專題29幾何變換

閱讀與思考

幾何變換是指把一個兒何圖形《變換成另一個幾何圖形6的方法，若僅改變圖形的位置，而不改

變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換.

平移變換前后的對應線段相等且平行，對應角的兩邊分別平行且方向一致.

2.對稱變換

如圖2,將平面圖形片變換到與它成軸對稱的圖形居，這樣的幾何變換就叫做關于直線/（對稱軸）

的對稱變換.

對稱變換前后的對應線段相等，對應角相等，其對稱軸是連結(jié)各對應點線段的垂直平分線.

3.旋轉(zhuǎn)變換

如圖3,將平面圖形耳繞這一平面內(nèi)一定點M旋轉(zhuǎn)一個定角a,得到圖形鳥，這樣的變換叫旋轉(zhuǎn)

變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，a叫旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形是全等的，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

例題與求解

【例1】如圖，NAOB=45°,角內(nèi)有點P,尸0=10,在角的兩邊上有兩點Q,R（均不同于O）,則△PQR

的周長的最小值為.（黃岡市競賽試題）

解題思路：作P點關于040B的對稱點，確定Q,R的位置，化折線為直線，求△PQR的最小值.

\/

P

OB

【例2】如圖，尸是等邊△ABC的內(nèi)部一點，ZAPB,ZBPC,/CB4的大小之比是5:6:7,則以力,

PB,PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）

A.2:3:4B,3:4:5

C.4:5:6D.不能確定

（全國通訊賽試題）

解題思路：解本例的關鍵是如何構(gòu)造以B4,PB,PC為邊的三角形，若把△PBC,△PC4中的

任一個，繞一個頂點旋轉(zhuǎn)60°,就可以把以，PB,PC有效地集中在一起.

【例3】如圖，在△ABC中，ADJ_BC于。，ZB=2ZC,求證：AB+BD=CD.

（天津市競賽試題）

解題思路：用截長法或補短法證明，實質(zhì)都利用AD翻折造全等.

【例4】如圖，六邊形A8COEF中，AB//DE,BC//FE,CD//AF,對邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CD

>0,求證：該六邊形的各角都相等.

（全俄數(shù)學奧林匹克競賽試題）

解題思路：設法能將復雜的條件8。-在=匹％8=4/00,用一個基本圖形表示，題設條件有平行

條件，考慮實施平移變換.

A

B-

D

【例5】已知RtZvWC中，AC=BC,ZACB=90°,ZMC7V=45°

（1）如圖1,當A/、N在A8上時，求證：MN2=AM2+BN2

（2）如圖2,將NMCN繞C點旋轉(zhuǎn)，當M在區(qū)4的延長線時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請證明;

若不成立，請說明理由.

（天津市中考試題）

解題思路：MN2=+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為直角三角形可將△ACM沿直線CM對

折，得ADCM.連QN,只需證DN=BN,ZMDN=9Q°；或?qū)ⅰ鰽CM（或△BCM）旋轉(zhuǎn).

【例6】如圖，ND4C=12°,ZDBC=24°,NC48=36°,ZAB￡>=48°,求NOCA的度數(shù).

（日本算術奧林匹克試題）

解題思路：已知角的度數(shù)都是12的倍數(shù)，36°+24°=60°,這使我們想到構(gòu)作正三角形.

AB

能力訓練

1.在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移3個單位后得到△A'B'C,則的度數(shù)是

（泰安市中考試題）

2.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，%=6,PB=S,PC=10,則/APB=.

4k49

3.如圖，直線,=-x與雙曲線上=一（左＞°）交于點A，將直線,=一%向右平移一個單位后，與雙曲

3x32

kAO

線必=之交于點-與X軸交于點C.若一匕=2,則％=.（武漢市中考試題）

xBC

4.如圖，△ABC中，/BAC=45°,ADLBC,DB=3,DC=2,則△ABC的面積是.

5.如圖，P為正方形內(nèi)一點，若PA:PB:PC=1:2:3,則NAPB的度數(shù)是（）.

A.120°B,135°C.145°D,150°

（第4題）（第5題）（第6題）

6.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O,把邊BA、CD分別繞點B、C同時逆時針旋轉(zhuǎn)60°,

得四邊形A'BC。'，下列結(jié)論：①四邊形A'BC。'為菱形；②S四邊形*8。，=35正方形相8；③線段的

長為6—1.其中正確的結(jié)論有（）.

A.0個B.1個C.2個D.3個

7.如圖，A,8兩個電話機離電話線/的距離分別是3米，5米，C/X6米，若由乙上一點分別向A,B

連電話線，最短為（）.

A.11米B.10米C.9米D.8米

8.如圖，在aABC中，ZBAC=120°,P是△A8C內(nèi)一點，若記x=PA+P8+PC,y=AB+AC,

則（）.

A.x<yB.x=yC.x>yD.x與y的大小關系不確定

9.如圖，已知。是△ABC中BC邊的中點，過。作。E1.OF,分別交48于E,交AC于尸，求證:

BE+CF>EF.

（天津市競賽試題）

10.如圖，△ABC,△A'8'C'其各邊交成六邊形DEFGHK,且EF//KH,GH//DE,FG//KD,

KH-EF=FG-KD=DE-GH>0.求證：△ABC,△A'B'C'均為為正三角形.

（“縉云杯”邀請賽試題）

BEC

A'

11.如圖，已知△ABC中，AB=AC,P,Q分別為AC,AB匕的點，jaAP=PQ=QB=BC,求/PC。

(北京市競賽試題)

12.如圖，已知在平面直角坐標系中，A,B兩點的坐標分別為4(2,—3),8(4,-1).

(1)若P(x,O)是X軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最短時，求x的值;

(2)若C(a,0),￡)(a+3,0)是x軸上的兩個動點，當四邊形A8CQ的周長最短時，求。的值;

(3)設M,N分別為％軸，y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M(相,0)和N(0,〃)，使四邊形A8MN

的周長最短？若存在，求出機〃的值；若不存在，請說明理由.

(浙江省湖州市中考試題)

13.如圖，梯形ABC￡＞中，AD//BC,分別以兩腰AB,C。為邊向兩邊作正方形45施和正方形〃。戶，設

線段力，的垂直平分線改線段E尸于點M,EPL于P,尸。JJ于。，求證：EP=FQ.

(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

14.如圖所示，已知RfZXABC中，AB=BC,在中，AD=DE,連結(jié)EC,取EC中點連結(jié)

DM和BM.

（1）若點。在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖1,求證：BM=DM,且BM_LDW；

（2）如圖2中的△4￡>￡繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立,

請舉出反例；如果成立，請給予證明.

（廣州市中考試題）

15.如圖，在△ABC中，/BAC=45°,AD_LBC于。，若80=3,8=2,求△ABC的面積.

（山東省競賽試題）

B3D2C

專題29幾何變換

例1IOA/2

例2A提示：將A43尸繞3點順時針旋轉(zhuǎn)60。得ACBO,則A4所絲強力。，岫PD為等邊三角形.

例3提示：延長BZ)至E,使3E=A3,連接AE,NA8C=2NE-

例4提示:過E作ER〃CD過C作CP〃AB,過A作AQ〃￡/，則\PQR為等邊三角形.

例5⑴如圖a,由AQCM絲A4CM則。C=AC,￡)M=AM,/OCM=ZACM,NCDM=乙4.又由

CA=CB,得CO=CB,由NDCN=45°-NDCM

得ZDCN=NBCN，又CN=CN,

則SDCN也XBCN，有DN=BN,2CDN=NB

二ZMDN=NCDM+NCDN=NA+NB=90°

MN2=MD1+DN'即MN-=AM2+BN2圖agb

(2)關系式：MN"=AM°+BN°仍成立,方法同上,如圖b

例6如圖，作AACD關于A。所在直線的軸對稱圖形APD,則

ZAPD=ZACD,ZPAiy=ZCAD=l2,ZE4B=60,AP=AB=AC,連接PB,貝UPAB為正三角，得

NPBD=12,ZDAB=12+36=48=ZDBA,:.AD=BD,PAD=PBD,

故ZAP。=ZBP。=30...ZAC。==30

能力訓練

1.45

2.150

3.12提示：如圖，設A(agq)過A作AO，x軸，交于點。，過3作BE1x軸，交于點E

由■OZ)BCE,—=—=—=2,則CE=2,BE=-a,B(-+-a,-a)

BCBECE23223

4oni

A,3都在雙曲線上，.?；0“=54(1+上/，解得4=3,a,=0(舍去).^=3x4=12

3322

4.15提示：分別以AB,4c為對稱軸作。點的對稱點及尸，連接FC,EB相交于G,證明四邊形AFGE

為正方形

5.B

6.C

7.B

8.D

9.提示：延長皿至G,使。G=FQ,連接EG

10.提示：作EQ//FG,PG//KH,KR//DE,交成等邊三角形PQR

11.提示：作CO&8。，連PO,CO,.?.四邊形QBCZ)為菱形，DQ=QB,由AP=QB=CD4Q=PC

ZA=NPCD,得—CP=PAQ,PD=PQ=QB=QD,QPZ為等邊三角形，

又ZCDP=ZA=ZPQA,ZQPC=2ZA,NQP￡>=3ZA=6O

NA=20,NB=ZACB=80

又QB=BC,ZQCB=5()ZPC0=30

A

12.提示：

(1)作B(4,-l)關于x軸對稱點9(4,1),連交x軸于P,PAB周長最短，.■.尸(3.5,0)

(2)將點8(4,-1)向左平移3個單位得4(1,-1),再作用關于x的對稱點生(1,1),連A2交x軸于C,

再將C向右平移3個單位得點O,25,0),a=1.25

(3)作點A關于y軸對稱點A'(-2,-3),作點8關于x軸的對稱點夕(4,1),連W9交x軸于M,交y

軸于N.-.^(2.5,0),^(0,--)

13.提示：過N作NQ'HDF，作NP'UAE,作NS//DC,NR//AB.由ZPP'N=ZLNR,RN=AB=AE=P'N

則由PP'N=RtLNR：.PP