1

Chapter4

Thetransientresponse&erroranalysisofControlSystems

控制系統的瞬態響應與誤差分析FundamentalsofMechanicalControl機械控制理論基礎2主要內容(MainContents)時間響應

(timeresponse)一階系統的時間響應(timeresponseofthefirst-ordersystem)二階系統的時間響應(timeresponseofthesecond-ordersystem)高階系統動態分析(dynamicanalysisofhigh-ordersystems)瞬態響應的性能指標(thepropertiesoftransientresponse)系統誤差分析(erroranalysisofcontrolsystems)3系統分析方法時域分析方法(time-domainmethod)頻域分析方法(frequency-domainmethod)時域分析采用的輸入信號（激勵信號）：單位脈沖函數、單位階躍函數、單位斜坡函數、單位加速度函數。頻域分析采用的輸入信號：正弦函數或余弦函數。44.1時間響應的概念

(Theconceptoftimeresponse)系統在輸入作用下，其輸出量隨時間變化的函數關系，即系統的時間響應。典型的輸入信號：階躍函數1(t)，脈沖函數δ(t)，斜坡函數t，加速度函數線性系統時間響應的數學表達式就是其微分方程式的解。51.時間響應的分類：說明：本章討論系統的時間響應，均在系統是穩定系統的前提下。有關系統穩定性的問題，在后續章節研究。按響應的不同時段，分為瞬態響應：在輸入作用下系統輸出從初始狀態到穩定狀態的響應過程穩態響應：在輸入作用下系統在時間趨于無窮大時的輸出狀態。零輸入響應：無輸入時由系統初始狀態（系統初始時刻儲能）引起的輸出零狀態響應：系統初始狀態為零，僅由系統外加輸入引起的輸出按輸入形式，分為自然響應：由系統自身的結構參數決定的輸出，即微分方程的通解部分強迫響應：由外加輸入所決定的輸出，即微分方程的特解部分按響應來源，分為6瞬態響應與穩態響應瞬態響應(transientresponse)：當系統受到外加作用激勵后，從初始狀態到最后狀態的響應過程稱為瞬態響應。如圖4-1所示，當系統在單位階躍信號激勵下在0到時間內的響應過程為瞬態響應。穩態響應(steadystateresponse)：時間趨于無窮大時，系統的輸出狀態稱為穩態響應。如圖4-1中，當時的穩態輸出。瞬態響應反映了系統的動態性能，而穩態響應偏離系統希望值的程度反映了系統的精確程度。72．脈沖響應函數（或權函數weightfunction）系統受到一個單位脈沖激勵（輸入）時所產生的響應（輸出）即脈沖響應函數。

當，；

上式表明，系統對輸入信號積分的響應，等于系統對該輸入信號響應的積分。該結論是線性定常系統的重要特性，但不適用于線性時變及非線性系統。當，8當為任意函數時它提供了一個極為簡單而重要的利用實驗方法來建立系統數學模型的理論及實驗基礎。

9例4-1系統的單位脈沖響應函數為系統輸入如圖4-5所示，求系統的輸出利用卷積分和拉氏變換兩種方法做104.2一階系統的時間響應一階系統傳遞函數的一般形式為

典型一階系統的方塊圖及其簡化形式如圖4-9（a），(b)所示。T稱為一階系統的時間常數(timeconstant)，是反映一階系統固有特性的參數，與外界無關。11圖4-8略去質量的彈簧－阻尼系統一階系統的實例：

圖4-7轉動環節

12一階系統的單位階躍響應

當輸入為單位階躍函數，即

則有

進行拉氏反變換，可得

13[例]如圖所示為實驗獲得的單位階躍響應曲線，可辨識系統參數

一階系統參數對系統性能的影響

14一階系統的單位脈沖響應

當輸入為單位脈沖函數，即

則有

進行拉氏反變換，可得

15一階系統的單位斜坡響應

當輸入為單位斜坡函數，即

則有

進行拉氏反變換，可得

對其求導，可得

這正是其單位階躍響應。

164.3二階系統的時間響應二階系統傳遞函數的一般形式為

典型二階系統的方塊圖及其簡化形式如圖4-14（a），(b)所示。式中，稱為無阻尼固有頻率，稱為阻尼比。它們是二階系統的特征參數,表明系統本身的固有特性。

17例：如圖所示彈簧－質量－阻尼系統

182.二階系統的特征根分布二階系統的特征方程為

特征根為

當阻尼比為不同取值時的特征根分布為

193.二階系統的單位階躍響應⑴欠阻尼情況（）

此時二階系統的特征方程有一對共軛復根

當輸入為單位階躍時，輸出為

其響應為：

衰減振蕩

203.二階系統的單位階躍響應（2）零阻尼情況（）

此時二階系統的特征方程有一對共軛虛根

當輸入為單位階躍時，輸出為

其響應為：

等幅振蕩

213.二階系統的單位階躍響應（3）臨界阻尼情況（）

此時二階系統的特征方程有兩個相等實根

當輸入為單位階躍時，輸出為

其響應為：

無振蕩

223.二階系統的單位階躍響應（4）過阻尼情況（）

此時二階系統的特征方程有兩個不同實根

當輸入為單位階躍時，輸出為

其響應為：

無振蕩

233.二階系統的單位階躍響應244.二階系統的單位脈沖響應當輸入為單位脈沖函數時此時二階系統的響應，可以由拉普拉斯變換求，也可以對其相應阻尼情況下的單位階躍響應微分求得。此處不再詳述。用MATLAB畫出二階系統的單位脈沖響應如下圖：254.二階系統的單位脈沖響應264.4高階系統的時間響應一般情況下，我們將三階或三階以上的系統稱為高階系統。本節主要定性分析極點對高階系統響應的影響。

設高階系統的閉環傳遞函數可寫成如下形式

在單位階躍信號作用下，可以求得高階系統的時間響應為27閉環主導極點

一般地說，所謂閉環主導極點是指在系統的所有閉環極點中，距離虛軸最近且周圍沒有閉環零點的極點，而所有其它極點都遠離虛軸。閉環主導極點對系統響應起主導作用，其它極點的影響在近似分析中則可忽略不計。

從系統設計角度來講，一般希望系統既有較快的響應速度，又有較好的穩定性，因此通常閉環主導極點為一對共軛復數極點：

此時，高階系統的時間響應可以由這一對共軛復數主導極點所確定的二階系統的時間響應來近似。

28例4-2

已知系統的傳遞函數分別為三個系統的極點分別為：29用MATLAB畫時間響應曲線closeall;clear;clc;%輸入參數num0=[1];den0=[1,1,1];den1=conv([0.1,1],[1,1,1]);den2=conv([5,1],[1,1,1]);Gs0=tf(num0,den0);Gs1=tf(num0,den1);Gs2=tf(num0,den2);%求階躍響應t=[0:0.4:30];[y0,t]=step(Gs0,t);[y1,t]=step(Gs1,t);[y2,t]=step(Gs2,t);%繪制響應曲線figure(1);plot(t,y0,'b‘,t,y1,‘ro',t,y2,'kx');gridon;xlabel('時間/s');ylabel('輸出');30用MATLAB求其單位階躍響應曲線如圖所示。

314.5系統的瞬態性能指標一般對機械工程系統有三方面的性能要求，即穩定性、快速性及準確性。

有關穩定性將在第6章介紹；系統的準確性則以本章論述的誤差來衡量；本章討論的系統瞬態響應反映了系統本身的動態性能，表征系統的相對穩定性和快速性。

32通常，在以下假設前提下來定義系統瞬態響應（也稱過渡過程）的性能指標：（1）系統在單位階躍信號作用下的瞬態響應；（2）初始條件為零，即在單位階躍輸入作用前，系統處于靜止狀態，輸出量及其各階導數均等于零。1．瞬態響應的性能指標之所以選擇單位階躍作為輸入，因為階躍輸入對于系統來說，工作狀態較為惡劣，如果系統在階躍信號作用下有良好的性能指標，則對其它各種形式輸入就能滿足使用要求。

33延遲時間(delaytime)上升時間(risetime)峰值時間(peaktime)超調量(percentovershoot)調整時間(settlingtime)

1．瞬態響應的性能指標342.

二階系統瞬態響應的性能指標（1）上升時間tr即：令因為所以得當一定，當一定，35（2）峰值時間即：36（3）超調量Mp超調量Mp只與阻尼比有關，而與固有頻率無關。一般希望，此時超調量為25%~1.5%。定義37（4）調整時間ts

根據定義即取近似可得38在欠阻尼時，當當39（5）振蕩次數N在過渡過程時間0≤t≤ts內，c(t)穿越其穩態值c(∞)的次數的一半定義為振蕩次數。

40總結：二階系統參數對系統性能的影響①當系統阻尼比ξ一定，ωn↑時，不變，↓，↓，↓，系統響應的快速性（靈敏性）↑，反之…②當ωn一定，ξ（0<ξ<1）↑時，↓，↓，↑，↑，即

系統相對穩定性↑，但快速性（靈敏性）↓；反之…，一般設計時取ξ=0.4~0.8，此時超調量為25%~1.5%③最佳阻尼比ξ=0.707④在分析和設計二階系統時，應綜合考慮系統響應的快速性和相對穩定性，一般先根據超調量要求確定ξ，然后調整ωn使其滿足系統快速性要求41二階系統特征根變化對系統性能的影響42①系統阻尼比ξ一定，Mp不變，ωn↑②系統ts不變，ξ↓，ωn↑③系統tp不變，ξ↑

，ωn↑43Examples例4-3已知求單位階躍信號輸入時的44例4-4如圖為在質量塊m上施加3N階躍力后的時間響應，求系統的m，k和B值。Examples45解：由圖可知

4647例4-5 有一位置隨動系統，其方塊圖如圖4-23（a）所示。當系統輸入單位階躍函數時，要求，（1）校核該系統的各參數是否滿足要求；（2）在原系統中增加一微分負反饋如圖4-23（b）所示。求滿足要求時的微分負反饋時間常數。Examples48加入微分反饋前加入微分反饋后493．零點對系統瞬態響應的影響以二階系統為例:典型含零點的欠阻尼二階系統的傳遞函數為：該系統在典型二階系統基礎上增加了一個零點

上式可改寫為

則其單位階躍響應為50例4-6

一位置伺服系統如圖4-24所示。為了提高系統的阻尼分別在前向通道和反饋通道采用比例加微分控制器。試分別求各系統阻尼比、無阻尼自然頻率，以及單位階躍響應的超調量、峰值時間、調整時間

51解：（1）由圖4-24（a）可得系統的閉環傳遞函數為其52（2）由圖4-24（b）可得閉環傳遞函數為其53（3）由圖4-24（c）可知系統的閉環傳遞函數為其當輸入信號為單位階躍函數，即時

其響應可表達為54其中55用MATLAB畫出單位階躍響應曲線如圖所示。

56例4-7已知二階系統傳遞函數為：試分別用MATLAB求其單位階躍響應。并表示在同一圖上，分析零點的影響。57用MATLAB畫出單位階躍響應曲線如圖所示。

58結論：閉環零點對二階系統響應的影響主要有以下幾方面：①零點的加入使系統超調量增大，而上升時間，峰值時間減??；②當附加零點愈靠近虛軸，其對系統響應的影響愈大；③當附加零點與虛軸距離很大時，則其影響可以忽略。591

誤差的基本概念3

穩態誤差系數與穩態誤差4

擾動作用下的穩態誤差5

提高穩態精度的措施偏差與誤差4.6控制系統的誤差分析2

系統結構（類型）60偏差與誤差偏差誤差611)只有當H(s)=1時，誤差才等于偏差。2)通?？刂葡到y的“誤差分析”，分析的是系統的偏差E(s)，因為偏差相對來說易于測量。3)本章誤差分析同樣也是分析系統的偏差的。確切一點說，是要詳細分析討論不同類型的系統在不同的輸入信號作用下的系統偏差。說明62造成誤差的原因*本節所討論的誤差與穩態誤差，指的是沒有隨機干擾、元件也是理想的線性元件情況下，由系統本身結構和施加的輸入信號類型所導致的誤差（原理性誤差）隨機干擾-系統隨機誤差系統結構（類型）的不同輸入信號（包括確定的干擾信號）的不同機械系統中的摩擦、磨損、變形以及間隙等（非線性因素）-系統結構性誤差原理性誤差63誤差（error）：系統響應e(t)（即剛才所講的偏差!!）穩態誤差（steadystateerror）：瞬態過程結束后誤差e(t)的穩態分量控制信號作用下擾動作用下1.

誤差的基本概念64系統在控制信號作用下的穩態誤差穩態誤差：瞬態過程結束后誤差e(t)的穩態分量誤差傳遞函數誤差函數終值定理65系統在擾動作用下的穩態誤差穩態誤差：瞬態過程結束后誤差eN(t)的穩態分量干擾誤差傳遞函數干擾產生的誤差66穩態誤差測試信號

單位階躍輸入單位斜坡輸入單位拋物線輸入

工程上通常選用三種輸入信號來評測系統的穩態誤差：階躍（step）信號，斜坡（ramp）信號，拋物線（parabola）信號67

階躍輸入信號代表一個給定位置，適用于評測控制系統定位跟蹤一個靜態目標的能力。如衛星對地同步軌道定位系統，天線定位控制系統等，都是用階躍信號測試定位精度的典型例子。

斜坡輸入表示對一個位置控制系統輸入一個勻速信號，信號幅值呈線性增長。斜坡信號適用于測試控制系統跟隨線性增長信號（即勻速信號)的能力。例如，某位置控制系統要跟蹤一個勻速穿越天空的衛星，就可以用斜坡信號來測試計算衛星角度位置與控制系統的角位置之間偏差。

拋物線信號，其二階導數是常數，表示對一個位置控制系統輸入一個勻加速目標信號，用以測試其穩態誤差性能。如跟蹤導彈目標三種測試信號的應用

68

：0型系統：I型系統 ：II型系統2.系統結構（系統類型）由開環傳遞函數定義系統的類型與開環增益：:開環增益

影響穩態誤差的因素：輸入、干擾，開環增益以及系統結構。69穩態誤差3.

靜態(穩態）誤差系數與穩態誤差其中所以系統的類型、開環增益以及輸入都會對穩態誤差產生影響。

為系統的類型，為開環增益

：0型系統：I型系統 ：II型系統穩態誤差系數和穩態誤差70靜態(穩態）誤差系數當輸入單位階躍信號當輸入單位斜坡信號當輸入單位拋物線信號靜態位置誤差系數：靜態速度誤差系數：靜態加速度誤差系數：710型系統的穩態誤差0型階躍輸入的有差系統()72I型系統的穩態誤差()I型斜坡輸入的有差系統73II型系統的穩態誤差II型拋物線輸入的有差系統()74穩態誤差系數和穩態誤差不同系統在不同的控制信號作用下減小和消除穩態誤差方法提高系統的開環增益增加開環傳遞函數中積分環節不利于系統的穩定性75盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩態位置偏差。如果輸入量非單位量時，其穩態誤差按比例增加。例1、例2系統在多個信號共同作用下總的穩態誤差等于多個信號單獨作用下的穩態誤差之和。注意:76例1：I型單位反饋系統的開環增益K=600s-1,系統最大跟蹤速度

max=24/s，求系統在最大跟蹤速度下的穩態誤差。解：單位速度輸入下的穩態誤差I型系統系統的穩態誤差為77例2：閥控油缸伺服工作臺要求定位精度為0.05cm,該工作臺最大移動速度vmax=10cm/s，若系統為I型，試求系統開環增益。解：單位速度輸入下的穩態誤差為系統的開環增益784.擾動作用下的穩態誤差當誤差是從輸入端定義的79如果系統，則

1）增加擾動作用點前的增益，可以減少穩態誤差。2）在擾動作用點前的傳遞函數G1(s)中增加積分環節，可以完全消除擾動作用引起的穩態誤差。所以，為降低由干擾引起的穩態誤差，我們可以：

80例:求系統在單位斜坡輸入和單位階躍擾動作用下的穩態誤差在R(s)

單獨作用下（N(s)=0）在擾動單獨作用下（R(s)=0）81比例積分環節提高穩態精度閉環回路提高穩態精度輸入量補償的復合控制干擾量補償的復合控制5.

提高穩態精度的措施82控制器G1(s)的放大系數攏動誤差

阻尼

振蕩

求在單位階躍擾動作用下的擾動誤差essN比例積分環節提高穩態精度83求在單位階躍擾動作用下的擾動誤差essN。84比較兩個系統，在單位階躍輸入信號下的穩態誤差。閉環回路提高穩態精度85如果穩態增益G0(0)隨時間消逝而偏離1，穩態誤差不再等于0

須重新調整系統。單位階躍輸入下設在回路的傳遞函數中有如下的變化: