2021屆高三數學“小題速練”17

答案解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知全集U=R,集合A={-1,0,1,2},5={x|x>l},則Ac&B)=()

A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{x|x<l}D.|x|-l<x<11

【答案】B

【解析】

【分析】

按照并集和交集的概念求解即可.

【詳解】由題可知63={小<1},則Ac&8)={—1,0}.

故選：B.

【點睛】本題考查并集和交集的求法，側重考查對基礎知識的理解和掌握，考查計算能力，屬于常考題.

2.“尤<2”是“log](x2_l)_log|x>0?成立的()

22

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據充分條件和必要條件的定義結合不等式的關系進行判斷即可.

【詳解】bgNfT)—logi》>0可變形為log/f—l)>log|x,

2222

所以爐―1<X且/一1〉0,%>0,解之得：I<x<t好，

2

所以由"x<2”不能推出芭”，

2

但且”可以推出“x<2”，

2

2

所以“x<2”是?log1(x-l)-logix>0，>成立的必要不充分條件.

22

故選：B.

【點睛】本題考查必要條件和充分條件的判斷，考查邏輯思維能力和推理能力，考查計算能力，屬于?？?/p>

題.

3.若向量3=(2,3),石=(x,2)且無0-")=3,則實數x的值為()

A.--B.—C.—3D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據題意列出方程，求解即可得出結果.

【詳解】因為向量。=(2,3),b=(x,2),所以互—打=(2—28一1),

又小(@-25)=3,所以2(2—2x)—3=3,解得x=-g.

故選A

【點睛】本題主要考查向量數量積的坐標運算，熟記公式即可，屬于基礎題型.

4.4張卡片上分別寫有數字L2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片的數字之和為奇數

的概率為（）

11c2

A.-B.-C.一

233

【答案】c

【解析】

【分析】

和為奇數，則取出的兩張卡片一張奇數一張偶數，得到概率.

c'C'42

【詳解】根據題意：和為奇數，則取出的兩張卡片一張奇數一張偶數，則〃=—9=:=;.

C；63

故選：C.

【點睛】本題考查了概率的計算，意在考查學生的計算能力和應用能力.

5.已知a=j，人=3：'cuing，則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】

由43<3’，從而可得再根據指數函數的單調性可得a=j>4°=1，由對數函數的單調性有

c=ln-<lne=l,從而得出答案.

2

（I\12/]\12

【詳解】由44=43<y=34,所以4：<3：

\/\7

所以。<小，又a-44>40=p而c=ln—vlne=l

所以

故選：c

【點睛】本題考查對數運算，指數函數的單調性，利用函數單調性比較大小，屬于中檔題題.

6.在三棱錐P-A8C中，PA±AB，PCVCB,A5=l，BC=2,點尸到底面ABC的距離為2,當

三棱錐體積達到最大值時，該三棱錐外接球的表面積是（）

A.127rB.9兀C.3萬D.6兀

【答案】B

【解析】

【分析】

作尸。_1_平面43。于。，連接。AOCCB,由體積最大，及已知垂直可得ABCO是矩形，又由已知

E4±AB.PCLCB,得PB是P—ABC。外接球的直徑，求出P5長即可得球表面積.

【詳解】作PZ）_L平面ABC于。，連接。AQCO3,因為點P到底面ABC的距離為2為定值，當三棱

錐體積達到最大值時，AABC面積最大，只有時，AABC面積最大，所以

由PDJ_平面ABC,ABu平面ABC，得PD_LAB，同理尸Z）_LBO，又B4_LAB，PA^PD=P,

所以AB_L平面皿），而ADu平面PAD，所以同理BCLCD,所以ABCD是矩形，

3￡>=#+22=6,又PD=2,所以PB=J（石>+2?=3,

由PC±CB,知依中點到RAB,C四點距離相等，因此總是P—A3CD外接球的直徑，

（3丫

所以外接球表面積為5=4?x-=9不.

故選:B.

【點睛】本題考查球的表面積，由己知垂直易知P8是P-ABC。外接球的直徑，解題關鍵是證明「在平

面A8C上的射影。與A良C構成矩形ABCD.

7.若曲線y=ln(x+a)的一條切線為y=ex一8”為自然對數的底數)，其中。力為正實數，則-L+!的

eab

取值范圍是()

A.[2,e)B.(e,4]C.[2,+oo)D.[e,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】

In(x0+a)-ex0-b

設切點為(毛，％)，由題意知＜1=e，從而可得"z+b=2,根據“1”的代換，可求出

—+7=^-|2+—+^-1,由基本不等式可求出取值范圍.

eab2veab)

ln(x0+6r)=ex0-/?

；._/=」一，設切點為(％),%)，則，

【詳解】解：：y=ln(x+a)1

x+a-----=e

%0+。

111f1lbbea\,八

:.ea+b-2,——+-=--+-\(ea+bM)=-\2+—+—\.-：a,b,e>G

eab2\eabj2\eab)

原式2+2j2x牛=2,當且僅當2=半，即。=J力=1時等號成立,

2（\eabjeabe

即

eab

故選:C.

【點睛】本題考查了導數的幾何意義，考查了基本不等式.切線問題，一般設出切點，由切點處的導數值為

切線的斜率以及切點既在切線上又在函數圖像上，可列出方程組.運用基本不等式求最值時注意一正二定三

相等.

Y-v~uuuuu

8.已知雙曲線C：=一2T=1的右焦點為尸，過點尸的直線交雙曲線的右支于4、8兩點，且囚尸=3尸3,

a~b~

點8關于坐標原點的對稱點為夕，且前2=所.而，則雙曲線的離心率為（）

A.亞B.邁D.紅

222

【答案】C

【解析】

【分析】

設雙曲線C的左焦點為F，連接尸B'、F'B、AF'，推導出四邊形93'廣為矩形，設忸同=忸尸|=加,

則|AE|=3〃Z,在△439中，利用勾股定理得出加=〃，然后在△B7F中利用勾股定理可得出a、c的

等量關系，由此可求得雙曲線。的離心率.

【詳解】設雙曲線C的左焦點為尸'，連接尸5'、FB、AF'，則四邊形3陽'尸為平行四邊形，

設忸耳=忸T7]=加,則目=3/〃，

由雙曲線的定義可得忸的=忸尸[=w+2a,|AF'|=3m+2a,

?.?療=喬詼，.?.而-前.胡=喬（而-硝=護斯=0,..B'FIAB，

所以，四邊形B/E尸為矩形，

由勾股定理得|A8「+忸/[2=|AF「，即（4〃?『+（m+2a）2=（3m+2a）2,解得機=a,

:.\B'F'\=a,\B'F\=3a,由勾股定理得忸'+忸'肝=|尸訐，即10/=4,2,

雙曲線。的離心率為e

故選：C.

【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查利用雙曲線的定義解決雙曲線的焦點三角形問題，考查計算

能力，屬于中等題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得

3分，有選錯的得0分.

9.已知2"=5"二陽，現有下面四個命題中正確的是（）

A.若。=/?,貝=1B.若根=10,則,+1=1

ab

D.若m=1(),則L,

<3.若。=/?,則m=10

ab2

【答案】AB

【解析】

【分析】

211

當a=b時，由（一）"=1可得。=0,進而得加=1,當加=10時，利用指對互化及換底公式可得一+丁=1.

5ab

2

【詳解】當。=力時，由2"=5〃=機，可得（g）"=l，則。=0,止匕時機=1,所以A正確；

當機=10時，由2"=5"=加，可得a=log21°，b=l°g51°，

則L+』=lg2+lg5=l,所以B正確.

ab

故選：AB.

【點睛】本題主要考查了指數與對數的運算性質，屬于基礎題.

22

10.若方程/一+工=1所表示的曲線為C,則下面四個命題中錯誤的是（）

3T/-I

A.若C為橢圓，則l<f<3B.若C為雙曲線，則f>3或￡<1

c.曲線c可能是圓D.若c為橢圓，且長軸在y軸上，則i<r<2

【答案】AD

【解析】

【分析】

就f的不同取值范圍分類討論可得曲線C表示的可能的類型.

22

【詳解】若r>3,則方程可變形為上———=1,它表示焦點在V軸上的雙曲線；

t—1t—3

x2v2

若￡<1,則方程可變形為2----匚=1,它表示焦點在x軸上的雙曲線；

3-t\-t

若2<r<3,貝U0<3T<r-l,故方程'二+」二=1表示焦點在》軸上的橢圓;

3Tt-\

若則0<好1<37,故方程工一+上一=1表示焦點在X軸上的橢圓;

3Tt-1

22

若t=2,方程工+'二=1即為/+y2=i,它表示圓,

3-tf-1'

綜上，選AD.

【點睛】一般地，方程如2+/=1為雙曲線方程等價于相〃<0,若加>0,〃<0,則焦點在x軸上，若

m<0,n>0,則焦點在>軸上；方程加小+肛；2=i為橢圓方程等價于機>0,〃>o且加彳〃，若〃?>〃，

焦點在y軸上，若加<〃，則焦點在x軸上；若加=〃>o,則方程為圓的方程.

11.如圖所示，在正方體ABCO-A山C0I中，M,N分別是棱AB,CC的中點，AMSP的頂點P在棱CG

與棱CQi上運動，則（）

A.平面MBiPLNDi

B.平面平面NDiAi

C.AMBiP在底面ABC。上的射影圖形的面積為定值

D.△MB/在側面O2GC上的射影圖形是三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】

A.由P,N重合時判斷；B.結合由正方體的性質，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判斷C.

由△MSP在底面A8CO上的射影的三角形的底邊是，監，點尸的射影到，監的距離不變判斷；D.由P，G重

合時判斷.

【詳解】A.當RN重合時，平面MBiPLNA不可能，故錯誤；

B.由正方體的性質得知4_14口,例4_1，乂44門。"=2,所以航8」平面也內，

又MB〕u平面MBiP,所以平面MBiP_L平面N￡）A,故正確；

C.△例BiP在底面A8CO上的射影的三角形的底邊是，如，點P在底面A3。上的射影在〃C上，所以點。當

.姐的距離不變，即射影圖形的面積為定值，故正確；

D.當P，G重合時，P,用在側面。0GC上的射影重合，所以射影不能構成三角形，故錯誤；

故選：BC

【點睛】本題主要考查直線與平面，平面與平面的位置關系以及投影的概念，還考查了邏輯推理的能力，

屬于中檔題.

12.已知函數/（力的定義域為R,且對任意xGR,都有=及〃x+4）=/（x）+/⑵成立,

當為,與?0,2］且％7赴時，都有［/（耳）―/（%2）］（%一9）＞0成立，下列四個結論中正確的是（）

A.〃2）=0B.函數/（x）在區間［-6,T］上為增函數

C.直線尤=T是函數〃x）的一條對稱軸D.方程/（力=0在區間［-6,6］上有4個不同的實根

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由〃x）="-x），得到函數/（X）為偶函數，又由當石，we［0,2］且X產々時，都有

［/（%）—〃巧）］（5一為2）＞0成立，得到“X）在2,2］為增函數，再根據/（x+4）=/（x）+〃2）,得

出函數為周期為4的函數，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意，函數/(X)的定義域為R,

以為對于任意xeR,都有"x)=/(-x),可得函數/(x)為偶函數，

又因為當％,當w［0,2］且x產々時，都有［〃與)-〃/)］(572)>0成立，

可得函數/(x)在區間［0,2］為增函數，

又由/(x+4)"(x)+〃2),令》=一2,可得"2)="—2)+/(2),

解得2)=/(2)=0,所以〃x+4)=/(x),所以函數/(x)是周期為4的周期函數,

則函數的圖形，如圖所示，

由圖象可得7(2)=0,所以A正確；

函數/(x)在區間［-6,-4］上為減函數，所以B不正確；

直線x=T是函數/(x)的一條對稱軸，所以C正確；

方程/(x)=0在區間［-6,6］上-6,-2,2,6,共有4個不同的實數根，所以D正確.

故選：ACD.

【點睛】本題主要考查了函數的基本性質的綜合應用，此類問題解答的一般步驟為：先確定函數的定義域,

再化簡解析式，求出函數的解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數相似，根據函數的定義域和

解析式畫出函數的圖象，結合函數的圖象再分析函數的性質進行求解.

三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.語文里流行一種特別的句子，正和反讀起來都一樣的，比如：“上海自來水來自海上”、"中山自鳴鐘鳴

自山中”，那么在所有的4位數中符合這個規律且四個數字不能都相同的四位數有種.

【答案】81

【解析】

【分析】

根據題意可知求4位數的回文數且四個數字不能都相同，由分步計數原理即可求解.

【詳解】設4位數的回文數為期秣，即可知4位數的回文數為9x10=90,

又因為四個數字不能都相同，需減掉即形如皿共9,

所以90—9=81

故答案為81

【點睛】本題考查分步計數原理，同時需理解“回文數”，屬于基礎題.

222

14.雙曲線C:丁—三=1的漸近線方程為_____,設雙曲線G：=-4=1（。＞0力＞0）經過點（4,1）,且與雙曲

4crb

線。具有相同漸近線，則雙曲線G的標準方程為.

【答案】（1）.y=±1（2）.g=i

【解析】

【分析】

2

（D由焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程可得；⑵設/一三=丸,代入點（4,1）求得;I即可.

4

2

【詳解】（1）雙曲線C：＞2—上=1的焦點在y軸上，且。=11=2,漸近線方程為y=±3x,

4b

故漸近線方程為丁=±2》

故答案為y=±gx

2

24

(2)由雙曲線G與雙曲線c具有相同漸近線,可設G：V—、r=4,代入(4,1)有P—：=—3,故

G:丁—二=—3,化簡得￡—￡=1

174123

故答案為百.一手=1

123

22

【點睛】本題主要考查雙曲線2r-1=1漸近線的方程為丁=±￡%,

22

V_X_1共漸近線方程可設為與

2b2a

久1,貝i|cos(X_2a

15.若Geosa+sina

313

【答案】-2

9

【解析】

【分析】

先逆用兩角和的正弦得到如(￡+?)=#,令a=e—(,則cos[?-2a)的值即為—COS26的值，利

用二倍角的余弦值可求此值.

【詳解】由6cosa+sina=2^可以得到2[母《光&+；S111。

所以sin[a+工]=設8=a+二，則a=6-工