3.1函數的概念及表示

一、函數的概念

1.概念：一般地，設4I是非空的實數集,如果對于集合幺中的任意一個

數x,按照某種確定的對應關系力在集合8中都有唯二確定的數y和它

對應，那么就稱/：Z-5為從集合Z到集合8的一個函數

2.三要素

(1)對應關系：y=J(x),x^A

(2)定義域：工的取值范圍

(3)值域：與x的值相對應的y的值的集合{/(x)|xeN}

思考1在函數的概念中，如果函數j=/(x)的定義域與對應關系確定，那么函數

的值域確定嗎？

思考2如果函數歹=/)的定義域、值域確定，那么對應關系確定嗎？

二、區間

設a,且規定如下:

定義名稱符號數軸表示

閉區間團，■_4__I__>

{x\a<x<b}ab

{x\a<x<b}開區間(a,b]-J>___i__.

ab

[a,b)—I__I~.

{x\a<x<b}半開半ab

閉區間

半開半

11.

{x\a<x<b}(a,0ah

閉區間

+oo)-J_______>

{x|x>^z}[a,a

(a,+oo)_4______.

{x\x>a}a

(—oo,______

{x\x<a}a]Cl

__

{x\x<a}(—oo,a)a

R(—00,+oo)

思考1區間是數集的另一種表示方法，那么任何數集都能用區間表示嗎?

思考2“00”是數嗎？如何正確使用“oo”？

三、同一個函數

1.前提條件：(1)定義域相同;(2)對應關系相同.

2.結論：這兩個函數為同一個函數.

思考函數的值域與定義域、對應關系是相互獨立的嗎?

四、常見函數的值域

1.一次函數義勸=辦+6(存0)的定義域為R,值域是R

2.二次函數義x)=ax2+bx+c(存0)的定義域是R,

當心0時，值域為+ooj,

4-。-62

當時，值域為一

a<Qoo,4a

五、函數的表示法

1解析法H就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系）

的

表列表法H就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系）

一

闔

1圖象法H就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系）

思考任何一個函數都可以用解析法、列表法、圖象法三種形式表示嗎？

六、分段函數

1.一般地，分段函數就是在函數定義域內，對于自變量X的不同取值范圍，有

著不同的對應關系的函數.

2.分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的丑

集；各段函數的定義域的交集是空集.

3.作分段函數圖象時，應分別作出每一段的圖象.

思考分段函數是一個函數還是幾個函數？

考點一區間的表示

【例1】（2019?全國高一課時練習）已知區間（4〃-1,2〃+1）,則。的取值范圍為

【練1】（2020?三亞華僑學校高一月考）不等式0<2x-lW3的解集用區間可表示

為（）

A.(1,2)B.(0,2]C.[1,2)Dg，2]

考點二函數的判斷

【例2】（2019?浙江湖州.高一期中）下列對應關系是從集合A到集合3的函數的

是()

A.A=R,3={小>0},f：》—丁=|刀|

B.A=R,5={小>0},f：xfy=lnx

C.A=Z,B=N,f：%—>j=Jx

D.A=Z,B=N,f：x->y-x2

【練2】（2020?三亞華僑學校高一月考）下列圖象表示函數圖象的是（）

考點三定義域

【例3】（2020?上海高一開學考試）函數/（耳=岳與+'的定義域為（）

x—2

A.[0,2)B.(2,-H?)

C.g,2)"2,+oo)D.(?,2)U(2,+oo)

【練3】(2020?浙江高一課時練習)函數/(x)=J4—f—4的定義域是

()

A.[-2,2]B.{-2,2}C.(f,-2)U(2,”)D.(-2,2)

考點四解析式

【例4】（2020?全國高一課時練習）根據下列條件，求段）的解析式.

(1次x)是一次函數，且滿足#x+l)—/(x)=2x+9；

(2)/(X+1)=X2+4X+1；

⑶2yg)+〃x)=%(J=0).

【練4】（2020?云南會澤。高一期末）求下列函數/（無）的解析式.

⑴已知〃1-X）=2X2-x+1,求/（%）；

（2）已知一次函數“X）滿足〃〃切）=4尤-1,求"X）.

考點五函數值

1_V2

【例5】（2020?浙江高一課時練習）若函數"1-2X）=L^-（"0）,那么

X

A.1B.3C.15D.30

【練5】（2017?廣東茂名高二期中（理））已知〃力=3三+21+%+4,則“10）=

2.(2020?全國高一課時練習)已知於)=占(若一1),g(x)=x2+2,則犬2)=

，＞(2))=.

考點六相等函數

【例6】(2019?內蒙古集寧一中高三月考)下列四組函數中，表示同一函數的是

()

A./(%)=|x|,^(x)=V?B./(x)=|.v|,g(x)=(Vx)2

C.f(x)=—,g{x}=x+1D.f(x)=yjx+\■y/x-1,g(x)=-]

x-1

【練6】(2020?石嘴山市第三中學高二月考(理))下面各組函數中是同一函數的是

0

A.y=J-2尤3與y=xl-2x

B.y=(?)與y=W

C.y-Vx+1-y/x—1與y=+

D./(x)=x2—2x-1與g(，)=/-2/-1

考點七分段函數

2%,0<x<1,

【例7】（2020?上海高一開學考試）已知函數/（%）=2,1<%<2,,則

I2

的值為（）

￡

A.1B.2C.-3D.

2

2x-4,x>0

【練7】（2020?全國高一課時練習）已知函數寅x）=<t―3,x<。則%—4))=

課后練習

1.（2020高一上?臨渭月考）函數y=反不T+熹的定義域為（）

V3—4%

A.[一/,|）B.[-|,|]C.D.（-1,0）U

（0,+3）

2.（2020高一上?臨渭月考）函數f（x）=-2x2+4x,%G[0,3]的值域為（）

A.[—6,2]B.[—6,0]C(—2]

D.[0,2]

3.下列函數中,與函數y=詞相同的是（)

A.y=—2%V~XB.y=—72x3C.y=—%V—2%

2-2

D.y=xX

4.（2018高一上?浙江期中）xeR,則/（%）與g。）表示同一函數的是

B./(4=1,gfrji=(r-H|

D.=

5.（2020高一上?威海期末）函數/（%）=嚕坦的定義域為

/、/Q--v------------

6.(2019高三上?蘇州月考)若/(2%)=3產+1,則函數/(%)=

7.已知x?[0,1],則函數y=喜的值域是.

8.(2016高三上?泰興期中)函數y=ln(x+1)的定義域是.

9.(2021,懷柔模擬)已知函數9%)=sin(x+g),g(%)=cos(安+g),再從條

oo

件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求：

(1)/(%)的單調遞增區間；

(2)/(%)在區間[0,自的取值范圍.

條件①：/(無)=%(久)+遮外%);條件②：/(%)=%(久)?g(x);條件③：

/(%)=%(%)-g(x).

注：如果選擇不同條件分別解答，按第一個解答計分.

-1

10.已知f(x)=-(XH-2),h(x)=x2+l.

x+2

(1)求f(2),h(1)的值；

(2)求f[h(2)]的值;

(3)求f(x),h(x)的值域.

11.(2020高一上?綿陽月考)已知二次函數滿足/(%)=a/+5%+c(aA

0),f(x+1)-f(x)=2%,且/(0)=1.

(1)求函數/(%)的解析式

(2)畫出函數/(%)在區間［-1,1］上的圖像并寫出函數的單調區間.

12.(2020高一上,河南月考)已知函數/(%)=a/+2ax+1—b,/(%)在

區間［0,1］上的最大值為2,最小值為-1.

(1)求a,b的值；

(2)若arb,函數,g(%)=/(%)-mx在區間(一1,1)上沒有最值，求實

數m的取值范圍.

精講答案

思考1

答案確定，一一對應.

思考2

答案不確定，例如函數的定義域為N={—1,0,1},值域為3={0,1},則對應關

系/（X）=》2或/（X）=R均可.

思考1

答案不是任何數集都能用區間表示，如集合{0}就不能用區間表示.

思考2

答案””讀作“無窮大”，是一個符號，不是數.以“一oo”或"十才’作為區間一端

時，這一端必須是小括號.

思考

t案不是.函數的值域是由定義域和對應關系共同確定的，只要函數的定義域

及其對應關系確定，函數的值域也就隨之確定了.

思考

答案不一定.并不是所有的函數都可以用解析式表示，不僅如此，圖象法也不

’0,xGQ,

適用于所有函數，如O（x）=,八列表法雖在理論上適用于所有函數，

[1,xGLnRQ.

但對于自變量有無數個取值的情況，列表法只能表示函數的一個概況或片段.

思考

答案分段函數是一個函數，而不是幾個函數.

【例11

【答案】（-8,1）

【解析】由題意，區間(旬―L22+1),則滿足4。-1<2。+1,解得。<1,即。

的取值范圍為(-8,1).故答案為(-8,1).

【練1】

【答案】D

【解析】由0<2x—1W3解得;<xW2,用區間表示為(；,2,故選D.

【例2】

【答案】D

【解析】A.A=R,B={x|x>o),f：x—y=W不是函數關系，：當x=0

時，網=0,|x|>0不成立，，不是函數關系；

B.A=R,B={x|x>0),f：xfy=lnx的定義域是(0,+oo),不是R,當

xWO時，y=lnx無意義，.,.不是函數關系；

C.A=Z,B=N,f：x—>y=的定義域是,不是Z,當x是負整

數時，y=6無意義，...不是函數關系;

D.A=Z,B=N,f：x—,是函數關系.故選：D

【練2】

【答案】C

【解析】A、B、D都不滿足函數定義中一個.解與唯一的一個第對應的關系，所

以選C

【例3】

【答案】C

2x-l>01

【解析】由c八，解得這7且#2.

x-2^02

??.函數/(同二岳與+上的定義域為g,2)32,+s)

故選：C.

x—2

【練3】

【答案】B

\2-40

【解析】由題意,/\得尤J4=0,解得x=±2..?.定義域為「2,2}.

[4-x2>0

故選：B.

【例4】

2x

【答案】(1次0=%+3；(2網)=/+2工一2；(3)/(%)=----(%*0)

3x3

【解析】(1)解由題意，設/(x)=ax+b(a/))

*.*3/(x+l)—/(^)=2x+9.*.3a(x+l)+3Zj—ax—Z>=2x+9,

_2a=2

即2ax+3a+2b=2x+9,由恒等式性質，得｛，.,.a=l,b=3

3a+2b=9

，所求函數解析式為兀r)=x+3.

(2)設x+1=t,則x=t-1x。=(/—l)2+4(r-1)+1

即人。=戶+2/—2.，所求函數解析式為人》)=/+2%一2.

⑶解,?,/(X)+2/1￡|=X,將原式中的x與g互換，得/(￡j+2/(x)=(.

/(x)+2/W=x

2x

于是得關于本)的方程組小、I解得/(%)=

■臼⑴二

【練4】

【答案】(1)“力=2/一3X+2；(2)/(X)=2X-1^/(X)=-2X+1.

【解析】(1)(換元法)設/=17,則無=1T,

/./(/)=2(1-/)2-(1-/)+1=2r-3r+2,

/(x)=2x2-3%+2.

(2)(待定系數法)?.?〃元)是一次函數，，設/(力=依+縱”0),則

/(/(x))=/(ax+b)=a^ax+b^+b=c^x+ab+b,

a=2

a2=4

/(/(x))=4x-l,,解得｛,1或

ab+b=-lb=——

3

〃x)=2x-g或f(》)=-2尤+1.

【例5】

【答案】C

[2[/i\1-----

【解析】由于“1—2X)=N(XWO)，當％=:時，f-=—p^=15,故選

16

C.

【練5】

【答案】3214

【解析】V/(X)=3^3+2X2+X+4,則/(10)=3000+200+10+4=3214,故答

案為：3214

[例6]

【答案】A

【解析】對于4/(x)=|x|，g(x)=J3=|x|,兩個函數的定義域和對應關系

都相同，表示同一函數；

對于B-.的定義域為R,g(x)的定義域為[0,+s),兩個函數的定義域不同，不是

同一函數；

對于c/(x)=x+l(x，l)的定義域為{x|xwl},g(x)=x+l的定義域為R,兩個函數

的定義域不同，不是同一函數；

對于。"⑺的定義域為{%1%21},且(九)的定義域為{X|工4-1或%>1},兩個函數

的定義域不同，不是同一函數.

故選4

【練6】

【答案】D

【解析】因為選項A中，對應關系不同，選項B中定義域不同，對應關系不

同，選項C中，定義域不同，選項D中定義域和對應法則相同，故選D.

故選：D.

【例7】

【答案】A

3111

【解析】由題意得,/(5)=2,/(2)=-,/(-)=2x5=1,所以

/⑵口§)=1,故選：A.

【練7】

【答案】一2

【解析】由題得/(-4)=一(一4)一3=1,所以加一4)戶/⑴=2-4=一2.

故答案為：一2

練習答案

1.【答案】A

【考點】函數的定義域及其求法

【解析】由題意可得,解得—,

所以函數的定義域為.

故答案為：A

【分析】使函數解析式有意義，只需,解不等式組即可求解.

3—4%>0

2.【答案】A

【考點】函數的值域

【解析】二次函數/(%)=-2x2+4%開口向下，對稱軸為x=1,

則函數在區間［0,1］上單調遞增，在區間［1,3］上單調遞減，

函數的最大值為/(I)=2,

函數的最小值為/(3)=-6,

據此可得函數的值域為［-6,2］.

故答案為：A

【分析】求出二次函數的對稱軸方程，得到函數的單調區間，從而得出其最

值，得到答案。

3.【答案】C

【考點】判斷兩個函數是否為同一函數

【解析】根據題意，由于函數)/=產滔，那么對于A,由于對應關系不一

樣，定義域相同不是同一函數，對于B,由于y=—A/2%3,對應關系式不同，

不成立，對于D,由于y=/后定義域相同，對應法則不同，不是同一函數，

排除法選C.

4.【答案】C

【考點】判斷兩個函數是否為同一函數

【解析】A中：g(x)==|%|豐%2;B中：g(K)=(%-1)°=1(%豐0);C

中一的=等=之”。，綱=尋={—中:

比2_Q

/(%)===%一3(%H-3),

故答案為：C.

【分析】判定兩函數是否表示同一個，看定義域和對應關系是否相同即可.

5.【答案】{xI；<x<3}

【考點】函數的定義域及其求法，對數函數的定義域

【解析】【解答】咨+1，，得-L<%<3

故答案為：{x|-l<x<3}

【分析】結合函數定義域的求法：分母不為零，被開方數大于等于零以及真數

大于零即可得到關于X的不等式組，求解出X的取值范圍即可。

6.【答案】+i

4

【考點】函數解析式的求解及常用方法

[解析】設t=2%,貝【J%=g,

因為/(為)=3%2+1,

所以/(t)=3x(|)2+1=9+1,

所以/(%)=—+1,故答案為—+1.

八,44

【分析】設t=2%,則久=g,求得f(t)=9+1，從而可得結果.

7.【答案】[0,1]

【考點】函數的值域

【解析】解：.."0。，1],則函數y=*

1

???y=i--，xe[o,1],

Vy=，xG[0,1],單調遞減

-1

.,.y=l-x——+1，x￡[0,1],單調遞增

.??x=0時，y=0,

x=l時，y=&,

???值域是[0,I].

故答案為：[0,1].

【分析】分離分子轉化為y=i-W，xe[0,1],利用單調遞增求解即可.

8.【答案】(-1,+8)

【考點】函數的定義域及其求法

【解析】解：由x+l>0,得x>-l.

.,?函數y=ln(x+1)的定義域是(-1,+8).

故答案為：(-1,+°°).

【分析】由對數式的真數大于0得答案.

9.【答案】(1)解：選①：/(%)=+V3^(x)=sin(x+7)+V3cos(x+

6

看)=2sin(x+?+$

=2sin(x+1)=2cosx,

由f(x)=2cosx知，單調遞增區間[2kn—n,2kn](fcEz)

選②：f(x)=，(%)?9(%)=sin(%+-)-cos(%+-)=-sin(2x+-)

6，623，

令2/OT—§W2%+三￡2/CTT+?kCZ,解得k7i--<x<kir+-,keZ,

所以f(x)的單調遞增區間為\kn-^fkrc+^],kEZ

選③：=%(%)—g(x)=sin(%+-)—cos(x+-)=V2sin(x+---)=

6664

V2sin(x-,

令—]+2/OT<x—+2kn,kEZ,解得—B+2kn<x<—+

21221212

2/CT,fcEZ,

所以/(%)的單調遞增區間為[2/OT—奈2/OT+軟/cCZ,

(2)解：選①：/(%)=h[x)+V3^(x)=sin(x+^)+V3cos(x+~)=

2sin(%+￡+g)

=2sin(%+])=2cos%,

當％e[0弓]時，o<cos%工1,所以/(%)=2cosxe[0,2].

選②:f(%)=力(%),9(%)=sin(x+-)-cos(x+-)=-sin(2x+-)

當xG[0,5時，^<2x+^<^,

所以一日qsin(2汽+g)W1，

所以/(x)=|sin(2x+J)G.

選③：f(x)=%(%)—g(x)=sin(x+-)—cos(%+-)=V2sin(x+---)=

6664

V2sin(x-,

當久eg]時，，

所以—漁產wsinQ—為工竽，

所以/(%)=V2sin(x-G[號之上/]

【考點】函數的定義域及其求法，正弦函數的圖象，正弦函數的單調性

【解析】根據題意選①②③時，對于⑴主要利用三角函數關系式的變換和正

弦型函數的性質的應用求出函數的單調遞增區間；

(2)利用函數的定義域求出函數的值域.

10.【答案】(1)解：f(2)=全=；，h(1)=12+1=2

(2)解：f[h(2)]=f(22+1)=f(5)=￡=}

■\

(3)解：???工0,???f(x)HO;

...函數f(x)的值域為(-8,0)U(0,+8)；

h(x)=x2+l>l；

，函數h(x)值域為[1,+8)

【考點】函數的值域

【解析】(1)根據f(x),h(x)的解析式即可求出f(2),h(1)的值；

(2)先求出h(2)=5,進而求出