教學基本信息

課題：正弦定理（教材版本名稱、章、節名稱）人教A版第一章第一課時

作者及工作單位玉田縣第二中學王雄飛

指導思想與理論依據

將自己在本節課教學中的亮點設計所依據的指導思想或者核心教育教學理論簡述即可，指導思想和依據

的教育理論應該在后面的教學過程中明確體現出來。本部分內容必須和實際的教學內容緊密聯系，避免出現照

搬課標中整個模塊的教學指導思想等情況

正弦定理這部分內容共分為三個層次：第二層次教師通過引導學生對實際問題的探索，并大膽提出猜想;

第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓

法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定

理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，感受''觀察一一

實驗一一猜想一一證明一一應用”這一思維方法，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。

教材分析

（可以從以下幾個方面進行闡述，不必面面俱到）

?課標中對本節內容的要求；本節內容的知識體系；本節內容在教材中的地位，前后教材內容的邏輯關系。

?本節核心內容的功能和價值（為什么學本節內容），不僅要思考其他內容對本節內容學習的幫助，本節內

容的學習對學科體系的建立、其他學科內容學習的幫助；還應該思考通過本節內容的學習，對學生學科能力甚

至綜合素質的幫助，以及思維方式的變化影響等。

本節內容安排在《普通高中課程標準實驗教科書?數學必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一課時,

是在高二學生學習了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初

中解直角三角形內容的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。

根據實際教學處理，正弦定理這部分內容共分為三個層次：第一層次教師通過引導學生對實際問題的探索，

并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法”、“等

積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三

層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，

感受''觀察一一實驗一一猜想一一證明一一應用”這一思維方法，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真

的精神。

學情分析

（可以從以下幾個方面進行闡述，但不需要格式化，不必面面俱到）

教師主觀分析、師生訪談、學生作業或試題分析反饋、問卷調查等是比較有效的學習者分析的測量手段。

?學生認知發展分析：主要分析學生現在的認知基礎（包括知識基礎和能力基礎），要形成本節內容應該要

走的認知發展線，即從學生現有的認知基礎，經過哪幾個環節，最終形成本節課要達到的知識。

?學生認知障礙點：學生形成本節課知識時最主要的障礙點，可能是知識基礎不足、舊的概念或者能力方法

不夠、思維方式變化等。

對普高高二的學生來說，己學的平面幾何，解直角三角形，三角函數，向量等知識，有一定觀察分析、解

決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據以上特點，

教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品

嘗勞動成果的喜悅。

教學目標

（教學目標的確定應注意按照新課程的三維目標體系進行分析）

1.讓學生從已有的幾何知識出發，通過對任意三角形邊角關系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與

其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理

的內容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。

2.通過對實際問題的探索，培養學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協作

能力和交流能力，發展學生的創新意識，培養創造性思維的能力。

3.通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇于探索、善于發現、不畏艱辛的

創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的興趣。

4.培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角形函數、正弦定理、向量的數量

積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

教學重點和難點

教學重點：正弦定理的發現與證明；正弦定理的簡單應用。

教學難點：正弦定理的猜想提出過程。

教學流程示意

（按課時設計教學流程，教學流程應能清晰準確的表述本節課的教學環節，以及教學環節的核心活動內容。因

此既要避免只有簡單的環節，而沒有環節實施的具體內容；還要避免把環節細化，一般來說，一節課的主要環

節最好控制在4~6個之間，這樣比較有利于教學環節的實施。）

（-）結合實例，激發動機

（二）數學實驗，驗證猜想

（三）證明猜想，得出定理

（四）利用定理，解決引例

（五）了解解三角形概念

（六）運用定理，解決例題

教學過程（教學過程的表述不必詳細到將教師、學生的所有對話、活動逐字記錄，但是應該把主要環節的實施

過程很清楚地再現。）

教學環節教師活動預設學生行為設計意圖

（一）結合實例，激發動機

師生活動：

教師：展示情景圖如圖1,船從港口B

航行到港口C測得BC的距離為600〃?，

船在港口C卸貨后繼續向港口A航行，由

于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船

上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？

學生：思考提出測量角A,C

教師：若已知測得N3AC=75。，

ZACB=45°,要計算A、B兩地距離，你

（圖1）

有辦法解決嗎？

學生：思考交流，畫一個三角形A'5'C',使得朋。為6cm,NB'AC'=75。，

NA'CB'=45。,量得A8'距離約為4.9cm,利用三角形相似性質可知AB約為

490mo

老師：對，很好，在初中，我們學過相似三角形，也學過解直角三角形，大家還記得嗎？

師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。②直角三角形中，已

知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。

o教師：引導，A43C是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？

學生：思考，交流，得出過A作AO_LBC于。如圖2,把A4BC分為兩個直角三角形，解題過程，學生闡述,

教師板書。

解：過4作AO_L3C于。

AH

在H/A4CD中，sinZACB=——

AC

AD=ACIinZACB=600x—=300后

2

\-ZACB=45°,ZBAC=75°

ZABC=180°-Z4CB-ZACB=60°D

（圖2）

An

在MA43O中，sinZABC=—

AB

“nAD300V2

/.AB=------------=——200晶

sinZABCV3

2

教師:表示對學生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若AC=b,A8=c,能否用8、b、C表示c呢？

教師:引導學生再觀察剛才解題過程。

學生:發現sinC=^^,sinB-

bc

AD=Z?sinC=csinB

ftsinC

/.c=----------

sinB

教師:引導，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發現什么？

發現即然有，=如吐，那么也有。=竺妊hsinA

學生:a=--------

sinBsinAsinB

/?sinCQsinChsinAcbca

教師:引導ca=--------,我們習慣寫成對稱形式—,—

sinBsinAsinBsinCsinBsinCsinA

abc

—,因此我們可以發現是否任意三角形都有這種邊角關系呢？

sinAsinBsinAsinBsinC

設計意圖：興趣是最好的老師。如果一節課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學生日

常生活中的實際問題引入，激發學生思維，激發學生的求知欲，引導學生轉化為解直角三角形的問題，在解決

問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結論——猜想，培養學生從特殊到一般思想意識，培養學生創

造性思維能力。

（二）數學實驗，驗證猜想

c

教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗4=是否成立，舉出特例。

sinAsinBsinC

(1)在AABC中，NA,ZB,NC分別為60。，60°,60°,對應的邊長a：b：c為1：1：1,對應

角的正弦值分別為今日,當，引導學生考察

bJ的關系。（學生回答它們相等）

sinBsinC

（2）、在4ABC中，ZA,ZB,NC分別為45。,45°,90°,對應的邊長a：b：c為1：1：血，

對應角的正弦值分別為冬冬I;（學生回答它們相等）

(3)、在ZkABC中，ZA,ZB,NC分別為30。，60°,90°,對應的邊長a：b：c為1：6：2,

對應角的正弦值分別為;,V3

1（學生回答它們相等）（圖3）

20

(圖3)

教師:對于呢？

學生:思考交流得出，如圖4,在RtAABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,

則有sin力二色，six\B=—,又sinC=l=J

ccc

CB

(圖4)

則,b

sinAsinBsinC

從而在直角三角形ABC中,b

sin/sin夕sinC

教師：那么任意三角形是否有q=—2—=—J呢？學生按事先安排分組，出示實驗報告單，讓學生

sinAsinBsinC

閱讀實驗報告單，質疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學生沒有問題，教師讓學生動手

計算，附實驗報告單。）

學生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數值，通過實驗數據計算，比較一嘰、—>

sinAsinB

」一的近似值。

sinC

教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，三、/一、'值仍然保持相等。

sinAsinBsinC

我們猜想：，-=0-=-^

sinAsinBsinC

設計意圖：讓學生體驗數學實驗，激起學生的好奇心和求知欲望。學生自己進行實驗，體會到數學實驗的

歸納和演繹推理的兩個側面。

（三）證明猜想，得出定理

師生活動：

教師：我們雖然經歷了數學實驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何用數學的思想方法證明

‘一=」^=」一呢？前面探索過程對我們有沒有啟發？學生分組討論，每組派一個代表總結。（以下證明過

sinAsinBsinC

程，根據學生回答情況進行敘述）

學生：思考得出

①在中，成立，如前面檢驗。

②在銳角三角形中，如圖5設=CA^b,AB=c

作：ADLBC,垂足為。

An

在RfAAB。中，sin5=—

AB

:,AD=A8?sin8=c-sinB

An

在放AAOC中，sinC=—

AC

AD=AC?sinC=/??sinC

csinB=bsinC

*__c______h_

sinCsinB

同理，在A43C中，——二——

sinAsinC

a_b_c

sinAsinBsinC

③在鈍角三角形中，如圖6設NC為鈍角,BC=a,CA=b,AB=c

作AO，8C交BC的延長線于D

在RtAADB中，sinB=----

AB

AD=AB?sin3=c?sin3

An

在RrAAOC中，sinZACD=——

AC

/.AD=AC?sinZACD=b^sinZACB

:.c^sinB=h^sinZACB

.c_6

sinZACBsinB

同銳角三角形證明可知」=—J

sinAsinC

a_b_c

sinAsinBsinZACB

教師：我們把這條性質稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a_b_c

sinAsinBsinC

還有其它證明方法嗎？

學生：思考得出，分析圖形（圖7）,對于任意△ABC,由初中所學過的面積公式可以得出：

S.=-AC?BD=-CB?AE^-BA?CF,

MABRCC222

RDApCF

而由圖中可以看出:sinABAC=—,sinZACB=—,sinZABC=—

ABACBC

BD=sinABAC,AE=AC?sinNACB,CF=BC?sinZABC

.■.S..=-AC?BD=-CB?AE=-BA?CF

MBRCr222

=-AC*A5?sinABAC^-CB?CA?sinZACB=-5A-5C-sinZABC

222

=—/??c?sin*BAC=—a?Z??sinZACB=-c?a?smAABC

222

等式—Z?*c?sinABAC=-a?b?sinZACB=—sinZAJ3C中均除以—abc后可得

2222

sinABAC_sinZABC_sinZACB

——,

abc

即一-=——-=——-——。

sinABACsinZABCsinZACB

教師邊分析邊引導學生，同時板書證明過程。

在剛才的證明過程中大家是否發現三角形高4'=,?5由乙鉆。=4?5皿乙48。，三角形的面積：,

能否得到新面積公式

學生：S.=—Z>?c?sinZ.BAC=—??Z??sinZACB=-c?a?sinZABC

MABRCr222

得到三角形面積公式=—abainC=—caamB=—besinA

222

教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：—s—,—J都等于同一個比值Z,那么它們也相等，

sinAsinBsinC

這個女到底有沒有什么特殊幾何意義呢？

aoc

學生：在前面的檢驗中，Rt\ABC中，=——"—C9C

sinAsinBsinC

恰為外接接圓的直徑，即c=Z=2R,所以作A48C的外B'接圓0,。為圓心，連接8。

并延長交圓。于8’，把一般三角形轉化為直角三角形。/

證明：連續80并延長交圓于8'//

ZB'AB=90°,NB'=NC|/

在RrAB'AB中,=V/

sin3'sinC一

「（圖8）

即上=2/?

sinC

同理可證：，一=2R,—也=2/?

sinAsinB

.H=±=，=2R

sinAsinBsinC

教師：從剛才的證明過程中，」一=上=—J=2R,顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑2R,

sinAsinBsinC

我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定

理？比如，在向量中，我也學過￡?B=W?W?cos。，這與邊的長度和三角函數值有較為密切的聯系，是否能夠

利用向量積來證明正弦定理呢？

學生：思考（聯系作高的思想）得出:

在銳角三角形A4BC中，AB+BC^AC,作單位向量了垂直于AC,

AC?j=AB?j+BC?j

即0=c?cos(90°—A)+a?cos(90°-C)

sinA-<2?sinC=0

.c_a

sinCsinA

同理：必一=-^

BA

sinsin(圖9)

a_b_c

sinAsinBsinC

對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。

教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學回家再探索。

設計意圖：經歷證明猜想的過程，進一步引導啟發學生利用已有的數學知識論證猜想，力圖讓學生體驗數學

的學習過程。

（四）利用定理，解決引例

師生活動：

教師：現在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。

學生：馬上得出

在A/18C中，ZB=1800-ZA-ZC=60°,——=—^

sinCsinB

匕??

sinC_600sin45°=2QQs/6m

sin6-sin60°

（五）了解解三角形概念

設計意圖：讓學生了解解三南形概念，形成知識的完整性

教師：一般地，把三角形的三個角A、8、C和它們的對邊a、b,c叫做三角形的元素，己知，三角形的

幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。

設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，

激發學生不斷探索新知識的欲望。

（六）運用定理，解決例題

師生活動：

教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。

學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：

①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如a=型嗎;

sin￡

②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如sin/蕓sin6。

b

師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是突出主體，教師板書的目的是

規范解題步驟。

例1：在A48c中，已知A=30。，5=45。，a=6cm,解三角形。

分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內角和為180。求出第三個角N

C,再由正弦定理求其他兩邊。

例2：在A48c中，已知。=2后，b=2舊,A=45。，解三角形。

例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充交流

學生：反饋練習(教科書第5頁的練習)

用實物投影儀展示學生中解題步驟規范的解答。

設計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我

要學”，“我栗研究”的主動學習。

(七)嘗試小結：

教師：提示引導學生總結本節課的主要內容。

學生：思考交流，歸納總結。

師生：讓學生嘗試小結，教師及時補充，要體現：

(1)正弦定理的內容(―L=_9_=_J=2R)及其證明思想方法。