]中生成的主理想。那么，剩余環F[x]/I的每個元素均可唯一地表示成如下形式：（b0+b1x+…+bn-1x^n-1）+I，b∈F，而且F’={b+Ilb∈F}是F[x]/I的子域，它同構于F。（由理想的形成過程，I={g（x）f（x）lg（x）∈F[x]}，I就是大于等于n的所有多項式，任意多項式g（x）用f（x）除之得g（x）=f（x）q（x）+r（x），顯然g（x）+I=r（x）+I，唯一性由多項式除法可容易得到；F→F’同構也是平凡的，只需對任意a→a+I即可）現在可以回頭審視一下，多項式中“x”到底是個什么東西，用GaloisTheory的域的擴張來解釋比較合適，也就是域上添加了一個超越元（不需要借助分式域內容構造逆），與它是“x”還是“y”沒什么關系。不了解與擴張也可以簡單地把x當成相對于數量的文字也可以，就是和數沒什么關系的東西。定義7二元多項式略定理5.4.4設F是個域，那么環F[x][y]和環F[x，y]同構。（可以參看GaloisTheory域擴張的基礎知識，也是本書第七章的內容）命題5.4.9設R是個環，S是R的有1可交換的子環，T是R的一個子集。則S∪T在R中生成的子環恰好是S[T].（由子環的生成過程，S∪T生成子環的過程就是S[T]）5.5素域定義1設（F，+，·）是個域。F的子集S稱為（F，+，·）的子域。如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子環；（2）（S，+，·）本身是個域。（第一節給過的定義）命題5.5.1設S是F的一個子環，且至少含2個元素。那么，S是F的子域，當且僅當，s∈S，s≠0蘊涵s逆∈S。（乘法構成群就是需要有恒等元和逆，這個條件提供了這個需要）推論如果S是域F的子域，那么它們的恒等元相同。（子群保恒等元）命題5.5.2設F是個域，F的一族子域的交集仍為F的子域。（由群的結論，一族子群的交集還是子群，對于加法和乘法分別形成子群就構成域）定義2設F是個域，T是F的一個非空子集，F的所有包含T的子域的交集稱為是T生成的子域（很普通的定義方式，在之前出現過好多遍）。特別地，由F的零元素0和恒等元1生成的子域稱為F的素域。（由最必要的元素，生成域最小的子域）定理5.5.1設（F，+，·）是個域。那么，F的素域P或者同構于有理數域或者同構于Ip，其中p是個素數。（比較顯然，在GaloisTheory中有介紹，連同下面的推論1）推論1域F的素域同構于Ip的沖要條件是它的特征數為p；F的素域同構于Q的充分必要條件。F的特征數為0.（域也是群，考慮加法階數就可以解決這一問題）推論2設F是個域，P是它的素域。那么F的任意子集T在F中生成的子域與T∪P生成的子域恒相等。（任意子域都包含零元和恒等元，