第16講成比例線段模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．知道線段的比的概念，會計算兩條線段的比；2．理解成比例線段的概念，并掌握成比例線段的判定方法；3.理解并掌握比例的基本性質和等比性質；4．能運用比例的性質進行相關計算，能通過比例變形解決一些實際問題。知識點一線段的比線段的比：求線段的比時，首先要檢查單位是否一致，不一致的應先統一單位，再求比.知識點二成比例線段1.成比例線段概念：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．2.判斷四條線段是否成比例的方法：（1）把四條線段按從小到大順序排好，計算前兩條線段的比和后兩條線段的比，看是否相等做出判斷；（2）把四條線段按從小到大順序排好，計算前后兩個數的積與中間兩個數的積，看是否相等作出判斷.知識點三比例的性質（1）基本性質：若a:b=c:d，則ad=bc；（2）合比性質：如果如果（3）等比性質：如果（4）比例中項：若a:b=b:c，則=ac，b稱為a、c的比例中項．要點：通常四條線段a,b,c,d的單位應該一致，但有時為了計算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以。考點一：求線段的比例1．（23-24九年級上·安徽六安·期中）若線段，，則（

）A． B．5 C． D．2【答案】B【分析】本題考查的是線段比例問題，解題的關鍵是要統一單位再代入求值．【詳解】解：，，故選：B．【變式1-1】（23-24九年級上·河北邢臺·階段練習）若線段，，則（

）A．2 B． C． D．50【答案】C【分析】先把轉化為，然后根據線段的比的意義，把，直接代入，即可求出的值．【詳解】解：∵，，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了線段的比的意義：在同一單位下，兩條線段長度的比，叫做這兩條線段的比．注意線段的比是一個沒有單位的正數．【變式1-2】（22-23九年級上·廣西賀州·期末）如果線段，那么的值為（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據線段的比的定義，按照題中條件直接求解即可得到結論．【詳解】解：∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查線段的比，熟記線段的比的定義是解決問題的關鍵．【變式1-3】（23-24九年級上·安徽六安·期中）如果線段，，那么的值為．【答案】8【分析】單位統一后根據比的定義進行求解即可．【詳解】解：∵線段，，∴，答案為：8【點睛】此題考查了比，熟練掌握比的前項和后項是解題的關鍵．考點二：由比例尺求距離例2.（2023九年級上·廣東茂名·競賽）在比例尺為的地圖上量得A、B兩地相距，則A、B兩地的實際距離是．【答案】【分析】本題主要考查了比例尺的應用，根據比例尺圖上距離實際距離進行求解即可．【詳解】解：，∴A、B兩地的實際距離是，故答案為：．【變式2-1】（23-24九年級上·上海松江·階段練習）已知，在一張比例尺為的地圖上，測得、兩地的距離為4厘米，則、兩地的實際距離為．【答案】/20千米【分析】本題考查了比例線段，能夠根據比例尺的定義正確地列出比例式是解題的關鍵，注意單位之間的轉換．根據比例尺圖上距離：實際距離，列比例式即可求得實際距離．【詳解】解：設、兩地間的實際距離為，由題意，得：，解得．，即、兩地的實際距離為．故答案為：．【變式2-2】（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）在比例尺為的揚州旅游地圖上，某條道路的長為，則這條道路實際長．【答案】【分析】本題考查了成比例線段，設這條道路的實際長度為，則：，解方程，最后統一單位，即可求解．【詳解】解：設這條道路的實際長度為，則：．解得，這條道路的實際長度為．故答案為：．【變式2-3】（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）在此例尺為的地圖上，如果A，B兩地的距離是10厘米，那么這兩地的實際距離是千米．【答案】5【分析】此題主要考查圖上距離、際距離和比例尺之間的關系，解答時要注意單位的換算．根據比例尺的含義求解即可．【詳解】解∶∵比例尺為，，兩地的距離是10厘米，設，兩地的實際距離為，∴，∴，故答案為：5考點三：判斷四邊是否成比例線段例3.（2024九年級下·全國·專題練習）下列各組中的四條線段成比例的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了成比例線段，若，則a，b，c，d成比例，據此進行計算判斷即可．【詳解】解：A、，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意；B、，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意；C、，故此選項中四條線段成比例，符合題意；D、，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意，故選：C．【變式3-1】（23-24九年級上·海南海口·階段練習）下面四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查比例線段，理解成比例線段的概念，判斷四條線段是否成比例，必須將所給線段按照一定的順序重排，通常按照從小到大即可，在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，中間兩條相乘，看它們的積是否相等即可確定．【詳解】解：A、按照從小到大排列：，，，，則，故本選項符合題意；B、按照從小到大排列：，則，故本選項不符合題意；C、按照從小到大排列：，則，故本選項不符合題意；D、按照從小到大排列：，則，故本選項不符合題意；故選：A．【變式3-2】下列四組線段中，不是成比例線段的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了成立比例的線段，在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．根據成比例線段的定義逐項分析即可.【詳解】解：A.∵，故選項A中的線段成比例；B.∵，故選項B中的線段成比例；C.∵，故選項C中的線段不成比例；D.∵，故選項D中的線段成比例；故選：C．【變式3-3】（22-23九年級下·甘肅張掖·階段練習）下列長度的四條線段中，不能成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了成比例線段，根據成比例的線段的定義逐一判斷即可求解，熟記：“在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段”是解題的關鍵．【詳解】解：A、，則四條線段能成比例，故不符合題意；B、，則四條線段能成比例，故不符合題意；C、，則四條線段不能成比例，故符合題意；D、，則四條線段能成比例，故不符合題意．故選：C．考點四：已知成比例線段求其中一邊長例4.（23-24九年級上·江蘇泰州·期末）已知線段，，如果線段是線段的比例中項，那么線段等于．【答案】4【分析】本題主要考查了成比例線段，根據成比例線段的定義得到，據此可得答案．【詳解】解：∵線段是線段的比例中項，線段，，∴，∴或（舍去），故答案為：4．【變式4-1】（23-24九年級上·陜西渭南·階段練習）線段、、、是成比例線段，，，，則的長為．【答案】9【分析】本題考查線段成比例的問題,解方程等知識點，根據線段成比例，可以列出方程，代入數值求解即可，根據線段成比例的性質，列方程求解即可．【詳解】∵線段成比例線段，∴，∵，∴解得．故答案為：9．【變式4-2】（23-24九年級上·遼寧丹東·階段練習）四條線段，，，成比例，其中，，，則線段的長為．【答案】【分析】本題考查了比例線段的定義．由四條線段a、b、c、d成比例，根據比例線段的定義，即可求解．【詳解】解：∵四條線段，，，成比例，，，，∴解得：故答案為：．【變式4-3】（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習）已知線段a、b、c，其中c是a、b的比例中項，若，，則線段．【答案】6【分析】本題主要考查線段的比例中項定義，根據比例中項的定義，列出方程，代值計算即可．【詳解】解；∵c是a、b的比例中項，∴，∵，，∴，∴（負值舍去），故答案為：6．考點五：利用比例的性質進行求解例5.（23-24九年級上·遼寧丹東·期中）若，a，c不為零則下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查比例性質的變形，根據比例的性質，對所給選項進行整理，找到不一定成立的選項即可【詳解】解：A.∵，∴，正確，不符合題意；B.∵，∴，∴，正確，不符合題意；C.∵，∴，∴，∴，∴，正確，不符合題意；D.當時，原式不成立，故選項D符合題意，故選：D【變式5-1】（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據比例式的性質得出的關系，分別代入四個選項即可得出答案，也可用特殊值法求出；此題主要考查了比例式的性質，利用特殊值法進行排除更為簡單，也是數學中的重要思想．【詳解】解：設A、，該選項成立；B、，該選項成立；C、，該選項成立；D、，該選項不成立；故選：D．【變式5-2】（2024·寧夏銀川·一模）已知，則的值是．【答案】【分析】本題考查比例的性質，設，代入原式即可得出答案．【詳解】解：設，，則原式．故答案為：．【變式5-3】（22-23八年級上·新疆烏魯木齊·期中）已知，則．【答案】4【分析】本題考查了利用等比性質和等式的性質化簡求分式的值，明確等比性質和等式的性質是解題的關鍵．設，利用等比性質和等式的性質化簡，可得，，再代入要求得式子計算即可．【詳解】解：設，則，，，∴，故答案為：4．考點六：利用比例中的等比性質進行求解例6.（23-24九年級上·貴州六盤水·階段練習）已知，且．(1)的值為______；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)8【分析】此題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是本題的關鍵．（1）根據等比性質求解即可；（2）根據給出的條件得出，，，再代入，然后進行整理即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：；（2）∵，且，∴，，，∵，則，∴的值為8．【變式6-1】（23-24九年級上·寧夏銀川·期中）求值：(1)已知，求；(2)已知，且，求的值．【答案】(1)(2)-1【分析】本題考查比例的性質，熟練掌握比例的性質是解決此題的關鍵．（1）先由，可設，進而代入待求式中計算即可；（2）先由，且，得，再代入所求的式子中計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴設，∴；（2）解：∵，且，∴,∴．【變式6-2】（22-23九年級上·寧夏銀川·期中）求值：(1)已知，求的值；(2)已知，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據已知條件得到，然后把代入所求式子中進行求解即可；（2）根據比例的性質得到，再把代入求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了比例的性質，熟知比例的性質是解題的關鍵，一般地，若有，則．【變式6-3】（22-23九年級上·江蘇南京·階段練習）我們知道：選用同一長度單位量得兩條線段，的長度分別是，，那么就說兩條線段的比，如果把表示成比值，那么或．請完成以下問題：(1)四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．(2)已知，那么成立嗎？請說明理由．(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)如果，那么成立，詳見解析(3)或【分析】（1）根據成比例線段的定義即四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段，解答即可．（2）根據等式的性質，或設比值k的方法求解即可．（3）分和兩種情況求解．【詳解】（1）根據題意，得四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．故答案為：．（2）解法1：如果，那么成立．理由：，，∴，．解法2：如果，那么成立．理由：，，即，．（3）①當時，，，，為其中任何一個比值，即；②時，．所以或．【點睛】本題考查了比例的性質，等比的性質，熟練掌握性質并靈活運用解題是解題的關鍵．一、單選題1．（24-25九年級上·江蘇蘇州·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了比例的性質，利用內項之積等于外項之積進行判斷即可，熟練掌握比例的性質是解此題的關鍵．【詳解】解：，，，故選：D．2．（23-24九年級上·云南曲靖·階段練習）在一幅比例尺為的地圖上，量得某段高速公路長5.5厘米，則這段高速公路的實際長度是（

）A．55米 B．550米 C．5500米 D．55千米【答案】D【分析】本題主要考查了比例線段，、比例尺的定義等知識點，根據比例尺的定義列出算式是解題的關鍵．根據比例尺的定義列式計算，然后再把單位換算為千米即可．【詳解】解：這段高速公路的實際長度是．故大橋的實際長度是55千米．故選：D．3．（23-24九年級上·浙江紹興·期末）下列各組數中，不成比例的是（

）A． B．1，2，3，4 C． D．【答案】B【分析】本題考查了比例線段：對于四條線段、、、，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如

（即，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，由此逐項判斷即可．【詳解】解：A.，成比例，故不符合題意；B.，不成比例，故符合題意；C.，成比例，故不符合題意；D.，成比例，故不符合題意．故選：B．4．（23-24九年級上·四川達州·期末）若，且，則的值為（

）A．10 B．4 C． D．【答案】B【分析】本題考查了比例的基本性質，根據題意得到，，，再代入，即可求解．【詳解】解：，，，，又，，，故選：B．5．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）已知，則（

）A．1 B． C．1或 D．2【答案】C【分析】本題考查了比例的性質，熟悉等比性質是解題的關鍵．分兩種情況進行討論：①當時，根據等比性質計算得出結果；②當時，則，代入計算得出結果．【詳解】解：分兩種情況：①當時，得；②當時，則，；綜上所述，k的值為1或．故選：C．二、填空題6．（2024·浙江·三模）已知則代數式的值為．【答案】【分析】本題考查比例的性質，先由題意得到，然后代入代數式化簡解題即可．【詳解】解：∵∴，∴，故答案為：．7．（23-24九年級上·山東青島·期末）已知，則的值是．【答案】/0.8【分析】本題主要考查了比例的性質，利用“設法”表示出、、是解題的關鍵．設比值為，然后用表示出、、，再把、、的值代入代數式進行計算即可得到答案．【詳解】解：設，則有，，，∴．故答案為：．8．（23-24九年級上·四川成都·階段練習）若，則．【答案】或2【分析】本題考查的是比例的基本性質，分兩種情況討論：當，當，再進行計算即可．掌握“比例的等比性質”是解本題的關鍵．【詳解】解：若，則，，，即：則，此時，，若，則，∴或2．故答案為：或2．9．（23-24九年級上·遼寧丹東·階段練習）已知，且，若，則．【答案】【分析】本題考查了比例的性質，代數式求值，由可得，，，再根據可得，即可求解，掌握比例的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．10．（23-24九年級上·四川成都·期中）已知a，b，c為非零實數，且滿足，則一次函數的圖像一定經過象限．【答案】第一、第四【分析】本題考查了比例的性質、一次函數圖象與系數的關系．直線所在的位置與、的符號有直接的關系．時，直線必經過一、三象限；時，直線必經過二、四象限；時，直線與軸正半軸相交；時，直線過原點；時，直線與軸負半軸相交．根據比例的性質求得值，然后根據一次函數圖象與系數的關系得出結論．【詳解】解：由得：，①，②，③由①②③，得，（1）當時，；一次函數的解析式是：，該函數經過第一、三、四象限；（2）當時，，④將④代入②，得；又，，，一次函數的解析式是：，該函數經過第一、二、四象限；綜上所述，一次函數一定經過的象限是第一、四象限．故答案為：第一、第四．三、解答題11．（23-24九年級上·浙江杭州·期末）已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．（1）根據比例的性質進行計算，即可解答；（2）利用（1）的結論，以及設k法進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）∵；∴設，∴．12．（23-24九年級上·上海·期中）已知線段、、滿足，且，求線段、、的長．【答案】【分析】此題主要