山西省忻州市2024-2025學年高二數學下學期期末聯合考試試題第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．命題“，”的否定為（）A．， B．，C．， D．，2．隨機變量X聽從正態分布，且，則下列說法肯定正確的是（）A． B． C． D．3．已知集合，，則（）A． B． C． D．（－1，2）4．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓C上一點，若△PF1F2的周長為18，長半軸長為5，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．5．函數的圖象大致為（）A． B． C． D．6．拋物線上一點P到原點的距離為，則P到焦點的距離為（）A．4 B．5 C．6 D．77．計算（）A． B． C． D．8．某圓錐的母線長為4，高為3，則該圓錐外接球的表面積為（）A．16π B． C．24π D．9．已知P是直線上隨意一點，過點P作兩條直線與圓相切．切點分別為A，B，則的最小值為（）A． B． C． D．10．隨機變量X的分布列如下所示．X23Pa2ba則的最大值為（）A． B． C． D．11．已知向量a，b，c滿意，，a⊥b，則的最大值為（）A． B． C． D．12．援鄂醫護人員A，B，C，D，E，F共6人（其中A是隊長）圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務返回本地，他們受到當地群眾與領導的熱情歡迎，當地媒體為了宣揚他們的優秀事跡，讓這6名醫護人員和當地的一位領導共7人站成一排拍照，則領導和隊長A相鄰且不站兩端，B與C相鄰，B與D不相鄰的排法種數為（）A．120 B．288 C．240 D．360第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．______．14．若函數的圖象在點處的切線恰好經過點（2，3），則a＝______．15．某學校高一、高二、高三的學生人數之比為5：5：6．這三個年級分別有20%，30%，20%的學生獲得過獎學金，現隨機選取一名學生，此學生恰好獲得過獎學金，則該學生是高二年級學生的概率為______．16．科學記數法是一種記數的方法．把一個數x表示成a與10的n次冪相乘的形式，其中，．當時．．若一個正整數m的16次方是12位數，則m＝______．（參考數據：，）三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在△ABC中，AB＝2，，BC＝4，D為AC上一點．（1）若BD為AC邊上的中線，求BD；（2）若BD為∠ABC的角平分線，求BD．18．（12分）防疫抗疫，人人有責．隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢越來越嚴峻，防疫物資需求量急增．下表是某口罩廠今年的月份x與訂單y（單位：萬元）的幾組對應數據：月份x12345訂單y（1）求y關于x的閱歷回來方程，并估計該廠6月份的訂單金額．（2）已知甲從該口罩廠隨機購買了4箱口罩，該口罩廠質檢過程中發覺該批口罩的合格率為，不合格產品須要更換．用X表示甲須要更換口罩的箱數，求隨機變量X的分布列和數學期望．參考數據：，．參考公式：回來直線的方程是，其中19．（12分）已知數列的首項為3，且．（1）證明數列是等差數列，并求的通項公式；（2）若，求數列的前n項和．20．（12分）如圖，在四棱錐E－ABCD中，，，AB＝BC＝1，BE＝3，，C，D都在平面ABE的上方．（1）證明：平面BCE⊥平面ABCD．（2）若BC⊥BE，且平面CDE與平面ABE所成銳二面角的余弦值為，求四棱錐E－ABCD的體積．21．（12分）已知雙曲線的右焦點為F2，點F2到E的一條漸近線的距離為，過點F2的直線與E相交于A，B兩點．當AB⊥x軸時，．（1）求E的方程．（2）若，N是直線x＝1上一點，當B、M，N三點共線時，推斷直線AN的斜率是否為定值．若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由．22．（12分）已知函數．（1）當k＝0時，求的極值；（2）證明：當k＞e，x＞1時，．2024～2024學年高二下學期期末聯合考試數學參考答案1．D存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，故命題“，”的否定為“”，．2．B因為，由正態分布的對稱性可得，故B正確，A錯誤，而正態分布的方差無法確定，故C，D均錯誤．3．B因為，，所以．4．A設焦距為2c．因為△PF1F2的周長為18，所以，所以．因為長半軸長為5，所以橢圓C的離心率為．5．A因為，所以為奇函數，故解除B，D．當x＞0時，；當時，．故選A．6．B設P（m，n），則，解得m＝4（負根舍去），所以P到焦點的距離為．7．A表示首項為：，公比為的等比數列的前11項和，所以．8．D設該圓錐外接球的半徑為R，則，解得，故該圓錐外接球的表面積．9．B圓C是以為圓心，2為半徑的圓，由題可知，當∠ACP最小時，的值最小．，當取得最小值時，最大，∠ACP最小．點C到直線l的距離，故當時，最大，且最大值為，此時，則．10．D由題可知，即，，．，令，則，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以．11．D．因為，，所以，，所以．又，，所以，當且僅當與反向時，等號成立，所以的最大值為．12．C先將領導和隊長A，B和C“捆綁”，分別當作一個整體，領導和隊長A，B和C兩個小整體內部可以互換位置，有種不同的排法．將B和C小整體與除領導和隊長A外的3個人一起排列，有種不同的排法，再讓領導和隊長A這個小整體從中間的3個位置選1個位置排，有種不同的排法，所以共有種不同的排法．當B與D相鄰時，將B支配在中間，C，D支配在B的兩側，有種排法，然后將他們3人當作一個整體，與除領導和隊長A外的2個人一起排列，有種不同的排法，再讓領導和隊長A這個小整體從中間的2個位置中選1個位置排，共有種不同的排法．故共有288－48＝240種不同的排法．13．．14．－1由題可知，則．又，所以的圖象在點處的切線方程為，即．因為點（2，3）在切線上，所以，解得．15．設事務A為被選到的學生獲得過獎學金，事務B為該學生是高二年級學生，則．16．5由題意可設，因為正整數m的16次方是12位數，所以n＝11，所以．因為，所以，所以，則．又，，，所以m＝5．17．解：（1）在△ABC中，．因為BD為AC邊上的中線，所以．在△ABD中，，所以．（2）在△ABC中，，則．因為BD為∠ABC的角平分線，所以，由，得，即，解得．18．解：（1）由數據可得，，，（或），，，故y關于x的閱歷回來方程為．當x＝6時，．估計該廠6月份的訂單金額為59.9萬元．（2）依題意，隨機變量X的取值可能為0，1，2，3，4，X～；；；；．隨機變量X的分布列為X01234P故．19．解：（1）因為，所以，則，所以數列是等差數列，從而，即．（2），則．20．（1）證明：因為，所以AB⊥BE．因為，AB⊥AD，所以AB⊥BC因為，所以AB⊥平面BCE．又平面ABCD，所以平面BCE⊥平面ABCD．（2）解：以B為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz，設，則E（3，0，0），C（0，0，1），D（0，1，t），，．設平面CDE的法向量為，則，即令x＝1，得．易知是平面ABE的一個法向量，由，解得t＝3或－1（舍去）．故．21．解：（1）依據對稱性，不妨設F2到直線的距離為，則．當AB⊥x軸時，，則．故E的方程為．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）．當直線AB的斜率不為0時，設直線AB的方程為，聯立方程組化簡得，由得m≠±1，則，．設N（1，t），因為B，M，N三點共線，所以，整理得．因為，所以，即直線AN的斜率為定值0．分當直線AB的斜率為0時，A，B，M，N都在x軸上，則直線AN的斜率為定值0．綜上所述，直線AN的斜率為定值0．22．（1）解：