2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第二章§2.10函數(shù)的圖象-8bf4da952c38§2.10函數(shù)的圖象課標(biāo)要求1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題．知識(shí)梳理1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)．③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)．④y＝ax(a>0，且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y＝x對(duì)稱))y＝logax(a>0，且a≠1)．(3)翻折變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右側(cè)圖象，并作其),\s\do5(關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象))y＝f(|x|)．常用結(jié)論1．左右平移僅僅是相對(duì)x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身，利用“左加右減”進(jìn)行操作．如果x的系數(shù)不是1，需要把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換．2.函數(shù)圖象自身的對(duì)稱關(guān)系(1)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．3．兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝|f(x)|為偶函數(shù)．(×)(2)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到．(×)(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)(4)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(×)2．函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋x,ex)的部分圖象大致為()答案C解析由于f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\r(e)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,2)))<0，故D錯(cuò)誤，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→0，A，B錯(cuò)誤．3．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析由于函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象是由函數(shù)y＝lnx的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到的，函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，開口向上，所以作出f(x)，g(x)的圖象如圖所示，故函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．4．函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)＝________.答案e－x＋1解析由題意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的圖象.題型一作函數(shù)圖象例1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝|x2－4x－5|；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|－1.解(1)原函數(shù)解析式可化為y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到，如圖所示．(2)y＝|x2－4x－5|的圖象可由函數(shù)y＝x2－4x－5的圖象保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分翻折到x軸上方得到，如圖所示．(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|－1，其圖象可看作由函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度得到，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥0，,2x，x<0，))其圖象可由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象保留x≥0時(shí)的圖象，然后將該部分關(guān)于y軸對(duì)稱得到，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|－1的圖象如圖所示．思維升華函數(shù)圖象的常見畫法及注意事項(xiàng)(1)直接法：對(duì)于熟悉的基本函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，直接作圖．(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，則可利用圖象變換作圖．(4)畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域．跟蹤訓(xùn)練1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝x2－2|x|－3；(2)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝x2－2|x|－3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x≥0，,x2＋2x－3，x<0，))其圖象如圖所示．(2)y＝|log2(x＋1)|，其圖象可由y＝log2x的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再保留x軸上方部分不變，將x軸下方部分翻折到x軸上方得到，如圖所示．題型二函數(shù)圖象的識(shí)別例2(1)(2024·濮陽模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(6x－6－x,|4x2－1|)的大致圖象為()答案C解析由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠±\f(1,2)))))，因?yàn)閒(－x)＝eq\f(6－x－6x,|4x2－1|)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故排除A；因?yàn)閒(1)＝eq\f(35,18)>0，故排除B；因?yàn)閒(2)＝eq\f(259,108)>eq\f(35,18)＝f(1)，故排除D.(2)(2022·全國乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[－3,3]上的大致圖象，則該函數(shù)是()A．y＝eq\f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq\f(x3－x,x2＋1)C．y＝eq\f(2xcosx,x2＋1) D．y＝eq\f(2sinx,x2＋1)答案A解析對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，與圖象不符，故排除B；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝eq\f(1,5)sin3>0，與圖象不符，故排除D；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)0<x<eq\f(π,2)時(shí)，0<cosx<1，故y＝eq\f(2xcosx,x2＋1)<eq\f(2x,x2＋1)≤1，與圖象不符，故排除C.思維升華識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法(1)利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷．(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷．(3)利用特殊函數(shù)值判斷．跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)＋1))sinx的部分圖象為()答案D解析因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)＋1))sinx，所以f(0)＝0，故排除A和B；又f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝＋1<2，故排除C，而D滿足．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－1≤x≤0，,\r(x)0<x≤1，))則下列圖象錯(cuò)誤的是()答案D解析當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－2x，表示一條線段，且線段經(jīng)過(－1,2)和(0,0)兩點(diǎn)．當(dāng)0<x≤1時(shí)，f(x)＝eq\r(x)，表示一段曲線．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．f(x－1)的圖象可由f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到，故A正確；f(－x)的圖象可由f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱后得到，故B正確；由于f(x)的值域?yàn)閇0,2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的圖象與f(x)的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中f(|x|)的圖象不正確．題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用命題點(diǎn)1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)例3(多選)(2023·聊城模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正確的有()A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增B．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝2D．函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)答案ABD解析由函數(shù)y＝lnx，x軸下方圖象翻折到上方可得函數(shù)y＝|lnx|的圖象，將y軸右側(cè)圖象翻折到左側(cè)，右側(cè)不變，可得函數(shù)y＝|ln|x||＝|ln|－x||的圖象，將函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位長度，可得函數(shù)y＝|ln|－(x－2)||＝|ln|2－x||的圖象，則函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||的圖象如圖所示．由圖可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，故A正確；函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故B正確；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，則x1，x2關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則x1＋x2＝4，故C錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確．命題點(diǎn)2利用圖象解不等式例4(2023·商丘聯(lián)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示，則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A．(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)D．(－2，－eq\r(2))∪(0，eq\r(2))∪(2，＋∞)答案C解析根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的圖象，如圖所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2>0，,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2<0，,fx<0，))解得x<－2或eq\r(2)<x<2或－eq\r(2)<x<0，故不等式的解集為(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)．命題點(diǎn)3利用圖象求參數(shù)的取值范圍例5(2023·保定聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|3x＋1－1|，x≤0，,lnx，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－a有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(0,1) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析要使函數(shù)g(x)＝f(x)－a有三個(gè)零點(diǎn)，則f(x)＝a有三個(gè)不相等的實(shí)根，即y＝f(x)與y＝a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x≤－1時(shí)，f(x)＝1－3x＋1在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，f(x)∈[0,1)；當(dāng)－1<x≤0時(shí)，f(x)＝3x＋1－1在(－1,0]上單調(diào)遞增，f(x)∈(0,2]；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)∈R.作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由y＝f(x)與y＝a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得a∈(0,1)．思維升華當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)把函數(shù)f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個(gè)單位長度，所得函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的最大值為()A．1B．2C．3D．4答案B解析把函數(shù)f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)＝ln|x＋2－a|的圖象，則函數(shù)g(x)在(a－2，＋∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)樗煤瘮?shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值為2.(2)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)＝kx與直線AB平行時(shí)，斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過點(diǎn)A時(shí)，斜率為eq\f(1,2)，故當(dāng)f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(3)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x)＝2f(x－2)，且當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝x(2－x)，若對(duì)任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x)＝2f(x－2)，且當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝x(2－x)，所以當(dāng)x∈(2,4]時(shí)，f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)，當(dāng)x∈(4,6]時(shí)，f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x)，函數(shù)部分圖象如圖所示，由4(x－4)(6－x)＝3，得4x2－40x＋99＝0，解得x＝eq\f(9,2)或x＝eq\f(11,2)，因?yàn)閷?duì)任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，所以由圖可知m≤eq\f(9,2).課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·萬州模擬)將函數(shù)y＝2(x－1)2＋3的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，所得的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為()A．y＝2(x－2)2＋6 B．y＝2x2＋6C．y＝2x2 D．y＝2(x－2)2答案C解析函數(shù)y＝2(x－1)2＋3的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝2x2＋3的圖象，再向下平移3個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝2x2的圖象．2．(2022·全國甲卷)函數(shù)y＝(3x－3－x)cosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的圖象大致為()答案A解析方法一(特值法)取x＝1，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))cos1＝eq\f(8,3)cos1>0；取x＝－1，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－3))cos(－1)＝－eq\f(8,3)cos1<0.結(jié)合選項(xiàng)知A正確．方法二令y＝f(x)，則f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函數(shù)y＝(3x－3－x)cosx是奇函數(shù)，排除B，D；取x＝1，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))cos1＝eq\f(8,3)cos1>0，排除C，故A正確．3．(2023·煙臺(tái)模擬)若某函數(shù)在區(qū)間[－π，π]上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是()A．y＝(x＋2)sin2xB．y＝eq\f(4x2＋5xsinx,|x|＋1)C．y＝eq\f(x＋2sinx,|x|＋1)D．y＝eq\f(x2＋2x,cosx＋2)答案B解析A選項(xiàng)，設(shè)f(x)＝(x＋2)sin2x，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，2x∈(π，2π)，則f(x)<0，不符合圖象，排除A；C選項(xiàng)，設(shè)f(x)＝eq\f(x＋2sinx,|x|＋1)，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，f(x)＝eq\f(x＋2sinx,x＋1)，且2<x＋2<π＋2,0<sinx≤1,1<x＋1<π＋1，所以0<(x＋2)sinx<π＋2.所以f(x)＝eq\f(x＋2sinx,x＋1)<(x＋2)sinx<π＋2<6，不符合圖象，排除C；D選項(xiàng)，設(shè)f(x)＝eq\f(x2＋2x,cosx＋2)，令f(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，不符合圖象，排除D.4．(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是()A．1－f(x) B．－f(2－x)C．f(－x)－1 D．1－f(－x)答案C解析由題圖知，將f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱后再向下平移1個(gè)單位長度即得題圖2，將f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱后可得函數(shù)y＝f(－x)的圖象，再向下平移1個(gè)單位長度，可得y＝f(－x)－1的圖象，所以題圖2所表示的函數(shù)是y＝f(－x)－1.5．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－|x|，則不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．?答案B解析不等式f(x)>0?log2(x＋1)>|x|，分別畫出函數(shù)y＝log2(x＋1)和y＝|x|的圖象，如圖所示，由圖象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是(0,0)和(1,1)，由圖象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．6．(2024·天津模擬)定義：設(shè)不等式F(x)<0的解集為M，若M中只有唯一整數(shù)，則稱M是最優(yōu)解．若關(guān)于x的不等式|x2－2x－3|－mx＋2<0有最優(yōu)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－2))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－2))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,4)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,4)))答案D解析|x2－2x－3|－mx＋2<0可轉(zhuǎn)化為|x2－2x－3|<mx－2，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的圖象，如圖所示．易知當(dāng)m＝0時(shí)不滿足題意．當(dāng)m>0時(shí)，要存在唯一的整數(shù)x0，滿足f(x0)<g(x0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≥g2，,f3<g3，,f4≥g4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3≥2m－2，,0<3m－2，,5≥4m－2，))解得eq\f(2,3)<m≤eq\f(7,4).當(dāng)m<0時(shí)，要存在唯一的整數(shù)x0，滿足f(x0)<g(x0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0≥g0，,f－1<g－1，,f－2≥g－2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3≥－2，,0<－m－2，,5≥－2m－2，))解得－eq\f(7,2)≤m<－2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,4))).二、多項(xiàng)選擇題7．(2023·宜春模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－b,x＋c2)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論一定成立的是()A．a(chǎn)<0B．b<0C．c>0D．a(chǎn)bc<0答案BCD解析由圖知f(0)＝eq\f(－b,c2)>0，所以b<0，B正確；當(dāng)x＝－c時(shí)，函數(shù)f(x)無意義，由圖知－c<0，所以c>0，C正確；令f(x)＝0，解得x＝eq\f(b,a)，由圖知eq\f(b,a)<0，又因?yàn)閎<0，所以a>0，A錯(cuò)誤；綜上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正確．8．(2023·南京模擬)若?x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x2－4x，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)f(x)為奇函數(shù)B．函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增C．f(x)min＝－4D．函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減答案ABD解析由?x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，可知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，當(dāng)x<1時(shí)，2－x>1，f(2－x)＝(2－x－2)2－4＝x2－4，則f(x)＝f(2－x)＝x2－4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x≥1，,x2－4，x<1，))作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x≥1，,x2－4，x<1))的圖象，如圖所示，所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)，(1,2)上單調(diào)遞減，f(x)min＝－4，f(x)不是奇函數(shù)，故A，B，D錯(cuò)誤，C正確．三、填空題9．把拋物線y＝2(x－1)2＋1向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到的拋物線解析式為____________．答案y＝2(x＋1)2＋3解析把拋物線y＝2(x－1)2＋1向左平移2個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝2(x－1＋2)2＋1＝2(x＋1)2＋1的圖象，再向上平移2個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝2(x＋1)2＋1＋2＝2(x＋1)2＋3的圖象．10．若函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－2,x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a＝________.答案1解析f(x)＝eq\f(ax－a＋a－2,x－1)＝a＋eq\f(a－2,x－1)，關(guān)于點(diǎn)(1，a)對(duì)稱，故a＝1.11．已知偶函數(shù)y＝f(x＋1)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝f(x－1)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________．答案(－∞，2]解析因?yàn)榕己瘮?shù)y＝f(x＋1)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以y＝f(x＋1)在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(x－1)＝f((x－2)＋1)，則函數(shù)f(x－1)的圖象是由函數(shù)f(x＋1)的圖象向右平移2個(gè)單位長度得到的，所以函數(shù)f(x－1)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，2]．12．(2023·赤峰模擬)若函數(shù)f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值是－1，最大值是3，則n－m的最大值為________．答案4＋eq\r(2)解析作出函數(shù)f(x)＝x(|x|－2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－2，x≥0，,x－x－2，x<0))的圖象，如圖所示，當(dāng)x≥0時(shí)，令x(x－2)＝3，得x1＝－1(舍)，x2＝3，當(dāng)x<0時(shí)，令x(－x－2)＝－1，得x3＝－1－eq\r(2)，x4＝－1＋eq\r(2)(舍)，結(jié)合圖象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－eq\r(2))＝4＋eq\r(2).四、解答題13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－2|，x≤0，,\f(4,x)，x>0.))(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)討論方程f(x)－m＝0根的情況．解(1)當(dāng)x≤0時(shí)，0<2x≤1，則f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．(2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x)，則方程f(x)－m＝0的根的個(gè)數(shù)即為直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示．當(dāng)m≤0時(shí)，方程f(x)－m＝0無實(shí)根；當(dāng)0<m<1或m≥2時(shí)，方程f(x)－m＝0只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)1≤m<2時(shí)，方程f(x)－m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．14．(2024·北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)．(1)若a∈Z，且f(4)>0，求a的最大值；(2)當(dāng)a＝3時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；(3)若對(duì)任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，求a的取值范圍．解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)，所以f(4)＝24－4a＋1>0，即a<eq\f(17,4)，又a∈Z，所以a的最大值為4.(2)當(dāng)a＝3時(shí)，f(x)＝2x－3x＋1，由f(x)＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1，作出函數(shù)y＝2x與y＝3x－1的圖象，如圖所示．由圖可知y＝2x與y＝3x－1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)閒(1)＝2－3＋1＝0，f(3)＝23－3×3＋1＝0，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1,3.(3)因?yàn)閷?duì)任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，所以2x>ax－1在(－∞，1)上恒成立，即當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，函數(shù)y＝2x的圖象恒在直線y＝ax－1的上方，作出函數(shù)y＝2x，x∈(－∞，1)與y＝ax－1的大致圖象，如圖所示．則a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3，即a的取值范圍為[0,3]．15.(多選)(2023·濱州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長為2的正方形ABCD沿x軸滾動(dòng)(無滑動(dòng)滾動(dòng))，點(diǎn)D恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)B(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，則對(duì)函數(shù)y＝f(x)的判斷正確的是()A．函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)B．對(duì)任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇0,2eq\r(2)]D．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[6,8]上單調(diào)遞增答案BCD解析由題意得，當(dāng)－4≤x<－2時(shí)，點(diǎn)B的軌跡是以(－2,0)為圓心，2為半徑的eq\f(1,4)圓；當(dāng)－2≤x<2時(shí)，點(diǎn)B的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2eq\r(2)為半徑的eq\f(1,4)圓；當(dāng)2≤x<4時(shí)，點(diǎn)B的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的eq\f(1,4)圓，如圖所示．此后依次重復(fù)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，由圖象可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x)以8為周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正確；由圖象可知，f(x)的值域?yàn)閇0,2eq\r(2)]，故C正確；由圖象可知，f(x)在[－2,0]上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)以8為周期，所以f(x)在[6,8]上的圖象和在[－2,0]上的圖象相同，即f(x)在[6,8]上單調(diào)遞增，故D正確．16．(2024·撫順聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－a－5，x≤0，,lnx2－4x－a，x>0))恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－5，－4)解析由f(x)＝0，得a＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－5，x≤0，,x2－4x－1，x>0，))作出函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－5，x≤0，,x2－4x－1，x>0))的圖象，如圖所示．由圖可知，當(dāng)a∈(－5，－4]時(shí)，直線y＝a與函數(shù)g(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，從而f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，但x2－4x－a>0對(duì)x>0恒成立，則a<－4，故a∈(－5，－4)．§2.9指、對(duì)、冪的大小比較重點(diǎn)解讀指數(shù)與對(duì)數(shù)是高中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是高考必考考點(diǎn)，其中指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的互化、運(yùn)算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．題型一直接法比較大小命題點(diǎn)1利用函數(shù)的性質(zhì)例1設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x為增函數(shù)，所以，即a<b，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝為增函數(shù)，所以，即b<c，故c>b>a.命題點(diǎn)2找中間值例2(2023·昆明模擬)設(shè)a＝，b＝lneq\r(2)－eq\f(1,3)ln3，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．c>a>bC．c>b>a D．a(chǎn)>b>c答案B解析因?yàn)閎＝lneq\r(2)－eq\f(1,3)ln3＝eq\f(ln2,2)－eq\f(ln3,3)＝eq\f(3ln2－2ln3,6)＝eq\f(ln\f(8,9),6)<eq\f(ln1,6)＝0，而a＝>0，c＝>0，所以b最小．又lna＝＝eq\f(1,π)<eq\f(1,e)，lnc＝＝eq\f(1,e)lnπ>eq\f(1,e)，所以lnc>lna，即c>a，因此c>a>b.命題點(diǎn)3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc答案C解析取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝eq\f(1,4)，則，∴ac>bc，故A錯(cuò)誤；abc＝4×，bac＝2×，∴abc>bac，故B錯(cuò)誤；logac＝log4eq\f(1,4)＝－1，logbc＝log2eq\f(1,4)＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯(cuò)誤．思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對(duì)數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進(jìn)而可估計(jì)log23是一個(gè)1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·龍巖模擬)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a答案C解析由y＝0.3x為減函數(shù)，得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1，由y＝log0.3x為減函數(shù)，得c＝log0.33<log0.31＝0，∴c<a<b.(2)(2023·哈爾濱模擬)已知a＝sineq\f(5π,6)，b＝lneq\r(3)，c＝20.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．a(chǎn)<c<b答案A解析因?yàn)閍＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，且b＝lneq\r(3)>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)＝a，b＝lneq\r(3)<lne＝1，且c＝20.2>1，所以a<b<c.題型二利用指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡比較大小命題點(diǎn)1作差法例4(1)設(shè)a＝log62，b＝log123，c＝log405，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a(chǎn)<c<b答案D解析∵eq\f(1,b)＝log312＝1＋log34＝1＋eq\f(lg4,lg3)＝1＋eq\f(2lg2,lg3)，eq\f(1,c)＝log540＝1＋log58＝1＋eq\f(lg8,lg5)＝1＋eq\f(3lg2,lg5)，∴eq\f(1,b)－eq\f(1,c)＝eq\f(2lg2,lg3)－eq\f(3lg2,lg5)＝eq\f(2lg2×lg5－3lg2×lg3,lg3×lg5)＝eq\f(lg22lg5－3lg3,lg3×lg5)＝eq\f(lg2lg25－lg27,lg3×lg5)<0，∴eq\f(1,b)<eq\f(1,c)，又b>0，c>0，∴b>c；∵eq\f(1,c)＝1＋log58<1＋log5eq\r(125)＝1＋＝eq\f(5,2)，∴c>eq\f(2,5)，∵eq\f(1,a)＝log26＝1＋log23>1＋log2eq\r(8)＝1＋＝eq\f(5,2)，∴a<eq\f(2,5)，∴a<c.∴a<c<b.(2)(2024·宿州模擬)已知3m＝4，a＝2m－3，b＝4m－5，則()A．a(chǎn)>0>b B．b>0>aC．a(chǎn)>b>0 D．b>a>0答案B解析由3m＝4，得m＝log34，∵log23－log34＝eq\f(lg3,lg2)－eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(lg32－lg2×lg4,lg2×lg3)>eq\f(lg32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2＋lg4,2)))2,lg2×lg3)＝eq\f(4lg32－lg82,4lg2×lg3)＝eq\f(lg92－lg82,4lg2×lg3)>0，∴l(xiāng)og23>log34，log34－log45＝eq\f(lg4,lg3)－eq\f(lg5,lg4)＝eq\f(lg42－lg3×lg5,lg3×lg4)>eq\f(lg42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3＋lg5,2)))2,lg3×lg4)＝eq\f(4lg42－lg152,4lg3×lg4)＝eq\f(lg162－lg152,4lg3×lg4)>0，∴l(xiāng)og34>log45，∴b＝4m－5＝－5＝0，a＝2m－3＝－3＝0，∴b>0>a.命題點(diǎn)2作商法例5已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b答案B解析由eq\f(b,c)＝eq\f(log53,log85)＝eq\f(ln3×ln8,ln52)<eq\f(ln3＋ln82,4ln52)＝eq\f(ln\r(24)2,ln52)<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8－0.4，∴b<c<a.命題點(diǎn)3乘方法例6已知a＝log35，b＝log57，c＝eq\f(4,3)，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b答案D解析因?yàn)?3＝125>＝81，所以5>，所以log35>＝eq\f(4,3)，即a>c.因?yàn)?3＝343<＝625，所以7<，所以log57<＝eq\f(4,3)，即b<c.所以a>c>b.命題點(diǎn)4對(duì)數(shù)法例7已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2023)))2023，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2024)))2024，則a，b的大小關(guān)系為________________．答案a<b解析構(gòu)建函數(shù)f(x)＝xlneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(x>0)，則f′(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))－eq\f(1,1＋x)，令g(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))－eq\f(1,1＋x)(x>0)，則g′(x)＝－eq\f(1,x1＋x2)<0，可知f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又當(dāng)x→＋∞時(shí)，f′(x)→0，所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(2024)>f(2023)，即a<b.思維升華求同存異法比較大小如果兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的形式．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，則a，b，c的大小關(guān)系是(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a答案B解析因?yàn)閍＝2100，所以lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，因?yàn)閎＝365，所以lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，因?yàn)閏＝930＝360，所以lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，所以b>a>c.(2)已知x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．3y<2x<5z B．2x<3y<5zC．3y<5z<2x D．5z<2x<3y答案A解析令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，則x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以eq\f(2x,3y)＝eq\f(2log2k,3log3k)＝eq\f(2lgk,lg2)·eq\f(lg3,3lgk)＝eq\f(lg9,lg8)>1，則2x>3y，eq\f(2x,5z)＝eq\f(2log2k,5log5k)＝eq\f(2lgk,lg2)·eq\f(lg5,5lgk)＝eq\f(lg25,lg32)<1，則2x<5z.所以3y<2x<5z.課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．b>a>c答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x為減函數(shù)，則0<a＝<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))x為增函數(shù)，則b＝>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))0＝1，因?yàn)楹瘮?shù)y＝為減函數(shù)，則c＝＝0，因此b>a>c.2．(2021·新高考全國Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.3．設(shè)a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b<c<a B．c<b<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c答案A解析c＝2－log32＝log39－log32＝log3eq\f(9,2)>log34＝2log32＝b，即c>b，a－c＝log23＋log32－2>2eq\r(log23×log32)－2＝2－2＝0，所以a>c，所以b<c<a.4．(2023·宣城模擬)若3x＝4y＝10，z＝logxy，則()A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y答案A解析因?yàn)?x＝4y＝10，則x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2，即1<y<2，所以x>y>1，從而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5．已知a＝log32，b＝log43，c＝sineq\f(π,6)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞c＞a D．b＞a＞c答案D解析c＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝log3x，y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，b＝log43>log42＝eq\f(1,2).a－b＝eq\f(ln2,ln3)－eq\f(ln3,ln4)＝eq\f(ln2×ln4－ln32,ln3×ln4)，因?yàn)閘n2>0，ln4>0，則ln2＋ln4>2eq\r(ln2×ln4)?ln2×ln4<eq\f(1,4)×(ln8)2<eq\f(1,4)×(ln9)2＝(ln3)2.故a<b，綜上，b>a>c.6．已知log4m＝eq\f(9,20)，log12n＝eq\f(1,4)，0.9p＝0.8，則正數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為()A．p>m>n B．m>