1

Chapter7TheCompensation&DesignofControlSystems

控制系統的校正與設計FundamentalsofMechanicalControlTheory機械控制理論基礎2系統分析：控制系統結構參數已知分析其穩定性、準確性、快速性

系統設計：確定系統結構參數,系統穩定滿足一定的穩定性、準確性和快速性要求

第4、5、6章內容本章內容3主要內容(MainContents)系統的時域、頻域性能指標及其關系Performanceintimedomain&frequencydomain,andtherelationshipbetweenthem串聯校正cascadecompensation并聯校正parallelcompensationPID校正器PIDcompensator要求重點掌握：頻率法校正的方法，4種串聯校正環節、并聯校正以及PID校正的傳遞函數及其對系統的校正作用。4系統的性能指標，按其類型可以分為（1）時域性能指標：包括瞬態性能指標和穩態性能指標；（2）頻域性能指標：包括在閉環和開環頻率特性上的指標7.1系統的時域與頻域性能指標5（1）瞬態性能指標①延遲時間td②上升時間tr③峰值時間tp④最大超調量或最大百分比超調量Mp⑤調整時間或過渡過程時間ts（2）穩態性能指標它是指過渡過程結束后，實際的輸出量與希望的輸出量之間的偏差——穩態誤差。1.時域性能指標6在欠阻尼情況下典型二階系統時域性能指標的具體表達式為：（誤差取2％）或（誤差取5％）。圖7-1典型二階系統閉環控制方塊圖7頻域的主要性能指標如下：（1）相位裕量γ（2）幅值裕量Kg（3）諧振頻率ωr及諧振峰值Mr，Mr=Mmax（ω)/M(0)（4）截止頻率ωb及截止帶寬0~ωb2.頻域性能指標在欠阻尼情況下典型二階系統頻域性能指標的具體表達式為：

其中8頻域性能指標與時域性能指標之間有一定的關系，如峰值時間和過渡過程時間都與系統的帶寬有關。3.時域與頻域性能指標之間的關系可以證明，對于典型二階系統，ωb，tp及ts都是系統阻尼比與固有頻率的函數。因此當系統的阻尼比與固有頻率給定后，ωb，tp及ts都是常數，而系統的截止頻率ωb與tp及ts都呈反比關系，或者說，系統的帶寬越大，該系統的快速性越好。這表明，帶寬表征了系統的響應速度。

9或或典型二階系統的頻域與時域性能指標的關系

10由前幾章內容可知，低頻段可求出系統的開環增益K、系統的類型等參數，表征了閉環系統的穩態特性；中頻段可求幅值穿越頻率和相位裕量等指標，表征了閉環系統的動態特性；高頻段表征了系統對高頻干擾或噪聲的抵抗能力，幅值衰減越快，系統抗干擾能力越強。4.開環頻率特性曲線與系統性能關系

一般將系統開環頻率特性的幅值穿越頻率看成是頻率響應的中心頻率，并將在附近的頻率區段稱為中頻段；把的頻率區段稱為低頻段（一般定為第一個轉折頻率以前）；把的頻率區段稱為高頻段（一般取）。11低頻段的增益充分大，以保證穩態誤差的要求；在幅值穿越頻率附近，使對數幅頻特性的斜率為-20dB/dec并占據充分的帶寬，以保證系統具有較快的響應速度和適當的相位裕量、幅值裕量；在高頻段的增益應盡快衰減，以便使噪聲影響減到最小。用頻率法設計與校正系統的本質，就是對系統的開環頻率特性（一般采用漸近伯德圖）作某些修改，使之變成我們所期望的曲線形狀，即：12系統校正的概念與校正方式1.校正的概念所謂校正（或稱補償），就是在控制對象已知、性能指標已定的情況下，在系統中增加新的環節或改變某些參數以改變原系統性能，使其滿足所定性能指標要求的一種方法。校正的實質就是通過引入校正環節，改變整個系統的零極點分布，從而改變系統的頻率特性，使系統頻率特性的低、中、高頻段滿足希望的性能或使系統的根軌跡穿越希望的閉環主導極點，從而使系統滿足希望的動靜態性能指標要求。

132.校正的方式（1）串聯校正（2）并聯校正增益調整相位超前校正相位滯后校正相位滯后—超前校正反饋順饋14（3）PID校正a.對被控對象的模型要求低，甚至在系統模型完全未知的情況下，也能進行校正。b.校正方便。在PID校正器中，其比例、積分、微分的校正作用相互獨立，人們可以任意改變其中的某一校正規律，這就大大地增加了使用的靈活性。c.適用范圍較廣。采用一般的校正裝置，當原系統參數變化時，系統的性能將產生很大變化，而PID校正器的適用范圍要廣得多，在一定的變化區間中，仍有很好的校正效果。特點：

157.2串聯校正串聯校正按校正環節的性質分為:（1）增益調整；（2）相位超前校正；（3）相位滯后校正；（4）相位滯后—超前校正。

對于大多數控制系統的性能指標，一般從兩方面進行要求：穩態特性和動態特性。穩態特性由穩態精度或穩態誤差來決定，動態特性由相對穩定性指標幅值裕量和相位裕量來決定。161．控制系統的增益調整例7-1：圖示為位置控制系統，其開環傳遞函數為：調整增益是改進控制系統性能使其滿足相對穩定性和穩態精度要求的一個有效方式。

要求改變增益，使系統有450的相位裕量。17圖7-8位置控制系統的增益調整伯德圖解：首先作系統開環頻率特性的漸近伯德圖，如圖

校正后系統的傳遞函數為：

校正前系統的相位裕量為：γ=11°18增益校正前后的單位階躍響應

減少系統的開環增益可以使相位裕量增加，從而使系統的穩定性得到提高，但它又降低了系統的穩態精度和響應速度。

19從根軌跡角度分析開環增益對系統的影響由于根軌跡增益（開環增益）變小（由2500變為100），固有頻率變小，而阻尼比變大，使得系統穩定性提高，但響應速度變慢、穩態精度變差調整前閉環特征根為：調整后閉環特征根為：202.相位超前校正

（1）相位超前校正環節傳遞函數其幅頻特性與相頻特性表達式為

其Bode圖如右圖示

21

高通濾波器對于圖示無源網絡，可以充當超前校正：

此超前校正網絡具有高通濾波器特性！其伯德圖如右圖示：

22低頻時，

相當于比例環節；

相當于比例微分環節；

此環節不起作用。

中頻時，高頻時，

僅與取值有關。值越大，相位超前越多，使被校正系統的相位裕量增加；但由于校正環節增益下降，會引起原系統開環增益減小，使穩態精度降低，因此須用提高放大器的增益來補償超前網絡的衰減損失。

23串聯相位超前校正是對原系統在中頻段的頻率特性實施校正，它對系統性能的改善體現在以下兩方面：由于＋20dB/dec的環節可加大系統的幅值穿越頻率，因而它可提高系統的響應速度。由于其相位超前的特點，它使原系統的相位裕量增加，因而可提高其相對穩定性。通常取值為10左右（此時超前校正環節產生的最大相位超前約55°左右）。

超前校正網絡極坐標圖如下圖示：

24穩態性能指標：單位恒速輸入時的穩態誤差ess=0.05；穩定性指標：相位裕度γ≥50o，幅值裕度20lgKg≥10dB。（2）采用Bode圖進行相位超前校正圖7-13校正前開環頻率特性伯德圖如圖所示控制系統，要求：

25校正前相位裕度γ=17o<50o，幅值裕度20lgKg≥10dB，系統穩定，但不滿足要求。在這點上校正前增益為-6.2dB，校正后應為0dB，所以校正環節在這一點上的幅值為相位超前量26校正前后的開環頻率特性伯德圖

27為了補償超前校正造成的幅值衰減，原開環增益需增加K1倍。校正后的系統傳遞函數

相位超前校正增大了相位裕量，加大了帶寬。意味著提高了相對穩定性，加快了系統的響應速度，使過渡過程得到顯著改善。但由于系統的增益和型次未變，所以穩態精度沒有得到提高。28圖7-15相位超前校正前后的單位階躍響應用MATLAB畫出系統校正前后的單位階躍響應

29從根軌跡角度分析超前校正對系統的影響校正前開環傳遞函數校正前閉環特征根校正前根軌跡30校正后開環傳遞函數校正后閉環特征根閉環零點z=-4.348校正后根軌跡31校正后根軌跡的等阻尼線與等固有頻率線32（1）相位滯后校正環節及其頻率特性3.相位滯后校正其頻率特性33低頻時，此環節不起作用；

相當于比例積分環節加一階微分環節；相當于比例環節。中頻時，高頻時，滯后校正環節是一個低通濾波器。滯后校正的機理并不是相位滯后，而是使得大于1/T的高頻段的增益全部下降，但相位變化很小。因此，α和T要盡可能大。常用的為α=10和1/T=ωc/4~ωc/10

。滯后校正環節的Bode圖如下圖：34（2）采用Bode圖進行相位滯后校正設單位反饋系統：要求：穩態指標：單位恒速輸入時的穩態誤差ess=0.2；頻域指標：相位裕度γ≥40o，幅值裕度20lgKg≥10dB。校正前相位裕度γ=-20o，幅值裕度20lgKg=-8dB，系統不穩定。35采用滯后校正的開環Bode圖36相位滯后校正能有效地改善系統的穩定性，但相位滯后校正后，相位裕度有所下降，對給定的相位裕度要增加5~12o做補償。取相位裕度為50o，對應的剪切頻率為0.6s-1，已校正的系統剪切頻率選為0.5s-1。相位滯后校正環節的零點轉角頻率ωT應遠低于已校正的系統剪切頻率ωc，選ωc/ωT=5，

ωT=ωc/5=0.5/5=0.1s-1T=1/ωT=1/0.1=10s要使ω=0.5s-1成為已校正的系統剪切頻率，須將該點的幅頻特性移動-20dB，即37相位滯后校正環節的頻率特性：相位滯后校正能有效地改善系統的穩定性，但由于校正后開環系統的剪切頻率下降，閉環系統的頻寬也隨之下降。采用相位滯后校正的開環傳遞函數：38用MATLAB畫出校正后的單位階躍響應曲線

39從特征根角度分析滯后校正對系統的影響校正前開環傳遞函數校正前閉環特征根校正前根軌跡閉環特征根在復平面的右半平面40校正后開環傳遞函數校正后閉環特征根閉環零點：z=-0.1校正后根軌跡此閉環零點可以與閉環極點P4

相抵消41num=[10.1];den=conv(conv(conv([10],[11]),[12]),[10.01]);G=tf(num,den);rlocus(G);[K,P]=rlocfind(G)MatLab指令42（1）相位滯后—超前校正環節滯后校正超前校正

4.相位滯后—超前校正其頻率特性：43滯后在先，超前在后。高頻段和低頻段均無衰減。滯后-超前校正環節的伯德圖

超前校正可使系統帶寬增加，提高時間響應速度，但對穩態誤差影響較小；滯后校正則可以提高穩態性能，但使系統帶寬減小，降低了時間響應速度。采用滯后—超前校正，可以同時改善系統的瞬態響應和穩態精度。44（2）采用Bode圖進行相位滯后—超前校正

要求：穩態指標：單位恒速輸入時的穩態誤差ess=0.1；穩定性指標：相位裕度γ≥50o，幅值裕度20lgKg≥10dB。校正前相位裕度γ=-32o，幅值裕度20lgKg=-13dB，系統不穩定。已知單位反饋系統：45采用超前校正，使相位在ω=0.4s-1以上超前。但是單純采用超前校正，則低頻段衰減太大；若附加增益，則剪切頻率ωc右移，ωc仍可能在頻率ωg右邊，系統仍然不穩定。因此，在此基礎上，再采用滯后校正，可使低頻段有所衰減，有利于ωc左移。

選未校正前的相位穿越頻率ωg=1.5s-1為新的系統剪切頻率，則相位裕度γ=40o+10o=50o。滯后環節零點轉折頻率遠低于ω=1.5s-1，即ωT2=1.5/10=0.15s-1，T2=1/ωT2=1/0.15=6.67s。選α=10，則極點轉折頻率為1/(αT2)=0.015s-1，

滯后環節頻率特性

46ω=1.5s-1作為校正后的剪切頻率，幅值約為13dB，超前環節應產生相同的幅值。在Bode圖上過點（1.5s-1，-13dB）作斜率為20dB/dec的斜率，它和零分貝線及-20dB線的交點就是超前環節的極點和零點轉折頻率。零點轉折頻率ωT1≈0.7s-1，T1=1/ωT1=1/0.7s，極點轉折頻率為7s-1。超前環節頻率特性4748用MATLAB畫滯后—超前校正Bode圖49用MATLAB畫滯后—超前校正后的單位階躍響應校正后閉環零、極點？50從特征根角度分析滯后-超前校正對系統的影響校正前開環傳遞函數校正前閉環特征根校正前系統不穩定51從特征根角度分析滯后-超前校正對系統的影響校正后開環傳遞函數校正后閉環特征根閉環零點：z1=-0.15

，z2=-0.70

527.3并聯校正

控制系統采用反饋校正后，除了能收到與串聯校正同樣效果外，還能消除系統的不可變部分中為反饋所包圍的那部分環節的參數波動對系統性能的影響。（1）位置反饋校正（2）速度反饋校正1．反饋校正53當，則從控制的觀點講，反饋校正比串聯校正更有其突出的優點：利用反饋校正能有效地改善被包圍環節的動態結構參數，甚至在一定條件下能用反饋校正環節完全取代被包圍環節，從而大大減弱這部分環節由于特性參數變化以及各種干擾給系統帶來的不利影響。

54（1）位置（比例）反饋校正當，且令，則校正后系統型次未變，但時間常數T下降為T/(1+KKH)，即慣性減弱，這導致過渡過程時間ts縮短，響應速度加快；同時系統的增益由K下降到K/(1+KKH)。55(2)速度反饋校正校正后系統型次未變，但時間常數由T下降為T/(1+KKH)，響應速度加快；同時系統的增益由K下降到K/(1+KKH)，對于斜坡輸入響應的穩態精度會降低。當，且令，則當，則562.順饋校正

（1）順饋校正的特點是不依靠偏差而直接測量干擾，在干擾引起誤差之前就對它進行近似補償，及時消除干擾的影響。因此，對系統進行順饋補償的前提是干擾可以測出。（2）當增加順饋校正后，使G(s)=1，即輸出C(s)=輸入R(s)，所以E(s)=0。這稱為全補償的順饋校正。（3）當增加順饋校正后，穩定性不受影響，因為系統的特征方程沒變。這是因為順饋補償為開環補償，其傳遞路線沒有參加到原閉環回路中去。57（1）按輸入進行順饋校正令則58（2）按擾動進行前饋補償597.4PID校正

無源校正環節：本身沒有放大作用，而且輸入阻抗低，輸出阻抗高。有源校正環節：一般由運算放大器和電阻、電容組成，也稱為調節器。PID調節器：即對偏差的比例（Proportional）、積分（Integral）和微分（Derivative）調節。60所謂PID控制規律，就是一種對誤（偏）差e(t)進行比例、積分和微分變換的控制規律，即1.PID控制規律比例控制項積分控制項微分控制項PID控制作用如下：（1）比例系數Kp直接決定控制作用的強弱，加大Kp可以減少系統的穩態誤差，提高系統的動態響應速度，但它會降低穩定性，因而Kp不能過大。61（2）在比例調節的基礎上加上積分控制可以消除系統的穩態誤差，因為只要存在偏差，它的積分所產生的控制量總是用來消除穩態誤差的，直到積分的值為零，控制作用才停止。但它將使系統的動態過程變慢，而且過強的積分作用使系統的超調量增大，從而使系統的穩定性變壞。（3）微分的作用是跟偏差的變化速度有關的。微分控制能夠預測偏差，產生超前的校正作用，它有助于減少超調，克服振蕩，使系統趨于穩定，并能加快