第七章隨機變量及其分布離散型隨機變量的均值7.3.1

學

習

目

標

能記住離散型隨機變量均值的意義和性質，能計算簡單

離散型隨機變量的均值.

(重點)會用離散型隨機變量的均值反映離散型隨機變量的取值水平.解決一些相關的實際問題.

(重點、難點)核心素養：數學抽象、數學運算、數學建模兩點分布對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示成功，A表示失敗，定義X=(1)

A發生l0

A發生如果P(A)=p,P(A)=1-p,則X

的分布列可以如下表所示稱X

服從兩點分

布或0-

1分布

.P

1一p

p概率分布列一般地，設離散型隨機變量X

的可能取的不同值為x?,x?,.,xn,稱X取每一個x;的概率P(X=

xi)=Pi,i=1,2,..,n,

為X

的概率分布列，簡稱分布列.性

質①Pi≥0,i=1,2,..,n;②P?+P?+...+Pn_1.復

習

鞏

固X

013【解】由于概率是頻率的穩定值，甲n次射箭射中的平均環數的穩定值(理論平均環數)為

即甲射中平均環數的穩

x甲=7×0

.

1+8×0

.

2+9×0

.

3+10×0

.

4定值(理論平均值)為9,這同理，乙射中環數的平均值為x乙=7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.

從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.環數X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢兩組數據的比較，常常比較其平均數及方差新

課

導

入

【問題1】

甲乙兩名射箭運動員射中目標靶的環數的分布個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.列如下表所示：4一般地，若離散型隨機變量

X的分布

列為：為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望

簡稱期望.數學期望的實質均

值是隨機變量可能

取值關于取值概率的加權

平均數，它綜合了隨機變量的

取值和取值的概率，反映

了隨機變量取值的平均水

平

.XX1XnPP1Pn新課知識數

學

期

望5【解】因為P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)一般地，如果隨機變量X

服

從兩點分布，那么新

課

知

識【

例1】在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X

的均值是多少?=1×0.8+0×0.2

=0.8.即該運動員罰球1次的得分X的均

值是0.8.E(X)=0×(1—p)+1×p=p.YA01P1-pp6求離散型隨機變量的均值的步驟①確定取值：根據隨機變量X

的意

義，寫出X

可能取得的全部值；②求概率：求X取每個值的概率；③寫分布列：寫出

X

的分布列；

4求均值：由均值的定義求出E(X).7例

題

精

講【例2】拋擲一枚質地均勻的骰子，設出現的點數為X,求X的均值.k=1,2,3,4,5,6.所以【解】X

的分布列為=3.5.n=60

n=300(1)樣本均值各不相同，但都在擲出點數X

的均值3.5附近波動，且重復擲300次的樣本均值波動幅度明

顯小于重復60次的.新課知識【思考】(閱讀教材64頁觀察)(1)在兩組試驗中，樣本均

值的分布有何特點?事實上，隨機變量的均值是一個確定

的數，我們常用隨機變量的觀測值的均值去估計隨機變

量的均值.8設X

的分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.根據隨機變量均值的定義，E(X+b)=(x?+b)p?+(x?+b)p?+…+(Xn+b)pn=(x?P?+X?P?+…+XnPn)+b(p?+p?+…+Pn)=E(X)+b.類似地，可以證明E(aX)=aE(X).一般地，下面的結論成立：E(aX+b)=aE(X)+b.【問題2】如果X

是一個離散型

隨機變量，則

E(X+b)和E(aX)(其中a,

b為常數)分別

與E(X)有怎樣

的聯系?離散型隨機變量X

的(概率)分布列新

課

知

識9【

解

】分

別A,B,C用

表

示

猜

對

歌

曲A,B,C

歌名的事件，則A,B,C

相互獨立.P(X=0)=P(A)=0.2,P(X=1000)=P(AB)=0.8×0.4=0.3?P(X=2000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.6

=0.288,P(X=3000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.4=0.192.

X

的分布列如圖所示：X的

均

值

為?

E(X)=0×0.2+1000×0.32

+2000×0.288+3000×0.192=2336.10歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲

得

的

公

益

基

金

額

/

元

1

0

0

020003000X0100020003000P0.20.320.2880.192求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值。例

題

精

講

【例3】閱讀教材65頁例3

.【解】(1)E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.1+5×0.1=2.8(2)E(3X+2)=E(3X)+2=3×2.8+2=10.4X12345P0.10.30.40.10.1課

堂

練

習

1.已知隨機變量X的分布列為：(1)求E(X)(2)E(3X+2)11數

學

期

望一般地，若離散型隨機變量

X的分布列為：為隨機變量X

的均值或數學期望，數學期望

簡稱期望.一般地

E(aX+b)=aE(X)+b.

求X

均值的步驟1確

定X

取值：2

求

P(X=m)

概率：

寫分布列：

求均值.XX?X?XnPP?P?Pn課堂小結12《《《

本課作業

》》01