第第頁§8.1直線的方程課標要求1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)．知識梳理1．直線的方向向量設A，B為直線上的兩點，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.(α≠90°)(2)過兩點的直線的斜率公式如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內的直線都適用常用結論1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．2．“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數．應注意過原點的特殊情況是否滿足題意．3．斜率為k的直線的一個方向向量為(1，k)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角．(√)(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大．(×)(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tanα.(×)(4)經過P0(x0，y0)的任意直線方程可表示為y－y0＝k(x－x0)．(×)2．已知點A(2,0)，B(3，eq\r(3))，則直線AB的傾斜角為()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析由題意得直線AB的斜率k＝eq\f(\r(3)－0,3－2)＝eq\r(3)，設直線AB的傾斜角為α，則tanα＝eq\r(3)，∵0°≤α<180°，∴α＝60°.3．過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為_____．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當截距不為0時，設直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.所以直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4．直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所過的定點坐標為________．答案(1，－1)解析直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化為m(y＋1)＋y＋x＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋1＝0，,y＋x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))故所過的定點坐標為(1，－1).題型一直線的傾斜角與斜率例1(1)若直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A．[－eq\r(3)，1]B．(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)答案B解析如圖，當直線l過點B時，設直線l的斜率為k1，則k1＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)；當直線l過點A時，設直線l的斜率為k2，則k2＝eq\f(1－0,2－1)＝1，所以要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．延伸探究本例(1)條件不變，則直線l的傾斜角的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))(2)已知直線l的方程為xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，則直線l傾斜角的范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))答案B解析xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，則k＝－eq\f(\r(3),3)sinα∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，設直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以當k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時，直線l的傾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))；當k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))時，直線l的傾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，綜上所述，直線l的傾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).思維升華直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區間不是正切函數的單調區間，因此根據斜率求傾斜角的范圍時，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．跟蹤訓練1(1)已知直線l的一個方向向量為p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)，cos\f(π,3)))，則直線l的傾斜角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案A解析由題意可得，直線l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,3),sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)，又傾斜角的范圍是[0，π)，所以k＝eq\f(\r(3),3)＝taneq\f(π,6)，即直線l的傾斜角為eq\f(π,6).(2)在平面直角坐標系中，等邊三角形ABC的邊AB所在直線斜率為2eq\r(3)，則邊AC所在直線斜率的一個可能值為________．答案－eq\f(3\r(3),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(\r(3),7)))解析設直線AB的傾斜角為α，由已知得kAB＝tanα＝2eq\r(3)，設直線AC的傾斜角為θ，則kAC＝tanθ，因為在等邊三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，當θ＝α＋60°時，tanθ＝tan(α＋60°)＝eq\f(tanα＋tan60°,1－tanαtan60°)＝eq\f(2\r(3)＋\r(3),1－2\r(3)×\r(3))＝－eq\f(3\r(3),5)，所以kAC＝－eq\f(3\r(3),5)；當θ＝α－60°時，tanθ＝tan(α－60°)＝eq\f(tanα－tan60°,1＋tanαtan60°)＝eq\f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(3),7)，所以kAC＝eq\f(\r(3),7)，綜上，kAC＝－eq\f(3\r(3),5)或kAC＝eq\f(\r(3),7).題型二求直線的方程例2求符合下列條件的直線方程：(1)直線過點A(－1，－3)，且斜率為－eq\f(1,4)；(2)斜率為eq\f(3,4)，且與兩坐標軸圍成的面積為6；(3)直線過點(2,1)，且橫截距為縱截距的兩倍．解(1)∵所求直線過點A(－1，－3)，且斜率為－eq\f(1,4)，∴y＋3＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.(2)設直線方程為y＝eq\f(3,4)x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－eq\f(4,3)b，∴eq\f(1,2)|b|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))＝6，解得b＝±3，∴直線方程為y＝eq\f(3,4)x±3，即3x－4y±12＝0.(3)當橫截距與縱截距都為0時，可設直線方程為y＝kx，又直線過點(2,1)，∴1＝2k，解得k＝eq\f(1,2)，∴直線方程為y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0；當橫截距與縱截距都不為0時，可設直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,a＝2b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))∴直線方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0；綜上，所求直線方程為x－2y＝0或x＋2y－4＝0.思維升華求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式．(2)待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數．跟蹤訓練2(1)過點P(1,4)在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條答案C解析當截距為0時，設直線方程為y＝kx，將P(1,4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程為y＝4x；當截距不為0時，①若截距相等，設方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，將P(1,4)代入，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,a)＝1，解得a＝5，故方程為x＋y＝5.②若截距互為相反數，設直線方程為eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，將P(1,4)代入，即eq\f(1,a)－eq\f(4,a)＝1，解得a＝－3，故方程為x－y＋3＝0.一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(不為0)，共3條．(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，則∠BAC的角平分線所在直線l的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0答案B解析如圖所示，設∠BAC的角平分線所在直線l與橫軸的交點為D(a,0)，由角平分線的性質可知eq\f(|AB|,|AC|)＝eq\f(|BD|,|DC|)?eq\f(\r(2＋22＋32),3)＝eq\f(a＋2,2－a)?a＝eq\f(1,2)，所以∠BAC的角平分線所在直線l的方程是eq\f(y－3,0－3)＝eq\f(x－2,\f(1,2)－2)?2x－y－1＝0.題型三直線方程的綜合應用例3已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程．解方法一設直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)，S△AOB＝eq\f(1,2)(1－2k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)×(4＋4)＝4，當且僅當－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)時，等號成立．故直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二設直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，且a>0，b>0，因為直線l過點M(2,1)，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，則1＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，故ab≥8，故S△AOB的最小值為eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)×8＝4，當且僅當eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)，即a＝4，b＝2時，等號成立，故直線l的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.延伸探究1．在本例條件下，當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程．解由本例方法二知，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq\f(a,b)＋eq\f(2b,a)≥3＋2eq\r(2)，當且僅當eq\f(a,b)＝eq\f(2b,a)，即a＝2＋eq\r(2)，b＝1＋eq\r(2)時，等號成立，所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為x＋eq\r(2)y－2－eq\r(2)＝0.2．在本例條件下，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程．解由本例方法一知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)(k<0)．所以|MA|·|MB|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝2×eq\f(1＋k2,|k|)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－k＋\f(1,－k)))≥4.當且僅當－k＝－eq\f(1,k)，即k＝－1時等號成立．此時直線l的方程為x＋y－3＝0.思維升華直線方程綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數相結合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數，借助函數的性質解決．(2)與方程、不等式相結合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識來解決．跟蹤訓練3(1)若直線l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0經過第四象限，則a的取值范圍為()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，0)∪[2，＋∞)C．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案C解析若a＝0，則l的方程為x＝－eq\f(3,2)，不經過第四象限；若a≠0，將l的方程轉化為y＝－eq\f(a－2,a)x－eq\f(2a－3,a)，因為l經過第四象限，所以－eq\f(a－2,a)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a－2,a)≥0，,－\f(2a－3,a)<0，))解得a<0或a>eq\f(3,2).綜上，a的取值范圍為(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).(2)已知直線kx－y＋2k－2＝0恒過定點A，點A在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均為正數，則eq\f(2,m)＋eq\f(2,n)的最小值為()A．4 B．4＋4eq\r(2)C．8 D．4－4eq\r(2)答案C解析由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.∴直線kx－y＋2k－2＝0恒過定點(－2，－2)，即A(－2，－2)，∵點A在直線mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，∴eq\f(2,m)＋eq\f(2,n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝8，當且僅當eq\f(n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝n＝eq\f(1,2)時取等號．∴eq\f(2,m)＋eq\f(2,n)的最小值為8.課時精練一、單項選擇題1．在x軸與y軸上截距分別為－2,2的直線的傾斜角為()A．45°B．135°C．90°D．180°答案A解析由題意知直線過點(－2,0)，(0,2)，設直線斜率為k，傾斜角為α，則k＝tanα＝eq\f(2－0,0－－2)＝1，故傾斜角α＝45°.2．已知ab<0，bc<0，則直線ax＋by＝c不過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析直線方程為y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(c,b)，其斜率－eq\f(a,b)>0，直線在y軸的截距eq\f(c,b)<0，據此可知直線不經過第二象限．3．已知直線l的一個方向向量為n＝(2,3)，若l過點A(－4,3)，則直線l的方程為()A．y－3＝－eq\f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq\f(3,2)(x－4)C．y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq\f(3,2)(x－4)答案C解析因為直線l的一個方向向量為n＝(2,3)，所以直線l的斜率k＝eq\f(3,2)，故直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)．4．直線l的傾斜角是直線eq\r(3)x－y－1＝0的傾斜角的2倍，且過點(eq\r(3)，－1)，則直線l的方程為()A.eq\r(3)x－y－4＝0 B．2eq\r(3)x－y－7＝0C.eq\r(3)x＋y－2＝0 D.eq\r(3)x＋y－4＝0答案C解析直線eq\r(3)x－y－1＝0可化為y＝eq\r(3)x－1，其斜率為eq\r(3)，∴其傾斜角為60°，∴直線l的傾斜角為120°，∴kl＝tan120°＝－eq\r(3)，∴直線l的方程為y＋1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－2＝0.5．已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A(4,3)，則過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程為()A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0答案C解析因為直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A(4,3)，所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)都在直線4x＋3y＋1＝0上，即過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程為4x＋3y＋1＝0.6．已知直線l：y＝eq\f(1,2)x＋1與y軸交于點P，將l繞點P逆時針旋轉45°后與x軸交于點Q，要使直線l平移后經過點Q，則應將直線l()A．向左平移eq\f(1,6)個單位長度B．向右平移eq\f(1,6)個單位長度C．向左平移eq\f(5,3)個單位長度D．向右平移eq\f(5,3)個單位長度答案D解析設直線l的傾斜角為α，則tanα＝eq\f(1,2)，旋轉后的直線斜率為tan(α＋45°)＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝3，又點P坐標為(0,1)，所以旋轉后的直線方程為y＝3x＋1，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，因為直線l過點(－2,0)，所以把直線l向右平移eq\f(5,3)個單位長度后經過點Q.二、多項選擇題7．已知直線l的方程為ax＋by－2＝0，則下列判斷正確的是()A．若ab>0，則直線l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，則直線l的傾斜角為90°C．直線l可能經過坐標原點D．若a＝0，b≠0，則直線l的傾斜角為0°答案ABD解析若ab>0，則直線l的斜率－eq\f(a,b)<0，故A正確；若b＝0，a≠0，則直線l的方程為x＝eq\f(2,a)，其傾斜角為90°，故B正確；將(0,0)代入ax＋by－2＝0中，顯然不成立，故C錯誤；若a＝0，b≠0，則直線l的方程為y＝eq\f(2,b)，其傾斜角為0°，故D正確．三、填空題8．已知直線y＝(3－2k)x－6不經過第一象限，則k的取值范圍為________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤0，,3－2k≤0，))得k≥eq\f(3,2).9．過點M(－3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為_______________．答案y＝－eq\f(5,3)x或x－y＋8＝0解析過點M(－3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數，當截距為0時，所求直線斜率為－eq\f(5,3)，方程為y＝－eq\f(5,3)x，即5x＋3y＝0；當截距不為0時，設所求直線方程為x－y＝a，代入M的坐標，可得a＝－3－5＝－8，即直線方程為x－y＋8＝0.綜上可得所求直線方程為y＝－eq\f(5,3)x或x－y＋8＝0.10．已知點A(2,4)，B(4,2)，直線l：y＝kx－2，則直線l經過定點________，若直線l與線段AB有公共點，則k的取值范圍是________．答案(0，－2)[1,3]解析由題意得直線l：y＝kx－2過定點C(0，－2)，又點A(2,4)，B(4,2)，kCA＝e