7/16/2024第10章排隊論1WheretheTimeGoes美國人一生中平均要花費---7/16/202426年吃5年排隊等待4年做家務(wù)2年回電話不成功1年尋找放置不當(dāng)?shù)奈锲?個月打開郵寄廣告6個月停在紅燈前AC尼爾森公司的調(diào)查在消費者經(jīng)常遭遇排隊問題的各類場所銀行的排隊率是73%；醫(yī)院以44%居第二；零售商店的排隊率以43%居第三。在調(diào)查受訪的消費者中，超過60%的受訪者稱通常一周用于排隊的時間高于30分鐘。在所有受訪的消費者中，有28%的人因排長隊而轉(zhuǎn)選其它服務(wù)提供商，66%的人因不想耽誤時間而選擇離開，而46%的人會有抱怨。7/16/20243行為研究結(jié)論行為科學(xué)家發(fā)現(xiàn)：無序排隊是影響客戶流失的一條主要原因。研究結(jié)果表明等候時間：超過十分鐘，情緒開始急躁；超過二十分鐘，情緒表現(xiàn)厭煩；超過四十分鐘，常因惱火而離去。7/16/20244如何減少排隊？減少等候時間的解決方案：開設(shè)更多的服務(wù)點；提供自助服務(wù)解決方案；雇用更多員工。7/16/20245排隊管理系統(tǒng)的應(yīng)用近年來，許多公共服務(wù)場所出現(xiàn)了排隊機(ticketdispenserunit)，窗口秩序為之一變，一種令人耳目一新的排隊方式：進(jìn)得大門，在排隊機的觸摸屏上點一下所要辦理的項目，排隊機就會“吐”出一張像名片大小的號票，拿著這張?zhí)柶卑舶察o靜地坐在休息區(qū)舒適的椅子上等候，輪到自己時，大屏幕和語音系統(tǒng)會提醒你到相應(yīng)的窗口辦理，井然有序。7/16/20246DisneyParis’sEuroDisney,Tokyo’sDisneyJapan,andtheU.S.’sDisneyWorldandDisneylandallhaveonefeatureincommon—longlinesandseeminglyendlesswaits。在游樂園中的頻頻排隊會極為掃興……7/16/20247Disney在佛羅里達(dá)州Orlando的DisneyLand里,游客們依著繩子排成許多隊，指示牌可以估計出等待的時間，而許多大的電視屏幕為游客們提供消遣。DisneyLand中的FastPass系統(tǒng)就是想解決排隊問題。7/16/20248WhatisFastPass?工作原理：到達(dá)的顧客將自己的票插入FastPass的slot中FastPass計算出建議顧客返回的時間間隔（timeinterval）或時間點或時間窗（timewindow）顧客無需排隊，在指定的時間返回就可持票進(jìn)入7/16/20249Disney’sFastpass7/16/202410

如何計算顧客等待時間？7/16/202411

排隊論！服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成排隊現(xiàn)象抽象成服務(wù)系統(tǒng)，它由顧客、服務(wù)機構(gòu)、隊列和服務(wù)規(guī)則等組成7/16/202412ThreePartsofaQueuingSystem

atDave’sCar-Wash7/16/202413排隊系統(tǒng)的基本特征離開排隊規(guī)則到達(dá)過程排隊結(jié)構(gòu)服務(wù)過程退出需求群體7/16/202414什么是排隊論排隊論是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機規(guī)律的理論與方法。因為排隊現(xiàn)象是一個隨機現(xiàn)象，因此在研究排隊現(xiàn)象的時候，主要采用的是研究隨機現(xiàn)象的概率論作為主要工具，還有微分方程。7/16/202415排隊論研究目的和內(nèi)容減少顧客等待時間計算顧客平均等待時間計算顧客的平均隊長提高服務(wù)系統(tǒng)的效率計算服務(wù)強度計算忙期\閑期對服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行成本效益平衡分析增加服務(wù)臺的成本與效益分析7/16/202416排隊論發(fā)展簡述1909年丹麥數(shù)學(xué)家A.K.Erlang(愛爾朗)服務(wù)于一家電話公司，他在解決自動電話設(shè)計問題時開始形成的，當(dāng)時稱為話務(wù)理論。他在熱力學(xué)統(tǒng)計平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的愛爾朗電話損失率公式。7/16/202417排隊論發(fā)展簡述上世紀(jì)50年代，英國人D.G.Kendall提出嵌入馬爾可夫鏈理論，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了理論基礎(chǔ)；上世紀(jì)60年代更多的應(yīng)用于生產(chǎn)線，交通信號燈綠信比的設(shè)置等問題；上世紀(jì)70年代應(yīng)用于計算機網(wǎng)絡(luò)、通信等領(lǐng)域；如今通信系統(tǒng)仍然是排隊論應(yīng)用的主要領(lǐng)域,同時在運輸、港口泊位設(shè)計、機器維修、庫存控制等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，特別是服務(wù)行業(yè)。7/16/202418CONTENTS019目錄7/16/202410.1

排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念10.2

到達(dá)間隔與服務(wù)時間的分布10.3

生滅過程與系統(tǒng)狀態(tài)方程10.4

單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊模型10.5

多服務(wù)臺排隊模型10.6

其他類型排隊模型10.7

排隊系統(tǒng)的優(yōu)化10.1排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念10.1排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念一個排隊系統(tǒng)可以抽象描述為：為了獲得服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)設(shè)施前排隊，等候接受服務(wù)，服務(wù)完畢后就自行離開。要求得到服務(wù)的對象稱為顧客服務(wù)者稱為服務(wù)設(shè)施或服務(wù)臺顧客的到達(dá)和離開稱為排隊系統(tǒng)的輸入和輸出。顧客的總體稱為顧客源或輸入源。因此，任何一個排隊系統(tǒng)是一種輸入-輸出系統(tǒng)。7/16/202421服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型 顧客 服務(wù)臺理發(fā)店 人 理發(fā)師銀行出納服務(wù) 人 出納ATM機服務(wù) 人 ATM機超市收銀臺 人 收銀員電影院售票窗口 人 售票員機場檢票處 人 航空公司代理人7/16/202422服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型 顧客 服務(wù)臺公路收費站 汽車 收費員港口卸貨區(qū) 輪船 卸貨工人等待起飛的飛機 飛機 跑道航班服務(wù) 人 飛機出租車服務(wù) 人 出租車電梯服務(wù) 人 電梯停車場 汽車 停車空間急救車服務(wù) 人 急救車7/16/20242310.1.1排隊服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成事實上，任何一個排隊服務(wù)系統(tǒng)都是一種輸入-輸出系統(tǒng)。顧客的到達(dá)和離開稱為排隊系統(tǒng)的輸入和輸出。顧客的總體稱為顧客源或輸入源。顧客源等候隊列服務(wù)設(shè)施到達(dá)輸入輸出離開排隊系統(tǒng)7/16/202424排隊系統(tǒng)的三個基本組成部分：輸入過程(顧客按照怎樣的規(guī)律到達(dá))；排隊規(guī)則(顧客按照一定規(guī)則排隊等待服務(wù))；服務(wù)機構(gòu)(服務(wù)機構(gòu)的設(shè)置,服務(wù)臺的數(shù)量,服務(wù)的方式,服務(wù)時間分布等)10.1.1排隊服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成7/16/202425一、輸入ArrivalCharacteristics顧客源是有限集還是無限集（Sizeofthearrivalpopulation）工廠內(nèi)待修的機器數(shù)是有限集，售票處購票顧客源可認(rèn)為是無限集。顧客到達(dá)系統(tǒng)的方式是單個的，還是成批的（Behaviorofarrivals）如到達(dá)賓館服務(wù)臺住宿有散客，也有團體相繼到達(dá)系統(tǒng)的時間間隔是確定性的還是隨機性的（Patternofarrivalatthesystem）如自動裝配線上待裝配部件到達(dá)各工序的時間間隔是確定的。而多數(shù)顧客到達(dá)都是隨機的，隨機的服從某種概率分布：二項、負(fù)指數(shù)、愛爾朗分布等。7/16/202426到達(dá)過程(輸入過程)的內(nèi)容顧客總體數(shù)或顧客源數(shù)有限或無限顧客的到達(dá)類型單個或成批顧客的到達(dá)間隔時間間隔時間分布7/16/202427二、排隊規(guī)則QueueDiscipline顧客來到排隊系統(tǒng)后如何排隊等候服務(wù)的規(guī)則1、即時制（損失制）：當(dāng)顧客到達(dá)時，如果所有服務(wù)臺都已被占用，顧客可以隨即離開系統(tǒng)；如電話撥號后出現(xiàn)忙音，顧客可馬上掛上電話。2、等候制：當(dāng)顧客到達(dá)時，所有服務(wù)臺都已被占用，顧客就加入排隊隊列等候服務(wù)。排隊規(guī)則：FIFO/FCFS先到先服務(wù)，最常見LIFO：乘電梯的顧客是后進(jìn)先出SIRO隨機服務(wù)：從等待的顧客中隨機取一個進(jìn)行服務(wù)，人工電話交換優(yōu)先權(quán)服務(wù)：重病優(yōu)先、老年人優(yōu)先等7/16/202428二、排隊規(guī)則QueueDiscipline3、混合制：即時制和等候制相結(jié)合的一種排隊服務(wù)規(guī)則。隊列長度有限制時：排隊等候的人數(shù)超過預(yù)定數(shù)量，后來的顧客就自動離開。排隊時間有限制時：顧客排隊等候超過一定的時間就會自動離開，不能再等；電子元器件庫存超過一定時期，就失效了7/16/202429三、服務(wù)機構(gòu)服務(wù)設(shè)施的結(jié)構(gòu)、服務(wù)方式、服務(wù)時間：按服務(wù)設(shè)施個數(shù)分，有一個或多個之分，有并聯(lián)和串聯(lián)之分單臺服務(wù)系統(tǒng)和多臺服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)方式有單個服務(wù)和成批服務(wù)服務(wù)時間是確定和隨機的7/16/202430服務(wù)臺結(jié)構(gòu)等候隊列服務(wù)臺單服務(wù)臺等候隊列服務(wù)臺2服務(wù)臺1并列多臺等候隊列服務(wù)臺1串列多臺服務(wù)臺2等候隊列服務(wù)臺3服務(wù)臺1混列多臺服務(wù)臺4服務(wù)臺27/16/202431服務(wù)方式

服務(wù)的方式是對單個顧客進(jìn)行的，還是對成批顧客進(jìn)行的。公共汽車站臺等待的顧客是成批進(jìn)行服務(wù)的。7/16/202432服務(wù)時間對顧客的服務(wù)時間是確定的還是隨機的。自動沖洗汽車的裝置對每輛汽車沖洗服務(wù)的時間是確定性的。但大多數(shù)情況下服務(wù)時間是隨機性的。對于隨機要知道它的概率分布，是定長、負(fù)指數(shù)還是愛爾朗分布。Servicetimedistribution7/16/202433排隊結(jié)構(gòu)多隊多服務(wù)臺領(lǐng)號34826101211579單隊多服務(wù)臺入口7/16/202434通常，按排隊系統(tǒng)的主要特征來進(jìn)行排隊系統(tǒng)的分類。一般是以相繼顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時間分布類型、服務(wù)時間的分布類型和服務(wù)臺數(shù)目為分類標(biāo)志。Kendall提出一個排隊系統(tǒng)的分類方法，特征可以用六個參數(shù)表示，形式為：

X／Y／Z其中X––顧客到達(dá)的概率分布，可取M、D、Ek、G等；Y––服務(wù)時間的概率分布，可取M、D、Ek、G等；Z––服務(wù)臺個數(shù)，取正整數(shù)；10.1.2排隊服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/202435X、Y可有四種分布符號M、D、Ek、GM—負(fù)指數(shù)分布所描述的隨機現(xiàn)象對于過去的事件具有無記憶性或稱馬爾可夫性MarkovD—定長分布，事件以不變的方式發(fā)生DeterministicEk—k階愛爾朗分布ErlangG—一般隨機分布General如M/M/1表示到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時間也服從負(fù)指數(shù)分布的單服務(wù)臺排隊系統(tǒng)模型M/D/2表示到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時間為定長分布的雙服務(wù)臺排隊系統(tǒng)模型10.1.2排隊服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/2024361971年又將Kendall符號擴展為：

X／Y／Z/A／B／C其中：A––排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)N或

；B––顧客源的最大容量，可取正整數(shù)m或

；C––排隊規(guī)則，可取FCFS、LCFS等。特別約定，如略去后三項，則是指

X／Y／Z/

／

／FCFS因為本課程只介紹FCFS,所以略去最后一項10.1.2排隊服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/20243710.1.2排隊服務(wù)系統(tǒng)的分類例

M/M/1/

/

/FCFS表示：顧客到達(dá)的時間間隔是負(fù)指數(shù)分布服務(wù)時間是負(fù)指數(shù)分布一個服務(wù)臺排隊系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限實行先到先服務(wù)的一個服務(wù)系統(tǒng)

7/16/202438一個排隊系統(tǒng)開始運行時,系統(tǒng)的運行狀態(tài)在很大程度上取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和運轉(zhuǎn)的時間。經(jīng)過一段時間以后，系統(tǒng)的狀態(tài)將獨立于初始狀態(tài)和經(jīng)歷時間，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。排隊系統(tǒng)主要研究穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，工作狀況與時刻t無關(guān)。10.1.3排隊系統(tǒng)的相關(guān)術(shù)語7/16/202439主要名詞術(shù)語平均到達(dá)率

n

：當(dāng)系統(tǒng)中有n個顧客時，新來顧客的平均到達(dá)率（單位時間內(nèi)顧客的到達(dá)數(shù)）。當(dāng)對所有n值

n為常數(shù)時，可用代替n1/

為相鄰兩顧客到達(dá)系統(tǒng)的平均間隔時間。平均服務(wù)率

n

：當(dāng)系統(tǒng)中有n個顧客時，單位時間內(nèi)被服務(wù)完畢后離開系統(tǒng)的平均顧客數(shù)。當(dāng)對所有n值，

n為常數(shù)時，可用代替n1/

為每個顧客的平均服務(wù)時間。c—系統(tǒng)中并列服務(wù)臺數(shù)目。7/16/202440主要名詞術(shù)語N(t)

在時刻t排隊服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù)，即系統(tǒng)在時刻t的瞬時狀態(tài)。Pn(t)

在t時刻系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率主要分析系統(tǒng)平穩(wěn)分布,即當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計平衡狀態(tài)時處于狀態(tài)n的概率,記為Pn7/16/202441主要系統(tǒng)性能指標(biāo)平均逗留時間Ws

：進(jìn)入系統(tǒng)的顧客逗留時間的平均值，包括接受服務(wù)的時間。平均等待時間Wq

：進(jìn)入系統(tǒng)的顧客等待時間的平均值。服務(wù)機構(gòu)工作強度

：服務(wù)機構(gòu)累計的工作時間占全部時間的比例，即服務(wù)強度

平均顧客數(shù)Ls

：一個排隊系統(tǒng)的顧客平均數(shù)，包括正在接受服務(wù)的顧客。平均隊長Lq

：系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客平均數(shù)。7/16/202442常用的記號c—服務(wù)臺的個數(shù)n––系統(tǒng)中的顧客數(shù),即系統(tǒng)狀態(tài)

––平均到達(dá)率，即單位時間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù)

––平均服務(wù)率，即單位時間內(nèi)服務(wù)完畢的顧客數(shù)Pn(t)––時刻t系統(tǒng)狀態(tài)n的概率Pn––系統(tǒng)中的顧客數(shù)n（系統(tǒng)狀態(tài)n)的穩(wěn)態(tài)概率M––顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從負(fù)指數(shù)分布D––顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從定長分布Ek––顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從k階Erlang分布G—顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從一般分布7/16/20244310.2到達(dá)間隔與服務(wù)時間的分布組成一個排隊系統(tǒng)的四要素輸入\輸出\排隊服務(wù)規(guī)則\服務(wù)機構(gòu)顧客的輸入和輸出過程一般是隨機的研究較多且結(jié)果較好的排隊系統(tǒng)是：顧客的輸入過程服從泊松分布，而服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布的排隊系統(tǒng)若顧客輸入過程服從泊松分布，則顧客相繼到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布。10.2到達(dá)間隔與服務(wù)時間的分布7/16/202445定義：滿足以下條件的輸入流稱為Poisson流（最簡單流、Poisson過程）1）無后效性：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)互相獨立。2）平穩(wěn)性：對充分小的

t，在時間區(qū)間[t,t+

t)內(nèi)到達(dá)1個顧客的概率與t無關(guān)，只與

t有關(guān)，即：其中：l是一個大于零的常數(shù)，表示單位時間內(nèi)到達(dá)一個顧客的概率3）守序性：設(shè)在[t,t+

t）內(nèi)到達(dá)多于一個顧客的概率為極小o(

t)。即 10.2.1Poisson流7/16/202446實際情況是否符合三條性質(zhì)到達(dá)工廠機修車間的要維修的機器情況分析：因為每臺機器在各個時刻處的狀態(tài)大致一樣，所以在相等時間區(qū)間內(nèi)各臺機器損壞的概率大致相同，即要求維修的機器的流具有平穩(wěn)性由于一臺機器的故障不會引起另一臺機器的故障，而對同一臺機器，這段時間內(nèi)損壞的次數(shù)不影響到以后損壞次數(shù)多少，這表明具有無后效性由于每臺機器損壞概率很小，在足夠小的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生兩臺及以上機器損壞的概率幾乎為0，這就符合普通性。因此對到達(dá)機修車間的要維修的機器數(shù)可以認(rèn)為是最簡單流,即poisson流。7/16/202447Poisson流與Poisson分布定理1對于一個參數(shù)為

的Poisson流，在[0，t]內(nèi)到達(dá)n個顧客的概率為

即服從以

為參數(shù)的Poisson分布。

7/16/202448PoissonDistributionsforArrivalTimesProbabilityProbability=2=4

：單位時間顧客的平均到達(dá)率7/16/202449Poisson流與負(fù)指數(shù)分布間的關(guān)系定理2

在排隊系統(tǒng)中，如果單位時間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)服從以

為參數(shù)的Poisson分布，則顧客相繼到達(dá)的時間間隔T服從以

為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布。

l=0.41/

為平均到達(dá)間隔時間（expectedinterarrivaltime)7/16/202450負(fù)指數(shù)分布

NegativeExponentialDistribution分布函數(shù)7/16/202451負(fù)指數(shù)分布——無后效性無后效性表示T顧客到達(dá)的時間間隔已經(jīng)過了s后，再等t的時間與s無關(guān)。7/16/20245210.2.2服務(wù)時間的分布1）負(fù)指數(shù)分布在排隊系統(tǒng)中，一般假設(shè)服務(wù)時間（servicetime)服從參數(shù)為m的負(fù)指數(shù)分布：1/m為平均服務(wù)時間（expectedservicetime)7/16/202453平均服務(wù)時間Meanservicetime=1/

分布函數(shù)10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/202454服務(wù)時間負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)假如服務(wù)設(shè)施對每個顧客的服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，則對每個顧客的平均服務(wù)時間為1/m當(dāng)服務(wù)設(shè)施對顧客的服務(wù)時間t為參數(shù)m

的負(fù)指數(shù)分布時，則有在[t,t+

t]時間內(nèi)，沒有顧客離去的概率為1-m

t在[t,t+

t]時間內(nèi)，恰有一個顧客離去的概率為m

t如果

t足夠小，在[t,t+

t]時間內(nèi)有多于兩個以上顧客離去的概率趨于07/16/202455服務(wù)時間負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)若按依次到達(dá)的間隔時間統(tǒng)計，顧客流服從負(fù)指數(shù)分布，則對同一顧客流若按單位時間到達(dá)的數(shù)量統(tǒng)計，它服從泊松分布。泊松分布和負(fù)指數(shù)分布是對同一顧客流按不同方式進(jìn)行統(tǒng)計時得到的兩種不同分布。7/16/2024562）k階Erlang分布愛爾朗分布比負(fù)指數(shù)分布具有更廣泛的適應(yīng)性，k階愛爾朗分布（Ek)的概率密度函數(shù)為：

10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/202457愛爾朗分布的均值和方差是由此可得愛爾朗分布的階數(shù)：10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/20245810.2.2服務(wù)時間的分布m=1k=1k=2k=4k=87/16/202459K個相互獨立的且具有相同參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布的隨機變量的和，其分布服從k階Erlang分布。例如一臺自動機床上依次利用三把刀具對一個工件進(jìn)行加工，若每把刀具對該工件的加工時間均為參數(shù)相同的負(fù)指數(shù)分布，則該工件在自動機床上總的加工時間服從3階Erlang分布10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/202460定理3設(shè)v1，v2，…，vk是k個互相獨立的，具有相同參數(shù)m的負(fù)指數(shù)分布的隨機變量，則隨機變量

Ek=v1+v2+…+vk服從k階Erlang分布，Ek的密度函數(shù)為10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/202461均值、方差和階數(shù)總服務(wù)時間服從愛爾朗分布，其均值和方差是由此可得愛爾朗分布的階數(shù)：每個服務(wù)臺的平均服務(wù)時間是：7/16/20246210.3生滅過程10.3生滅過程排隊系統(tǒng)—隨機聚散服務(wù)系統(tǒng)顧客到達(dá)是“生”，顧客離開是“滅”7/16/202464生滅過程

Birth-deathprocessN(t)是系統(tǒng)t時刻的狀態(tài)（顧客數(shù)），則{N(t),t>=0}就構(gòu)成一個隨機過程，若用“生”表示一個顧客的到達(dá)，“滅”代表一個顧客過程的離去，則對許多排隊過程來說，{N(t),t>=0}也是一類特殊的隨機過程——生滅過程7/16/202465定義：設(shè){N(t),t>=0}是一個隨機過程，如果其概率分布滿足有如下性質(zhì)：（1）給定N(t)=n,到下一個“生”（顧客到達(dá)）的間隔時間服從參數(shù)為ln的負(fù)指數(shù)分布;（2）給定N(t)=n,到下一個“滅”（顧客離去）的間隔時間服從參數(shù)為mn的負(fù)指數(shù)分布;（3）同一時刻只能到達(dá)一個或離去一個顧客；則稱{N(t),t>=0}是生滅過程生滅過程

Birth-deathprocess7/16/202466當(dāng)顧客到達(dá)時間服從參數(shù)為λn

的負(fù)指數(shù)分布時，則有:在[t,t+

t]時間內(nèi)，沒有顧客到達(dá)的概率為在[t,t+

t]時間內(nèi)，恰有一個顧客到達(dá)的概率為如果

t足夠小，在[t,t+

t]時間內(nèi)有多于兩個以上顧客到達(dá)的概率趨于07/16/202467生滅過程

Birth-deathprocess當(dāng)服務(wù)設(shè)施對顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布時，則有:在[t,t+

t]時間內(nèi)，沒有顧客離去的概率為在[t,t+

t]時間內(nèi)，恰有一個顧客離去的概率為如果

t足夠小，在[t,t+

t]時間內(nèi)有多于兩個以上顧客離去的概率趨于07/16/202468生滅過程

Birth-deathprocessnnn+1n-1nPn(t)Pn-1(t)Pn+1(t)Pn(t)t時刻t+

t時刻無到達(dá)，無離開無到達(dá)，離開一個到達(dá)一個，無離開到達(dá)一個，離開一個假設(shè)在t+

t時刻系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率Pn(t+

t)7/16/202469生滅過程

Birth-deathprocess7/16/202470生滅過程

Birth-deathprocess系統(tǒng)的過渡狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)過渡穩(wěn)定7/16/202471生滅過程的穩(wěn)定狀態(tài)方程生滅過程的瞬時狀態(tài)一般很難求得，但可求得穩(wěn)定狀態(tài)分布7/16/202472生滅過程的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖對于穩(wěn)定的生滅狀態(tài)，從平均意義上說有：“流入速率=流出速率”穩(wěn)定的生滅過程可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示7/16/202473生滅過程的穩(wěn)態(tài)方程基本原理系統(tǒng)任意狀態(tài)n達(dá)到穩(wěn)態(tài)平衡的條件是：產(chǎn)生該狀態(tài)的平均速率等于該狀態(tài)轉(zhuǎn)變成其他狀態(tài)的平均速率例如，對于系統(tǒng)狀態(tài)n=0的情況，產(chǎn)生和破壞該狀態(tài)的可能性有兩種情況。如后圖所示。7/16/202474n=0狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202475n=1狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202476n=2狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202477n-1狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202478任意狀態(tài)n的產(chǎn)生和破壞7/16/202479λ012n-1nn+17/16/202480生滅過程Birth-deathprocess生滅過程的基本公式7/16/202481生滅過程的狀態(tài)概率因為所以即得7/16/202482標(biāo)準(zhǔn)的排隊過程是參數(shù)不隨狀態(tài)而變的特殊的生滅過程7/16/202483生滅過程

Birth-deathprocess10.4單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊模型輸入過程為泊松流，服務(wù)時間基本服從負(fù)指數(shù)分布的排隊系統(tǒng)10.4.1標(biāo)準(zhǔn)M/M/1/∞/∞10.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/10.4.3顧客為有限源系統(tǒng)M/M/1/∞/m10.4單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊模型7/16/20248510.4.1標(biāo)準(zhǔn)排隊模型[M/M/1/

/

/FCFS][M/M/1/

/

/FCFS]顧客到達(dá)的時間間隔是負(fù)指數(shù)分布服務(wù)時間是負(fù)指數(shù)分布一個服務(wù)臺排隊系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限實行先到先服務(wù)的一個服務(wù)系統(tǒng)7/16/202486M/M/1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析012n-1nn+17/16/202487M/M/1排隊模型標(biāo)準(zhǔn)的排隊過程是參數(shù)不隨狀態(tài)而變的特殊的生滅過程7/16/202488得到

令

稱

為服務(wù)強度，則得由M/M/1排隊模型7/16/202489例10.1高速公路入口收費處設(shè)有一個收費通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為100輛／小時，收費時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費時間為15秒／輛。求1、收費處空閑的概率；2、收費處忙的概率；3、系統(tǒng)中分別有1，2，3輛車的概率。7/16/202490M/M/1排隊模型根據(jù)題意,

=100輛/小時,1/

=15秒=1/240（小時/輛）,即

＝240（輛/小時）。因此，

=

/

=100/240=5/12。系統(tǒng)空閑的概率為：

P0=1-

=1-(5/12)=7/12=0.583系統(tǒng)忙的概率為：

1-P0=1-(1-

)=

=5/12=0.417系統(tǒng)中有1輛車的概率為：

P1=

(1-

)=0.417×0.583=0.243系統(tǒng)中有2輛車的概率為：

P2=

2(1-

)=0.4172×0.583=0.101系統(tǒng)中有3輛車的概率為：

P3=

3(1-

)=0.4173×0.583=0.04217/16/202491M/M/1排隊模型解：系統(tǒng)績效度量

系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)LsExpectednumberofcustomersinsystem

平均等待顧客個數(shù)Lq（排隊長）

Expectedqueuelength(excludecustomersbeingserved)

顧客平均逗留時間Ws

Waitingtimeinsystem

顧客平均（排隊）等待時間WqWaitingtimeinqueue(excludeservicetime)7/16/202492M/M/1/

/

/FCFS的系統(tǒng)指標(biāo)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls

隊列中的平均顧客數(shù)Lq7/16/202493顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間顧客在系統(tǒng)中的逗留時間Ts服從參數(shù)為m-l的負(fù)指數(shù)分布7/16/202494顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws

顧客在隊列中的平均逗留時間Wq

顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間7/16/202495JohnD.C.Little公式7/16/202496理發(fā)店空閑的概率店內(nèi)有3個顧客的概率店內(nèi)至少有一個顧客的概率店內(nèi)顧客的平均數(shù)，等待服務(wù)顧客的平均數(shù)顧客在店內(nèi)的平均逗留時間和平均等待時間必須在店內(nèi)消耗15分鐘以上的概率例10.2某理發(fā)店只有一名理發(fā)師，來理發(fā)的顧客按泊松分布到達(dá)，平均每小時4人，理發(fā)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘，求7/16/202497M/M/1排隊模型(3)P(n≥1)=1?P(n<1)=1?P0=0.4(4)Ls=r/(1?r)=0.4/(1?0.4)=0.667人

Lq=Ls?r=0.667-0.4=0.227解：此為M/M/1系統(tǒng)，已知l=4/60=1/15人/分

m=1/6人/分，r=l/m=(1/15)/(1/6)=0.4(1)P0=1?r=1=0.4=0.6(2)P3=(1?r)r3=0.6×0.43=0.03847/16/202498M/M/1排隊模型

例10.3高速公路入口收費處設(shè)有一個收費通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為200輛/小時，收費時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費時間為15秒/輛。求Ls、Lq、Ws和Wq。7/16/202499M/M/1排隊模型解：根據(jù)題意，

=200輛/小時，

=240輛/小時，

=

/

=5/6。7/16/2024100M/M/1排隊模型當(dāng)隊列的容量從無限值變?yōu)橛邢拗礜時，[M/M/1/

/

/FCFS]就轉(zhuǎn)化成為[M/M/1/N/

/FCFS]

10.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS7/16/2024101系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖012N-1N7/16/2024102系統(tǒng)的狀態(tài)概率平衡方程對于狀態(tài)0：

0P0=

1P1

… …對于狀態(tài)n：

n-1Pn-1+

n+1Pn+1=(

n+

n)Pn0<n<N… …對于狀態(tài)N：

N-1PN-1=

NPN7/16/2024103系統(tǒng)參數(shù)7/16/2024104系統(tǒng)狀態(tài)概率PN稱為顧客損失率7/16/2024105系統(tǒng)的狀態(tài)概率由得到

7/16/2024106系統(tǒng)的運行指標(biāo)當(dāng)r=1時的情形，此時由得：7/16/2024107系統(tǒng)的運行指標(biāo)對于

1有7/16/2024108有效到達(dá)率7/16/2024109Little公式7/16/2024110例10.4

一個單人理發(fā)店，除理發(fā)椅外，還有4把椅子可供顧客等候。顧客到達(dá)發(fā)現(xiàn)沒有座位空閑，就不再等待而離去。顧客到達(dá)的平均速率為4人/小時，理發(fā)的平均時間為10分鐘/人。顧客到達(dá)服從Poisson流，理發(fā)時間服從負(fù)指數(shù)分布。求：1、顧客到達(dá)不用等待就可理發(fā)的概率；2、理發(fā)店里的平均顧客數(shù)以及等待理發(fā)的平均顧客數(shù)；3、顧客來店理發(fā)一次平均花費的時間及平均等待的時間；4、顧客到達(dá)后因客滿而離去的概率顧客損失率；5、增加一張椅子可以減少的顧客損失率。7/16/202411110.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS解：這是一個[M/M/1/N/

/FCFS]系統(tǒng)，其中N=4+1=5，

=4人/小時，

=6人/小時，

=2/3。

7/16/202411210.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS因客滿而離去的概率為0.00487/16/202411310.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS當(dāng)N=6時

P5-P6=0.0480-0.0311=0.0169=1.69%即增加一張椅子可以減少顧客損失率1.69%7/16/202411410.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS設(shè)顧客總數(shù)為m,當(dāng)顧客需要服務(wù)時，就進(jìn)入隊列等待；服務(wù)完畢后，重新回到顧客源中,如此循環(huán)往復(fù)。。。服務(wù)臺...顧客源需要服務(wù)服務(wù)完畢隊列10.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型7/16/2024115關(guān)于顧客的平均到達(dá)率，在無限源的情形下是按全體顧客來考慮的，而在有限源的情形下，必須按照每個顧客來考慮，l即為每一顧客單位時間內(nèi)請求服務(wù)的平均次數(shù)。10.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型7/16/2024116分析假定每一個顧客在單位時間內(nèi)需要接受服務(wù)的平均次數(shù)是相同的，設(shè)為λ

。當(dāng)正在等待及正在接受服務(wù)的顧客數(shù)為n時，則在單位時間內(nèi)要求接受服務(wù)的平均顧客數(shù)為：

λn=λ(m-n)01nm7/16/2024117狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程λ0P0=μP1 ……[λn+μ]Pn=μPn+1+λn-1Pn-1

(n=1，2，…，m-1) ……μPm=λm-1Pm-1

(n=1，2，…，m) 7/16/20241187/16/2024119狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程有效到達(dá)率λn=λ(m-n)n=1,2,…,m7/16/2024120系統(tǒng)績效指標(biāo)7/16/2024121例10.5某車間有5臺機器，每臺機器的連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運行時間15分鐘。有一個修理工，每次修理時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘。求:(1)修理工空閑的概率；(2)五臺機器都出故障的概率；(3)出故障的平均臺數(shù)；(4)平均停工時間；(5)平均等待修理時間；(6)評價這個系統(tǒng)的運行情況。7/16/202412210.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型解：根據(jù)題意，m=5，λ=1/15，μ=1/12，ρ=λ/μ=0.8

7/16/202412310.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型（7）系統(tǒng)絕對通過能力（工人的維修能力）A=le=l(m-Ls)=m(1-P0)=0.083

每小時維修0.083*60=4.96（臺）總體看來，該維修系統(tǒng)較繁忙，機器等待時間過長。7/16/202412410.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型10.5多服務(wù)臺排隊模型標(biāo)準(zhǔn)的[M/M/c/∞/∞/FCFS]模型系統(tǒng)容量有限的[M/M/c/N/∞/FCFS]模型有限顧客源的[M/M/c/∞/m/FCFS]模型

10.5多服務(wù)臺排隊模型7/16/2024126服務(wù)臺服務(wù)臺服務(wù)臺顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊列顧客到達(dá)后，進(jìn)入隊列尾端；當(dāng)某一個服務(wù)臺空閑時，隊列中的第一個顧客即到該服務(wù)臺接收服務(wù)；服務(wù)完畢后隨即離去。各服務(wù)臺互相獨立且服務(wù)速率相同，即μ1=μ2=…=μc

10.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型7/16/2024127分析系統(tǒng)的服務(wù)速率與系統(tǒng)中的顧客數(shù)有關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)k不大于服務(wù)臺個數(shù)，即1≤k≤c時，系統(tǒng)中的顧客全部在服務(wù)臺中，這時系統(tǒng)的服務(wù)速率為kμ；當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)k＞c時，服務(wù)臺中正在接受服務(wù)的顧客數(shù)仍為c個，其余顧客在隊列中等待服務(wù)，這時系統(tǒng)的服務(wù)速率為cμ。

則當(dāng)ρ＜1時系統(tǒng)才不會排成無限的隊列

7/16/2024128狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程對狀態(tài)0: λP0=μP1

對狀態(tài)1: λP0+2μP2=(λ+μ)P1 …………對狀態(tài)c： λPc-1+cμPc+1=(λ+cμ)Pc …………對狀態(tài)n λPn-1+cμPn+1=(λ+cμ)Pn ………01cn7/16/2024129狀態(tài)概率7/16/2024130運行指標(biāo)7/16/2024131例10.6某售票處有三個窗口，顧客到達(dá)服從Poisson流，到達(dá)速率為0.9人／分，售票時間服從負(fù)指數(shù)分布，每個窗口的平均售票速率為0.4人／分。顧客到達(dá)后排成一隊，依次到空閑窗口購票。求：(1)所有窗口都空閑的概率；(2)平均隊長；(3)平均等待時間及逗留時間；(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率。7/16/202413210.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型解：λ/μ=2.25，ρ=λ/cμ=0.75(1)所有窗口都空閑的概率，即求P0的值

(2)平均隊長，即求Ls的值，必須先求Lq

7/16/202413310.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型(3)平均等待時間和平均逗留時間，即求Wq和Ws和的值

(4)顧客到達(dá)后必須等待，即n≥37/16/202413410.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型M/M/C型VSC個M/M/1型如果顧客到達(dá)后在每個窗口各排一隊，且進(jìn)入隊列后不可更換，形成3個隊列，在上例中，每個隊列的平均到達(dá)率為：7/16/2024135M/M/1系統(tǒng)的指標(biāo)λ=0.3，μ=0.4，ρ=λ/μ=0.75P0=1-ρ=0.25P(n>=1)=1-P0=0.75Ls=λ/(μ-λ)=3Lq=Ls-ρ=3-0.75=2.25Ws=Ls/λ=10分Wq=Ws-1/μ=7.5分7/16/2024136指標(biāo)模型M/M/3M/M/1服務(wù)臺空閑的概率P00.07480.25(每個子系統(tǒng)）顧客必須等待的概率0.570.75平均隊列長（等待顧客數(shù)）Lq1.702.25(每個子系統(tǒng)）平均隊長（顧客數(shù)）Ls3.959.00（整個系統(tǒng)）平均逗留時間Ws4.39分鐘10分鐘平均等待時間Wq1.89分鐘7.5分鐘由此可見，單隊比三隊有顯著的優(yōu)越性。系統(tǒng)指標(biāo)對比結(jié)果7/16/2024137離開服務(wù)臺服務(wù)臺服務(wù)臺顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊列10.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型7/16/2024138分析設(shè)系統(tǒng)容量為N(N≥c)，當(dāng)系統(tǒng)中的顧數(shù)n＜N時，到達(dá)的顧客就進(jìn)入系統(tǒng)；當(dāng)n=N時，到達(dá)的顧客就被拒絕。設(shè)顧客到達(dá)的速率為λ，每個服務(wù)臺服務(wù)的速率為μ，ρ=λ/cμ。由于系統(tǒng)不會無限止地接納顧客，對ρ不必加以限制。

7/16/2024139狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程對狀態(tài)0: λP0=μP1

對狀態(tài)1: λP0+2μP2=(λ+μ)P1 …………對狀態(tài)c： λPc-1+cμPc+1=(λ+cμ)Pc …………對狀態(tài)N λPN-1=cμPN ………01cN7/16/2024140狀態(tài)概率7/16/2024141系統(tǒng)指標(biāo)7/16/2024142例10.7某旅館有8個單人房間，旅客到達(dá)服從Poisson流，平均速率為6人／天，旅客平均逗留時間為2天，求：(1)每天客房平均占用數(shù)；(2)旅館客滿的概率。7/16/202414310.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型旅館8個房間全滿的概率為0.423平均占用客房數(shù)為6.9間?？头空加寐蕿?6.6%7/16/202414410.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型解：顧客到達(dá)修理速率μ發(fā)生故障等待修理的機器修理速率μ修理速率μ正在修理的機器到達(dá)速率(m-n)λ修理速率cμ運行的機器數(shù)m-n10.5.3M/M/c/∞/m/FCFS模型7/16/2024145狀態(tài)概率其中

7/16/2024146系統(tǒng)指標(biāo)有效到達(dá)速率λe為單位時間內(nèi)出現(xiàn)故障的機器數(shù)，有

λe=λ(m-Ls)7/16/2024147例10.8車間有5臺機器，每臺機器的故障率為1次／小時，有2個修理工負(fù)責(zé)修理這5臺機器，工作效率相同，為4臺／小時。求：(1)等待修理的平均機器數(shù)；(2)等待修理及正在修理的平均機器數(shù)；(3)每小時發(fā)生故障的平均機器數(shù)；(4)平均等待修理的時間；(5)平均停工時間。7/16/202414810.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型可以計算得到（算式略）：P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018，P5=0.0027/16/202414910.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型解：由此，計算系統(tǒng)的各項運行指標(biāo)如下：7/16/202415010.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型10.7排隊系統(tǒng)的優(yōu)化一般排隊系統(tǒng)的總費用構(gòu)成：總費用=服務(wù)能力費+顧客損失費最佳服務(wù)能力服務(wù)能力顧客損失費服務(wù)能力費總費用費用10.7排隊系統(tǒng)的優(yōu)化7/16/2024152單位時間總費用單位時間服務(wù)成本單位顧客停留單位時間損失成本1）

M/M/1/

模型優(yōu)化10.7.1M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率μ*7/16/202415310.7.1M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率μ*7/16/20241542）M/M/1/K模型優(yōu)化顧客被拒概率為PK,接受概率1-PK,有效到達(dá)率le.設(shè)每服務(wù)一個顧客服務(wù)機構(gòu)獲G元,則單位時間收入期望值為利潤：10.7.1M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率μ*7/16/2024155令：得：由此確定出r,進(jìn)而確定出使服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)的m*

10.7.1M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率μ*7/16/2024156每個服務(wù)臺單位時間成本每位顧客停留單位時間損失成本10.7.2M/M/c/

∞/

∞/FCFS模型的最優(yōu)服務(wù)臺數(shù)c*7/16/202415710.7.2M/M/c/

∞/

∞/FCFS模型的最優(yōu)服務(wù)臺數(shù)c*7/16/20241587/16/2024第11章存儲論159CONTENTS7/16/20240160目錄11.1存儲論概述11.2確定性存儲基本模型11.3隨機需求的基本存儲模型11.1存儲論概述庫存一詞在英語里面有兩種表達(dá)方式：Inventory和Stock，它表示用于將來目的的資源暫時處于閑置狀態(tài)。庫存的目的：是防止短缺，就象水庫里儲存的水一樣；它還具有保持生產(chǎn)過程連續(xù)性、分?jǐn)傆嗀涃M用、快速滿足用戶訂貨需求的作用。11.1存儲論概述7/16/2024162庫存是緩解供給與需求之間不協(xié)調(diào)的重要環(huán)節(jié)供應(yīng)需求庫存11.1存儲論概述7/16/2024163庫存的雙重影響積極影響緩沖作用制造與購買中的經(jīng)濟性生產(chǎn)連續(xù)運行的媒介服務(wù)水平(ServiceLevel)消極影響占用流動資金庫存系統(tǒng)運行費用機會成本(OpportunityCost)掩蓋管理問題7/16/2024164顧客的參與產(chǎn)出產(chǎn)品服務(wù)投入人力物料設(shè)備技術(shù)信息能源土地實施信息反饋變換過程12345生產(chǎn)與運作活動過程7/16/2024165TypesofInventoryMaintenance/Repair/Operatingsupply(MRO)FinishedgoodsRawmaterialWork-in-process(WIP)1.原材料2.在制品3.維修備件4.產(chǎn)成品7/16/2024166TypesofInventoriesHeldinaSupplyChain7/16/2024167CycleStockandSafetyStockCycleStockCycleStockCycleStockSafetyStockOnHandWhatshouldmyinventorypolicybe?(howmuchtoorderwhen)Whatshouldmysafetystockbe?Whataremyrelevantcosts?Time7/16/2024168庫存論發(fā)展的里程1915年F．哈里斯就穩(wěn)定需求，即對供應(yīng)的情況得出關(guān)于存儲費用的“簡單批量公式”。1929年，L．梅厄（奧地利人）出版的《倉庫業(yè)的經(jīng)營經(jīng)濟學(xué)》是與庫存論有關(guān)的早期著作之一。二戰(zhàn)后，由于成批生產(chǎn)的日益普遍，同時由于運籌學(xué)的其他分支和管理科學(xué)的建立，庫存論得到深入的發(fā)展，例如隨機性模型得到進(jìn)一步的研究，20世紀(jì)50年代，庫存論成為一門應(yīng)用廣泛的運籌學(xué)的分支學(xué)科。庫存論被應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域：停車場大小，鐵路車場側(cè)線數(shù)量、電力系統(tǒng)發(fā)電設(shè)備容量、計算機容量等的決策問題都可應(yīng)用庫存論來解決。自上世紀(jì)70年代，汽車工業(yè)的發(fā)展和生產(chǎn)管理，為庫存論的研究注入新的要素，如JIT.7/16/2024169供應(yīng)鏈管理環(huán)境下的庫存庫存問題信息類問題（牛鞭效應(yīng)）供應(yīng)鏈的運作問題供應(yīng)鏈的戰(zhàn)略與規(guī)劃問題庫存策略：VMI管理系統(tǒng)聯(lián)合庫存管理多級庫存優(yōu)化7/16/2024170供應(yīng)需求庫存庫存的基本問題:什么時候補貨(When)?補多少(Howmany)?11.1.2存儲問題的分類7/16/2024171庫存分類在庫存理論中，人們一般根據(jù)物品需求的重復(fù)程度分為單周期庫存和多周期庫存。單周期需求也叫一次性訂貨，這種需求的特征是偶發(fā)性和物品生命周期短，因而很少重復(fù)訂貨，如報紙，沒有人會訂過期的報紙來看，人們也不會在農(nóng)歷八月十六預(yù)訂中秋月餅，這些都是單周期需求。多周期需求是在長時間內(nèi)需求反復(fù)發(fā)生，庫存需要不斷補充，在實際生活中，這種需求現(xiàn)象較為多見。7/16/2024172庫存問題的基本術(shù)語需求（demand)確定隨機補充(訂貨)（replenishment)Leadtime(從訂貨到進(jìn)貨的時間，備貨時間）訂貨周期（OrderCycleTime)訂貨量（OrderQuantity）費用（cost)存儲費HoldingCost缺貨費ShortageCost訂貨費OrderingCost+PurchaseCost生產(chǎn)費(set-upcost設(shè)備安裝費+productcost生產(chǎn)費用）7/16/2024173庫存策略庫存策略（inventorystrategy)t0

循環(huán)策略，每隔t0時間補充庫存量Q0(t,S)策略,每隔固定時間t補充一次,補充數(shù)量以補足一個固定的存儲量S為準(zhǔn).(s,S)策略，當(dāng)存儲量x>s時，不補充；當(dāng)存儲量x<s時，補充量Q=S-x；(t,s,S)策略，經(jīng)過時間t檢查庫存量x,當(dāng)x>s時，不補充；當(dāng)x<s時，補充庫存量到S7/16/2024174庫存策略定量(定點)訂貨策略(EOQ)(fixed-orderquantitymodel,Qmodel)事件驅(qū)動的，當(dāng)?shù)竭_(dá)規(guī)定的再訂貨水平的事件發(fā)生時，就進(jìn)行訂貨，這種事件可能隨時發(fā)生；平均庫存量較小，有利于貴重物品的庫存；定期訂貨策略（Fixed-timeperiodmodel,Pmodel)時間驅(qū)動的，只限定在時間期末進(jìn)行訂貨；平均庫存量較大。在確定性需求下,這兩個定貨模型是一樣的時間定了，定貨量也定了.7/16/2024175CycleStockandSafetyStockCycleStockCycleStockCycleStockSafetyStockOnHandTime7/16/2024176隨機需求下的訂貨策略定點訂貨策略

如何確定每次訂貨量Q？

7/16/2024177最高庫存M如何確定？

定期訂貨策略

隨機需求下的訂貨策略7/16/2024178庫存模型的分類確定性需求模型不允許缺貨、瞬時生產(chǎn)時間不允許缺貨、生產(chǎn)需要時間允許缺貨、瞬時生產(chǎn)時間允許缺貨、生產(chǎn)需要時間價格有折扣隨機性需求模型離散需求連續(xù)需求7/16/2024179報童問題（Newsboyproblems）

一名報童以每份0.20元的價格從發(fā)行人那里訂購報紙然后再以0.50元的零售價格出售，但是他在訂購第二天的報紙時不能確定實際的需求量而只是根據(jù)以前的經(jīng)驗知道需求量具有均值為50份標(biāo)準(zhǔn)偏差為12份的正態(tài)分布那么他應(yīng)當(dāng)訂購多少份報紙呢？經(jīng)典的隨機庫存模型7/16/2024180報童模型的擴展

ExpansionofInventoryManagement

約會問題(DateProblem)

您要與您的女朋友晚上六點鐘在她家附近的一個地方約會，您估計從您的辦公室乘車過去所用的平均時間是30分鐘，但由于高峰期會出現(xiàn)交通阻塞因此還會有一些偏差，路程所用時間的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計為10分鐘，雖然很難量化您每遲到一分鐘所造成的損失，但是您覺得每晚到一分鐘要比早到一分鐘付出十倍的代價，那么您應(yīng)當(dāng)什么時候從辦公室出發(fā)呢？7/16/2024181報童模型的擴展超額預(yù)售機票問題（ExcessiveAirTicketSalesProblem）一家航空公司發(fā)現(xiàn)一趟航班的持有機票而未登機（no-show）的人數(shù)具有為20人，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10人的正態(tài)分布，根據(jù)這家航空公司的測算每一個空座位的機會成本為100美元，乘客確認(rèn)票后但因滿座不能登機有關(guān)的罰款費用估計為400美元，該航空公司想限制該航班的“超額預(yù)訂”，飛機上共有150個座位，確認(rèn)預(yù)訂的截止上限應(yīng)當(dāng)是多少？7/16/202418211.2確定性存儲基本模型11.2.1不允許缺貨的存儲模型例：某醫(yī)院藥房每年需某種藥品1600瓶，每次訂購費為5元，每瓶藥品每年保管費0.1元，試問一年應(yīng)訂購多少次？每次應(yīng)訂多少瓶？例：某軋鋼廠每月按計劃需生產(chǎn)角鋼3000噸，每噸每月存儲費5.3元，每次生產(chǎn)需調(diào)整機器設(shè)備，共需裝配費2500元.試排一個全年的排產(chǎn)計劃。7/16/2024184t進(jìn)貨周期……時間庫存水平最高庫存Q平均庫存Q/2一年7/16/202418511.2.1不允許缺貨的存儲模型費用分析

單位貨物存儲費率C1單位貨物缺貨損失C2每次采購費用C3貨物單價為K最佳采購量Q*每次采購量缺貨成本+采購費庫存費用總成本費用7/16/2024186要達(dá)到的目標(biāo)達(dá)到最小成本成本的構(gòu)成與存儲有關(guān)的費用由缺貨所引起的費用采購費用可控變量訂貨時間每次進(jìn)貨量庫存模型的要素7/16/2024187模型一：不允許缺貨且瞬時補貨的存儲模型模型假設(shè)：需求是連續(xù)的、均勻的，需求速度為R（單位時間的需求量）;缺貨費用無窮大（單位時間缺少單位貨物的費用）；當(dāng)庫存降至零時，可立即得到補貨，忽略生產(chǎn)時間；每次訂貨量不變，訂購費不變；單位時間單位貨物存儲費不變。7/16/2024188經(jīng)濟批量(EOQ)t進(jìn)貨周期……時間庫存水平最高庫存Q平均庫存Q/2一年7/16/2024189平均費用C(t)＝存儲費＋訂貨費第一項是存儲費用，時間越長，該項費用越大，因此從存儲費用看每次應(yīng)當(dāng)盡量少購一點；第二項是訂購費，它與訂貨量無關(guān)，因此訂貨量越大（可用時間越長），單位貨物費用越少，從這一點上說應(yīng)當(dāng)每次盡量多采購一些。7/16/2024190經(jīng)濟批量(EOQ)經(jīng)濟批量模型的解(EOQ)訂貨周期批次經(jīng)濟批量最少平均費用（不包括KR）7/16/2024191EOQ模型的應(yīng)用例11.1某醫(yī)院藥房每年需某種藥品1600瓶，每次訂購費為5元，每瓶藥品每年保管費0.1元，試求經(jīng)濟訂貨量？解：已知R=1600，C1=0.1，C3=5。經(jīng)濟批量7/16/2024192比較分析批量年存儲費年訂購費年總費用費用最小批量QC10020030040050060051015202530804026.7201613.3855041.7404143.3Q*7/16/2024193EOQ模型的應(yīng)用例11.2某企業(yè)經(jīng)銷某類電子配件，該電子配件的單位進(jìn)貨價為500元，年存儲費為成本的20%，年需求量365件，需求速度為常數(shù)，該電子配件的訂購費為20元，假設(shè)該商品的補貨可以隨時實現(xiàn)。求最佳訂貨批量和最低訂貨周期。7/16/2024194解：依題意，由EOQ公式（11.5）得，最優(yōu)訂貨批量為：最優(yōu)訂貨間隔時間為：生產(chǎn)速度(或補貨速度)P>RT時間庫存水平最高庫存S平均庫存S/2一年t-T邊生產(chǎn)邊銷售期銷售期t模型二:不允許缺貨且補貨需要時間的存儲模型7/16/2024195變量：最大存儲量S最大訂購量：Q訂貨周期：t邊生產(chǎn)邊銷售期：T存儲期：t-T關(guān)系：S=(P-R)T=R(t-T)T與t的關(guān)系：指在T時間內(nèi)生產(chǎn)的要足夠滿足在t時間內(nèi)所消耗掉的模型二:不允許缺貨且補貨需要時間的存儲模型7/16/2024196平均費用C(t)＝存儲費＋調(diào)整費最佳生產(chǎn)周期：每次最佳生產(chǎn)批量：模型二：不允許缺貨且補貨需要時間的存儲模型7/16/2024197例11.5某汽車公司每月汽車底盤的需求為100件，每月的生產(chǎn)率為500個，每批裝配費為5元，每月每個汽車底盤存儲費為0.4元，問應(yīng)如何安排生產(chǎn)使總費用最少？7/16/2024198模型二:不允許缺貨且補貨需要時間的存儲模型解：依題意可知，C3=5,C1=0.4,P=500,R=100則最優(yōu)生產(chǎn)量為

最佳周期為11.2.2允許缺貨的存儲模型上節(jié)中模型研究的是不允許缺貨情形下的存儲問題，即假設(shè)產(chǎn)品的缺貨費用無窮大。而現(xiàn)實中有些情況是允許產(chǎn)品暫時出現(xiàn)缺貨的。顧客在購買彩電、冰箱或空調(diào)等商品時，供應(yīng)商暫時缺貨，但顧客愿意等待直到之后的某個日期收到供貨。因此，有必要進(jìn)一步研究允許缺貨的經(jīng)濟批量模型。7/16/2024199缺貨期t2t1庫存期……時間庫存水平最高庫存S平均庫存S/2一

年缺貨量QtQ模型三：允許缺貨且瞬時補貨的存儲模型7/16/2024200變量：S：最大存儲量；Q：最大訂購量;Q-S：最大缺貨量訂貨周期：t=t1+t2；

存儲期：t1；缺貨期：t2

關(guān)系：S=Rt1t1=S/R缺貨期t2t1庫存期……時間庫存水平最高庫存S平均庫存S/2一

年缺貨量QtQ模型三：允許缺貨且瞬時補貨的存儲模型7/16/2024201t時間內(nèi)平均費用C(t1,t2)＝存儲費＋訂貨費＋缺貨費最佳訂貨周期：模型三：允許缺貨且瞬時補貨的存儲模型7/16/2024202最佳訂貨批量最大庫存量最佳缺貨量模型三：允許缺貨且瞬時補貨的存儲模型7/16/2024203例11.7某大型超市對某款彩電的年需求量為4900臺，設(shè)每次定購費為50元，每臺每年存儲費為100元。如果允許缺貨，每臺每年的缺貨損失費為200元，試求最佳存貯方案。7/16/2024204模型三：允許缺貨且瞬時補貨的存儲模型解：根據(jù)題意知最佳訂貨周期為最大存儲量為7/16/2024205最低費用為最佳訂貨量為最大缺貨量為模型三：允許缺貨且瞬時補貨的存儲模型生產(chǎn)速度Pt1時間庫存水平最高庫存S一年t2邊生產(chǎn)邊銷售期銷售期t缺貨期t3模型四：允許缺貨但需補貨時間的存儲模型7/16/2024206變量：最大存儲量：S最大訂購量：Q最大缺貨量：B=Q-S缺貨期：[0,t2]，t1;存儲期：[t2,t],t3;模型四：允許缺貨但需補貨時間的存儲模型7/16/2024207關(guān)系：缺貨量：B=Rt1=(P-R)(t2-t1)t1=(P-R)t2/P存儲量：S=(P-R)(t3-t2)=R(t-t3)(t3-t2)=R(t-t2)/P模型四：允許缺貨但需補貨時間的存儲模型7/16/2024208在[0,t]時間內(nèi)的費用：存儲費=存儲量*C1缺貨費=缺貨量*C2定購費（裝配費）=C3模型四：允許缺貨但需補貨時間的存儲模型7/16/20242097/16/2024210

模型四：允許缺貨但需補貨時間的存儲模型模型四的最優(yōu)解11.2.3四種模型的比較分析7/16/202421111.2.3四種模型的比較分析從最佳訂貨量看不允許缺貨且瞬時補貨情況下的最優(yōu)訂貨量最小，即模型一的訂貨量最少；允許缺貨，且補貨需要時間情況下的最優(yōu)訂貨量最多，即模型四的最佳訂貨量最多。從最佳訂貨周期看不允許缺貨且瞬時補貨情況下的訂貨周期最短，即模型一的訂貨周期最短；允許缺貨且補貨需要時間情況下的訂貨周期最長，即模型四的訂貨周期最長。顯然，當(dāng)補貨速度充分大時，模型二的解接近模型一的解；當(dāng)缺貨成本

充分大時，模型三的解接近模型一的解。7/16/2024212價格-訂購量關(guān)系如下圖所示11.2.4經(jīng)濟批量折扣模型7/16/2024213根據(jù)價格-訂購量關(guān)系圖，給出價格區(qū)間11.2.4經(jīng)濟批量折扣模型7/16/2024214費用分析一個周期內(nèi)，所需平均費用為平均費用C(Q)是關(guān)于Q的分段函數(shù)，分別為7/16/2024215平均費用圖示7/16/2024216費用分析單位時間所需平均費用為不考慮購買費用時的最低費用7/16/2024217求經(jīng)濟批量的方法求經(jīng)濟批量的步驟計算Q0若Q0<Q1，計算求得經(jīng)濟批量Q*若Q1≤Q0<Q2，計算并由

確定經(jīng)濟批量Q*若Q2<Q0，則經(jīng)濟批量Q*=Q0。7/16/2024218例11.9在例11.1中，假如藥房經(jīng)理計劃向藥品生產(chǎn)商成批量訂購。藥品生產(chǎn)商提出若一次訂購800瓶以上，價格為9.8元/瓶，否則為10元/瓶。藥房經(jīng)理應(yīng)如何訂購最為經(jīng)濟？例11.1某醫(yī)院藥房每年需某種藥品1600瓶，每次訂購費為5元，每瓶藥品每年保管費0.1元，試求每次應(yīng)訂多少瓶？7/16/202421911.2.4經(jīng)濟批量折扣模型價格有折扣問題舉例解：首先計算在例1中，假如制藥廠提出若一次訂購800瓶以上，價格為9.8元/瓶，否則為10元/瓶，應(yīng)如何訂購？7/16/2024220由于400<800，計算

可以看出

CII(800)<CI(400)

所以最佳采購批量是Q=800瓶/次。7/16/2024221價格有折扣問題舉例再舉一例在上例中，如果R=900瓶/年，C1=2元/瓶年，C3=100元/次，折扣政策Q<900瓶/次，每瓶10元，Q≥900瓶/次，每瓶9.9元。醫(yī)院應(yīng)采取什么存儲策略？解：計算經(jīng)濟批量計算C(300)和C(900)7/16/2024222計算結(jié)果因為C(300)<C(900)，因此應(yīng)當(dāng)一年采購三次，每次300瓶，而不是一年采購一次，每次900瓶。7/16/202422311.3隨機需求的基本存儲模型需求是隨機的，分布概率已知。因為需求隨機，因此進(jìn)貨太少，將失去銷售機會；進(jìn)貨太多，則因滯銷造成損失。隨機存儲策略的優(yōu)劣一般用用期望利潤值或期望損失值的大小來衡量，而不是只考慮成本。11.3隨機需求的基本存儲模型7/16/2024225隨機需求下的庫存問題—例某商店擬在新年期間出售一批日歷畫片，每售出一千張可贏利7元，如果在新年期間不能售罄，必須降價處理，一定可以售完，此時每千張賠損4元。已知市場需求概率見下表，每年只能訂貨一次，問應(yīng)訂購多少張日歷才能使獲利最大。需求(千張)012345概率0.050.10.250.350.150.17/16/2024226分析我們可以計算出商家不同定購量和不同需求量時的損益值，和風(fēng)險決策相似，給出損益表rQ012345期望值0.050.100.250.350.150.100123450-4-8-12-16-20073-1