不等式、推理與證明

1.已知0<c<l,a>b>l,下列不等式成立的是（）

A.ca>chB.ac<b,

C.旦〉上D.log?c>logc

a—cb—cl)

【答案】D

【解答】：根據題意，依次分析選項:

對于A、構造函數丫=口由于0<c<l,則函數y=cx是減函數，又由a>b>l,則有c'>c''，故A錯誤:

對于B、構造函數y=x',由于0<c<I,則函數y=x，是增函數，又由a>b>l,則有a'>b',故B錯誤;

b_ab-ac-ab+bc_c(b-a)

對于C、—又由OVcVl,a>b>l,則(a-c)>O>(b-c)>0、(b-a)<

a-cb—c(a—c)(b-c)(a—c)(b—c)'

o,進而有--4<0,故有與<白，故c錯誤；

a-cb-ca-cb-c

對于D、logac-logbC二警-鱉=Ige(),又由OVcVLa>b>l,則有IgcVO,lga>lgb>0,則有

Igaigb7i"ga—i"gb：

logaC-logbC半-除Ige>0,BPWlogc>logc,故D正確；

IgaIgbIgalgbab

故選：D.

2.若實數a、b、c同時滿足：@a2>b2；②1+acVa+c；③logba>c.則a、b^c的大小關系是()

A.b>a>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>b>c

【答案】D

【解答】：實數a、b、c同時滿足：@a2>b2；②1+acVa+c；③log/Ac.

由③可得：a,b>0,bWl,又由①可得a>b>0.

Qi或a<l

由②可得：(a-1)(c-1)<0,則

c<lc>l

由F1,及其③可得，若a>b>l,則logi,a>l,

[c<l

由cVl,可得a>b>c；

若OVbVL則loghaVO,c<0,可得a>b>c；

a,及其③可得可得aVbVl,與a>b矛盾,

c>l

綜上可得a>b>c,

故選：D.

兩個實數比較大小的方法

(1)作差法，其步驟為：

作差=變形n定號(確定正負號，即判斷差與。的大小)=得出結論.

含根號的式子作差時一般先乘方再作差.

(2)作商法，其步驟為：作商"變形=判斷商與1的大小=得出結論.

(3)構造函數法：構造函數，利用函數單調性比較大小.

(4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據特殊值比較大小，從而得出結論.

3.若a,b,c為實數，且a<b<0,則下列命題正確的是()

A.ac2<bc2B.-<7

ab

C.->-D.a2>ab>b2

ab

【答案】1)

【解答】解：選項A,

,rc為實數，，取c=0,acM),bc2=O.此時ac'bc'故選項A不成立；

選項B,5一9號，

abab

Va<b<0,.,.b-a>0,ab>0,...號>0,即工>：,故選項B不成立；

abab

選項c,

?.?aVb<0,.?.取a=-2,b=-1,則2===J,￡=2,.?.此時2Vg故選項C不成立;

a-22bab

選項D,

Va<b<0,a"-ab=a(a-b)>0,a">ab.ab-b-b(a-b)>0,

1?ab))？.故選項D正確，

故選：D.

4.已知a>b>0,c>d>0,則下列不等式成立的是()

c-"

【答案】A

【解答】解：?.?a>b>0,c與d>0,

【名師點睛】本題主要考查不等式的基本性質，意在考查對基礎知識的掌握情況，屬于基礎題.

不等式的性質

1.(1)a>bfab>0=^>—<—；(2)a<O<b=>—<—；(3)a>b>0d>c>0=>—>—.

ababcd9

2.若a>b>0,/H>0,則

/八bb+mbb-m,八、…、aa+maa-m,,八、

(1)-<------；->--------(z6-w>0)；(2)->-------；-<--------(/?-w>0).

aa+maa-mbb+mbb—m

5.已知集合A={x|(x-l)(x-4)W0},B={x|*WO),則4nB=

X—L

A.{x[l<%<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|2<%<4}D.{x|2<%<4}

【答案】D

【解析】依題意/=[1,4],8=(2,5],故4n8=(2,4],故選D.

1.一元一次不等式的解法

不等式ax>b的解：

(1)當心0時，x>-.

a

(2)當4<0時，x<—.

a

(3)當聽0時，若應0,則無解；若b<0,則工￡區

2.一元二次不等式的解法

（1）對于常系數一元二次不等式，可以用分解因式法或判別式法求解.

（2）解含參數的一元二次不等式的步驟

①若二次項系數含有參數，則應討論參數是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉化為二

次項系數為正的形式.

②判斷方程根的個數，討論判別式/與0的關系.

③確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定不等式

的解集.

（3）三個“二次”間的關系

/l=b2-4acJ>04=0J<0

尸af+bx+c

jr

(a>0)的圖象

u0u%

ax2+bx+c=0有兩個相異的實數有兩個相等的實數

沒有實數根

(a>0)的根根X2（Xl<%2）根X\=X2=---

2a

ax2+bx+c>0

{x\x=/=--^-}

{X|X<X1或X>X2}R

(a>0)的解集2a

ax2+bx+c<0

{X\X\<X<X2}夕

(a>0)的解集

3.分式不等式的解法

分式不等式進行等價轉化的方向有兩個，一是根據符號法則（同號商為正，異號商為負）將其轉化為不

等式組；二是根據商與積的符號之間的關系直接轉化為整式不等式.

(1),*“)>()c^y(x)g(x)>0；(2)<0<=5^(x)g(x)<0；

g(x)g(x)

⑶—加3g(x?0,⑷g(x”。，

g(x)[g(x)x0；g(x)[g(x)w0.

4.高次不等式的解法(穿針引線法)：

設…(x-q”)(左〉0)，解不等式/(x)〉o(或時，將方程

產(X)=0的根%,。2，/，…，%從小到大依次標到數軸上，作為針眼.用一根線，從數軸的右上方開始穿

針引線，每見到一個針眼，便穿過數軸一次，直到穿過全部針眼.數軸上方的部分為正，即為不等式

尸(x)〉0的解：數軸下方的部分為負，即為不等式尸(x)<0的解.

注意：

(1)要求x的最高次項系數為正；(即：每一個x的系數為正，且左>0,若%<0,則不等式兩邊同

時乘以-1,并改變不等號的方向)

(2)二重根時，按兩個針眼對待，即穿過數軸兩次；(奇過偶不過)

⑶歲〉0o/(x)g(x)>0,M<0o/*)g(x)<0；

g(x)g(x)

小基0o/(x)g(x)泗小紇°。/(x)g(go

g(x)[g(x)*0g(x)[g(x)w0

(或得。=/(x)g(x)<0或黑：；)；

(4)A(x)-ax~+hx+c,當d=6?-4tzc<0時，〃(x)的符號是確定的；

(5)永遠從數軸右上方開始；

(6)最后結果數軸上方的部分為不等式尸(x)〉0的解，數軸下方的部分為不等式尸(x)<0的解；

(7)不等式右邊須為0,否則先移項，使右邊為0；

(8)穿針引線法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以轉化為高次不等式

的分式不等式等.

'y>x

6.設變量x,y滿足約束條件：x+2y<2,則z=x-3y+2的最小值為()

.x>—2

A.-2B.-4

C?-6D.-8

【答案】C

y>x

x+2y<2,

Ix>—2

在坐標系中畫出可行域三角形，

平移直線x-3y=0經過點A(-2,2)時，z=x-3y+2最小，最小值為：-6,

則目標函數z=x-3y+2的最小值為-6.

故選：C.

線性規劃的目標函數主要有三種形式：

(1)截距式：Z=G+制，主要根據目標函數對應的直線的縱截距判斷最值；

(2)斜率式：z=T,主要根據可行域內的點與定點(a,6)的連線的斜率判斷最值；

x-a

(3)距離式：z=(x-a>+3-6)2,主要根據可行域內的點與定點伍,協的距離的平方判斷最值.

7.已知函數y=x-4d—--(x>-1),當X時，，y取得最小值6,則2〃+3b等于()

x+1

A.9B.7C.5D.3

【答案】B

【解答】：/.x+l>0,

99

/.y=x-4+------=%+1+---------5

x+1X+1

…2卜擊-5

1,

當且僅當x+l=_2_，即x=2時取等號，

X+1

二.y取得最小值人=1,此時x=a=2,

/.2。+3b=7.

故選：B.

【名師點睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時要注意不等式取等的條件要

同時滿足.

均值不等式：a2+b2>lab,a+h>2\[ab(a>0,b>0),當且僅當。=6時等號成立.

使用均值不等式，注意一正二定三相等的條件；求最值時.，要注明等號成立條件.

8.已知乒=2/麻=3卡,后=4后…,若師=6右(…均為正實數)，貝膜

比以上等式，可推測a,f的值，則a+t=

A.35B.40

C.41D.42

【答案】C

n

【解析】由已知歸納總結，可知規律為：當且時，n+-~~W--=n

n22n€N*(n-l)(n+l)m—i)5+i)…

【名師點睛】本題考查歸納推理問題，關鍵是觀察出數字與式子之間的規律，屬于基礎題.

9.設函數f(x)小行，類比課本推導等差數列的前n項和公式的推導方法計算f(-5)+f(-4)+f(-

2"+V2

3))+…+f(0))+f(D)+…+f(5)+f(6)的值為()

A3V2

A.—B.—

22

c.3V2D.迎

2

【答案】c

【解答】：(x)=—

/.f(x)+f(1-x)尻

-2XJ+V221X+V2

」-+2，

2X+V22+V2X2x

apf(-5)+f(6)=^,f(-4)+f(5)巫,f(-3)+f(4)普

222

f(-2)+f(3)=y,f(-1)+f(2)=y.f(0)+f(1)亭，

.?.所求的式子值為3V2.

故選：C.

歸納推理類比推理

由某類事物的部分對象具有某些特

由兩類對象具有某些類似特征和其中

征，推出該類事物的全部對象都具有

定義一類對象的某些已知特征，推出另一類

這些特征的推理，或者由個別事實概

對象.也具有這些特征的推理.

括出一般結論的推理.

特點由部分到整體，由個別到一般的推理.由特殊到特殊的推理

(1)找出兩類對象之間的相似性或一

(1)通過觀察個別對象發現某些相同

致性；

一般性質；

(2)用一類對象的性質去推測另一類

步驟(2)從已知的相同性質中推出一個明

對象的性質，得出一個明確的命題(猜

確的一般性命題(猜想).

想).

1.已知首項與公比相等的等比數列｛斯｝中，若m,"GN*,滿足而/="，則2+1的最小值為

7nn

3

A.1B.

2

9

C.2D.

2

【答案】A

【解析】根據題意，設數列｛m｝的首項和公比均為q(gWO),則%=r,a“=q",%由4a/=’2

ZB?,O._°.m+In,d_.212(〃？+2〃)tn4-2/7\nm\

得：qm+72Mn=q*,..機+2〃=8，.?---------=1.又〃？,〃仁N，.?—F—=-----------H----------=—+------1-----F—>

8mn8m8〃42m8〃4

—+2.P-=1,當」_=以,即團=2〃=4時取“=”，，工+上的最小值為1.故選A.

2y162m8〃mn

數列與不等式的交匯問題.解決此類問題要熟記數列的公式，結合均值不等式，要注意均值不等式成立

的條件：一正二定三相等.

2.當0<x4：時，8"<lo&,x,則。的取值范圍是

"11

B.

3

C.(1.73)D.(石,+oo)

【答案】B

i

【解析】VO<X<1,/.8e(1,2],又當0<x4；時，8yog1M.?.當0<x4；時，2<log(fx,恒成立.

log由二=2,?\a￡

A.故選B.

T3

不等式恒成立問題，與函數的知識點交匯，可以借助圖象，數形結合解決問題.

3.已知數列｛aj滿足：包=1,且a.=3-(22,nEN,).證明：｛1-與為一個等比數列，求數列｛4｝

22an-i+n—1an

的通項公式.

【解答】證：Va-,兩邊取倒數得，

2an-i4-n-l

兩邊乘以n,并裂項得，

%371。“一1

-—?兩邊減1得，

斯33(In-1

因此，i-*n-善，

故數列｛1-2｝是以1-2為首項，以;為公比的等比數列,

所以，1-2=(1-2)?(；)"-】，其中ag,

an32

解得，a“督.

1.直接證明

(1)綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所

要證明的結論成立

(2)分析法：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結

為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.

2.間接證明——反證法

(1)定義

假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明

假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫作反證法.

(2)適用范圍

①否定性命題；

②命題的結論中出現“至少”“至多”“唯一”等詞語.

4.2UBC的三邊長分別為a,b,c,△4BC的面積為S,則△4BC的內切圓半徑為r=—.將此結論類比到空

a+b+c

間四面體：設四面體S-A8C的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4,體積為K,則四面體的內切球半徑為r=

V2V

A.----B..—

S1+S2+S3+S4S1+S2+S3+S4

c.-―D,——

S1+S2+S3+S4S1+S2+S3+S4

【答案】C

【解析】設四面體S-N8C的四個面的面積分別為S,52.S3,S4,體積為匕

設四面體的內切球的球心為0,則球心。到四個面的距離都是小

所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和.

則四面體的體積為：(S+S2+S3+S4)r.

.>=—^―.

S1+52+S3+S4

故選：C.

【名師點睛】本題考查四面體的內切球半徑的求法及三棱錐體積公式的應用，考查推理論證能力，是基

礎題.

5.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：”是乙或丙獲

獎乙說：“甲、丙都未獲獎丙說：“我獲獎了丁說：“是乙獲獎四位歌手的話只有兩句是對的，

則獲獎的歌手是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

【答案】C

【解答】：若甲是獲獎的歌手，則都說假話，不合題意.

若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，不符合題意.

若丁是獲獎的歌手，則甲、丁、丙都說假話，乙說真話，不符合題意.

故獲獎的歌手是內

故選：C.

1.運用歸納推理的思維步驟：

①發現共性，通過觀察特例發現某些相似性（特例的共性或一般規律）；

②歸納推理，把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題（猜想）.一般地，“求同存異”“逐步細

化”“先粗后精”是求解由特殊結論推廣到一般結論型創新題的基本技巧.

2.類比推理應用的題型及相應方法

（1）類比定義：在求解由某種熟悉的定義產生的類比推理型試題時，可以借助定義.

（2）類比性質：對于由一個特殊式子的性質、一個特殊圖形的性質提出的類比推理型問題，求解時要

認真分析兩者之間的聯系與區別，深入思考兩者的轉化過程.

（3）類比方法：一些處理問題的方法類似，可以把這種方法類比應用到其他問題中，注意知識的遷移.

求解類比推理題的關鍵：①會定類，即找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；②會推測，即用一

類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個命題（猜想）.

1.不等式籌<1的解集是（）

4{x[x>l}^.{x|-l<x<2}

C.{x|xV-1或x>g}D{X'1<%<

2.已知一元二次不等式ax2+bx+l>0的解集為{x卜2<xvl},則a,b的值為（）

A.a=-l,b=-2B.a=-2,b=-l

i

C.a=b,D.a=l,b=2

3.已知。>0,b>0,且2a+6=2,則ab的最大值為（）

A.-B.—C.1D.y/2

22

4.已知正數4,b滿足ab=Q+b+3,則4b的最小值是（）

A.9B.10C.11D.12

5.已知。>0,b>0,4a+b=2,則5的最小值是（）

9

A.4B.-C.5D.9

2

A.2B.3C.2亞D.2.5

3

7.已知貝IJx（3—5x）取最大值時X的值為（）

39-91

A.—B.—C.—D.一

101052

rx—y+1N0

8.設x,y滿足約束條件卜+2y-2Z0,則z=|x+3y|的最大值為（）

Ax—y—8<0

A.15B.13

C.3D.2

f2x-y>0

9.設x,y滿足約束條件（x+gyW1,若z=-ax+y取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為（）

y>0

A.2或-3B.3或-2

D.或2

（x—2y>-2

10.設X,y滿足約束條件卜x-2yW3,若d+d/'m恒成立，則實數m的最大值為（）

（x+y>1

A.-

2

C-D

*5-I

（yW-x4-2

11.已知不等式組（yWkx+l所表示的平面區域為面積等于，的三角形，則實數k的值為（）

（y》o

A.1B.-2

C.1或-2D.

%_y_1W0

12.若實數x,y滿足卜+2y+2<0,則z=的取值范圍是()

x2-2

A.[-)+8)B.[-,+8)

C.4，2]D.2]

'%+y-320

13.已知變量x、y滿足約束條件x-2y+320,則看巧的概率是()

%W3

(%20

14.若x,y滿足1%+y<3,表示的平面區域為。，直線y=kx-k與區域。有公共點，則實數k的取

(y22x+1

值范圍為()

A.[-1,+°°)B.(-°°,-7]U[-1,+8)

C.[-7,-1]D.(-oo,-7]

15.若b<a<0,則下列不等式：0|a|>|b|；②a+b>ab；>2;④!<2a-b中正確的不等式有（）個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

16.已知0<a<<1,則HjogbaJogW的大小關系是

a

A.log』/?<ab<log^aB.log^Z?<log^a<ab

aa

C.log/,a<logib<abD.ab<logj?<log^a

aa

17.設正實數a,b,c滿足。2_3"+462_°=0,則當他取得最大值時，2+1_一2最大值為

cabc

A.0B.1

9

C.-D.3

4

18.利用數學歸納法證明不等式1+器+…含<f（n）（n22,n6N*）的過程中，由n=k變到n=k+l時，左

邊增加了（）

A.1項B.k項

C.2…項D.21*項

19.設x、y、z為正數，且2*=3'=5",則（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

20.已知從1開始的連續奇數蛇形排列形成寶塔形數表，第一行為1,第二行為3,5,第三行為7,9,11,

第四行為13,15,17,19,如圖所示，在寶塔形數表中位于第i行，第/列的數記為《才比如的,2=9,

。4,2=15，的,4=23,若%,/=2019,則i+/=

A.72B.71C.66D.65

21.用圓的下列性質，類比球的有關性質:

圓：①圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦；②與圓心距離相等的兩弦長相等；③圓的周長為C=2w；

④圓的面積為S=nr2.

球：①球心與截面圓（不過球心）的圓心的連線垂直于截面；②與球心的距離相等的兩個截面的面積

A

相等；③球的表面積為5=4兀/；④球的體積為憶=—兀色

3

其中，類比所得結論正確的有

A.①②③B.②③④C.①②③④D.①③④

22.類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推出正四面體的下列哪些性質，你認為

比較恰當的是

①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等：

②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；

③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等.

A.①③B.②③C.①②D.①②③

23.周末，某高校一學生宿舍甲、乙、丙、丁四位同學正在做四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，

下面是關于他們各自在做的事情的一些判斷：

①甲不在看書，也不在寫信；

②乙不在寫信，也不在聽音樂；

③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在看書；

④丙不在看書，也不在寫信.

已知這些判斷都是正確的，依據以上判斷，請問乙同學正在做的事情是

A.玩游戲B.寫信C.聽音樂D.看書

24.不等式(1)3<x-P的解集為

2

ex~1,%<1

25.設函數f(x)=1,則使得f(x)<2成立的x的取值范圍是—?

B%>1

2x—y>0

26.若實數x,y滿足y>%且z=2x+y的最小值為3,則實數b的值為一.

y>-x^b

27.在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,NABC的平分線交AC于點D,且BD=1,

則4a+c的最小值為.

28,已知則函數歹="的最小值為.

22x-l

1.C【解答】：.原不等式等.價于言lvoyo=(x+l)-(l-2x)vo=(2x-l)(x+l)>o,解得X<-1或x>|.

故選：c

2.C【解答】：由題知a<0且-2,1為方程ax2+bx+l=0的兩根，由根與系數的關系可求得a=b得

故選：C

3.A【解答］：I。>°,6>°,且2a+b=2,

則ab=gx(2ab)?：xJ"：")2=1,

2222

當且僅當2a=b且2a+b=2B|la=!，b=1時取得最大值!.

22

故選：，.

4.A【解答】：:正數。，b滿足〃b=o+b+3,

;.ab=a+b+3..2\［^+3,

/.4ab..V3,.“6.9,

當且僅當a=b=3時取等號，

/.ab的最小值為9.

故選：A.

5.B【解答】：入〉。，b>0,4a+6=2,

11111、“，、

一+丁=7（_+工）（4々+6）

ab2ab

=/+2+處）

2ah

Nab2

當且僅當2=華，即。=:，6=:時取等號，

ab33

故選：B.

6.D【解答］：令f=…2)，則y=r+：在［2,+8)上單調遞增,

x2+5

=2,即x=0,函數/(X)=T^(X€H)的最小值為2.5,

Vx+4

故選：D.

3

7.A【解答］：vO<x<-,

、、、

貝n.lijx(/3c-5ux)=-1x5lx(3-5lx),-1x(/5--X--+---3---5--X-)~2=—9,

3

當且僅當5x=3-5x即x*時取最大值

故選：A.

'%—y+1Z0

8.A【解答】：由約束條件卜+2y—220作出可行域如圖,

.4%—y—8<0

聯立｛"；二）："解得A（3,4）,

由圖可知，z=|x+3y|=x+3y,化為y=-g+/

當直線y=-：+：過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為15.

故選：A.

9.A【解答】：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分OAB）.

由z=y-ax得y=ax+z,即直線的截距最大，z也最大.

若a=0,此時y=z,此時，目標函數只在A處取得最大值，不滿足條件，

若a>0,目標函數y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y-ax取得最大值的最優解不唯一,

則直線y=ax+z與直線2x-y=0平行，此時a=2,

若a<0,目標函數產ax+z的斜率k=a〈O,要使z=y-ax取得最大值的最優解不唯一,

則直線y=ax+z與直線xgy=l平行，此時a=-3,

綜上a=-3或a=2,

故選:A.

10.C【解答】：設a=x,b=2y,則不等式一+4/2用等價為a2+b?2m,

ci-b之一2

則約束條件等價為3a—%W3,

2a+b>2

作出不等式組對應的平面區域如圖：

設z=a2+b2,則z的幾何意義是區域內的點到原點的距離,

由圖象知0到直線2a+b=2的距離最小，

此時原點到直線的距離=4>

V22+lV5

則z=d寸，

即mWg,即實數m的最大值為夕

故選：C.

yW-x+2

11.A【解答工：不等式組［yWkx+l所表示的平面區域為面積等于（的三角形，如圖:

、y》0

平面為三角形所以過點（2,0）,

Vy=kx+1,與x軸的交點為（1,0）,

y=kx+l與y=-x+2的交點為（占，誓■），

三角形的面積為：(2+J)X翌T，

2kk+14

解得：k=l.

故選：A.

%-y-1W0

12.C【解答]：作出實數x,y滿足卜+2y+2<0的可行域如圖陰影部分所示:

x2-2

目標函數z=￡|可以認為是D(2,3)與可行域內一點

(x,y)連線的斜率.

當連線過點A時，其最小值沏S4

連線經過B時，最大值為：旁=2

0-2

則z=E|的取值范圍是：?，2].故選：C.

則扣勺幾何意義是可行域內的點與Q(一1，0)連線的斜率超過%

由圖形可知：直線x=3與直線x-2y+l=0的交點為：(3,2),

直線x-2y+3=0與x=3的交點(3,3),

.?.則的概率：職

則七三的概率是：1-矣.

x+1299

故選：C.

14.C【解答】：作出x,y滿足(x+yW3對應的平面區域如圖：

(y22x+1

y=k(x-1)過定點P(1,0),由交點A信：)，

\X~vy-us-5

由圖象可知當直線經過點A(1,b，時，直線的斜率最小，此時1：拿=-7,

33-—1

3

由解得B(0,1)

當直線經過點B時;直線的斜率最大，此時k=-l,

.Ik的取值范圍是：［-7,-1］

故選：C.

15.B【解答］；b<a<0,故①錯誤;

a+b<0,ab>0,則a+b<ab,故②錯誤；

Vb<a<0,->0,則畜22F里2,

oaba7ba

當且僅當了，即a=b時，取等號,二等號不成立,

ba

故法》2,故③正確，

2

若ja<2a-b成立，則等價為a2>2ab-b2,

b

即a2-2ab+b2>0,即(a-b)2>0,

Vb<a<0,，(a-b)2>0成立，故④正確，

故正確的命題是③④，

故選：B.

16.A【解析】由題意，可知0<a<b<1,

所以log^Q>logM=1]>ab>Ojog^b<0,所以logj?<ab<log^a,故選A.

aa

【名師點睛】本題主要考查了指數函數與對數函數的單調性的應用，其中解答中合理利用指數函數與

對數函數的性質是解答關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

17.B【解析】正實數a,b,c滿足°2一3〃6+4〃-c=0,可得°=白2_3〃6+462,—=—...------=----上---，

ca2-3ab+4b2a4b

-n----J

ba

由色+竺發"E=4,當且僅當a=2b取得等號，則a=2b時，的取得最大值，且c=2h\-+

ba\bacabchb

(-i-1)2+l,當b=l時，74+上i-74取得最大值，且為1.故選B.

bahc

18.D【解答]用數學歸納法證明等式l+；+J+…+J；Vf(n)(n》2,nGN*)的過程中，

LiL—1

假設n=k時不等式成立，左邊=1+器+…+六，

則當n=k+l時，左邊=1+器+…+上$+人■+…+加七’

由n=k遞推到n=k+l時不等式左邊增加了：身志?+???+/?

共(2W-1)-2。1=2卜項，

故選:D.

19.D【解答】：x、y、z為正數，

令2'=3'=5』>1.lgk>0.

則x翟，y若，z嘿.

lg2lg3IgS

l9kl9k

.Qy-5RZ”Igk

?13yW2Xl陋一強

vV3=V9>V8=V2,V2=IV32>'V25=V5.

：.lgV3>lgV2>lgV5>0.

/.3y<2x<5z.

另解：x、y、z為正數，

令2"=3=5三k>l.lgk>0.

則X若，y筆，z喂.

3lg3IgS

.??當x等翟>1，可得2x>3y,

3y3lg2IgB

r4xrrrS>1-可得5z>2x.

2x2IgSIgS^

綜上可得：5z>2x>3y.

解法三：對k取特殊值，也可以比較出大小關系.

故選：D.

20.【答案】B

【解析】奇數2019為第1010個奇數，

按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1+2+…+i=”個奇數，

則第1行到第44行末共有990個奇數，

第1行到第45行末共有1035個奇數，則2019位于第45行；

而第45行是從右到左依次遞增，且共有45個奇數；

故2019位于第45行，從右到左第20列，

則i=45,;=26=>1+j=71,

故選B.

21.【答案】C

【解析】由類比的規則可得點類比線，線類比面，面類比體，長度類比面積，面積類比體積，由圓：

①圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦；②與圓心距離相等的兩弦長相等；③圓的周長為C=2w；

④圓的面積為SFH