第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省福州市多校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知A={x|2x>1}，B={x|x2A.{x|x>?2} B.{x|x≥?2} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}2.若復(fù)數(shù)z滿足z+i=2i(z?i)，則|z|=(

)A.1 B.2 C.3 3.已知向量a=(3,4)，|b|=3，且a與b的夾角θ=A.10 B.10 C.13 4.圓臺的上底面面積為π，下底面面積為9π，母線長為4，則圓臺的側(cè)面積為(

)A.10π B.20π C.8π D.16π5.某次知識競賽共有12人參賽，比賽分為紅、黃兩隊(duì)，每隊(duì)由六人組成.其中紅隊(duì)6人答對題目的平均數(shù)為3，方差為5，黃隊(duì)6人答對題目的平均數(shù)為5，方差為3，則參加比賽的12人答對題目的方差為(

)A.5 B.4.5 C.3.5 D.186.已知α為銳角，且cos(α+π6)=3A.3+110 B.2?357.命題p：0<a<1，命題q：函數(shù)f(x)=loga(6?ax)(a>0,a≠1)在(?∞,3)上單調(diào)，則p是q的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)在區(qū)間(0,π)恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則A.[53,136) B.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若向量a=(m,n)(m,n∈R)，b=(1,2)，則以下說法正確的是(

)A.a//b?1m=2n

B.a⊥b?m+2n=0

C.若m≠0，n=0，則10.已知正數(shù)a，b滿足a+5b=ab，則(

)A.1a+5b=1 B.a與b可能相等

C.11.如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為正方形C1CDDA.動點(diǎn)F軌跡的長度為2

B.三棱錐B1?D1EF體積的最小值為13

C.B1F與三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若角α滿足tanα=2，則sin(π?α)+cos(3π13.某班興趣小組做了一次關(guān)于“電子產(chǎn)品對視力的影響”的問卷調(diào)查.他們從3～6歲，7～12歲，13～15歲，16～18歲四個年齡段回收的問卷依次為120份、180份、240份、x份.因調(diào)查需要，現(xiàn)從回收的問卷中按年齡段按比例分配分層隨機(jī)抽取一個容量為300的樣本.若在7～12歲年齡段的問卷中抽取了60份，則應(yīng)在16～18歲年齡段的問卷中抽取的份數(shù)為______．14.已知f(x)，g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，滿足f(x)+g(x)=ax2+x+2，若對任意的1<x1<x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=asin2x+cos(2π?2x)+1(x∈R)．

(1)設(shè)a=3，求函數(shù)y=f(x)的嚴(yán)格增區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=f(x)16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PD上．

(1)求證：AC⊥平面PBD；

(2)若OP=2，點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，求二面角P?AC?E的余弦值．17.(本小題15分)

2024年5月22日至5月28日是第二屆全國城市生活垃圾分類宣傳周，本次宣傳周的主題為“踐行新時尚分類志愿行”.阜陽三中高一年級舉行了一次“垃圾分類知識競賽”，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績x作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)將成績進(jìn)行整理后，分為五組(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1組頻數(shù)的平方等于第2組、第4組頻數(shù)之積，請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題：

(1)求a，b的值；

(2)若根據(jù)這次成績，學(xué)校準(zhǔn)備淘汰80%的同學(xué)，僅留20%的同學(xué)進(jìn)入下一輪競賽請問晉級分?jǐn)?shù)線劃為多少合理？

(3)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：x1，x2，x3，…，x10，已知這10個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x?=90，標(biāo)準(zhǔn)差s=6，若剔除其中的95和18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b?ac=sinC?sinAsinB+sinA．

(1)求角B；

(2)若△ABC為銳角三角形，AC=2，D是線段AC19.(本小題17分)

若定義在D上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M>0，都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界，最小的M稱為函數(shù)f(x)的上確界．

(1)求函數(shù)f(x)=|sinx|+sinx的上確界；

(2)已知函數(shù)f(x)=1lnx+x+lnx+x?4,x∈(23,2)，證明：2為函數(shù)f(x)的一個上界；

(3)已知函數(shù)f(x)=4?x+λ+2x2x,x∈[0,+∞)，若答案解析1.B

【解析】解：∵A={x|2x>1}={x|x>0}，

B={x|x2+x?2≤0}={x|?2≤x≤1}，

∴A∪B={x|x≥?2}2.A

【解析】解：由已知可得z+i=2iz+2，

則z=2?i1?2i，所以|z|=|2?i1?2i|=|2?i|3.C

【解析】解：因?yàn)閍=(3,4)，所以|a|=32+42=5，

因?yàn)閨b|=3，且a與b的夾角θ=4.D

【解析】解：根據(jù)題意，圓臺的上底面面積為π，下底面面積為9π，

則該圓臺的上、下底面的半徑分別為1和3，

又由其母線長為4，

則圓臺的側(cè)面積為S=2π×(1+3)2×4=16π．

故選：5.A

【解析】解：設(shè)紅隊(duì)的得分?jǐn)?shù)據(jù)分別為x1，x2，…，x6，黃隊(duì)的得分?jǐn)?shù)據(jù)分別為x7，x8，…，x12，

則紅隊(duì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16i=16xi=3，可得i=16xi=18，方差為16i=16(xi?3)2=5，可得i=16(6.D

【解析】解：α為銳角，且cos(α+π6)=35，

則sin(α+π6)=7.A

【解析】解：設(shè)t=6?ax，則f(x)=loga(6?ax)(a>0,a≠1)可化為y=logat.

充分性：當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y=logat在(?∞,3)上單調(diào)遞減，t=6?ax在(?∞,3)上單調(diào)遞減，且t>0，

所以f(x)=loga(6?ax)(a>0,a≠1)在(?∞,3)上單調(diào)遞增，因此充分性成立．

必要性：當(dāng)0<a<1時，y=logat在(?∞,3)上單調(diào)遞減，t=6?ax在(?∞,3)上單調(diào)遞減，且t>0，

所以f(x)=loga(6?ax)(a>0,a≠1)在(?∞,3)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>1時，y=logat在(?∞,3)上單調(diào)遞增，t=6?ax在(?∞,3)上單調(diào)遞減，且t=6?ax>0在(?∞,3)上恒成立，

所以6?3a≥0，則1<a≤2，

此時函數(shù)f(x)=loga(6?ax)(a>0,a≠1)8.C

【解析】解：當(dāng)ω<0時，不能滿足在區(qū)間(0,π)極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以ω>0；

函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)在區(qū)間(0,π)恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，

ωx+π3∈(π3,ωπ+π39.BCD

【解析】解：對于A：當(dāng)a=(0,0)時，滿足a//b，但是1m、2n無意義，故A錯誤；

對于B：當(dāng)a⊥b，則a?b=m+2n=0，故B正確；

對于C：若a=(m,0)(m≠0)，則cos?a,b?=a?b|a|?|b|=m|m|×10.BD

【解析】解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+5b=ab，

兩邊同時除以ab，得1b+5a=1，A錯誤；

當(dāng)a=b=6時，顯然符合題意，B正確；

因?yàn)閍b=a+5b≥25ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=5b，即b=2，a=10時取等號，

所以ab≥25，C錯誤；

a+b=(a+b)(1b+11.AB

【解析】解：取CC1中點(diǎn)M，C1D1的中點(diǎn)N，連接B1M，B1N，MN，ME，則MN/?/CD1，

正方體中易知CD1/?/A1B，從而MN/?/A1B，

又MN?平面A1BE，而A1B?平面A1BE，所以MN/?/平面A1BE，

又正方體中ME與C1D1平行且相等，從而ME與A1B1平行且相等，則A1B1ME是平行四邊形，所以B1M//A1E，同理可得證B1M/?/平面A1BE，

B1M∩MN=M，B1M，MN?平面A1MN，所以平面B1MN//平面A1BE，

平面B1MN∩平面CDD1C1=MN，所以當(dāng)F∈MN時，B1F/?/平面A1BE，即線段MN為點(diǎn)F的軌跡，MN=12CD1=2，A正確；

三棱錐B1?D1EF中，B1到平面D1EF的距離為定值2，當(dāng)F與N重合時，△D1EF的面積最小值，此時S△D1EF=12×1×1=12，所以體積最小值為V=13×12×2=13，B正確；

連接C1D，AB，正方體中易知A1B⊥AB1，

AD⊥平面ABB1A1，而A1B?平面ABB1A1，所以AD⊥A1B，

AD∩AB1=A，AD，AB1?12.2

【解析】解：sin(π?α)+cos(3π2+α)sin(π2?α)?cos13.120份

【解析】解：因?yàn)?～12歲年齡段回收了180份問卷，而樣本在7～12歲年齡段的問卷中抽取了60份，

所以抽樣比為60180=13，

因?yàn)榉謱映槿〉臉颖镜娜萘繛?00，故回收的問卷品數(shù)為30013=900(份)，

可得x=90?120?180?260=360(份)，

所以在16～18歲年齡段中抽取的問卷為360×114.[?3【解析】解：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，滿足f(x)+g(x)=ax2+x+2，

可得f(?x)+g(?x)=?f(x)+g(x)=ax2?x+2，

聯(lián)立方程組f(x)+g(x)=ax2+x+2?f(x)+g(x)=ax2?x+2，解得g(x)=ax2+2，

又因?yàn)閷θ我獾?<x1<x2<2，都有g(shù)(x1)?g(x2)x1?x2>?3成立，

所以g(x1)?g(x2)<?3x1+3x2，所以g(x1)+3x115.解：(1)當(dāng)a=3時，函數(shù)f(x)=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

令2kπ?π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，

得kπ?π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．

所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π3,kπ+π6]，k∈Z；

(2)由題意，得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)為偶函數(shù)，

所以對于任意x∈R，均有f(?x)=f(x)成立，【解析】(1)結(jié)合輔助角公式先化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(2)結(jié)合偶函數(shù)的定義先求出a，然后結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解函數(shù)的值域．

16.解：(1)證明：因?yàn)镻O⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

所以PO⊥AC，

因?yàn)锳BCD為菱形，所以AC⊥BD，

又BD∩PO=O，BD?平面PBD，PO?平面PBD，

所以AC⊥平面PBD．

(2)如圖，連接OE，則OE?平面ACE，

由AC⊥平面PBD，OE?平面PBD，OP?平面PBD，

得AC⊥OE，AC⊥OP，

故∠POE即為二面角P?AC?E的平面角，

在菱形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=120°，

所以BD=23,OD=3，

又PO=2，所以PB=PD=22+(3)2=7，

由點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，得OE=12PD=72,PE=12PD=【解析】(1)先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得PO⊥AC，再結(jié)合菱形性質(zhì)利用線面垂直的判定定理證明即可．

(2)根據(jù)二面角的平面角定義作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可．

17.解：(1)由題意知，所以0.0162=0.008a，

解得a=0.032，

又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，

解得b=0.004．

所以a=0.032，b=0.004；

(2)成績落在[50,70)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32=0.48，

落在[50,80)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32+0.40=0.88，

設(shè)第80百分位數(shù)為m，則(m?70)0.04=0.8?0.48，

解得m=78，所以晉級分?jǐn)?shù)線劃為78分合理；

(3)x?=90，

故x1+x2+x3+?+x10=10×90=900，

又s2=110(x12+x22+?+x102)?902=62【解析】(1)由其中第1組頻數(shù)的平方等于第2組、第4組頻數(shù)之積，求出a的值，頻率分布直方圖面積和為1，求b的值；

(2)利用頻率分布直方圖計(jì)算第80百分位數(shù)即可；

(3)根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式求出結(jié)果．

18.解：(1)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b?ac=sinC?sinAsinB+sinA．

由正弦定理得b?ac=c?ab+a，

所以a2+c2?b2=ac，

由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=ac2ac=12，

又B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)△A