PAGEPAGE451綜合測試試卷一計算題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）1、；2、；3、設為非零常數，則；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、若，為常數，則；15、。.二、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）16、的值為（）A.；B.;C.不存在;D..17、（）A.；B.;C.;D..18、（）A.;B.;C.；D..19、若，則必有()A.;B.;C.；D..20、當時，以下四式中為無窮小量的是（）A.;B.;C.;D..21、當時，以下四式中為無窮大量的是（）A.;B.;C.;D..22、（）A.不存在;B.;C.;D..23、（）A.;B.;C.;D.不存在.24、（）A.;B.;C.;D..25、（）A.;B.;C.;D..三、計算題（本大題共3小題，每小題17分，共51分）26、;27、.28、.29、.30、.31、.32、設存在，且，求.33、.34、.35、.36、.37、.38、.39、.40、，.41、.42、.（提示：先用積分中值定理：，）綜合測試試卷一參考答案一、計算題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、。二、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）16、C;17、B;18、B;19、D;20、A;21、D;22、B;23、B;24、B;25、C.三、計算題（本大題共3小題，每小題17分，共51分）26、；27、；28、；29、；30、；31、；32、；33、；34、；35、；36、；37、；38、解：用柯西收斂準則.取,令,,則,即充分大時,充分小(),而.所以不存在.39、；40、；41、；42、（提示：先用積分中值定理：，）。綜合測試試卷二一、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1、已知，則.2、.3、求時,為了被積函數有理化,可做變換.4、.5、.6、.7、.8、.9、.10、.二、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11、設,則（）.A.;B.;C.;D..12、設,則（）.A.;B.;C.;D..13、設,則（）.A.;B.;C.;D..14、設,,,則（）.A.沒有相同的原函數;B.與有相同的原函數，但與的原函數不等;C.都是的原函數;D.都是的原函數.15、設,則（）.A.;B.;C.;D..16、設,則（）.A.;B.;C.;D..17、設有原函數,則（）.A.;B.;C.;D..18、設,則（）.A.;B.;C.;D..19、設,則（）.A.;B.;C.;D..20、設,則（）.A.;B.;C.;D..三、計算題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）21、.22、.23、.24、.25、.26、27、.28、.29、.30、.31、.32、.33、.34、.35、.36、.37、.38、.綜合測試試卷二參考答案一、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1、；2、；3、；4、.5、.6、.7、.8、.9、.10、.二、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11、D.12、B.13、A.14、D.15、A.16、A.17、B.18、A.19、B.20、D.三、計算題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）21、.22、.23、.24、.25、.26、.27、.28、.29、.30、.31、.32、.33、,其中.34、.35、.36、.37、.38、.綜合測試試卷三填空題（每小題4分，共24分）1、=

2、=

3、=

4、設以4為周期，它在[-2，2]上的表達式為則的富里埃（Fourier）級數在[-4，2]上的和函數S(x)的表達式為=

5、若L為球面和平面的交線，則第一類曲線積分=

6、設：，則=

二、選擇題（每小題4分，共24分）1、函數在

（A）不連續

（B）處處連續，但不一致連續（C）一致連續，但導函數不一致連續

（D）導函數一致連續2、如果函數在點（1，2）處的從點（1，2）到（2，2）的方向導數為2；從點（1，2）到（1，1）的方向導數為-2，則函數在（1，2）處的梯度為

（A）4

（B）-4

（C）2i-2j

（D）2i+2j3、函數項級數的收斂域為

（A）

（B）

（C）

（D）4、當時，為某一函數的全微分，則常數=

（A）1

（B）-1

（C）2

（D）-25、設，則=

（A）

（B）

（C）

（D）三、（10分）設，求。四、（10分）在可微，且，證明：存在，使得。五、（10分）設定義在，，又設分別在連續且在是的原函數。令其中選擇使得在x=c連續，就下列情況，回答是否是的原函數。（1）在x=c連續；（2）x=c是的第一類間斷點；（3）x=c是的第二類間斷點。六、（10分）設是連續可導且嚴格單調增加函數。證明：其中是的反函數，而等號當且僅當時成立。七、（10分）證明：曲面上的切平面都與某一定直線平行，其中函數連續可微，常數a，b，c不同時為0。八、（10分）計算，a為實數。九、（10分）計算，其中D為，為常數，，常數。十、（10分）設流速，求下列情形的流量。（1）穿過圓錐形的側表面，法向量朝外；（2）穿過上述圓錐面的底面，法向量朝外。十一、(11分)設其中是參數,求的取值范圍,使得函數序列

在[0,1]上．一致收斂;成立;成立.十二、(11分)是周期為2的函數,且在區間[0,2]上定義為,求的Fourier展開式,并利用此結果證明:綜合測試試卷三參考答案一、1.

2.

3.

04.

5.

6.

二、1.

B

2.

D

3.

D

4.

A

5.

B

6.

C.三、(1)先證明收斂,若,由對成立.故有下界,且故單調減少,則收斂.

若,顯然對,,有上界,,

單調增加,則收斂,記.(2)由遞歸方程的既當時,;當時,.四、設由已知有,即,,下證有根.

若,平凡！否則,取,,當有在連續,可取得最大值也是極大值點,由Fermat引理,即五、關鍵是考慮是否成立．(1)故是在的原函數.(2)由上(1)而故不是

的原函數.(3)不能判斷,例如:當時,是的第二類間斷點.取當時,,是的原函數.當時,不存在,

不是的原函數.六、證:

左邊=(后積分由代換得到)

當且僅當時,左邊當時,由于,左邊當時,左邊>.七、解:

記則曲面S可寫為=0,其上任一點處法向量與某直線方向向量垂直即有當滿足恒有,可取曲面上任一點切平面與平行.八、解:

(1)當時,

(2)

類似可得當時,

故

九、解:

令

十、解:

(1)對記,其中(2)底面在面上投影十一、解:

(1)對實數,當時當時.顯然,故當時,一致收斂于當時,取點到則當且僅當時,在[0,1]一致收斂于(2)

當時,則當且僅當時,積分和極限可交換次序.(3)當時,不趨于0則當時,求導與極限可交換次序.十二、解:

由收斂性定理

當時,級數收斂于令,有,即而故

綜合測試試卷四一敘述題（每小題10分，共30分）敘述第二類曲線積分的定義。敘述帕塞瓦爾(Parseval)等式的內容(數學1了解,數學分析掌握)。敘述以為周期且在上可積函數的Fourier系數﹑Fourier級數及其收斂定理。二計算題（每小題10分，共50分）1．求，此處為聯結三點的直線段。2．計算二重積分。其中是以和為邊的平行四邊形。3．一頁長方形白紙，要求印刷面積占，并使所留葉邊空白為：上部與下部寬度之和為，左部與右部之和為，試確定該頁紙的長和寬，使得它的總面積為最小。4．計算三重積分。其中是橢球體。5．計算含參變量積分的值(數學1了解,數學分析掌握)。三討論題（每小題10分，共20分）已知，試確定二階偏導數與的關系。討論積分的斂散性。綜合測試試卷四參考答案一敘述題（每小題10分，共30分）設為定向的可求長連續曲線，起點為，終點為。在曲線上每一點取單位切向量，使它與的定向相一致。設=++是定義在上的向量值函數，則稱為定義在上的第二類曲線積分（如果右面的第一類曲線積分存在）。2．函數在可積且平方可積，則成立等式。若是以為周期且在上可積的函數，則稱為函數的Fourier系數，以的Fourier系數為系數的三角級數稱為函數的Fourier級數，記為。收斂定理：設函數在上可積且絕對可積，且滿足下列兩個條件之一，則的Fourier級數在收斂于。（1）在某個區間上是分段單調函數或若干個分段單調函數之和。（2）在處滿足指數為的Holder條件。二計算題（每小題10分，共50分）1、解。在直線段上得在直線段上得在直線段上得所以。2、解.3、解由題意，目標函數與約束條件分別為與作Lagrange函數則有由此解得于是有并且易知它是極小值點.4、解由于，其中，這里表示橢球面或。它的面積為。于是。同理可得，。所以。5、計算含參變量積分的值。解因為，所以。注意到在域：上連續。又積分對是一致收斂的。事實上，當時，，但積分收斂。故積分是一致收斂的。于是，利用對參數的積分公式，即得。從而得。三討論題（每小題10分，共20分）1、當時，。，，，，于是，當時，。當時，。2、首先注意到。若，則當充分大時，從而當充分大時函數是遞減的，且這時。又因（對任何），故收斂。若，則恒有，故函數在上是遞增的。于是，正整數，有故不滿足Cauchy收斂準則，因此發散。綜合測試試卷五一敘述題（每小題10分，共30分）敘述含參變量反常積分一致收斂的Cauchy收斂原理(數學1了解,數學分析掌握)。敘述Green公式的內容及意義。敘述n重積分的概念(數學1了解,數學分析掌握)。二計算題（每小題10分，共50分）1．計算積分，其中C為橢圓，沿逆時針方向。2．已知其中存在著關于兩個變元的二階連續偏導數，求，，。3．求橢球體的體積。4．若為右半單位圓周，求。5．計算含參變量積分()的值。三討論題（每小題10分，共20分）若積分在參數的已知值的某鄰域內一致收斂，則稱此積分對參數的已知值一致收斂。試討論積分在每一個固定的處的一致收斂性(數學1了解,數學分析掌握)。討論函數的連續性，其中在上是正的連續函數(數學1了解,數學分析掌握)。綜合測試試卷五參考答案一敘述題（每小題10分，共30分）含參變量反常積分關于在上一致收斂的充要條件為：對于任意給定的，存在與無關的正數，使得對于任意的，成立。Green公式：設為平面上由光滑或分段光滑的簡單閉曲線所圍的單連通區域。如果函數在上具有連續偏導數，那么，其中取正向，即誘導正向。Green公式說明了有界閉區域上的二重積分與沿區域邊界的第二類曲線積分的關系。3．設為上的零邊界區域，函數在上有界。將用曲面網分成個小區域（稱為的一個分劃），記為的體積，并記所有的小區域的最大直徑為。在每個上任取一點，若趨于零時，和式的極限存在且與區域的分法和點的取法無關，則稱在上可積，并稱此極限為在有界閉區域上的重積分，記為。二計算題（每小題10分，共50分）解令則.解令則，.故即解由于對稱性，只需求出橢球在第一卦限的體積，然后再乘以8即可。作廣義極坐標變換（）。這時橢球面化為。又，于是。所以橢球體積。解的方程為：。由，符號的選取應保證，在圓弧段上，由于，故而在圓弧段上，由于，故所以。解。當時，由于，故為連續函數且具有連續導數，從而可在積分號下求導。。于是，當時，（常數）。但是，，故，從而。三討論題（每小題10分，共20分）解設為任一不為零的數，不妨設。取，使。下面證明積分在內一致收斂。事實上，當時，由于，且積分收斂，故由Weierstrass判別法知積分在內一致收斂，從而在點一致收斂。由的任意性知積分在每一個處一致收斂。下面說明積分在非一致收斂。事實上，對原點的任何鄰域有：，有。由于，故取，在中必存在某一個，使有，即因此，積分在點的任何鄰域內非一致收斂，從而積分在時非一致收斂。2．解當時，被積函數是連續的。因此，為連續函數。當時，顯然有。當時，設為在上的最小值，則。由于及，故有。所以，當時不連續。綜合測試試卷六選擇題(每小題只有一個正確答案，請將正確答案的字母填在題后的括號內，每小題4分，共20分)1.設()A、；B、；C、；D、.2.設，則第一型曲線積分=()A、；B、；C、；D、.3.設具有連續的偏導數,且由方程能確定函數z=z(x,y),則()A、a；B、b；C、1；D、-1.4.設是由直線及圍成的區域，則積分的積分值是()A、；B、；C、；D、.5.()A、；B、；C、13；D、-13.二、填空題(每小題3分，共15分)1..2.設=.3.在點（1，-1）處取得極值,則a=.4.，.5.若是閉曲線的正向，則第二型曲線積分.三、計算題(每小題10分，共30分)(1)求曲面在點(1,2,3)處的切平面與法線方程.(2)設,求.(3)應用高斯公式計算：四、(10分)求，其中為由平面與所圍成的區域.五、(10分)計算，其中是上半球面.六、(15分)證明函數，在原點連續且偏導數存在，但偏導數在原點不連續，而在原點可微.綜合測試試卷六參考答案一、（每小題4分，共20分)1．C;2．B;3．D；4;A5B。二、(每小題3分，共15分)1．2；2．；3.-5；4.；5.。三、(每小題10分，共30分)1.解:,,,,法向量為.且平面方程為,法線方程為。2.解:,3.解:令為，應用高斯公式原式=四、解:(10分)五、(10分)解:曲面的方程為：,由對稱性可得，六、(15分)證明:由于，在原點連續.,同理可得.在原點偏導數存在.當時，,而.不存在，從而在點不連續.同理可得在點不連續.因為所以,進而在原點可微.綜合測試試卷七一敘述題（每小題10分，共30分）1敘述二重積分的概念。2敘述Gauss公式的內容。3敘述Riemann引理。二計算題（每小題10分，共50分）1．求球面與錐面所截出的曲線的點處的切線與法平面方程。2．求平面，圓柱面，錐面所圍成的曲頂柱體的體積。3．計算三重積分。其中。4利用含參變量積分的方法計算下列積分。5計算其中為上半橢球面定向取上側.三證明題（每小題10分，共20分）1．若及證明不等式2．證明關于在上一致收斂，但