專題08圖形的相似綜合題型（含壓軸）一、單選題1．（2023·浙江溫州·校聯考二模）如圖，與是位似圖形，點O為位似中心，若，則與周長比是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江嘉興·統考二模）如圖，在中，，，D在上，且，則的長是（

）A．2 B． C． D．3．（2023·浙江金華·校聯考模擬預測）下列各組數中，成比例的是（

）．A．1，，， B．1，4，2，C．5，6，2，3 D．，，1，4．（2023·浙江寧波·統考二模）將的直角邊、斜邊按如圖方式構造正方形和正方形，在正方形內部構造矩形使得邊IH剛好過點D，則已知哪條線段的長度就可以求出圖中陰影部分的面積（

）A．AB B．AC C．BC D．FH5．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，，分別以它的三邊為邊向外作正方形，正方形，正方形，過點C作于點L，交于點M．若四邊形和四邊形的面積分別是，則的長為（

）A．160 B．110 C． D．6．（2023·浙江溫州·統考二模）如圖，已知D，E分別是△ABC的AB，AC邊上的點，DE∥BC，且BD=3AD．那么AE:AC等于（

）A．2:3 B．1:2 C．1:3 D．1:47．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與點B，C重合，點F在邊AB上，且，連接AE，DF，對角線AC與DF交于點G，連接BG，交AE于點H．若，則（

）A． B． C． D．8．（2023·浙江金華·校聯考模擬預測）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．作．若，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，，若四邊形的面積為6，則__________．10．（2023·統考二模）如圖，ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是____mm．11．（2023·浙江麗水·統考二模）如圖，在中，，，分別是邊，上的點，且．記，，的周長分別是，，．

（1）若，則的值是_____．（2）求的最大值是_____．12．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高線，是邊上的中線．若，，，則________（用含a的代數式表示）．13．（2023·浙江寧波·統考三模）如圖，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點A落在邊上的E處，得到四邊形，連接，若，，則_____，______．14．（2023·浙江杭州·統考二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點M是BC邊上的動點（不與B，C重合），點N是AM的中點，過點N作EF⊥AM，分別交AB，BD，CD于點E，K，F，設BM＝x．（1）AE的長為______（用含x的代數式表示）；（2）設EK＝2KF，則的值為______．三、解答題15．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，是上一點，，．(1)求證：．(2)若，求的度數．16．（2023·浙江·模擬預測）如圖，點C是邊上一點，且滿足．(1)證明：；(2)若，求的長．17．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，，點E在邊上移動（點E不與點B，C重合），點D，F分別在邊和上，且滿足．(1)求證：．(2)若，且，求的值．18．（2023·浙江·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是一條弦．過點A作DC延長線的垂線，垂足為點E．連接AC，AD．(1)證明：△ABD∽△ACE；(2)若，，．①求EC的長．②延長CD，AB交于點F，點G是弦CD上一點，且，求CG的長．19．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經過點A，D的⊙O分別交AB，AC于點E，F，連接DF．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)連接DE，求證：△BDE△BAD(3)若BE＝，sinB＝，求AD的長．20．（2023·浙江杭州·統考二模）如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為O，過點D作BD的垂線交BC的延長線于點E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的長．21．（2023·浙江金華·校聯考模擬預測）如圖所示，△ABC為Rt△，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，點E為邊AC上的點，連結DE，過點E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，已知AC＝8．（1）如圖1所示，當BC＝6，點G在邊AB上時，求DE的長．（2）如圖2所示，若，點G在邊BC上時，求BC的長．（3）①若，且點G恰好落在Rt△ABC的邊上，求BC的長．②若（n為正整數），且點G恰好落在Rt△ABC的邊上，請直接寫出BC的長．22．（2023·浙江·模擬預測）已知E是正方形邊上任意一點，(1)將沿翻折至，①如圖1，若F點恰好在對角線上，，求的長．②如圖2，若點E是中點，若，射線與邊交于點G，求四邊形的面積．(2)如圖3，點Q是邊上任意一點，記與的交于點H，射線與射線交于點P，求證：．23．（2023·浙江·模擬預測）點E、F分別為正方形邊、上一點，滿足，連結和．(1)求證：；(2)過點E作交于點M，垂足為點N．①判斷的形狀，并說明理由；②當M在邊上時，設，和的面積分別是和，求證：24．（2023·浙江寧波·統考二模）定義：兩個相似三角形共邊且位于一個角的角平分線兩邊，則稱這樣的兩個相似三角形為疊似三角形．(1)[初步理解]如圖1，四邊形中，對角線平分，，求證：和為疊似三角形．(2)[嘗試應用]在（1）的基礎上，如圖2，若，，，求四邊形的周長．(3)[拓展提高]如圖3，在中，D是上一點，連接，點E在上，且，F為中點，且．若，，求的值．25．（2023·浙江寧波·校聯考二模）四邊形ABCD和四邊形AMPN有公共頂點A，連接BM和DN．(1)如圖1，若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是正方形，當正方形AMPN繞點A旋轉角（）時，BM和DN的數量關系是________，位置關系是________；(2)如圖2，若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是矩形，且，判斷BM和DN的數量關系和位置關系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，矩形AMPN繞點A逆時針旋轉角（），當時，求線段DN的長．26．（2023·浙江溫州·統考二模）如圖1，在邊長為1的正方形中，E是上的動點，連接，點F在線段上，連接．點G是的中點，以，為鄰邊構造，其中，分別交于點M，N．

(1)求的長．(2)當點F為的中點時，求的值．(3)如圖2，已知點F滿足．①若的面積等于四邊形的面積，求的值．②當的一邊所在的直線恰好經過正方形的頂點B或C時，求的值．27．（2023·浙江金華·統考二模）如圖1，在矩形中，，，動點P從點C出發，以1個單位每秒速度，沿線段運動，同時，動點Q從點B出發，以2個單位每秒速度，沿射線運動，當點P到達點D時，點P，Q同時停止運動，設運動時間為t秒．(1)請用含t的代數式表示線段的長．(2)如圖2，與交于點M，當時，求與的面積之比．(3)在點P，Q的整個運動過程中，直線上是否存在點E（C，E不重合），使以為直角邊的，與以點P，Q，C三點為頂點的三角形相似？若不存在，說明理由；若存在，求t的值．專題08圖形的相似綜合題型（含壓軸）一、單選題1．（2023·浙江溫州·校聯考二模）如圖，與是位似圖形，點O為位似中心，若，則與周長比是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據位似圖形是相似圖形，相似三角形的周長比等于相似比，進行求解即可．【詳解】解：∵與是位似圖形，∴，∵，∴相似比為：，∴與周長比等于相似比；故選A．【點睛】本題考查相似三角形的性質．熟練掌握位似圖形是相似圖形，相似三角形的周長比等于相似比，是解題的關鍵．2．（2023·浙江嘉興·統考二模）如圖，在中，，，D在上，且，則的長是（

）A．2 B． C． D．答案:D分析：根據已知易得，從而可得，再利用等腰三角形的性質可得，從而利用三角形內角和定理可得，然后利用平角定義可得，從而可得，進而可得，最后利用相似三角形的性質進行計算即可解答．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握一線三等角構造相似模型是解題的關鍵．3．（2023·浙江金華·校聯考模擬預測）下列各組數中，成比例的是（

）．A．1，，， B．1，4，2，C．5，6，2，3 D．，，1，答案:D分析：根據比例的定義，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A．，不符合題意；B．，不符合題意；C．，不符合題意；D．，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了比例的定義，如果四個數滿足，則這四個數成比例．4．（2023·浙江寧波·統考二模）將的直角邊、斜邊按如圖方式構造正方形和正方形，在正方形內部構造矩形使得邊IH剛好過點D，則已知哪條線段的長度就可以求出圖中陰影部分的面積（

）A．AB B．AC C．BC D．FH答案:C分析：過D做于M，設，，，證明，可得即，從而求得，再根據進行計算即可．【詳解】解：過D做于M，設，，，由圖可得：，，∵，，∴，∴，即，，，故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．5．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，，分別以它的三邊為邊向外作正方形，正方形，正方形，過點C作于點L，交于點M．若四邊形和四邊形的面積分別是，則的長為（

）A．160 B．110 C． D．答案:C分析：設則先證明四邊形是矩形，則得到再證，得到，則，可得，即可得到的長．【詳解】解：設則∵四邊形形是正方形，，∴，∴四邊形是矩形，∴∴∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即的長為．故選：C【點睛】此題考查了矩形的判定和性質、正方形的性質、相似三角形的判定和性質、算術平方根等知識，得到是解題的關鍵．6．（2023·浙江溫州·統考二模）如圖，已知D，E分別是△ABC的AB，AC邊上的點，DE∥BC，且BD=3AD．那么AE:AC等于（

）A．2:3 B．1:2 C．1:3 D．1:4答案:D【詳解】解：∵DE∥BC，∴，∵BD=3AD，∴，∴AE:AC=1:4；故選D.7．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與點B，C重合，點F在邊AB上，且，連接AE，DF，對角線AC與DF交于點G，連接BG，交AE于點H．若，則（

）A． B． C． D．答案:A分析：設，則，證明和，推出，作，證明，得到，，設，則，推出，在中，利用勾股定理求得，代入計算即可求解．【詳解】解：設，則，∵正方形ABCD中，，∴，，∴，∴，，∵對角線與交于點G，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，作，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，設，則，∴，∴，在中，，即，整理得，∴，故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會利用參數構建等量關系是解決的問題．8．（2023·浙江金華·校聯考模擬預測）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．作．若，則的值為（

）A． B． C． D．答案:A分析：連接，設，先證，得出，即，根據四個三角形全等得出，可求，得出點E為的中點，根據線段垂直平分線性質得出，再證四邊形為平行四邊形，得出，然后證明四邊形為平行四邊形，得出，根據勾股定理求出、，據此即可求解．【詳解】解：連接，設，∵，四邊形為正方形，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴點E為的中點，∵，∴，∵四邊形為正方形，∴，即，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，在中，，∴，在中，，∴．故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質，三角形全等性質，三角形相似判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理，線段的比，掌握正方形的性質，三角形全等性質，三角形相似判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理，線段的比是解題關鍵．二、填空題9．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，，若四邊形的面積為6，則__________．答案:18分析：先證明，推出，求得，再證明，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵四邊形的面積為6，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：18．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．10．（2023·統考二模）如圖，ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是____mm．答案:48【詳解】試題分析：設該正方形的邊長是a，則符合題意得式子=考點：比例分析點評：本題主要考查了圖形的線段比例的分析，通過比例的大小從而列比例式求解11．（2023·浙江麗水·統考二模）如圖，在中，，，分別是邊，上的點，且．記，，的周長分別是，，．

（1）若，則的值是_____．（2）求的最大值是_____．答案:分析：（1）根據已知得出，，若，則，是等腰直角三角形，進而求得的值，即可求解；（2）設，，，根據已知證明，進而得出，，分別求得，得到關于的關系式，根據二次函數的性質即可求解．【詳解】解：（1）∵在中，，∴,∵，∴，∴,，∴∴，若，則，是等腰直角三角形，∴，∴，，故答案為：．（2）設，，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴的最大值是．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質與判定，二次函數的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．12．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高線，是邊上的中線．若，，，則________（用含a的代數式表示）．答案:分析：連接，根據直角三角形斜邊中線的性質可得出，再根據題意結合三角形外角的性質易證，即得出，說明為等腰直角三角形，得出．設，則，，根據勾股定理可求出．最后在中，利用勾股定理列出關于x的方程，解出x的值即可求解．【詳解】如圖，連接．∵是邊上的高線，∴．∵是邊上的中線，∴點E為中點，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴．設，則，，∴．∵，即，解得：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質，三角形外角的性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識．正確作出輔助線是解題關鍵．13．（2023·浙江寧波·統考三模）如圖，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點A落在邊上的E處，得到四邊形，連接，若，，則_____，______．答案:分析：過G作于M，過P作，垂足為N，證明，推出，據此可求得；再根據三角函數推出，設，則，根據勾股定理表示，在中，，，求出，即可求出面積．【詳解】解：過G作于M，過P作，垂足為N，∵矩形沿折疊，使點A落在邊上的E處，得到四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴；∵折疊矩形，∴，∴，∵，∴，設，則，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，，解得，，∴；故答案為：，．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，勾股定理，矩形，正方形的性質，翻折變換，解直角三角形，熟練掌握這些知識點的綜合應用，善于在復雜的圖形中找出基本圖形是解題關鍵．14．（2023·浙江杭州·統考二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點M是BC邊上的動點（不與B，C重合），點N是AM的中點，過點N作EF⊥AM，分別交AB，BD，CD于點E，K，F，設BM＝x．（1）AE的長為______（用含x的代數式表示）；（2）設EK＝2KF，則的值為______．答案:x分析：（1）根據勾股定理求得AM，進而得出AN，證得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性質即可求得AE的長；（2）連接AK、MG、CK，構建全等三角形和直角三角形，證明AK＝MK＝CK，再根據四邊形的內角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得NK＝AM＝AN，然后根據相似三角形的性質求得＝＝x，即可得出＝x．【詳解】（1）解：∵正方形ABCD的邊長為1，BM＝x，∴AM＝，∵點N是AM的中點，∴AN＝，∵EF⊥AM，∴∠ANE＝90°，∴∠ANE＝∠ABM＝90°，∵∠EAN＝∠MAB，∴△AEN∽△AMB，∴＝，即＝，∴AE＝，故答案為：；（2）解：如圖，連接AK、MG、CK，由正方形的軸對稱性△ABK≌△CBK，∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，∵EF⊥AM，N為AM中點，∴AK＝MK，∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，∴∠KAB＝∠KMC，∵∠KMB+∠KMC＝180°，∴∠KMB+∠KAB＝180°，又∵四邊形ABMK的內角和為360°，∠ABM＝90°，∴∠AKM＝90°，在Rt△AKM中，AM為斜邊，N為AM的中點，∴KN＝AM＝AN，∴＝，∵△AEN∽△AMB，∴＝＝x，∴＝x，故答案為：x．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形判定和性質，等腰三角形的性質，以及直角三角形斜邊.上的中線的性質，證得KN=AN是解題的關鍵．三、解答題15．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，是上一點，，．(1)求證：．(2)若，求的度數．答案:(1)見解析(2)分析：（1）根據三角形內角和定理表示出，根據平角的定義可得，即可得證；（2）根據（1）的結論證明，根據已知證明，根據相似三角形的性質得出，根據特殊角的三角函數值即可求解．【詳解】（1）證明：在中，在中，∵，．∴，又∵，∴，∴；（2）∵，，∴∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了三角形內角和定理的意義，相似三角形的性質與判定，根據特殊角的正切值求角度，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．16．（2023·浙江·模擬預測）如圖，點C是邊上一點，且滿足．(1)證明：；(2)若，求的長．答案:(1)答案見解析(2)分析：（1）根據相似三角形的判斷方法，兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，證明即可；（2）根據相似三角形的性質，得，先求出，即可求出．【詳解】（1）解：（2），，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．17．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在中，，點E在邊上移動（點E不與點B，C重合），點D，F分別在邊和上，且滿足．(1)求證：．(2)若，且，求的值．答案:(1)見解析(2)分析：（1）由得到，由三角形外角的性質得到，已知,得到，即可得到結論；（2）由得到，則，由，且，得到，求出，即可得到的值．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，,∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．18．（2023·浙江·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是一條弦．過點A作DC延長線的垂線，垂足為點E．連接AC，AD．(1)證明：△ABD∽△ACE；(2)若，，．①求EC的長．②延長CD，AB交于點F，點G是弦CD上一點，且，求CG的長．答案:(1)見解析(2)①EC的長為3；②CG的長為．分析：（1）利用圓內接四邊形的性質求得∠ACD+∠ABD=180°，推出∠ABD=∠ACE，即可證明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE=3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②證明△EAG∽△EDA，利用三角形的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，AE⊥CE，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵四邊形ABDC是圓內接四邊形，∴∠ACD+∠ABD=180°，又∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB=5，BD=5，∴AD=15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE=3CE，在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，∴152=(3CE)2+(9+CE)2，解得：CE=-(舍去)或CE=3；∴EC的長為3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD=∠CAE，∵∠CAG=∠F，∠EAG=∠CAE+∠CAG，∠EDA=∠BAD+∠F，∴∠EAG=∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2=GE?ED，即AE2=(EC+CG)?ED，∵CE=3，∴AE=3CE=9，∴92=(3+CG)×12，∴CG=．【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，證得△ABD∽△ACE和△EAG∽△EDA是解題的關鍵．19．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經過點A，D的⊙O分別交AB，AC于點E，F，連接DF．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)連接DE，求證：△BDE△BAD(3)若BE＝，sinB＝，求AD的長．答案:(1)見詳解(2)見詳解(3)分析：（1）連接OD，根據AD平分∠BAC，OA＝OD，得∠CAD＝∠ODA，得OD∥AC，然后即可證明BC是圓O的切線；（2）連接DE，EF，證明∠BDE=∠OAD，公共角∠B，即可證明△BDE△BAD；（3）設圓O的半徑為r，根據sinB＝，求得半徑，根據sin∠AEF＝sinB，求得AF，根據△ABD∽△ADF的相似比，代入求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴BC⊥OD，又∵OD是圓O的半徑，∴BC是圓O的切線；（2）證明：如圖2.連接DE，EF∵BC是⊙O的切線，∴∠BDO＝90°.∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°.∴∠BDE=∠ADO=90°-∠EDO.∵OD=OA，∴∠OAD=∠ADO.∴∠BDE=∠OAD.又∵∠B=∠B,∴△BDE∽△BAD.（3）解：在Rt△BOD中，sinB＝，設圓O的半徑為r，則，解得r＝.∴AE＝2r＝，AB＝AE+BE＝10.在Rt△AEF中，∠AFE＝∠ACB=90°，則BC//EF,∴∠AEF＝∠B，sin∠AEF＝sinB＝，∴AF＝∵∠B=∠AEF=∠ADF，∠CAD=∠BAD,∴△ABD∽△ADF.∴.即.∴.【點睛】本題考查了圓的切線的性質與判定，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，掌握以上知識是解題的關鍵．20．（2023·浙江杭州·統考二模）如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為O，過點D作BD的垂線交BC的延長線于點E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的長．答案:(1)證明見解析(2)BC的長為分析：（1）先判定，再根據題中所給的條件即可利用平行四邊形判定定理證出；（2）根據三角函數值設，，利用平行四邊形性質得到平行及線段相等，從而根據確定的相似比代值求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，在四邊形ABCD中，，四邊形ACED是平行四邊形；（2）解：在中，，設，，在中，，，，，，即，解得（舍棄）或，．【點睛】本題考查了平行線的判定、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數定義等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．21．（2023·浙江金華·校聯考模擬預測）如圖所示，△ABC為Rt△，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，點E為邊AC上的點，連結DE，過點E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，已知AC＝8．（1）如圖1所示，當BC＝6，點G在邊AB上時，求DE的長．（2）如圖2所示，若，點G在邊BC上時，求BC的長．（3）①若，且點G恰好落在Rt△ABC的邊上，求BC的長．②若（n為正整數），且點G恰好落在Rt△ABC的邊上，請直接寫出BC的長．答案:（1）DE＝；（2）BC＝4．（3）①BC＝2，BC＝8-16，②BC＝或．分析：（1）利用關系式tan∠A＝，即可解決問題．（2）如圖2中，設DE＝x，則EF＝EC＝2x．證明AE＝EC，BC＝2DE即可解決問題．（3）①分點G在BC或AB上兩種情形分別求解．②解法類似①．【詳解】（1）如圖1中，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵D是AB中點，∴AD＝DB＝5，∵∠A＝∠A，∴tan∠A＝，∴，∴．（2）如圖2中，設DE＝x，則EF＝EC＝2x．∵DE∥BC，AD＝DB，∴AE＝EC＝2x，∴4x＝8，∴x＝2，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝4．（3）①當點G落在BC邊上時，如圖2中，設DE＝x，則EF＝EC＝4x，可得：AE＝EC＝4x，8x＝8，∴x＝1，∴BC＝2DE＝2．當點G落在AB邊上時，作DH⊥AC于H，設DH＝x，則CE＝4x，BC＝2x，EH＝4﹣4x，利用△HDE∽△CAB，可得，解得，則．②若（n為正整數）時，同法可知：或．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，三角函數，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．22．（2023·浙江·模擬預測）已知E是正方形邊上任意一點，(1)將沿翻折至，①如圖1，若F點恰好在對角線上，，求的長．②如圖2，若點E是中點，若，射線與邊交于點G，求四邊形的面積．(2)如圖3，點Q是邊上任意一點，記與的交于點H，射線與射線交于點P，求證：．答案:(1)①；②1(2)見解析分析：（1）①由正方形的性質可得，設，根據折疊的性質表示出，再利用特殊角解直角三角形即可；②分別延長，交于點M，根據正方形的性質，折疊的性質及三角形的面積公式可求出，設，則，，利用勾股定理建立方程，求出，再根據四邊形的面積求解即可；（2）設，則，可得，根據正方形的性質，相似三角形的判定和性質可得，即可求解．【詳解】（1）①∵四邊形是正方形，∴，設，∵，∴，∵將沿翻折至，∴，∴，∴，即，解得，即；②分別延長，交于點M，∵四邊形是正方形，∴，∴∵點E是中點，∴，∴，，解得，∴，∵將沿翻折至，∴，∴，∴，∴，設，則，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，∴四邊形的面積；（2）設，則，∴，∵∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，即．【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形，折疊的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．23．（2023·浙江·模擬預測）點E、F分別為正方形邊、上一點，滿足，連結和．(1)求證：；(2)過點E作交于點M，垂足為點N．①判斷的形狀，并說明理由；②當M在邊上時，設，和的面積分別是和，求證：答案:(1)證明見解析(2)①等腰三角形；證明見解析；②證明見解析．分析：（1）先證明，，結合可得結論；（2）①如圖，過作于，則，四邊形為矩形，可得，證明，可得，從而可得結論；②為等腰三角形，，則，而，可得，可得，即，證明，可得，而，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，，∵，∴．（2）①如圖，過作于，∴，四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴為等腰三角形．②∵為等腰三角形，，∴，而，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，正方形的性質，矩形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，相似三角形的判定與性質，熟練的利用以上知識解題是關鍵．24．（2023·浙江寧波·統考二模）定義：兩個相似三角形共邊且位于一個角的角平分線兩邊，則稱這樣的兩個相似三角形為疊似三角形．(1)[初步理解]如圖1，四邊形中，對角線平分，，求證：和為疊似三角形．(2)[嘗試應用]在（1）的基礎上，如圖2，若，，，求四邊形的周長．(3)[拓展提高]如圖3，在中，D是上一點，連接，點E在上，且，F為中點，且．若，，求的值．答案:(1)見解析(2)23(3)分析：（1）根據題目所給“疊似三角形”的定義，即可求證；（2）先證明，得出，則，且根據，，求出，，，即可求出四邊形的周長為，（3）過C作的平行線交的延長線于G，通過證明，得出，再證明，得出，，，根據，，得出，，最后根據即可求解．【詳解】（1）解：平分，，在中，，，，，，所以和為疊似三角形；（2）解：∵，，，．，，，，且，，，，四邊形的周長為：．（3）解：如圖，過C作的平行線交的延長線于G，，，∵，，，，，，，，為中點，，又，，，，，即，，，，．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例以及題目所給“疊似三角形”的定義．25．（2023·浙江寧波·校聯考二模）四邊形ABCD和四邊形AMPN有公共頂點A，連接BM和DN．(1)如圖1，若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是正方形，當正方形AMPN繞點A旋轉角（）時，BM和DN的數量關系是________，位置關系是________；(2)如圖2，若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是矩形，且，判斷BM和DN的數量關系和位置關系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，矩形AMPN繞點A逆時針旋轉角（），當時，求線段DN的長．答案:(1)相等；垂直；(2)數量關系：；位置關系：BM⊥DN；理由見解析；(3)3或．分析：（1）先證明得到BM和DN的數量關系，同時得到．然后延長BM交AD、DN于點E、F，在和中用三角形內角和公式即可得到BM和DN的位置關系；（2）由已知條件可推出，得到BM和DN的數量關系，同時得到．然后使用同(1)中相同的方法可得到BM和DN的位置關系；（3）當時，由已知條件可證得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，此時存在兩種位置情況，故進行分類討論：①當MN位于AB上方時，由平行四邊形的性質可推出BM＝AN，再利用小問(2)的結論可求出DN的長；②當MN位于AB下方時，由平行四邊形的性質可推出BN＝AM，且能證明B、N、P在同一直線上，因此可在中使用勾股定理求出BM的長，再利用小問(2)的結論可求出DN的長．【詳解】（1）解：相等；垂直．理由如下：如圖，∵四邊形ABCD和四邊形AMPN都是正方形，∴，，，∴，即：，∴，∴BM＝DN，．延長BM交AD、DN于點E、F，在和中，∵，，且，∴，∴．（2）解：數量關系：；位置關系：BM⊥DN．理由如下：如圖，∵四邊形ABCD和四邊形AMPN都是矩形，∴∠BAD=∠MAN=90°，∴∠BAD-∠MAD=∠MAN-∠MAD，∴∠BAM=∠DAN，∵，∴，∴，∴DN=BM．延長BM交AD于點O，交DN于點H，∵，∴∠ABM=∠AND，又∵∠AOB=∠DOH，∴∠OHD=∠OAB=90°，即BM⊥DN．（3）解：∵AB=，AM=1，，∴AN=，分類討論：連結MN．①如圖，當MN位于AB上方時，在中，由勾股定理得，∴AB=MN，又∵MN∥AB，∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴BM=AN=，∵DN=BM，∴DN=3．②如圖，當MN位于AB下方時，連結BN，同理可得，四邊形ABNM是平行四邊形，∴BN=AM=1，BN∥AM，∴又，∴B、N、P在一條直線上，∴∠BPM=90°，∴BP=BN+NP=2，MP=AN=，∴在Rt△BPM中，，∵DN=BM，∴DN=．綜上所述，DN的長為3或．【點睛】本題是一道幾何綜合探究題．先從特殊的圖形探究發現規律，再拓展到一般的圖形，然后使用發現的規律來解決相應的幾何問題．在探究的過程中，重點考查了正方形、矩形、平行四邊形的性質，全等三角形、相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用等，涉及到的數學思想方法有圖形運動思想，分類討論思想等．其中，善于發現特殊圖形和一般規律是解決這一類問題的關鍵．26．（2023·浙江溫州·統考二模）如圖1，在邊長為1的正方形中，E是上的動點，連接，點F在線段上，連接．點G是的中點，以，為鄰邊構造，其中，分別交于點M，N．

(1)求的長．(2)當點F為的中點時，求的值．(3)如圖2，已知點F滿足．①若的面積等于四邊形的面積，求的值．②當的一邊所在的直線恰好經過正方形的頂點B或C時，求的值．答案:(1)(2)2(3)①②或分析：(1)利用平行線分線段成比例定理計算即可．（2）延長交于點Q，利用平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定和性質計算即可．（3）①設，則