第15講對數及其運算1．了解對數的概念，會進行指數式與對數式的互化，會求簡單的對數值；2．掌握積、商、冪的對數運算性質，并能正確利用對數運算性質進行對數運算；3．掌握換底公式及其推論；4．掌握常用對數、自然對數的概念與記法.一、對數的概念1、對數的定義：如果（且），那么數x叫做以a為底N的對數，記作，其中a叫作對數的底數，N叫作真數．2、對數的基本性質（1）當，且時，．（2）負數和0沒有對數，即.（3）特殊值：1的對數是0，即0（，且）；底數的對數是1，即（，且）．（4）；（5）二、常用對數與自然對數名稱定義記法常用對數以10為底的對數叫做常用對數自然對數以無理數為底的對數稱為自然對數三、對數的運算性質及應用1、運算性質：,且，（1）；（2）；（3）2、換底公式(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．3、可用換底公式證明以下結論：①；②；③；④；⑤.四、對數運算常用方法技巧1、對數混合運算的一般原則（1）將真數和底數化成指數冪形式，使真數和底數最簡，用公式化簡合并；（2）利用換底公式將不同底的對數式轉化為同底的對數式；（3）將同底對數的和、差、倍運算轉化為同底對數真數的積、商、冪；（4）如果對數的真數可以寫成幾個因數或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數相加減的形式，然后進行化簡合并；（5）對數真數中的小數一般要化成分數，分數一般寫成對數相減的形式。2、對數運算中的幾個運算技巧（1）的應用技巧：在對數運算中如果出現和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現，再應用公式進行化簡；（2）的應用技巧：對數運算過程中如果出現兩個對數相乘且兩個對數的底數與真數位置顛倒，則可用公式化簡；（3）指對互化的轉化技巧：對于將指數恒等式作為已知條件，求函數的值的問題，通常設，則，，，將值帶入函數求解。考點一：對數的概念辨析例1．有下列說法：①以10為底的對數叫作常用對數；②任何一個指數式都可以化成對數式；③以e為底的對數叫作自然對數；④零和負數沒有對數.其中正確的個數為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根據常用對數以及自然對數的概念可知①③正確，根據對數的性質可知④正確，只有當且時，指數式才可以化成對數式，②錯誤，故選：C【變式訓練】已知對數式有意義，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B考點二：對數式與指數式互化例2．下列指數式與對數式互化不正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】根據指數式與對數式互化可知：對于選項A：等價于，故A正確；對于選項B：等價于，故B正確；對于選項C：等價于，故C錯誤；對于選項D：等價于，故D正確；故選：C.【變式訓練】將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式．（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）由，可得；（2）由，可得；（3）由，可得；（4）由，可得.考點三：利用對數性質解對數方程例3．求下列各式中x的值．（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得，，則，所以.（2）由可得，，故，所以.【變式訓練】若對數方程的兩根為，則______.【答案】【解析】，或，由，由，所以，故答案為：考點四：利用對數運算性質化簡例4．（多選）下列運算正確的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選：BCD.【變式訓練】計算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）．考點五：用已知對數表示其他對數例5．已知，，用a，b表示_______．【答案】【解析】因為，所以，.故答案為：.【變式訓練】（1）已知，，求.（用表示）（2）已知，，求.（用表示）【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，所以.（2）因為，所以，所以.考點六：利用換底公式證明等式例6．已知，求證：.【答案】證明見解析.【解析】設()，則，，，故.【變式訓練】設，且，求證：【答案】證明見解析.【解析】設，，則，，.因為，所以，即.所以，即.1．有以下四個結論：①；②；③若，則；④若，則．其中正確的是（）A．①③B．②④C．①②D．③④【答案】C【解析】對于①，，正確；對于②，，正確；對于③，若，則，故錯誤；對于④，若，則，故錯誤，故選：C.2．使式子有意義的x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使式子有意義，則，即，解得或，所以x的取值范圍是.故選：D3．則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，則，故選：B．4．對于，且，下列說法中，正確的是（）①若，則;②若，則;③若，則;④若，則.A．①③B．②④C．②D．①②④【答案】C【解析】對于①，當時，都沒有意義，故不成立;對于②，，則必有，故正確;對于③，當互為相反數且不為0時，也有，但此時，故錯誤;對于④，當時，都沒有意義，故錯誤.綜上，只有②正確.故選：C5．已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：A.6．（多選）下列指數式與對數式互化正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與【答案】AD【解析】對于可化為：，A正確，對于可化為：，B不正確，對于可化為與，,C不正確，對于可化為：，D正確，故選：AD．7．（多選）設為非零實數，，且，則下列式子正確的是（）A．；B．；C．；D．.【答案】AD【解析】對于A：，A正確；對于B：當時，，B錯誤；對于C：，C錯誤；對于D：，D正確.故選：AD.8．若_____．【答案】8【解析】∵，∴，∴，解得，故答案為：8.9．計算__________.【答案】【解析】原式故答案為：10．已知，，則____________．（用含的式子做答）【答案】【解析】，，，故答案為：.11．計算下列各式的值（或的值）：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由，得，所以；（2）由兩邊取以10為底對數，得，即，解得；（3）由，得，所以，即；（4）.12．已知a，b，c滿足.當a，b，c均為正數，求證：.【答案】證明見解析【解析】設，可得，其中，可得，，所以.1．有以下四個結論，其中正確的是（）A．B．C．若，則D．【答案】B【解析】因為，，所以A錯誤，B正確；若，則，故C錯誤；，而沒有意義，故D錯誤．故選：B.2．的值是（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.3．設函數，則（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】由，則.故選：B4．（多選）下列指數式與對數式互化正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與【答案】ACD【解析】對于選項A，指數式化為對數式為，故A正確；對于選項B，指數式化為對數式為，故B錯誤；對于選項C，指數式化為對數式為，故C正確；對于選項D，指數式化為對數式為，故D正確.故選：ACD.5．（多選）下列正確的是（）A．B．C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，因為，則，所以，，C對；對于D選項，因為，則，所以，，D對.故選：BCD.6．若有意義，則實數k的取值范圍是______.【答案】【解析】若有意義，則滿足，解得.故答案為：7．若，則x的值為________．【答案】4【解析】因為，所以，即，解得．故答案為：4.8．已知，試用表示______.【答案】【解析】因為，利用對數的換底公式可得：，，于是，,∴,故答案為：.9．關于的二次方程有兩個相等的實數根，則的值為_________．【答案】或【解析】因為關于的二次方程有兩個相等的實數根，則，解得或，所以或.故答案為：或.10．將下列對數式改寫成指數式或指數式改寫為對數式：（1）；