專題8.8立體幾何中角與距離的向量求法【核心素養(yǎng)】以幾何體為載體，考查空間線面的平行、垂直關(guān)系，考查空間角的函數(shù)值的計(jì)算，確定幾何體中線段長(zhǎng)度、各種距離的大小，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角．②范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是．③向量求法：設(shè)直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為φ，則有.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二直線與平面所成角直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).范圍.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三二面角(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖2、3，分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小(或)．（3）二面角的范圍是[0，π].知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四利用向量求空間距離點(diǎn)面距的求法：如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：求異面直線所成的角【典例分析】例11．【多選題】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）如圖，已知平面，，，為的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C．平面 D．直線與所成角的余弦值為例12.（2023秋·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，，E、F分別為棱PD、PA的中點(diǎn)．(1)求證：平面PBC；(2)求異面直線PB與AE所成的角．【規(guī)律方法】1.向量法求兩異面直線所成角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．2.提醒：兩異面直線所成角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是這兩條異面直線所成的角；當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是兩異面直線所成的角．【變式訓(xùn)練】變式11.【多選題】（2023春·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是D．使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為變式12.（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐內(nèi)接于圓柱，為的中點(diǎn)，和為圓柱的兩條母線，，四邊形為正方形，平面與平面的交線平面，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為．題型二：求直線與平面所成角例21.（2022·全國(guó)·高考真題（理））在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．例22.（2021·浙江高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【總結(jié)提升】利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．【變式訓(xùn)練】變式21.（2023秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)P在底面上的射影為正方形的中心為側(cè)棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，四棱錐的體積為，求與平面所成角．變式22.（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．題型三：求二面角【典例分析】例31.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．例32.（2021·全國(guó)·高考真題（理））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【規(guī)律方法】利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小．但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。咀兪接?xùn)練】變式31.（2021·天津高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．變式32.（2021·全國(guó)·高考真題（理））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．題型四：利用向量求空間距離例41.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、O分別是、的中點(diǎn)，P在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)A到直線BE的距離是 B．點(diǎn)O到平面的距離為C．平面與平面間的距離為 D．點(diǎn)P到直線AB的距離為例42.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．例43.（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【總結(jié)提升】1.點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較簡(jiǎn)單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法.2.利用法向量求解空間線面角、面面角、距離等問題，關(guān)鍵在于“四破”：①破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；④破“應(yīng)用公式關(guān)”．【變式訓(xùn)練】變式41.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（

）．A． B． C． D．變式42.（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，.(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離為，求平面與平面所成角的余弦值.變式43.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．一、單選題1．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，P為棱AD上的動(dòng)點(diǎn)．給出以下四個(gè)命題：①；②異面直線與所成角的取值范圍為；③有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面；④三棱錐的體積是定值．其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題2．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．存在y，使得B．當(dāng)時(shí)，存在z使得∥平面AEFC．當(dāng)時(shí)，異面直線與EF所成角的余弦值為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍3．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A．B．平面C．平面平面D．點(diǎn)到平面的距離為4．（2023秋·河南焦作·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面平面ABCDB．存在點(diǎn)P，使C．存在點(diǎn)P，使直線與所成角的余弦值為D．存在點(diǎn)P，使點(diǎn)A，C到平面的距離之和為35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大三、填空題6．（2023秋·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)?？奸_學(xué)考試）盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的，已成為巴黎的城市地標(biāo).盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，若該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球心到該四棱錐側(cè)面的距離為.四、解答題7.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．9.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.10.（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；