2024高考數學講義：立體幾何

目錄

1.空間幾何體及其表面積、體積.........................................1

2.空間點、直線、平面之間的位置關系.................................18

3.直線、平面平行的判定與性質........................................27

4.直線、平面垂直的判定與性質.......................................40

5.空間向量的運算及應用..............................................52

6.立體幾何中的向量方法..............................................66

1.空間幾何體及其表面積、體積

課程標準考向預測

1.利用實物模型、計算機軟件觀察

大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及

其簡單組合體的結構特征，并能運用這考情分析：空間幾何體的結構、

些特征描述現實生活中簡單物體的結空間幾何體的直觀圖仍會是高考的熱

構.點，多結合幾何體的體積和表面積的計

2.會用斜二側法畫出簡單空間圖形算進行考查.命題形式主要以選擇題、

（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡填空題為主.

易組合）的直觀圖.學科素養：直觀想象、數學運算.

3.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面

積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.

?等分步落實

精梳理、巧診斷，過好雙基關

V學生用書P114

I整知識I............................

1.多面體的結構特征

名稱棱柱棱錐棱臺

圖形

互相平行

底面多邊形互相平行

且相等

平行且相相交于一點,但不一定延長線交于二

側棱

笠相等盧

側面平行四邊

三角形梯形

形狀能

2.旋轉體的結構特征

名

圓柱圓錐圓臺球

稱

圖

形

母互相平行且相延長線交

相交于一點

線等，垂直于底面于一點

軸全等的等腰全等的笠X

全等的矩形圓

截面三角形腰梯形

側

面

矩形扇形扇環

展

開圖\

3.直觀圖

（1）畫法：常用斜二測畫法.

Q）規則：

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸，（軸的夾角為

45°（或135°）,z'軸與。軸（或y軸）垂直.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸.平行于X軸和

Z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段的長度在直觀圖中變

為原來的一半.

4.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺

側面

展開圖

s圓臺側=

側面積公式S廁柱地=2兀〃S［以錐側=皿

兀/

5.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾

柱體

S表面枳=S側+2S底V=Sh

（棱柱和圓柱）

錐體

V=\Sh

S表面積=S側+S底

（棱錐和圓錐）

（上下+

臺體V=1S+S

S表面枳=S側+S上+S下

（棱臺和圓臺）

^/Si.Sh）h

4.

球S=4兀R2V=.冰3

?常用結論

1.四棱柱的演變

底面為平行四邊形|丁一、側棱垂底面

四棱柱f平行六面體f

底面為正方,形

仃平行六面福——?

側棱與底面邊長相等I,,

正四棱柱I-----------------H正方體

2.斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

1坐標軸的夾角改變，

(1)“三變”1與y軸平行的線段的長度變為原來的一半,

〔圖形改變.

［平行性不變，

(2)“三不變”｛與x軸和z軸平行的線段的長度不改變，

〔相對位置不變.

3.正方體與球的切、接常用結論

(1)正方體的棱長為m球的半徑為

①若球為正方體的外接球，則2/?=5a；

②若球為正方體的內切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2H=啦A.

(2)長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則27?

=yla2+b2+c2.

(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3：1

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)用斜二測畫法畫水平放置的NA時，若NA的兩邊分別平行于x軸和y軸,

且NA=90°,則在直觀圖中，ZA=45°()

(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差.()

(5)長方體既有外接球又有內切球.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)V(5)X

2.(必修2P8習題T1改編)下列說法不正確的是()

A.棱柱的側棱長都相等

B.棱錐的側棱長都相等

C.三棱臺的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺的側棱長都相等

B［根據棱錐的結構特征知，棱錐的側棱長不一定都相等.］

3.(多選)下列結論正確的是()

A.錐體的體積等于底面面積與高之積

B.球的體積之比等于半徑之比的立方

C.臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差

D.圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側

面積是2ms

BC[Vw（t=|Sh,故A錯誤；Vs=1nR3,故球的體積之比等于半徑之

比的立方，故B正確；C顯然正確；圓柱的側面積為2nr?2nr=4"-nr=4

HS,故D錯誤，選BC.]

4.（2020.天津卷）若棱長為2小的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的

表面積為（）

A.12兀B.24兀

C.36兀D.144兀

C[棱長為2小的正方體的體對角線長為

7（2小）2+（2小）2+（2小）2=6,則正方體外接球的半徑/?=1=3,其

表面積為4JT我2=36JT,故選c.]

5.（必修2P8習題T1改編）在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為.（填

寫所有正確的序號）

解析：由棱柱的定義可判斷③⑤屬于棱柱.

答案：③⑤

6.如圖是水平放置的正方形A8C0,在直角坐標系xOy中，點8的坐標為

（2,2）,則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點9到V軸的距離為

解析：根據斜二測畫法規則畫出直觀圖，如圖所示.

作夕軸于點E,在RtaB'C'￡中，8'C'=1,N

B'C'E=45°,則B'E=^-.

V學生用書P115

空間幾何體的結構特征

［題組練透］

1.（多選）（2020?寶城區期中）下列命題中不正確的是（）

A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊

都互相平行的幾何體叫棱柱

C.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺

D.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

ACD［在A中，如圖的幾何體，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾

何體不是棱柱，故A錯誤；在B中，由棱柱的定義得：有兩個面平行，其余各

面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平等的幾何體叫棱柱，故

B正確；在C中，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組

成的幾何體叫棱臺，故C錯誤；在D中，如圖的幾何體，有兩個面平行，其余

各面都是平行四邊形的幾何體不是棱柱，故D錯誤.故選ACD.］

2.把一個半徑為20的半圓卷成圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）

A.10B.l（h/3

C.1072D.5s

B［設圓錐的底面半徑為r,高為瓦因為半圓的弧長等于圓錐的底面周長,

半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2nr=20",所以r=10,所以A=啦儀二正

=1即.］

3.給出下列四個命題：

①有兩個側面是矩形的立體圖形是直棱柱；

②側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側面都是矩形的直四棱柱是長方體；

④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱.

其中不正確的命題為.（填序號）

解析：對于①，平行六面體的兩個相對側面也可

能是矩形，故①錯；對于②，對等腰三角形的腰不是側棱

時不一定成立（如圖），故②錯；對于③，若底面不是矩形，

則四棱柱不是長方體，故③錯；對于④，可知側棱垂直于

底面，故④正確.綜上，命題①②③不正確.

答案：①②③

［題組練透］

1.以下關于斜二測直觀圖的結論，①角的水平放置的直觀圖一定是角；②

相等的角在直觀圖中仍然相等；③相等的線段在直觀圖中仍然相等；④若兩條線

段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行。其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

C［角的水平放置的直觀圖一定是角，①正確；相等的角在直觀圖中不一定

相等，例如在正方體A8CO-EFGO的直觀圖中NAOCWND48,故②錯誤；相等

的線段在直觀圖中不一定相行，例如在正方體A5CD-EFG0的直觀圖中A￡>=；

DC,故③錯誤；若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行，故

④正確。綜上所述，正確的個數為2.]

2.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正

方形，則原來的圖形是()

A[由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為啦，所以原

圖形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2啦.]

3.在直觀圖(如圖所示)中，四邊形O4&C為菱形且邊長為2cm,則在平

面直角坐標系xOy中，四邊形ABCO為,面積為cm2.

解析：在直觀圖中，四邊形為。女夕。菱形且邊長為2cm,

...由斜二測法的規則得：

在xOy坐標系中，四邊形A8CO是矩形，

其中0A=2cm,0C=4cm,

四邊形ABCD的周長為:2X(2+4)=12(cm),

面積為5=2X4=8(cm2).

故答案為：矩形，8.

答案：矩形；8

空間幾何體的表面積和體積

（1）（2020?全國卷I）已知A,B,C為球。的球面上的三個點，為

△ABC的外接圓.若。。的面積為4n,AB=BC=AC=OO\,則球。的表面積

為（）

A.6471B.4871

C.36兀D.32兀

（2）（一題多解）如圖是一個以ABE為底面的直三棱柱被一平面

所截得到的幾何體，截面為CDF,已知AO=4,BC=AE=BE=2,

EF=3且NAEB=90°,則所得的幾何體的體積為.

解析：（1）如圖所示，設正三角形ABC的邊長為a,O

0\的半徑為r,球。的半徑為R由。。|的面積為，可

,,2

得〃=2.又OOi為△ABC的外接圓，則r=OiA=ga=

2,解得a=2小.在RtZ^OOM中，R2=OA2=I2+OO]=4

+12=16,所以球。的表面積為4n配=64JT,故選A.

（2）法一：（分解法）如圖，過點。作CM平行于A&交AO于點作CN

平行于BE,交EF于點、N,連接MN.由題意可知A8CM,8ENC都是矩形，AM

=DM=2,CN=2,FN=T,AB=CM=2j,所以X2X2=2,

因為截面CMN把這個幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐C-MNFD,

又因為直三棱柱ABE-MCN的體積為VI=S“BE?AM=；X2X2X2=4,四棱錐

C-MNFO的體積為V2=1S四邊形MNFD-B￡=|X；（1+2）X2X2=2,所以所求幾

何體的體積為口+%=6.

法二：（分割法）如圖，連接AC,EC,則幾何體分割為四棱錐

1（3+4）]4

C-ADFE和三棱錐CABE,因為VC-ADFE=^X1-^-X2\X2=y,

Vc-ABE=1||x2）X2=1,所以幾何體的體積為VC-ADFE+VC-ABE=

法三：（補形法）如圖，延長3C至點M,使得CM=2,延長EF至點、N,使

得FN=1,連接。M,MN,DN,得到直三棱柱A8E-OMN,所以

幾何體的體積等于直三棱柱ABE-DMN的體積減去四棱錐

。-CMNF的體積.

因為VABE-DMN-X2X2IX4=8,

1門+2)

VD-CMNF=^X2IX2=2,

所以幾何體的體積為VABEDMN-VD.CMNF=8—2=6.

答案：(1)A(2)6

1.三類幾何體表面積的求法

求多

面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形

的表面積的方法求多面體的表面積

面積

求旋

可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求

轉體

表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中

的表

的邊長關系

面積

求不

規則

通常將不規則幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求

幾何

出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，

體的

求出不規則幾何體的表面積

表面

積

2.處理體積問題的思路

3.求空間幾何體的體積的常用方法

(1)公式法.對于規則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解.

(2)割補法.把不規則的圖形分割成規則的圖形，然后進行體積計算；或者

把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于

計算其體積.(如例2(2))

(3)等體積法.等體積法也稱等積轉化或等積變形，它是通過選擇合適的底

面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，特別是三棱錐的體

積.

1.如圖所示，已知三棱柱ABC-AiBiG的所有棱長均為1,且底面A8C,

則三棱錐B-A5G的體積為()

人*B.小C.聆D.小

A[三棱錐B\-ABC\的體積等于三棱錐A-B\BC\的體積，三棱錐A-B\BC\

的高為平，底面積為J,故其體積為!義嘩=求.]

2.已知圓錐的側面積(單位：cn?)為2n,且它的側面展開圖是一個半圓，

則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)是.

解析：法一：設該圓錐的母線長為I,因為圓錐的側面展開圖是一個半圓，

其面積為2n,所以3n/2=2n,解得/=2,所以該半圓的弧長為2設該圓錐

的底面半徑為R,則2"/?=2"，解得R=l.

法二：設該圓錐的底面半徑為七則該圓錐側面展開圖中的圓弧的瓠長為2

“R.因為側面展開圖是一個半圓，設該半圓的半徑為r,則nr=2nR,即r=2R,

所以側面展開圖的面積為3?2R?2n/?=2"R2=2JT,解得R=I.

答案：1cm

3.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長

方體ABCD-AIBGOI挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中0為長方體的

中心，E,F,G,"分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,A4i=4cm,3D打

印所用原料密度為0.9g/cnP,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量

------------------g-

解析：長方體ABCD-AiBiGDi的體積U=6X6X4=144(cm3),而四棱錐

O-EFG”的底面積為矩形88GC的面積的一半，高為AB長的一半，所以四棱

2

錐O-EFGH的體積V2=1x|X4X6X3=12(cm),所以長方體ABCD-

2

AiBiaDi挖去四棱錐O—EFG”后所得幾何體的體積V=Vi-V2=132(cm),所

以制作該模型所需原料的質量為132X0.9=118.8（g）.

答案：118.8

球與空間幾何體的接、切問題多維型

角度一幾何體的外接球

（2020?貴陽市適應性考試）已知A,B,C,。四點在球。的表面上，且

L4

AB=BC=2,AC=2市,若四面體ABC。的體積的最大值為I,則球。的表面

積為（）

A.7兀B.9兀

C.IOTID.12兀

B［根據題意有A￥+BC2=AC2,所以△ABC在以AC為

1

直徑的截面圓內，如圖，SMBC=2X2X2=2.當平面。4。_1平

■■■■■

面ABC時，所得四面體體積最大，此時，設高為/2,則VD4BC

114

=WSAABch=mX2/I=2,解得力=2,設01為AC1的中點，則

.平面ABC,在Rt^OOi。中，根據00f+OiC2=OC2,得（2—/?>+（6）2

=R2（R為球。的半徑），解得R=5,所以球的表面積S=4JTR2=9n」

用歸納升華

處理球的“接”問題的策略

把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關

鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.

角度二幾何體的內切球

一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的

體積為苧，那么這個正三棱柱的體積是（）

A.12^3B.2小

C.6sD.48小

4ji4Ji

C［設球的半徑為R,由弓,得R=1.因為球與正三棱柱的三個

側面和兩個底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直徑2,正三棱柱的底面三

角形的內切圓的半徑等于球的半徑1.設正三棱柱的底面三角形的邊長為a,則

?Xsinyx1=1,所以a=2小，所以這個正三棱柱的體積丫=乎X（2小）2

X2=6^3,故選C1

歸納升華

1.處理球的“切”問題的策略，解決與球的內切問題主要是指球內切多面

體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果內切的是多面體，

則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.

2.解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉化為

平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：

變式訓練

1.（2020.昆明市三診一模）某同學在參加《通用技術》實踐課時，

制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱

長為4事的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心

重合），若其中一個截面圓的周長為4兀，則該球的半徑是（）

A.2B.4

C.2^6D.4^6

B[設截面圓半徑為r,則有2nr=4n,所以r=2.由題意知，球的球心為

正方體的中心，設球的半徑為R,則R2=（2小）2+22=16,所以R=4,故選B.]

2.（2020.全國卷HI）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑

最大的球的體積為.

解析：由題意分析知圓錐內半徑最大的球應為圓錐的內切球，如圖，作出

圓錐與其內切球的軸截面.設截面為△SAB,球心為。，球半

徑為r.

易知AB=2,SA=SB=3,

貝X2X2啦=2y/2.

J、歷

又S^OSB+SZSOSA+SZSOA3=2r(3+3+2)=26,貝"r=1.

所以圓錐內半徑最大的球的體積為g”,=乎丁

套口案才t.-3

3.若側面積為4兀的圓柱有一外接球0,當球0的體積取得最小值時，圓

柱的表面積為.

解析：設圓柱的底面圓半徑為r,高為//,

則球的半徑R=++?.

4JI

因為球的體積V=-R3.故V最小當且僅當R最小.

圓柱的側面積為2JT/7z=4況，所以汕=2,

所以3=r'所以4+，》也，當且僅當，

即廠=1時取“=”號，此時球。的體積取最小值，

所以r=l,h=2,圓柱的表面積為2nxl2+2兀><1X2=6兀

答案：6無

微專題系列29［學科素養］

數學文化與立體幾何的交匯

縱觀近幾年高考，立體幾何以數學文化為背景的問題層出不窮，讓人耳目一

新.從中國古代數學文化中挖掘素材，考查立體幾何的有關知識，既符合考生的

認知水平又可以引導考生關注中華優秀傳統文化，并提升審題能力，增加對數學

文化的理解，發展數學核心素養.

《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臊”.如

圖所示，平面四邊形A8CD中，AB=AD=CD=\,BD=^2.BO_LCD.將平面四

邊形A8CQ沿對角線3。折成一個“鱉膈”4-BCD,則該“鱉席”的內切球的半

徑為.

解析：因為AZ>=CO=1,且△ACO為直角三角形，

所以COL4D又CO_LBO,BDQA'D=D.

所以CO,平面ABD,所以COL4B

又由48=40=1,BD=yf2,得A5LAZ),且4￡>nC￡>=。，所以A'B,

平面48,所以A8L4C,由題意得A'C=72.設該“鱉膈”的內切球的半

徑為r,

則g(SA4'BC+SM,CD+5A4'Bo+SAfiCD)r=2XC￡)XSA?VB?,所以gX(*'+

X+x+乎)r=|X1Xy,解得r=^).

乙乙乙J乙乙

較案?止11

1=1?2

■??I求解與數學文化有關的立體幾何問題，首先要在閱讀理解上下功

夫，明確其中一些概念的意義，如“塹堵”“陽馬”和“鱉席”等的特征是求解

相關問題的前提，其次目標要明確，根據目標聯想相關公式，然后進行求解.

變式訓練

(2020.湛江期中)鱉麝(bie*0)是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐

的稱呼.已知三棱錐A-BCD是一個鱉展，其中ABJ_8C,AB1.BD,BCA.CD,

且AB=6,BC=3,DC=2,則三棱錐43co的外接球的體積是()

49兀

A.B.警

-343兀

C.49KD-丁

D［如圖,

由AB_L3C,AB±BD,且BCCBD=B,

可得AB_L平面BCD,

貝i」AB_LC。，XBC1CD,且ABCBC=B,

，CZ），平面ABC,故CD±AC,

則AO為三棱錐A-BCO的外接球的直徑.

\'AB=6,BC=3,DC=2,：.AD=y/62+32+22=7,

7

故三棱錐A-3CO的外接球的半徑為1,則三棱錐A-BCD的外接球的體積是

V=4（7、3343n

3"?GJ=k?

故選D.]

「友情提示]每道習題都是一個高考點，每項訓練都是對能力的檢驗，認真

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2.空間點、直線、平面之間的位置關系

課程標準考向預測

1.借助長方體，在直觀認識空間點、

考情分析：以常見的空間幾何體

直線、平面的位置關系的基礎上，抽象

為載體，考查點、直線、平面的位置關

出空間點、直線、平面的位置關系的定

系，以及異面直線所成角、線面角等，

義.

與平行關系、垂直關系等相結合考查是

2.了解四個基本事實和定理.

高考的熱點.

3.了解空間中直線與直線的關系

學科素養：直觀想象、邏輯推理.

(平行、相交、異面).

?o分步落實

V學生用書P118

I整知識I..............................................>?

1.平面的基本性質

(1)基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平

面內.

(2)基本事實2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.

(3)基本事實3：如果兩個不重合的平面有二±公共點，那么它們有且只有一

條過該點的公共直線.

(4)基本事實4：平行于同一直線的兩條直線平行.

2.空間中兩直線的位置關系

(1)空間中兩直線的位置關系

［共面直線｛器

I異面直線：不同在任何一個平面內

(2)異面直線所成的角

①定義：設a,b是兩條異面直線，經過空間中任一點。作直線。，〃。，b'

//b,把a，與廳所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,匕所成的角(或夾角).

②范圍：(o,I.

(3)等角定理

空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

3.空間中直線與平面、平面與平面的位置關系

(1)直線與平面的位置關系有相交、平行、在平面內三種情況.

(2)平面與平面的位置關系有壬紅、相交兩種情況.

1.基本事實2的三個推論

推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面.

推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面.

推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面.

2.異面直線判定的一個定理

過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線.

3.唯一性定理

(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

I練基礎I................................................》

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)若PeaCQ且/是a,￡的交線，則)

(2)三點A,B,C確定一個平面.()

(3)若直線anO=A,則直線a與匕能夠確定一個平面.()

(4)若AW/,36/且Ada,Bea,則/Ua.()

(5)分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線.()

答案：(1)V(2)X(3)V(4)V(5)X

2.(必修2P43練習T1改編)下列說法正確的個數為()

①梯形可以確定一個平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這

兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面

有三個公共點，則兩個平面重合.

A.0B.1

C.2D.3

C[②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個點在同一條直線上，則

兩個平面可能相交，①③正確.]

3.已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一

定是（）

A.空間四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

B[如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形.

:E,尸分別為AB,的中點，

S.EF//AC.

又FG//BD,

.?.NEFG或其補角為AC與8。所成的角.

而AC與8。所成的角為90°,

:.NEFG=90°,故四邊形EFG"為矩形.]

4.如圖所示，在正方體ABCD-A出CQ中，E,尸分別是A3,

AO的中點，則異面直線與￡尸所成的角大小為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C[如圖，連接8。，DiC,則31。1〃石凡故/。歸|。（或其補角）為所求,

又BiD尸BiC=DiC,所以NDiBC=60。.]

5.平面a,￡相交，在a,￡內各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能

確定個平面.

解析：如果這四點在同一平面內，那么確定一個平面；如果這四點不共面，

則任意三點可確定一個平面，所以可確定四個.

答案：1或4

分類突破微點撥、多維練，研透命題點。

V學生用書P119

平面的基本性質

ETF如圖，在空間四邊形ABCO中，E,尸分別是AB,AD

的中點，G,H分別在BC,CO上，且BG:GC=DH：HC=1：2.

(1)求證：E,F,G,“四點共面；

(2)設EG與F”交于點P,求證：P,A,C三點共線.

證明：⑴：區E分別為AB,A。的中點，

S.EF//BD.

,Aci,BGDH\

在ABCD中，GC-HC-2，

：.GH//BD.

：.EF//GH.

：.E,F,G,”四點共面.

(2)?:EGCFH=P,PGEG,EGU平面ABC,

平面ABC.同理PS平面ADC.

：.P為平面ABC與平面ADC的公共點.

又平面ABCCI平面ADC=AC,

：.P&AC,：.P,A,C三點共線.

平歸納升華

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明點線共面問題的兩種方法

①納入平面法：先確定一個平面，再證有關點、線在此平面內；

②輔助平面法：先證有關點、線確定平面a,再證其余點、線，確定平面夕,

最后證明平面a,￡重合.

(2)證明點共線問題的兩種方法

①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上;

②直接證明這些點都在一條特定直線上.

（3）證明多線共點問題的步驟

①先證其中兩條直線交于一點；

②再證交點在第三條直線上.證交點在第三條直線上時，依據是第三條直線

應為前兩條直線所在平面的交線，即利用公理3證明.

變式訓練

如圖，在正方體ABCD-AIBCIQI中，E,F分別是45和

M的中點.

求證：（1）E,C,D\,口四點共面；

⑵CE,D\F,D4三線共點.

證明：（1）如圖所示，連接CDi,EF,A\B,

,:E,F分別是A8和AAi的中點，

：.FE//A\B且EF=|A\B.

VAiD!BC,二四邊形AiBCDi是平行四邊形，

：.A\B//D\C,：.FE//D\C,

...EF與81可確定一個平面，

即E,C,Di,尸四點共面.

(2)由(1)知E尸〃CO,且

二四邊形CD莊是梯形，

二直線CE與。1/必相交，設交點為P,

則「金庭匚平面入臺。，

且PG。尸U平面AIAODI,

二.PG平面ABCD且PG平面AiADD\.

又平面ABCDA平面A\ADD\=AD,

：.P^AD,：.CE,D\F,D4三線共點.

空間兩直線的位置關系講練型

（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A\B\C\D\中，M,N分別為棱C\D\,

CiC的中點，其中正確的結論為（）

A.直線AM與GC是相交直線

B.直線AM與BN是平行直線

C.直線8N與MB是異面直線

D.直線MN與AC所成的角為60。

CD［在正方體ABCD-AiBGDi中，M,N分別為棱GOi,GC的中點，在

A中，直線AM與GC是異面直線，故A錯誤；

在B中，直線AM與BN是異面直線，故B錯誤；

在C中，直線BN與MB是異面直線，故C正確；

在D中，連結MN,CDi,ADi,AC,

因為MN//CD\；

所以MN與AC所成的角就等于AC與CU所成角；因為△AC。是正三角

形,所以NACDi=60。.

所以直線MN與AC所成角為60。，故D正確.所以選CDJ

母歸納升華

［注意］異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內的兩條直線為異面直

線”，實質上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不

相交.

變式訓練

1.（多選）a是一個平面，m,"是兩條直線，A是一個點，若機Qa,〃Ua,

且AG?,則〃z,〃的位置關系可能是（）

A.垂直B.相交

C.異面D.平行

ABC[依題意，〃?na=A,〃Ua,所以m與〃可能異面、相交（垂直是相交

的特例），一定不平行.故選ABC項.]

2.將圖（1）中的等腰直角三角形A3C沿斜邊的中線AD折起得到空間四

面體A8CD,如圖（2）,則在空間四面體A8C。中，AO與BC的位置關系是（）

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.異面且垂直D.異面但不垂直

C[折起前折起后有ADLBO,A。，。。，所以AO_L平面3c。，

所以AOLBC.又AO與BC不相交，故與8C異面且垂直.]

異面直線所成的角講練型

區向（1）（2020?成都第一次診斷性檢測）在各棱長均相等的直三棱柱

ABC-AiBCi中，已知M是棱BBi的中點，N是棱AC的中點，則異面直線4M

與BN所成角的正切值為（）

A.小B.1

C.*D,坐

（2）已知E、F、G、H分別是三棱錐A-8C。棱A8、BC、CD、D4的中點，

①四邊形EFGH是形；

②AC與8。所成角為60。，且AC=8￡>=1,則EG=

解析：（1）如圖，取A4i的中點P,連接PN,PB.則由直三

棱柱的性質可知則NPBN為異面直線4M與BN所

成的角（或其補角）.設三棱柱的棱長為2,則小=讓回=小,

BN=4.所以PN?+BN2=PB2.所以NPNB=90°.在RtAPBN中，

tanZPBN=j^=坐.故選C.

(2)①?；1￡、F、G、"分別是三棱錐A-BCO棱A3、BC、CD、D4的中點,

為△ABC的AC邊的中位線，故E尸〃AC且AC,

同理G"為△AC。的AC邊的中位線，故GH〃AC且G”=；AC,

尸平行且等于GH,：.四邊形EFGH是平行四邊形.

②由①可得瓦?”AC且AC=^,

同理FG〃8O且FG=|BD=；,

；AC與8。所成角為60°,

：.NEFG=60°或120°,

當NEFG=60°時，￡G=1；

當NEFG=120。時，EG=^~.

答案：(1)C⑵①平行四邊②1或坐

為歸納升華

求異面直線所成的角的三步曲

變式訓練

1.直三棱柱ABC-45G中，若NBAC=90°,AB=AC=AAi,則異面直線

84與AC所成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C［如圖，將三棱柱補成一個正方體,

由正方體的性質可知，AC\//BD\,

所以直線841與AC\所成的角為NA山Di.

又易知為正三角形，

所以NAi8D=60°,即氏4i與AC成60°的角.］

2.已知正四面體A-BCD中，M為的中點，則CM與AO所成角的余弦

值為（）

A.1B.坐

D2

JC663

C［如圖，設正四面體A-BC。的棱長為2,取8。的中點N,連接MMCN,

是A3的中點，S.MN//AD,

...NCMN（或其補角）是直線CM與所成的角，

取MN的中點E,連接CE,CE1MN,

在△CME中，ME=^MN=（AO=g,CM=y^,

1

一

2近

做選

二直線與所成角的余弦值為一6

CMADcosZCME=-^小

C.]

［友情提示］每道習題都是一個高考點，每項訓練都是對能力的檢驗，認真

對待它們吧！進入“課時作業（三十九）”，去收獲希望，體驗成功！本欄目內容

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3.直線、平面平行的判定與性質

課程標準考向預測

1.以立體幾何的定義、公理和定理

為出發，借助長方體，通過直觀感知，考情分析：直線與平面以及平面

了解空間中線面平行的有關性質與判定與平面平行的判定和性質仍會是高考的

定理.熱點，常出現在解答題的第（1）問，難度

2.能運用公理、定理和已獲得的結中等.

論證明一些有關空間圖形的平行關系的學科素養：直觀想象、邏輯推理.

簡單命題.

?埠分步落實

精梳理、巧診斷，過好雙基關。

V學生用書P120

I整知識I......