第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年重慶市部分學校高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z?|=A.22 B.1 C.22.7.8，7.9，8.1，8.1，8.3，8.5，8.7，8.9，9.0，9.0，9.1，9.1，9.4的第60百分位數(shù)是(

)A.8.7 B.8.9 C.9.0 D.9.13.在△ABC中，記內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若c2?ab=(a?b)2，則A.π6 B.π4 C.π34.下列說法正確的是(

)A.若空間四點共面，則其中必有三點共線

B.若空間四點中任意三點不共線，則此四點共面

C.若空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面

D.若空間四點不共面，則任意三點不共線5.某航空公司銷售一款盲盒機票，包含哈爾濱、西安、蘭州、濟南、延吉5個城市，甲乙兩人計劃“五一”小長假前分別購買上述盲盒機票一張，則兩人恰好到達城市相同的概率為(

)A.15 B.25 C.356.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若atanB=btanA，cosA+cosB=1，則△ABC是(

)A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，且AE=23AB,A.?2 B.?3 C.?4 D.?58.已知正方體ABCD?A1B1C1D1，F(xiàn)為BB1的中點，過A1作平面A.六邊形 B.五邊形 C.四邊形 D.三角形二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.一個不透明袋中裝有2個紅球、2個白球(每個球標有不同的編號，除顏色和編號外均相同)，從中不放回依次抽取2個球，記事件A為“第一次取的球為紅球”，事件B為“第二次取的球為白球”，則(

)A.P(A)=P(B) B.A，B為對立事件

C.A，B為相互獨立事件 D.抽取的2個球中至多1個白球的概率為510.已知復數(shù)z1=2+3i，z2=3?4i，z1，z2在復平面內對應的點分別為ZA.|z1+z2|=|z1|+|z2|

B.|Z1Z2|=52

11.對棱相等的四面體被稱為等腰四面體，現(xiàn)有一等腰四面體ABCD，AB=a，AD=b，AC=c，則下列說法正確的是(

)A.該四面體各面均是全等三角形

B.該等腰四面體的面可以是直角三角形

C.若E為AB中點，F(xiàn)為CD中點，則EF⊥AB，EF⊥CD

D.該四面體的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.放風箏是一項有益的運動，現(xiàn)對高一和高二共1500名同學進行按比例分層抽樣調查，統(tǒng)計近兩年放過風箏的人數(shù)，有如下數(shù)據(jù)：高一學生抽取有效樣本40，放過風箏的人數(shù)為19；高二學生抽取有效樣本60，放過風箏的人數(shù)為m，由此估計兩個年級近兩年放過風箏的人數(shù)約為540，則m=______．13.已知復數(shù)z1，z2分別為方程x2?2x+6=0的兩根，則z14.已知a，b，c為單位向量，且|2a?b|=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

2023年冬季“爾濱”爆火，某咨詢公司開展評價統(tǒng)計，以網(wǎng)絡問卷、現(xiàn)場掃碼問卷、電話回訪、短信等方式進行，得到若干游客的評價得分如圖頻率分布直方圖：

(1)估計評分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，中位數(shù)(精確到0.1)；

(2)按比例從[60,80)中抽取4人，進行不滿意情況電話回訪，再從這4人中隨機抽取2人發(fā)送禮物，求2人不在同一評分區(qū)間的概率．16.(本小題15分)

在同一平面內，OA,OB的夾角為θ，且2|OA|=|OB|=2,OP=(1?t)OA,OQ=tOB，當t取t0時，|PQ|取最小值，OC=OP+17.(本小題15分)

如圖，點P為邊長為1的菱形ABCD所在平面外一點，且△PCD為正三角形，∠PCB=π4，四邊形ABCD的面積為22,AC>BD，點M，N分別為DP和AB的中點．

(1)求證：MN/?/平面PBC；

(2)求證：平面PBC⊥18.(本小題17分)

在△ABC中，已知點E滿足BE=12EC,∠BAE=π6．

(1)若AE=1，AC=2AB，求AC的長度；

19.(本小題17分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，A1在底面ABC內的射影為△ABC的外心O，且∠A1AB=60°，AB=AC，BC=a，三棱柱的側面積為23a2．

(1)求證：AA1

參考答案1.C

2.B

3.C

4.D

5.A

6.B

7.B

8.C

9.AD

10.BD

11.ACD

12.17

13.?2

14.1315.解：(1)平均數(shù)約為65×0.05+75×0.15+85×0.55+95×0.25=85，

因為0.05+0.15=0.2<0.5，0.05+0.15+0.55=0.75>0.5，

所以中位數(shù)落在[80,90)內，設中位數(shù)為x，

則有0.2+(x?80)×0.055=0.5，

解得x≈85.5，

即中位數(shù)約為85.5；

(2)按比例，從[60,70)范圍內抽取1人，記為a，從[70,80)范圍內抽取3人，記為b1，b2，b3，

從這4人中抽取2人，共C42=4×32=6個基本事件，

其中16.解：(1)證明：因為2|OA|=|OB|=2,OP=(1?t)OA,OQ=tOB，

OC=(1?t)OA?tOB，

有OC?OA=t(OB?OA),AC=tAB，所以A，B，C三點共線；

(2)根據(jù)若t0=27，可設OA17.證明：(1)取PC的中點E，連接BE，則ME//DC且ME=12DC，

又NB//DC且NB=12DC，

所以NB//ME且NB=ME，

所以四邊形MEBN為平行四邊形，

則MN/?/BE，

又MN不屬于平面PBC，BE?平面PBC，

所以MN/?/平面PBC；

(2)過P作PQ⊥BC于Q，連接DQ，由∠PCB=π4，得PQ=CQ．

因為菱形ABCD的面積為22，所以點D到AB的距離d=22，

則sin∠DAB=22，由AC>BD、0<∠DAB<π，

得∠DAB=π4，即∠DCB=π4，

所以∠DCB=∠PCB，又CD=PC，QC=QC，所以△QCD≌△QCP，

得PQ=DQ，∠DQC=∠PQC=π2，得CQ=DQ，DQ⊥BC，

在△DQC中．∠DCQ=∠CDQ=π4，

所以∠DQC=π2，則DQ=22，

因為底面ABCD是邊長為1的菱形，△PCD為正三角形，所以CD=PD=1，得PQ=DQ=22，

18.解：(1)設∠AEB=α，∠AEC=β，則有cosα+cosβ=0，

由余弦定理可得：1+BC29?AB22×1×BC3+1+4BC29?4AB22×1×2BC3=0，解得9+2BC2?18AB2=0，

在△ABE中，由余弦定理可得：BC29=1+AB2?2×AB×1×32，解得BC29=1+AB2?3AB，

聯(lián)立方程組：9+2BC2?18AB19.解：(1)證明：連結OA，交BC于點D，D為BC中點，

因為O為A1在平面ABC

內的射影，所以A1O⊥BC，

又AB=AC，所以AO⊥BC，

所以BC⊥平面A1OA，因為AA1?平面A1OA，

所以AA1⊥BC；

(2)連結BO，CO，由O為△ABC的外心，

所以AO=BO=CO，又A1O⊥平面ABC，A1O為公共邊，

所以△A1OA?△A1OB?△A1OC，

所以

A