第第頁第7章三角函數章末題型歸納總結模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：任意角三角函數的定義經典題型二：同角三角函數基本關系式的應用經典題型三：誘導公式的應用經典題型四：三角函數的圖象與性質經典題型五：三角函數圖象的變換經典題型六：三角函數實際應用模塊三：數學思想方法①分類討論思想②轉化與化歸思想③數形結合思想

模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：典型例題經典題型一：任意角三角函數的定義例1．（2023·遼寧大連·高一統考期末）1988年3月14日，LanyShaw在舊金山科學博物館組織舉辦了最早的大型以為主題的活動，之后博物館繼承了這一傳統，后來3月14日成為了國際圓周率日（日）.歷史上，求圓周率的方法有多種，其中的一種方法：當正整數充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形的周長，將它們的算術平均數作為的近似值.按照這種方法，的近似值的表達式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】單位圓的內接正邊形的邊長為，則其內接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的邊長為，則其外切正邊形的周長為，則有.故選：B.例2．（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知角的終邊經過點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，，又，顯然，，，故選：A例3．（2023·全國·高三對口高考）以下命題正確的是（

）A．都是第一象限角，若，則B．都是第二象限角，若，則C．都是第三象限角，若，則D．都是第四象限角，若，則【答案】D【解析】A：都是第一象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；B：都是第二象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；C：都是第三象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；D：都是第四象限角，如下圖單位圓中，此時，對.故選：D例4．（2023·江西上饒·高一江西省余干中學?？茧A段練習）設，角的終邊經過點，則的值等于（

）A． B．－ C． D．－【答案】B【解析】.由三角函數的定義：，當時，，故選：B例5．（2023·江西·高三統考開學考試）《夢溪筆談》是我國科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長的近似計算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對弦的長，“矢”是指所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑.若扇形的面積為，扇形的半徑為4，利用上面公式，求得該扇形的弧長的近似值為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】設該扇形的圓心角為，由扇形面積公式得，所以，取的中點，連接，交于點，則，則，，，所以扇形的弧長的近似值為.故選：D例6．（2023·河北張家口·高一統考期中）如圖，已知扇形的周長為，當該扇形的面積取最大值時，弦長（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，則，，由可得，所以，扇形的面積為，當且僅當，即時，扇形的面積最大，此時．因為，則扇形的圓心角，取線段的中點，由垂徑定理可知，因為，則，所以，.故選：A.例7．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯考期中）中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，則下列結論錯誤的是（

）（參考數據：）

A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為【答案】D【解析】扇形的面積為，其圓心角為，半徑為R，圓面中剩余部分的面積為，選項A：.故A正確；選項B：由，可得，解得，又扇形的半徑，則.故B正確；選項C：若扇面為“美觀扇面”，則，解得.故C正確；選項D：若扇面為“美觀扇面”，則，又扇形的半徑，則此時的扇形面積為.故D錯誤.故選：D例8．（2023·河南新鄉·高一校聯考期末）已知角的終邊經過點，則（

）A． B．7 C． D．【答案】A【解析】由角的終邊經過點，得，解得，所以．故選：A例9．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，所以．故選：D經典題型二：同角三角函數基本關系式的應用例10．（2023·廣東茂名·高一統考期末）已知，則．【答案】/【解析】由于，所以.故答案為：例11．（2023·全國·高一專題練習）若，則.【答案】【解析】，兩邊平方得，∴，則．故答案為：．例12．（2023·廣東廣州·高三廣州大學附屬中學?？奸_學考試）設，則．【答案】【解析】因為，顯然，則.故答案為：.例13．（2023·廣東佛山·高一?？计谥校┮阎?，是第三象限角，則的值為．【答案】【解析】因為是第三象限角，且，則，解得，故答案為：例14．（2023·江蘇揚州·高三儀征中學?？奸_學考試）已知，，且為第二象限角，則.【答案】/【解析】為第二象限角，，解得：或；，即，，解得：（舍）或，，，.故答案為：.例15．（2023·高一課時練習）已知，則的值為．【答案】3【解析】故答案為：.例16．（2023·山東菏澤·高一校聯考期末）已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則.【答案】【解析】因為，所以，所以有，故答案為：例17．（2023·全國·高一課堂例題）已知，則（1）；（2）；（3）．【答案】【解析】（1）分子分母同時除以得：（2）分子分母同時除以得：．（3）.故答案為：；；例18．（2023·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）已知，則.【答案】2或【解析】由兩邊平方得，解得，所以，即，解得或，故答案為：2或例19．（2023·貴州遵義·高一統考期中）已知為第四象限角，且，則.【答案】/【解析】因為為第四象限角，則，，則，因為，將代入上式可得，因此，.故答案為：.經典題型三：誘導公式的應用例20．（2023·全國·高一專題練習）．【答案】/【解析】由三角函數的誘導公式，可得：．故答案為：.例21．（2023·上海崇明·高三校考階段練習）化簡：.【答案】【解析】∵，，，，，∴.故答案為：.例22．（2023·四川南充·高一四川省南充高級中學校考開學考試）計算：．【答案】/【解析】.故答案為：例23．（2023·江西萍鄉·高一統考期中）若，則．【答案】【解析】由，即，而，故.故答案為：例24．（2023·廣東深圳·高三深圳市寶安第一外國語學校?？茧A段練習）若，，則．【答案】【解析】因為，則，，又，則，因為，所以，即，所以（負舍），，則.故答案為：.例25．（2023·高一課時練習）若，，則.【答案】【解析】由，得，由，則，故.故答案為：.例26．（2023·高一單元測試）已知是方程的根，α是第三象限角，則＝.【答案】【解析】，解得或1，又α是第三象限角，∴，，故，∴，∴，∴.故答案為：例27．（2023·高一課時練習）已知，且，則.【答案】/【解析】因為，所以，又所以，所以.故答案為：例28．（2023·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過函數（且）的定點M.則【答案】/【解析】由，得，，即點，，因此，所以.故答案為：例29．（2023·上海嘉定·高一?？计谥校┮阎?，則的值為；【答案】【解析】，，，，.故答案為：.例30．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽實驗高級中學?？计谀┮阎?，則．【答案】1【解析】因為，所以，故答案為：1例31．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為．【答案】18【解析】由，可得，∴．故答案為：18.例32．（2023·上海閔行·高一校考期中）已知且，則.【答案】/【解析】因為且，則為第四象限角，因此，.故答案為：.經典題型四：三角函數的圖象與性質例33．（多選題）（2023·河北秦皇島·高二校考開學考試）下列函數中是奇函數，且最小正周期是的函數是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于A，函數滿足，且的定義域為關于原點對稱，即是奇函數，且注意到其周期為，故A正確；對于B：函數滿足，且的定義域為關于原點對稱，所以是偶函數，不是奇函數，故B錯誤；對于C：，由A選項分析易知是奇函數，同時也是最小正周期是的周期函數，故C正確；對于D：函數滿足，且的定義域為關于原點對稱，所以是偶函數，不是奇函數，故D錯誤．故選：AC．例34．（多選題）（2023·吉林長春·高三長春外國語學校校考階段練習）已知函數，則（

）A．B．的最小正周期為C．把向左平移可以得到函數D．在上單調遞增【答案】AD【解析】A：因為，所以本選項正確；B：由正切型函數的最小正周期公式可得，所以本選項不正確；C：把向左平移可以得到函數，所以本選項不正確；D：當時，，顯然是的子集，因此本選項正確，故選：AD例35．（多選題）（2023·云南昆明·高一校考期中）若函數在一個周期內的圖象如圖所示，則正確的結論是（

）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調遞增區間是，D．把的圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，可得的圖象【答案】BC【解析】由圖可知，，所以A選項錯誤.，，所以，，所以B選項正確.由，解得，所以的單調遞增區間是，，C選項正確.把的圖象上所有點的橫坐標變為原來的，得到，所以D選項錯誤.故選：BC例36．（多選題）（2023·安徽合肥·高一校聯考期末）下列關于函數說法正確的是（

）A．周期為 B．單調遞增區間是C．圖象關于直線對稱 D．圖象關于點對稱【答案】ABD【解析】對于A，函數的周期為，故A正確；對于B，令，得，所以單調遞增區間是，故B正確；對于C，因為，所以直線不是函數圖象的對稱軸，故C錯誤；對于D，因為，所以函數圖象關于點對稱，故D正確.故選：ABD.例37．（多選題）（2023·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學校考期末）已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的是（

）

A． B．C．函數為偶函數 D．函數在區間上單調遞減【答案】BD【解析】函數的部分圖象，可得，，，則．又，所以，，所以，，又，，，故A錯誤．由，，，故B正確；將函數的圖象向左平移個單位長度得到，則為奇函數，故C錯誤；當則，因為在上單調遞減，所以函數在區間上單調遞減，故D正確，故選：BD．例38．（多選題）（2023·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級中學?？计谥校┮阎o出下列結論：其中正確結論是（

）A．若，，且，則B．存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱C．若在上恰有7個零點，則的取值范圍為D．若在上單調遞增，則的取值范圍為【答案】BD【解析】對A，因為，，，則即，即，即，故A錯誤；對B，的圖象向左平移個單位長度后得到，若其圖象關于y軸對稱，則，即，故當時，，故B正確；對C，設，當時，.在上有7個零點，即在上有7個零點.則，解得，故C錯誤；對D，在上單調遞增，則，又，故解得，故D正確.故選：BD例39．（多選題）（2023·山東泰安·高一泰山中學?？计谀┮阎瘮担铝兴膫€結論中，正確的有（

）A．函數的最小正周期為 B．函數的圖象關于直線對稱C．函數的圖象關于點對稱 D．函數在上單調遞增【答案】AD【解析】函數，最小正周期，A選項正確；由，解得函數的圖象的對稱軸方程為，當時，得函數的圖象關于直線對稱，BC選項錯誤；時，，是正弦函數的單調遞增區間，所以函數在上單調遞增，D選項正確.故選：AD例40．（2023·陜西商洛·高一?？计谥校┮阎瘮档牟糠謭D象如圖所示.

(1)求的單調增區間；(2)求在區間上的最大值和最小值.【解析】（1）由已知得，則，所以，又，所以，由函數最大值為，所以，所以，又函數過點，所以，解得，又因為，所以取，所以，則，解得，所以函數的單調增區間為；（2）由（1）得，又，則，所以當，即時，函數取最大值為，當，即時，函數取最小值為.例41．（2023·北京·高一北京市十一學校?？计谀┰O函數，.(1)求函數的最小正周期和對稱軸方程以及單調遞增區間；(2)求函數在區間上的最小值和最大值，并求出取最值時的值.【解析】（1）的最小正周期為，由，可得，則的對稱軸為，由，可得，則的單調遞增區間為.（2）由，可得，則，故函數在區間上的最小值為最大值為，當即時函數取得最小值為，當即時函數取得最大值為.例42．（2023·四川巴中·高一四川省平昌縣第二中學?？茧A段練習）已知函數．(1)求的對稱軸和單調遞增區間；(2)求不等式的解集．【解析】（1）因為，由，得，所以函數的對稱軸為；令，得，所以的單調遞增區間為.（2）由可得，,所以,解得,即不等式的解集為.例43．（2023·四川南充·高一四川省南充高級中學?？奸_學考試）已知函數，的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為，且___________．請從以下3個條件中任選一個，補充在上面橫線上．①為奇函數；②當時，；③是函數的一個零點．并解答下列問題：(1)求函數的解析式，并作出函數在上的圖象；(2)求函數在上的單調增區間．【解析】（1）由題設，函數的最小正周期，解得．若選①，為奇函數，則的圖象關于點對稱．∴，即，∵，∴，則．故．若選②，，即，∵，∴，則，得，故．若選③，，即，∵，∴，則，得，故．列表：描點、連線得到其函數圖象如下：（2）令，，得，所以函數的單調遞增區間為，設集合，，∴，故在上的單調增區間是和．例44．（2023·河南駐馬店·高一校聯考期中）已知函數，(1)若，則的最小值為，求的解析式．(2)在（1）的條件下，若在上的值域是，求實數的取值范圍；【解析】（1）由題意可得：，所以：，故的解析式為；（2）由（1）可得，令，則，如圖所示，的值域是，，，即：，由圖可知，解得，所以實數的取值范圍為．例45．（2023·黑龍江大慶·高一大慶中學校考階段練習）設函數.(1)求函數的最小正周期；(2)求不等式的解集.【解析】（1）的最小正周期.（2）不等式，即，所以，求得，故不等式的解集為，.例46．（2023·新疆烏魯木齊·高一新疆師范大學附屬中學?？奸_學考試）已知函數

(1)請用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數字，再畫圖）；00(2)求在區間上的最大值和最小值及相應的值.【解析】（1）分別令，可得：x00100畫出函數在一個周期的圖像如圖所示：（2）因為，所以，所以當，即時，取最小值0；當，即時，取最大值1.例47．（2023·江蘇鹽城·高一校聯考期末）已知函數的圖象的一條對稱軸是直線．(1)當時，求函數的值域；(2)求函數在上單調減區間．【解析】（1）由題意得，，，，因為，所以時，，所以．因為，所以所以，所以的值域為．（2），即，又因為，所以或．所以在上單調減區間為和．經典題型五：三角函數圖象的變換例48．（2023·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮玫胶瘮档膱D象，只要把函數的圖象（

）A．向左平移個單位； B．向右平移個單位；C．向左平移個單位； D．向右平移個單位【答案】D【解析】由題意知：，所以只需的圖像向右平移個單位就可以得到的圖像，故D項正確.故選：D.例49．（2023·北京·高一北京市十一學校?？计谀┖瘮档牟糠謭D像如圖所示，則，的值分別是（

）A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】C【解析】設函數的周期為，則由圖象知，，解得，；由圖象點在函數的圖象上，則，則，則，解得，又已知，則.故選：C.例50．（2023·全國·高三專題練習）將函數的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】將函數的圖象上各點向右平移個單位長度，得到函數即的圖象，再把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，就得到函數的圖象，然后再把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的4倍，就得到函數的圖象.故選：A.例51．（2023·吉林·高三?？计谥校┮阎€C1：，C2：，則錯誤的是（

）A．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平行移動個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平行移動個單位長度，得到曲線C．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線D．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線【答案】D【解析】對于A.上各點橫坐標縮短到原來的倍，得到，再向左平移個單位長度，得到，正確；對于B.上各點的橫坐標縮短到原來的倍，得到，再向右平移個單位長度，得到，正確；對于C.向左平移個單位長度，得到，再把各點橫坐標縮短到原來的倍，得到，正確；對于D.向左平移個單位長度，得到，再把各點橫坐標縮短到原來的倍，得到，錯誤.故選：D例52．（2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谥校┖瘮迪噜弻ΨQ軸和對稱中心之間的距離為，將函數圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若函數為偶函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，所以，，又∵且，∴，則，由題意，函數圖象向左平移個單位長度可得，∵函數為偶函數，∴，解得：，.又∵，∴.故選：B.例53．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學?？计谥校⒑瘮祱D象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將它的圖象向右平移個單位長度，得到了一個奇函數的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得，再將它的圖象向右平移個單位長度，得，因為函數為奇函數，所以，即，又因，所以當時，.故選：B.例54．（2023·山東泰安·高一泰安一中?？计谥校┖瘮翟趨^間上的圖象如圖所示，將該函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），再向右平移個單位長度后，所得到的圖象關于原點對稱，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象可知函數的最小正周期為，又，故，由于，故，所以，將該函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），再向右平移個單位長度后，得到的圖象，因為該圖像圖象關于原點對稱，即為奇函數，故，則，而，則的最小值為，故選：C例55．（2023·江蘇鹽城·高一校聯考期末）要得到函數的圖象，只需將的圖象上所有的點（

）A．橫坐標變為原來的（縱坐標不變）再向左平移個單位長度B．橫坐標變為原來的（縱坐標不變）再向左平移個單位長度C．橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）再向左平移個單位長度D．橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）再向左平移個單位長度【答案】C【解析】因為，將的圖象上所有的點橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）得到，再向左平移個單位長度得，即得到函數的圖象.故選：C例56．（2023·安徽馬鞍山·高一安徽省當涂第一中學校考期中）把函數的圖像向右平移個單位長度，所得圖像關于軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數的圖像向右平移個單位長度，所得函數解析式為，其圖象關于軸對稱，則，即，因為，所以當時的最小值是.故選：C例57．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學?？计谥校┤舭押瘮档膱D象向左平移（）個單位長度后，得到的圖象，則m的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數的圖象向左平移個單位長度后為函數，所以，則又，所以m的最小值為.故選：C.例58．（2023·山西大同·高一?？茧A段練習）將函數的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，所得圖象關于軸對稱，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將函數的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變得到的圖象，將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，該圖象關于軸對稱，所以，，，，若，解得，若，解得，若，解得，若，解得，故選：D.例59．（2023·內蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知函數的部分圖象如圖所示，為了得到函數的圖象，只要把的圖象上所有的點（

）

A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【答案】D【解析】根據題中函數的部分圖象，結合五點法作圖可得，故，又，故，所以，為了得到函數的圖象，只要把的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度即可．故選：D．例60．（2023·高一單元測試）函數其中，，，它的圖象如圖所示，則它是由怎樣變換得到的（

）

A．橫坐標先向左平移單位，再縮小為原來的，然后縱坐標拉伸為原來的2倍B．橫坐標先縮小為原來的，再向左平移單位，然后縱坐標拉伸為原來的2倍C．橫坐標先向右平移單位，再縮小為原來的，然后縱坐標拉伸為原來的2倍D．橫坐標先縮小為原來的，再向左平移單位，然后縱坐標拉伸為原來的2倍【答案】D【解析】因為，，，由圖可得，，，，由五點法作圖可知：，，，對A，的橫坐標向左移動單位得，然后縱坐標伸為原來的2倍，得，所以A錯誤；對B，的橫坐標縮小為原來的，得，再向左平移單位得，縱坐標拉伸為原來的2倍得，故B錯誤；對C，橫坐標先向右平移單位得，再縮小為原來的得，縱坐標拉伸為原來的2倍得，所以C錯誤；對D，橫坐標先縮小為原來的得，再向左平移單位得，縱坐標拉伸為原來的2倍得，故D正確.故選：D.例61．（2023·江西吉安·高一統考期末）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，再把得到的曲線上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】把函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖象，對于A，再向左平移個單位長度，得的圖象，A錯誤；對于B，再向左平移個單位長度，得的圖象，B錯誤；對于C，再向右平移個單位長度，得的圖象，C錯誤；對于D，再向右平移個單位長度，得的圖象，D正確.故選：D例62．（2023·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谀┮阎瘮翟谝粋€周期內的圖象如圖所示；若為偶函數，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據函數，，在一個周期內的圖象，可得，，．再根據五點法作圖，可得，所以，由于，，故．若為偶函數，則，，即，，取，則，故的值可以為，故選：B例63．（2023·北京東城·高一北京二中?？茧A段練習）設函數，將函數圖像上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，若對于任意的實數，恒成立，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將函數圖像上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），則可得，且對于任意的實數，恒成立，則，即，，解得，，且，所以當時，.故選：C例64．（2023·江西上饒·高一統考期末）函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）

A． B．C．的圖象關于點對稱 D．的圖象關于直線對稱【答案】A【解析】由已知圖象可得，所以，，由圖象過點，由“五點法”可得，，所以，.因為，所以，，故B項錯誤；，故A項正確；因為，所以點不是函數的對稱中心，故C項錯誤；對于D項，當時，，故D項錯誤.故選：A經典題型六：三角函數實際應用例65．（2023·貴州遵義·高二?？茧A段練習）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數據，那么能與這些數據擬合的振動函數的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】設簡諧振動的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過點，由周期，且，可得，由過點，可得，即，則，可得，所以簡諧振動的解析式為.故選：D.例66．（2023·北京海淀·高一北京市八一中學?？茧A段練習）為了研究鐘表秒針針尖的運動變化規律，建立如圖所示的平面直角坐標系，設秒針針尖位置為點．若初始位置為點，秒針從（規定此時）開始沿順時針方向轉動，點P的縱坐標y與時間t的函數關系式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數的周期為，所以，由于秒針順時針旋轉，所以可設函數解析式為，因為初始位置為點，所以當時，，所以，所以可能取，所以，故選：D例67．（2023·浙江寧波·高一統考期末）據長期觀察，某學校周邊早上6時到晚上18時之間的車流量y（單位：量）與時間t（單位：）滿足如下函數關系式：（為常數，）.已知早上8：30（即）時的車流量為500量，則下午15：30（即）時的車流量約為（

）（參考數據：，）A．441量 B．159量 C．473量 D．127量【答案】A【解析】由題意可得，可得，解得，所以，當時，（量）.故選：A.例68．（2023·北京海淀·高一統考期末）海洋中的波動是海水的重要運動形式之一．在外力的作用下，海水質點離開其平衡位置做周期性或準周期性的運動，由于流體的連續性，必然帶動其鄰近質點，從而導致其運動狀態在空間的傳播．（節選自《海洋科學導論》馮士筰李風岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學小組的同學為了研究海水質點在豎直方向上的運動情況，通過數據采集和分析，同學們發現海水質點在某一時間段相對于海平面的位移（米）與時間（秒）的關系近似滿足，其中常數．經測定，在秒時該質點第一次到達波峰，在秒時該質點第三次到達波峰．在時，該質點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒【答案】C【解析】因為秒時該質點第一次到達波峰，在秒時該質點第三次到達波峰．所以，即，當時，，，即，因為，所以.則，由得出或，.即，或，因為，所以.因此該質點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為.故選：C例69．（2023·廣東韶關·高一統考期末）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保，明代科學家徐光啟在《農政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為4，筒車的軸心到水面的距離為2，筒車每分鐘按逆時針轉動3圈.規定：盛水筒M對應的點P從水中浮現（即時的位置）時開始計算時間，設盛水筒M從運動到點P時所用時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）.若以筒車的軸心為坐標原點，過點的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy（如圖2），則h與t的函數關系式為（

）

A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以對應的角是，由在內轉過的角為，可知以為始邊，以為終邊的角為，因為圓的半徑為則點的縱坐標為，又因為筒車的軸心到水面的距離為，所以點距水面的高度表示為的函數是.故選：D例70．（2023·北京東城·高一統考期末）如圖，質點在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當時，動點的縱坐標關于（單位：）的函數的單調遞增區間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為在單位圓上的角速度大小為，起點為射線與的交點，所以，，所以動點的縱坐標關于（單位：）的函數，由，得，因為，所以，，，.所以動點的縱坐標關于（單位：）的函數的單調遞增區間是，，，.故選：B例71．（2023·江西景德鎮·高一統考期中）筒車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據史料記載，筒車發明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的筒車，一個水斗從點出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60秒，經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則函數的解析式是（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，，，所以，又點代入可得，解得，又，所以，故函數解析式為.故選：B例72．（2023·湖北·黃岡中學校聯考模擬預測）用數學的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個圓錐，設AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點，米，米，則彩虹（）的長度約為（

）（參考數據：，）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】在中，由勾股定理，可得：，連接PO，則在中，，連接OB，OC，OM，則在中，，故，，則彩虹（）的長度約為.故選：A例73．（2023下·北京·高一101中學?？计谥校┦吧接螛穲@“夢想之星”摩天輪采用國內首創的橫梁中軸結構，風格現代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑約為86米，總高約100米，勻速旋轉一周時間為18分鐘，配有42個球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉一周后出艙，甲、乙兩名同學通過即時交流工具發現，他們兩人進入各自座艙的時間相差6分鐘，這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為(

)A．79米 B．157米 C．113米 D．189米【答案】B【解析】因為摩天輪勻速旋轉一周時間為18分鐘，所以摩天輪的角速度為，又因為甲乙兩人進入各自座艙的時間相差6分鐘，所以兩人相差的角度為，設第二個人進倉后轉動角時對應的高度為，因為摩天輪直徑約為86米，總高約100米，所以摩天輪底部距離地面高度為14米，摩天輪半徑約為43米，所以，因為甲乙兩人相差的角度為，所以甲乙兩人所在的高度之和為：，所以，所以，化簡可得，又根據題意可知，所以，所以當時，即時，取得最大值.故選：B.模塊三：數學思想方法①分類討論思想例74．若，，則終邊所在象限為（

）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限【答案】B

【解析】

，當時，，為第三象限角；當時，，為第一象限角；所以的終邊在第一或第三象限．故選例75．設函數，則的最小正周期（

）A．與a有關，且與b有關 B．與a有關，但與b無關C．與a無關，且與b無關 D．與a無關，但與b有關【答案】D

【解析】

對于，其最小正周期為，對于，其最小正周期為，所以對于任意a，的最小正周期都為，對于，其最小正周期為，故當時，，其最小正周期為；當時，，其最小正周期為，所以的最小正周期與a無關，但與b有關．故選：例76．已知函數，滿足，且對于任意的都有，若在上單調，則的最大值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C

【解析】函數，滿足，，①，對于任意的都有，故的圖象關于直線對稱，，②，②-①可得

，即，，，即為奇數，若在上單調，則，求得，當時，由①可得，，結合，可得，此時，，當，，故不滿足在上單調，故不滿足條件，當時，，由①可得，，結合，可得

或，當時，，滿足在上單調，當時，，滿足在上單調，故的最大值為故選：例77．若角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是

（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】根據題意，角的終邊在直線上，為第二象限角時，，；為第四象限角時，，；綜上，角的取值集合是故選：例78．函數，已知點為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在區間上單調遞減，則滿足條件的所有的值的和為（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】因為

在區間

上單調遞減，所以

，所以

．又

為

圖象的一個對稱中心，直線

為

圖象的一條對稱軸，且

．因為

，所以

．又根據正弦函數的圖象可知，

，所以

或

或

．當

時，有

，此時有

，

．由已知可得，

在

處取得最大值，所以有

，解得

．又

，所以

，滿足題意；當

時，有

，此時有

，

．由已知可得，

在

處取得最大值，所以有

，解得

．又

，這樣的不存在；當

時，有

，此時有

，

．由已知可得，

在

處取得最大值，所以有

，解得

．又

，所以

，滿足題意．綜上所述，

或

．所以，滿足條件的所有

的值的和為

．故選：例79．已知命題p：角為第二或第三象限角，命題q：，命題p是命題q的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D

【解析】當角

為第二象限角時，

，所以

，當角

為第三象限角時，

，所以

，所以命題

p

是命題

q

的不充分條件．當

時，顯然角

可以為第四象限角，命題

p

是命題

q的不必要條件．所以命題

p

是命題

q

的既不充分也不必要條件．故選：②轉化與化歸思想例80．在中，C是直角，則（

）A．有最大值無最小值 B．有最小值無最大值C．有最大值也有最小值 D．無最大值也無最小值【答案】D

【解析】因為在中，C是直角，所以，所以由題意可得，所以，所以，設，則，令，，因為函數的對稱軸，所以函數沒有最值，即沒有最值．故選：例81．奇函數的定義域為R，若為偶函數，且，則的值為（

）A．2 B．1C． D．【答案】D

【解析】由為偶函數，，令，則，即，因為為奇函數，有，所以，令，得，，即函數是周期為4的周期函數，奇函數中