第23講同角三角函數的基本關系1．理解并掌握同角三角函數基本關系式的推導及應用；2．會利用同角三角函數的基本關系進行化簡、求值與恒等式證明一、同角三角函數基本關系1、平方關系：，文字表述：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于12、商數關系：，文字表述：同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三點：（1）“同角”有兩層含義：一是“角相同”；二是對“任意”一個角(在使函數有意義的前提下)關系式都成立，即與角的表達形式無關，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區別，并能正確書寫．（3）注意同角三角函數的基本關系式都是對于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．二、已知某個三角函數值求其余三角函數值的步驟第一步：由已知三角函數的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據角的終邊所在象限分類討論；第三步：利用同角三角函數關系及其變形公式，求出其余三角函數值。三、三角函數式的化簡技巧①化切為弦，即把正切函數都化為正、余弦函數，從而減少函數名稱，達到化繁為簡的目的．②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．③對于化簡含高次的三角函數式，往往借助于因式分解，或構造＋＝1，以降低函數次數，達到化簡的目的．四、三角函數恒等式證明證明三角恒等式的過程，實質上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．考點一：sina、cosa、tana知一求二例1．已知，在第二象限，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由及是第二象限角，得，所以.故選：C【變式訓練1】已知，且為第四象限角，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為為第四象限角，所以．故選：D.【變式訓練2】已知是第二象限角，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵為第二象限角，，∴．故選：B．考點二：正、余弦齊次式的應用例2．已知，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故選：C．【變式訓練1】若，則的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以.故選：A【變式訓練2】已知，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以原式（2）因為，所以.考點三：sinacosa、sina±cosa知一求二例3．的三個內角為，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以為，，故可得，故，則.故選：D.【變式訓練】已知，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，，，所以.故選：C考點四：三角函數化簡求值問題例4．（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B【變式訓練】化簡：（是第二、三象限角）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】．當是第二、第三象限角時，原式．故選：C．考點五：三角恒等式的證明問題例5．求證：＝.【答案】證明見解析【解析】證明：∵右邊＝＝＝＝＝＝左邊，∴＝.【變式訓練】求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）.所以原式成立.（2）.所以原式成立.1．若且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，.故選：B．2．已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，則，又，即，所以.故選：A3．已知，則的值為（）A．B．C．6D．【答案】B【解析】.故選：B.4．已知在中，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，則，可得，又，則，即，可得，又因為，所以.故選：B.5．已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為①，兩邊平方得，故，所以與異號，又，所以，，所以②，由①②解得，所以．故選：C6．若，化簡：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】且，所以，所以故選：D7．已知，，則______【答案】【解析】因為，可得，故答案為：.8．已知，則_______．【答案】/【解析】.故答案為：9．（1）已知，且為第四象限角，求和的值；（2）已知，若是第二象限角，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為為第四象限角，則，，.（2），所以，所以，所以.又因為是第二象限角，所以，，所以.10．（1）若，化簡：；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）原式，因為，所以，原式.（2）證明：.1．已知角，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，可得在第二象限，∴，∴故選：D.2．若，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為且，所以，所以；故選：A3．已知α是第四象限角，，則sinα等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為tanα=，所以，所以cosα=sinα，代入sin2α+cos2α=1，得sin2α=，又α是第四象限角，所以sinα=.故選：D4．求（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，又，則，所以.故選：C5．已知，則()A．B．3C．6D．7【答案】D【解析】因為，所以，故選：D．6．我國古代數學家趙爽在注解《周髀算經》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設大正方形的邊長為，則直角三角形的兩直角邊分別為，故，則，所以，又為銳角，則，所以.故選：A.7．（多選）已知，則下列選項正確的是()A．B．C．D．【答案】ABD【解析】兩邊平方，得，即，則，選項A正確；因為，所以，又因為，所以，因為，所以，選項B正確，因為，故D正確，C錯誤，故選：ABD．8．（多選）已知,且和是方程的兩個實數根,則=（）A．B．