PAGEPAGE1其次章綜合訓練一、選擇題.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知直線l過點(2,-1),且在y軸上的截距為3,則直線l的方程為()A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0 D.x-2y+6=02.已知直線l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,則l2傾斜角的取值范圍是()A.π3,π2 B.0,πC.π3,π2 D.π3.(2024江西南昌檢測)已知圓A:x2+y2=1,圓B:(x-2)2+y2=r2(r>0),圓A與圓B的公切線的條數(shù)的可能取值共有()A.2種 B.3種 C.4種 D.5種4.光線自點M(2,3)射到N(1,0)后被x軸反射,則反射光線所在的直線方程為()A.y=3x-3 B.y=-3x+3C.y=-3x-3 D.y=3x+35.(2024山東濟南質檢)在一個平面上,機器人到與點C(3,-3)的距離為8的地方繞C點順時針而行,它在行進過程中到經過點A(-10,0)與B(0,10)的直線的最近距離為()A.82-8 B.82+8C.82 D.1226.若直線ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圓(x+2)2+(y+1)2=1的弦長為2,則1a+2A.4 B.6 C.8 D.107.過原點O作直線l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂線,垂足為P,則P到直線x-y+3=0的距離的最大值為()A.2+1 B.2+2 C.22+1 D.22+28.(2024陜西西安期末)平面直角坐標系中,設A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),點M在單位圓上,則使得△MAB為直角三角形的點M的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4二、選擇題:在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.9.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),則()A.直線x-y=0與線段AB有公共點B.直線AB的傾斜角大于135°C.△ABC的邊BC上的中垂線所在直線的方程為y=2D.△ABC的邊BC上的高所在直線的方程為x-4y+7=010.(2024山東棗莊期中)已知圓C1:x2+y2=r2與圓C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),下列結論正確的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b11.若P是圓C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一點,則點P到直線y=kx-1距離的值可以為()A.4 B.6 C.32+1 D.812.瑞士聞名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC,AB=AC,點B(-2,4),點C(5,-3),且其“歐拉線”與圓M:(x-5)2+y2=r2相切,則下列結論正確的是()A.圓M上點到直線x-y+3=0的最大距離為42B.若點(x,y)在圓M上,則yx-1C.若點(x,y)在圓M上,則x+y的最小值是1D.圓(x-a-1)2+(y-a)2=2與圓M有公共點,則a的取值范圍是[2-5,2+5]三、填空題.13.經過點P(1,4),且在兩坐標軸上的截距相反的直線方程是.

14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三點共線,當k<0時,以k為斜率,且過點(2,-1)的直線方程為.

15.已知直線l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)與圓O:x2+y2=8交于A,B兩點,C,D分別為OA,AB的中點,則|AB|·|CD|的最小值為.

16.已知點O(0,0),A(4,0),B(0,4).若從點P(1,0)射出的光線經直線AB反射后過點Q(-2,0),則反射光線所在直線的方程為;若從點M(m,0),m∈(0,4)射出的光線經直線AB反射,再經直線OB反射后回到點M,則光線所經過的路程是(結果用m表示).

四、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(2024湖南湘潭檢測)求滿意下列條件的直線的方程.(1)直線過點(-1,2),且與直線x+y-2=0平行;(2)直線過(0,1)點且與直線3x+y+1=0垂直.18.已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,4),B(0,-5),C(10,0),線段AC的垂直平分線為l.(1)求直線l的方程;(2)點P在直線l上運動,當|AP|+|BP|最小時,求此時點P的坐標.19.已知直線l:ax-y-3a+1=0恒過定點P,過點P引圓C:(x-1)2+y2=4的兩條切線,設切點分別為A,B.(1)求直線AB的一般式方程;(2)求四邊形PACB的外接圓的標準方程.20.已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圓C1與圓C2外切,求實數(shù)m的值;(2)在(1)的條件下,若直線l與圓C2的相交弦長為23且過點(2,1),求直線l的方程.21.(2024四川綿陽期中)在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,已知圓C的圓心坐標為2t,1t,其中t∈R且t≠0,x軸、y軸被圓C截得的弦分別為OA,OB.(1)求證:△OAB的面積為定值,并求出這個定值;(2)設直線2x+y-4=0與圓C交于M,N兩點,若|OM|=|ON|,求圓C的標準方程.22.在平面直角坐標系xOy中有曲線Γ:x2+y2=1(y≥0).圖1圖2(1)如圖1,點B為曲線Γ上的動點,點A(2,0),求線段AB的中點的軌跡方程;(2)如圖1,點B為曲線Γ上的動點,點A(2,0),求△OAB面積的最大值,并求出對應B點的坐標;(3)如圖2,點B為曲線Γ上的動點,點A(2,0),將△OAB繞點A順時針旋轉90°得到△DAC,求線段OC長度的最大值.

其次章綜合訓練1.B由題意,直線過(2,-1),(0,3),故直線的斜率k=3+10-故直線的方程為y=-2x+3,即2x+y-3=0.2.C因為l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=-cos2α3∈-3當cosα=0,即k1=0時,k不存在,此時傾斜角為π2由l1⊥l2,k1≠0時,可知直線l2的斜率k=-1k此時傾斜角的取值范圍為π3,π綜上可得l2傾斜角的取值范圍為π3,π故選C.3.D依據圓A與圓B的方程可知圓A的圓心為(0,0),半徑rA=1,圓B的圓心為(2,0),半徑rB=r(r>0),所以rA+rB=1+r,|rA-rB|=|1-r|,兩圓心的距離為2,①若兩圓外離,則有2>1+r,即0<r<1,此時圓A與圓B公切線的條數(shù)為4;②若兩圓外切,則有2=1+r,即r=1,此時圓A與圓B公切線的條數(shù)為3;③若兩圓相交,則有1+r>2且|1-r|<2,即1<r<3,此時圓A與圓B公切線的條數(shù)為2;④若兩圓內切,則有|1-r|=2,即r=3,此時圓A與圓B公切線的條數(shù)為1;⑤若兩圓內含,則有|1-r|>2,即r>3,此時圓A與圓B公切線的條數(shù)為0.即圓A與圓B的公切線的條數(shù)的可能取值有5種.故選D.4.B如圖所示,點M關于x軸的對稱點M'的坐標為(2,-3).∴反射光線所在的直線方程為y-0=-3-0化為y=-3x+3,故選B.5.A機器人到與點C(3,-3)距離為8的地方繞C點順時針而行,在行進過程中保持與點C的距離不變,∴機器人的運行軌跡方程為(x-3)2+(y+3)2=64,如圖所示,∵A(-10,0)與B(0,10),∴直線AB的方程為x-10+y10=1,則圓心C到直線AB的距離為d=|3+3+10|1+1=82>8,∴最近距離為82-8.6.A由題意圓心坐標為(-2,-1),半徑r=1,所以圓心到直線的距離為d=|-2所以弦長2=21-(|-2a-b+2|所以1a+2b=1a+2b·12·(2a+b)=122+2+ba+4a所以最小值為4,故選A.7.A(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,由題意得2x+y-2=0,x-因為OP⊥l,所以點P的軌跡是以OQ為直徑的圓,圓心為(0,1),半徑為1,因為圓心(0,1)到直線x-y+3=0的距離為d=22=2,所以P到直線x-y+3=0的距離的最大值為2故選A.8.D依據題意,如圖,若△MAB為直角三角形,分3種狀況探討:①∠MAB=90°,則點M在過點A與AB垂直的直線上,設該直線為l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),則kAB=2.56則kl1=-1,直線l1的方程為y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42此時原點O到直線l1的距離d=|0.42|2=0直線l1與單位圓相交,有2個公共點,即有2個符合題意的點M.②∠MBA=90°,則點M在過點B與AB垂直的直線上,設該直線為l2,同理可得:直線l2的方程為y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此時原點O到直線l2的距離d=|3.58|2=1直線l2與單位圓相離,沒有公共點,即沒有符合題意的點M.③∠AMB=90°,此時點M在以AB為直徑的圓上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),設AB的中點為C,則C的坐標為(0.02,1.56),|AB|=4+4=22,則以AB為直徑的圓的圓心C為(0.02,1.56),半徑r=12|AB|=2此時|OC|=(0則有2-1<|OC|<2+1,兩圓相交,有2個公共點,即有2個符合題意的點M,綜上可得:有4個符合條件的點M.故選D.9.BD由于點A(1,2),B(-3,4)均在直線x-y=0的同側,則直線x-y=0與線段AB沒有公共點,故A錯誤;由于直線AB的斜率k=4-2-3-1=-12>-1,故直線由于直線BC的斜率為4-0-3+2=-4,則邊BC上的中垂線的斜率為14,BC的中點為-52,2,故中垂線所在直線的方程為y-2=14x+52,由于邊BC上的高線的斜率為14,則其方程為y-2=14(x-1),即x-4y+7=0,故D10.ABC兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,分別把A(x1,y1),B(x2,y2)兩點代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,故B正確;兩式相減得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正確;由圓的性質可知:線段AB與線段C1C2相互平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正確,D錯誤.故選ABC.11.ABC直線y=kx-1恒過定點A(0,-1),當直線與AC垂直時,點P到直線y=kx-1距離最大,等于AC+r,圓心坐標為(-3,3),所以距離為(-3)2+當直線與圓有交點時距離最小為0,所以點P到直線y=kx-1距離的范圍為[0,6].故選ABC.12.BCD對于A,設BC的中點為D,AB=AC,所以AD⊥BC.因為kBC=4+3-2-5=-1,所以且xD=-2+52=32,yD=4-3由題意可得歐拉線為直線AD,則直線AD的方程為y-12=x-32,即x-y-1因為圓M:(x-5)2+y2=r2的圓心坐標(5,0),半徑r,由歐拉線與圓M相切,所以r=|5-0-所以圓心到直線x-y+3=0的距離d=|5-0+3|1+1=42,所以圓上點到直線的距離最大值為r+d=22+42=62對于B,yx-1=y-0x-1設M的切線方程為y=k(x-1),則點(5,0)到該直線的距離|5k-0-k|1+k2=22,解得k=±1,對于C,設M(5+22cosθ,22sinθ),所以x+y=5+22cosθ+22sinθ=5+4sinθ+π4∈[1,9],所以C正確;對于D,圓(x-a-1)2+(y-a)2=2的圓心(a+1,a),半徑為r'=2,要使該圓與圓M有公共點,則有兩圓內切,相交,外切三種狀況,則圓心距范圍[|r-r'|,r+r']=[2,32],而圓心距(a所以2≤(a+1解得a∈[2-5,2+5],所以D正確,故選BCD.13.y=4x或y=x+3依據題意,分2種狀況探討:①直線經過原點,則直線l的方程為y=4x;②直線不經過原點,設直線方程為x-y=a,把點P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,即直線的方程為y=x+3;綜合可得:直線的方程為y=4x或y=x+3.14.2x+y-3=0由題意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.∵當k<0時,k為直線的斜率,∴過點(2,-1)的直線方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.15.43直線l的方程可化為m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得∵C,D分別為OA,OB的中點,∴|CD|=12|OB|=2,當OP⊥AB時,|AB|最小,此時|AB|=2(22)∴|AB|·|CD|=2|AB|≥2·26=43.16.x-2y+2=02m2+32依據題意,設點P1(a,b)與點P(1,0)關于直線AB對稱,則P又由A(4,0),B(0,4),則直線AB的方程為x+y=4,則有ba-1=1,a反射光線所在直線的斜率k=3-04-(-2)=12,則其方程為y-0=12設點M1(a0,b0)與點M關于直線AB對稱,點M2與M關于y軸對稱,易得M2(-m,0);線段M1M2的長度就是光線所經過的路程,則有b0a即M1(4,4-m),又由M2(-m,0),則|M1M2|=(4+17.解(1)設所求直線的方程為x+y+m=0,∵點(-1,2)在直線上,∴-1+2+m=0,∴m=-1,故所求直線的方程為x+y-1=0.(2)設所求直線的方程為x-3y+m=0.∵點(0,1)在直線x-3y+m=0上,∴0-3+m=0,解得m=3.故所求直線的方程為x-3y+3=0.18.解(1)直線AC的斜率為kAC=4-02-10=-12,所以直線直線AC的中點為(6,2),所以直線l的方程為y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得點A關于直線l的對稱點為點C,所以直線BC與直線l的交點即為使|AP|+|BP|最小的點.由B(0,-5),C(10,0)得直線BC的方程為x10+y-5=1,即x-聯(lián)立方程x-2所以點P的坐標為103,-103.19.解(1)∵直線l:y-1=a(x-3),∴直線l恒過定點P(3,1).由題意可知直線x=3是其中一條切線,且切點為A(3,0).由圓的性質可知AB⊥PC,∵kPC=1-∴kAB=-2,所以直線AB的方程為y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由題意知|PC|=(3∵PA⊥AC,PB⊥BC,所以四邊形PACB的外接圓是以PC為直徑的圓,PC的中點坐標為2,12,所以四邊形PACB的外接圓為(x-2)2+y-122=54.20.解(1)圓C1:x2+y2=1,則C1(0,0),r1=1,由圓C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,則C2(3,0),r2=9-m,∵圓C1與圓C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,∴3=1+9-m,(2)由(1)得m=5,圓C2的方程為(x-3)2+y2=4,則C2(3,0),r2=2,由題意可得圓心C2到直線l的距離d=1,當直線l無斜率時:直線方程為x=2.符合題意;當直線l斜率為k時,則直線方程為y-1=k(x-2),化為一般形式為kx-y-2k+1=0,則圓心(3,0)到直線l的距離d=|k+1解得k=0,得直線方程為y=1.