第18講一次函數(shù)的應用模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系；2．掌握單個一次函數(shù)圖象的應用及兩個一次函數(shù)圖象的應用；3．能利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際數(shù)學問題。知識點一一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系1）一元一次方程可轉(zhuǎn)化為一般式：ax+b=02）一次函數(shù)為：y=kx+b的形式；當y=0時，一次函數(shù)x的值就是一元一次方程的解。y=0時x的值，即一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標，就是對應一元一次方程的解3）每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.知識點二一次函數(shù)的實際應用1）數(shù)學建模的一般思路數(shù)學建模的關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實際情景通過數(shù)學轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù)模型.2）正確認識實際問題的應用在實際生活問題中，如何應用函數(shù)知識解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.注：要注意結(jié)合實際，確定自變量的取值范圍，這是應用中的難點，也是中考的熱門考點.3）選擇最簡方案問題分析問題的實際背景中包含的變量及對應關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學模型在分析解決實際問題中的重要作用.考點一：已知直線與坐標軸交點求一元一次方程的解例1．（2023春·八年級課時練習）直線過點，，則關(guān)于x的方程的解為．【變式1-1】（2024·陜西·一模）已知關(guān)于的方程的解是，則一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象可能是（

）A．B．C．D．【變式1-2】（2023春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸交于點，則關(guān)于x的方程的解為．

【變式1-3】（2023秋·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）一次函數(shù)中，與的部分對應值，如下表：那么，一元一次方程的解是．01202考點二：利用圖象法解一元一次方程例2.（2023春·河北石家莊·八年級校考期中）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題常用的思想方法．如圖，直線與直線相交于點．根據(jù)圖像可知，關(guān)于的方程的解是（）

A． B． C． D．【變式2-1】（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，則方程的解是（

）

A． B． C． D．【變式2-2】（23-24八年級下·陜西商洛·階段練習）如圖，一次函數(shù)（且為常數(shù)）與的圖像相交于點，且點的縱坐標為7，則關(guān)于的方程的解是（

）

A． B． C． D．【變式2-3】（2023春·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，根據(jù)圖像可知，關(guān)于的方程的解是（

）

A．或 B． C． D．考點三：一次函數(shù)的應用——分配方案問題例3.（2024·河南周口·三模）某家用電器廠生產(chǎn)一種電飯煲和一種電熱水壺，電飯煲每個定價200元，電熱水壺每個定價60元．廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供以下兩種優(yōu)惠方案：方案一：每買一個電飯煲就贈送一個電熱水壺；方案二：電飯煲和電熱水壺都按定價的付款．某廚具店計劃購進80個電飯煲和x個電熱水壺．設選擇方案一需付款元，選擇方案二需付款元．(1)分別寫出，關(guān)于x的函數(shù)表達式．(2)當時．①請通過計算說明該廚具店選擇上面哪種方案更省錢．②若兩種優(yōu)惠方案可以同時使用（使用方案一優(yōu)惠過的商品不能再使用方案二優(yōu)惠，使用方案二優(yōu)惠過的商品不能再使用方案一優(yōu)惠），請你設計出更省錢的購買方案，并計算出該方案所需費用．【變式3-1】（2024·陜西寶雞·三模）“生活即教育，行為即課程”．某校將勞動教育融入立德樹人全過程．學校給每個班劃分一塊地供學生“種菜”，某班現(xiàn)要購買肥料對該地施肥，該班班長與農(nóng)資店店主商量后，店主給出了兩種購買方案（如表），且都送貨上門．方案運費肥料價格方案一12元3元方案二0元3.6元若該班購買千克肥料，按方案一購買的付款總金額為元，按方案二購買的付款總金額為元．(1)請分別寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該班計劃用180元錢購買肥料，請問該班選擇哪種購買方案購買的肥料較多？【變式3-2】（2024·安徽淮北·三模）某企業(yè)計劃購進一批智能機器人，總價在20萬元以上，商家推出兩種分期付款購買機器人的活動：①首付款滿20萬元，減2萬元；②首付款滿15萬元，分期交付的余款可享受八折優(yōu)惠．(1)該企業(yè)選中的智能機器人的總價為x萬元，采取哪種付款方式比較省錢？請說明理由；(2)已知購買智能機器人的總價低于50萬元，除首付款之外，該企業(yè)分期付款的能力是每月2萬元．若不考慮其他因素，為早日結(jié)清余款，該企業(yè)該怎樣選擇？請說明理由．【變式3-3】（2024·陜西渭南·一模）古人常說：“讀書可以啟智，讀書可以明理，讀書可以醫(yī)愚”，讀書不但可以讓人增長智慧，開拓視野，而且還能讓人明事理，知榮辱．某校為營造書香校園，計劃購進個某品牌書架，已知該品牌書架的單價為元個，經(jīng)過與廠家協(xié)商，廠家給出兩種優(yōu)惠方案：方案一：所有書架均按原價的八折銷售；方案二：若一次購買不超過個，則每個書架按原價的九折銷售；若一次購買超過個，則前個打九折，超過的部分每個書架的價格在九折的基礎上再降低元．(1)分別求方案一實際付款金額（元）和方案二實際付款金額（元）與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當時，請分別求出兩種方案的實際付款金額，并判斷選擇哪種方案對學校來說更省錢．考點四：一次函數(shù)的應用——最大利潤問題例4.（23-24九年級下·寧夏銀川·期中）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：購進6千克甲種水果和10千克乙種水果共需110元；乙種水果每千克的進價比甲種水果多3元．(1)求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？(2)已知甲、乙兩種水果的售價分別為7元/千克和11元/千克，若水果店購進這兩種水果共200千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果的3倍．則水果店應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【變式4-1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）“讀萬卷書，行萬里路”，最美的風景在路上．為了讓同學們在實踐中增長見識、提高學習興趣、陶冶情操，某中學組織八年級師生共600人開展研學活動，現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人輛）4560租金（元/輛）8001200倘若甲、乙兩種客車都需要租用，每位師生都有座位且座位沒有剩余，設租x輛甲型客車，租車總費用為y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)請你設計一種租車方案，要求費用最?。咀兪?-2】（2024·河南南陽·二模）為扎實推進“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，某鎮(zhèn)已將區(qū)域內(nèi)特色農(nóng)產(chǎn)品：水晶梨和鷹嘴桃發(fā)展成品牌農(nóng)業(yè)，形成“專業(yè)合作+基地+農(nóng)戶”產(chǎn)銷一條龍服務的產(chǎn)業(yè)經(jīng)營模式，促進農(nóng)民增收．甲商場從該鎮(zhèn)購買500斤水晶梨和300斤鷹嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的單價比鷹嘴桃的單價少1元．(1)水晶梨和鷹嘴桃的單價分別是多少元？(2)若該商場一次性購買這兩種水果1200斤，并且在一天內(nèi)分別以水晶梨每斤8元，鷹嘴桃每斤10元的價格全部售出，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)商場每天最多能售出鷹嘴桃600斤，若商場購買鷹嘴桃的數(shù)量為n斤，總利潤為w元，求w關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并求出購買的鷹嘴桃為多少斤時，商場的利潤最大，最大利潤為多少元．【變式4-3】（23-24八年級下·黑龍江綏化·期中）動畫片《喜羊羊與灰太狼》正在熱播中．某企業(yè)獲得了生產(chǎn)羊公仔和狼公仔的專利．為了滿足市場需求，該企業(yè)現(xiàn)在開始生產(chǎn)羊和狼兩種類別的公仔，每天共生產(chǎn)450只；兩種公仔成本和售價如下表所示，設每天生產(chǎn)羊公仔x只，共獲利y元．(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果該企業(yè)每天投入成本不超過10000元，那么每天要獲利最多，應生產(chǎn)羊公仔和狼公仔各多少只？類別成本（元/只）售價（元/只）羊公仔2023狼公仔3035考點五：一次函數(shù)的應用——行程問題例5.（23-24八年級下·吉林長春·期中）一列城際快車從甲地出發(fā)勻速開往乙地，一列貨運慢車從乙地出發(fā)勻速開往甲地．如圖是快、慢兩車離乙地的路程與快車行駛時間之間的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象回答下列問題：(1)甲、乙兩地之間的距離為________．(2)當時，求慢車離乙地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)直接寫出在慢車行駛過程中，兩車相距時x的值．【變式5-1】（2024·河南信陽·三模）共享電動車是一種新理念下的交通工具，給我們的出行提供了方便．現(xiàn)有兩種品牌的共享電動車，收費與騎行時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中品牌的收費方式對應，品牌的收費方式對應．(1)品牌共享電動車騎行分鐘后，每分鐘收費________元；(2)當時，寫出的函數(shù)關(guān)系式為________；(3)如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為，那么小明選擇哪個品牌的共享電動車更省錢？可以省多少？【變式5-2】（2024·浙江金華·三模）隨著“體育進公園”提檔改造的不斷推進，金華沿江綠道成為這座城市的一個超大型“體育場”．在筆直的綠道上，平平和安安分別從相距a千米的甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，兩人相遇后，一起聊天停留b分鐘后，各自按原速度原方向繼續(xù)前行，分別到達乙地、甲地后原地休息．兩人之間的距離s（千米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．(1)根據(jù)圖象信息，______，______．(2)求平平和安安的速度．(3)求線段AB所在直線的函數(shù)表達式．【變式5-3】（2024·吉林長春·一模）小明和小紅兩同學分別從甲地出發(fā)，沿同一條道路騎自行車到乙地參加社會實踐活動，小明同學先從甲地出發(fā)，小時后小紅出發(fā)．小明和小紅距甲地的距離（千米）與小明出發(fā)的時間（小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)小紅同學騎自行車的速度為千米/小時；(2)當時，求小明距甲地的距離與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當小紅到達乙地時，求小明距乙地的距離．考點六：一次函數(shù)的應用——幾何問題例6.（23-24八年級下·重慶·期中）在中，，，，動點從點出發(fā)沿著折線運動（含端點），運動速度為每秒2個單位，設運動時間是秒，的長度是，請解答下列問題：(1)請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；(2)在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)根據(jù)圖象直接寫出當時，自變量的取值范圍．【變式6-1】（23-24八年級下·江西南昌·階段練習）如圖1所示，正方形中，，點從點出發(fā)，沿折線運動，當它到達點時停止運動，連接，記點運動的路程為，的面積為．(1)當時，寫出與之間的函數(shù)解析式______．當時，寫出與之間的函數(shù)解析式______．(2)根據(jù)自變量的取值范圍，在如圖2所示的平面直角坐標系中畫出點整個運動過程中的函數(shù)圖象；(3)請根據(jù)函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(4)請根據(jù)函數(shù)的圖象，直接寫出當時的取值范圍．【變式6-2】（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習）如圖，在中，，，，動點以每秒的速度從點出發(fā)，沿折線方向運動．動點以每秒的速度從點同時出發(fā)，沿折線方向運動．當兩者相遇時停止運動．設運動時間為，點，的距離為．

(1)請直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并注明自變量的取值范圍．(2)在平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)．(3)當點，相距時，求出的值．【變式6-3】（23-24八年級下·海南·期中）如圖，在長方形中，，、點從出發(fā)，沿路線運動，到停止；點的速度為每秒，秒時點改變速度，變?yōu)槊棵?，圖是點出發(fā)秒后，的面積與秒的關(guān)系圖象；

(1)當點在上運動時，的面積會_______，點在上運動時，的面積會______，點在上運動時，的面積會________；填“增大”或“減小”或“不變”(2)根據(jù)圖提供的信息，求出、及圖中的值；(3)設點離開點的路程為，請寫出動點改變速度后與出發(fā)后的運動時間秒的關(guān)系式．(4)當點出發(fā)后幾秒時，的面積是長方形面積的？一、單選題1．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）若關(guān)于x的方程的解為，則直線一定經(jīng)過點（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）已知等腰三角形的周長是10，底邊長y是腰長x的函數(shù)，則下列圖象中，能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級下·河北衡水·階段練習）“這么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野外宿營活動，有兩種優(yōu)惠方案：方案一：以團隊為單位辦理會員卡（會員卡花費a元），所有人都按半價優(yōu)惠；方案二：所有人都按六折優(yōu)惠．某團隊有x人參加該活動，購票總花費為y元，這兩種方案中y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法不正確的是（

）A． B．原票價為400元/人C．方案二中y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 D．若方案一比方案二更優(yōu)惠，則4．（2024·湖北宜昌·模擬預測）為了探究浮力的大小與哪些因素有關(guān)，物理實驗小組進行了測浮力的實驗．如圖甲，先將一個長方體鐵塊放在玻璃燒杯上方，再向下緩緩移動，移動過程中記錄彈簧測力計的示數(shù)（單位：）與鐵塊下降的高度（單位：）之間的關(guān)系如圖乙所示．下列說法不正確的是（

）A．鐵塊的高度為B．鐵塊入水之前，燒杯內(nèi)水的高度為C．當鐵塊下降的高度為時，該鐵塊所受到的浮力為D．當彈簧測力計的示數(shù)為時，此時鐵塊距離燒杯底二、填空題5．（23-24八年級下·山東濱州·期中）如圖，直線與直線相交于點，則關(guān)于x的方程的解為．6．（2024·山東濟南·一模）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡．雅西高速是連接雅安和西昌的高速公路，被國內(nèi)外專家學者公認為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、科技含量最高的山區(qū)高速公路之一，全長240km．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，線段表示貨車離西昌距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系，線段表示轎車離西昌距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系，則貨車出發(fā)小時后與轎車相遇．7．（23-24八年級下·河南南陽·期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A、B，點C是x軸上的一個動點，將直線沿直線翻折，當點A的對應點D恰好落在y軸上時，點C的橫坐標為．8．（23-24八年級下·河南周口·期中）如圖，直線與軸和軸分別交于，兩點，射線于點．若是射線上的一個動點，是軸上的一個動點，且以，，為頂點的三角形與全等，則的長為．三、解答題9．（23-24八年級下·江西宜春·階段練習）為落實“雙減”政策，豐富課后服務的內(nèi)容，某學校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：甲：所有商品按原價8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折．設需要購買體育用品的原價總額為元，去甲商店購買實付元去乙商店購買實付元，其函數(shù)圖象如圖所示．(1)分別求，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)請根據(jù)函數(shù)圖象，選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．10．（2024·河北邯鄲·二模）用充電器給某手機充電時，其屏幕畫面顯示目前電量為（如圖1）．經(jīng)測試，在用快速充電器和普通充電器對該手機充電時，其電量（單位：）與充電時間（單位：）的函數(shù)圖象分別如圖2中的線段，．根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)求線段對應的函數(shù)表達式；(2)先用普通充電器充電后，感覺充電較慢，再改為快速充電器充滿電，一共用時，通過計算在圖2中畫出電量（單位：）與充電時間（單位：）的函數(shù)圖象．11．（23-24八年級下·河北滄州·期末）嘉淇一家計劃租用一艘船游湖，有下面兩種租賃方式：甲方式：收取固定租金a元，另外再按每小時租費20元計費（不足一小時按一小時計費）；乙方式：無固定租金，三小時以內(nèi)每小時租費b元，超過三小時，超過部分按每小時租費32元計費（不足一小時按一小時計費）．設租用時間為x小時（x為整數(shù)），按甲方式租船所需費用為元，按乙方式租船所需費用為元，其圖象如圖所示．(1)________，________；(2)當時，分別求出，關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)請通過計算說明選擇哪種租賃方式比較合算．12．（2024·天津·三模）已知小明家、書店、森林公園依次在同一條直線上，書店離家，

森林公園離家．小明從家里出發(fā)，勻速騎行后到達書店，在書店停留后，勻速騎行9分鐘到達森林公園：在森林公園游玩一段時間，然后返回家中．給出的圖象反映了這個過程中小明離家的距離與時間之間的對應關(guān)系．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：(1)填表：小明離開家的時間10204979112小明離家的距離2.755(2)填空：①a的值為②小明從家出發(fā)前往書店的騎行速度為；③當時，請直接寫出小明離家的距離y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式．(3)小明從森林公園出發(fā)回家時，爸爸從家開車出發(fā)勻速行駛前往森林公園，已知爸爸的速度為0.8km/min，當小明與爸爸相遇時，求小明離開家的時間．（直接寫出結(jié)果）

第18講一次函數(shù)的應用模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系；2．掌握單個一次函數(shù)圖象的應用及兩個一次函數(shù)圖象的應用；3．能利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際數(shù)學問題。知識點一一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系1）一元一次方程可轉(zhuǎn)化為一般式：ax+b=02）一次函數(shù)為：y=kx+b的形式；當y=0時，一次函數(shù)x的值就是一元一次方程的解。y=0時x的值，即一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標，就是對應一元一次方程的解3）每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.知識點二一次函數(shù)的實際應用1）數(shù)學建模的一般思路數(shù)學建模的關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實際情景通過數(shù)學轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù)模型.2）正確認識實際問題的應用在實際生活問題中，如何應用函數(shù)知識解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.注：要注意結(jié)合實際，確定自變量的取值范圍，這是應用中的難點，也是中考的熱門考點.3）選擇最簡方案問題分析問題的實際背景中包含的變量及對應關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學模型在分析解決實際問題中的重要作用.考點一：已知直線與坐標軸交點求一元一次方程的解例1．（2023春·八年級課時練習）直線過點，，則關(guān)于x的方程的解為．【答案】【分析】所求方程的解，即函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標，確定出解即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程的解，即為函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標，直線過點，方程的解為，故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，掌握任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為(，為常數(shù)，)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為，當某個一次函數(shù)的值為時，求相應的自變量的值.從圖像上看，相當于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值，是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024·陜西·一模）已知關(guān)于的方程的解是，則一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一次方程的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)方程的解其實就是當時一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標解答．根據(jù)交點坐標的含義可得答案.【詳解】解：∵關(guān)于的方程的解是，∴一次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標是．∴只有選項B的圖象符合題意，故選：B【變式1-2】（2023春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸交于點，則關(guān)于x的方程的解為．

【答案】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的圖象交x軸交于點可知，當x＝1時函數(shù)圖象在x軸上，故可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線與x軸交于點，由函數(shù)圖象可知，當時函數(shù)圖象在x軸上，即，∴的解是．故答案為：．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次方程，能利用數(shù)形結(jié)合求出方程的解是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）一次函數(shù)中，與的部分對應值，如下表：那么，一元一次方程的解是．01202【答案】1【分析】此題實際上是求當時，所對應的的值，根據(jù)表格求解即可．【詳解】解：根據(jù)表格可得：當時，，即一元一次方程的解是，故答案為：1．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，熟練掌握一次函數(shù)與坐標軸的交點與一元一次方程的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點二：利用圖象法解一元一次方程例2.（2023春·河北石家莊·八年級?？计谥校?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題常用的思想方法．如圖，直線與直線相交于點．根據(jù)圖像可知，關(guān)于的方程的解是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線與直線相交于點即可得出方程的解．【詳解】解：直線與直線相交于點，關(guān)于的方程的解是，故選：B．【點睛】本題主要考查了利用圖象法解一元一次方程，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，則方程的解是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】兩直線的交點的橫坐標即為兩直線解析式所組成的方程的解．【詳解】解：和直線相交于點，方程的解是．故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是掌握一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，從圖象上看，一元一次方程的解，相當于已知兩條直線交點的橫坐標的值．【變式2-2】（23-24八年級下·陜西商洛·階段練習）如圖，一次函數(shù)（且為常數(shù)）與的圖像相交于點，且點的縱坐標為7，則關(guān)于的方程的解是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元一次方程的解與一次函數(shù)圖像的交點坐標，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．先求出點的坐標，由圖像可知，當時，兩個函數(shù)的函數(shù)值是相等的，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，點的縱坐標為7，把代入，可得，解得，∴點的坐標為，∵一次函數(shù)（且a為常數(shù)）與的圖像相交于點，∴關(guān)于的方程的解是．故選：B【變式2-3】（2023春·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，根據(jù)圖像可知，關(guān)于的方程的解是（

）

A．或 B． C． D．【答案】C【分析】兩直線的交點坐標為兩直線解析式所組成的方程組的解．【詳解】∵直線和直線相交于點，∴的解是：，故選：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，從圖象上看，一元一次方程的解就是已知兩條直線交點的橫坐標的值．考點三：一次函數(shù)的應用——分配方案問題例3.（2024·河南周口·三模）某家用電器廠生產(chǎn)一種電飯煲和一種電熱水壺，電飯煲每個定價200元，電熱水壺每個定價60元．廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供以下兩種優(yōu)惠方案：方案一：每買一個電飯煲就贈送一個電熱水壺；方案二：電飯煲和電熱水壺都按定價的付款．某廚具店計劃購進80個電飯煲和x個電熱水壺．設選擇方案一需付款元，選擇方案二需付款元．(1)分別寫出，關(guān)于x的函數(shù)表達式．(2)當時．①請通過計算說明該廚具店選擇上面哪種方案更省錢．②若兩種優(yōu)惠方案可以同時使用（使用方案一優(yōu)惠過的商品不能再使用方案二優(yōu)惠，使用方案二優(yōu)惠過的商品不能再使用方案一優(yōu)惠），請你設計出更省錢的購買方案，并計算出該方案所需費用．【答案】(1)，(2)①該廚具店選擇方案二更省錢；②先按方案一購買80個電飯煲，再按方案二購買120個電熱水壺．該方案所需費用為21760元【分析】本題考查了用代數(shù)式表示和一次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意正確列出函數(shù)表達式．（1）根據(jù)題目所給的兩個方案，分別列出代數(shù)表達式即可；（2）①將分別代入（1）中得出的兩個函數(shù)表達式，即可解答；②先按方案一購買80個電飯煲，再按方案二購買120個電熱水壺最省錢，計算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，．（2）解：①當時，，．∵，∴該廚具店選擇方案二更省錢．②更省錢的購買方案：先按方案一購買80個電飯煲，再按方案二購買120個電熱水壺．該方案所需費用為（元）．【變式3-1】（2024·陜西寶雞·三模）“生活即教育，行為即課程”．某校將勞動教育融入立德樹人全過程．學校給每個班劃分一塊地供學生“種菜”，某班現(xiàn)要購買肥料對該地施肥，該班班長與農(nóng)資店店主商量后，店主給出了兩種購買方案（如表），且都送貨上門．方案運費肥料價格方案一12元3元方案二0元3.6元若該班購買千克肥料，按方案一購買的付款總金額為元，按方案二購買的付款總金額為元．(1)請分別寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該班計劃用180元錢購買肥料，請問該班選擇哪種購買方案購買的肥料較多？【答案】(1)，(2)方案一【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，列出正確的函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩種銷售方案表示出銷售總價即可；（2）用不同的購買方法，分別計算所用金額，比較得出答案．【詳解】（1）解：與之間的函數(shù)關(guān)系式為，與之間的函數(shù)關(guān)系式為．（2）解：當時，，解得，當時，，解得，，該班選擇方案一購買的肥料較多．【變式3-2】（2024·安徽淮北·三模）某企業(yè)計劃購進一批智能機器人，總價在20萬元以上，商家推出兩種分期付款購買機器人的活動：①首付款滿20萬元，減2萬元；②首付款滿15萬元，分期交付的余款可享受八折優(yōu)惠．(1)該企業(yè)選中的智能機器人的總價為x萬元，采取哪種付款方式比較省錢？請說明理由；(2)已知購買智能機器人的總價低于50萬元，除首付款之外，該企業(yè)分期付款的能力是每月2萬元．若不考慮其他因素，為早日結(jié)清余款，該企業(yè)該怎樣選擇？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)采取第①種方式可早日結(jié)清余款，理由見解析【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應用，正確理解題意列出關(guān)系式是關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意表示出第①種，第②種應實付款，再分類討論即可；（2）分別表示出所購智能機器人的總價x（萬元）與結(jié)清余款所需的月數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，相減即可求解．【詳解】（1）解：第①種應實付款，第②種應實付款，

，令，解得當智能機器人的總價萬元時，采取第①種方式較省錢；當智能機器人的總價萬元時，兩種方式一樣；當智能機器人的總價萬元時，采取第②種方式較省錢．（2）該企業(yè)采取第①種優(yōu)惠方式所購智能機器人的總價x（萬元）與結(jié)清余款所需的月數(shù)之間的關(guān)系為：，即該企業(yè)采取第②種優(yōu)惠方式所購智能機器人的總價x（萬元）與結(jié)清余款所需的月數(shù)之間的關(guān)系為：，即因為，所以∴采取第①種方式可早日結(jié)清余款．【變式3-3】（2024·陜西渭南·一模）古人常說：“讀書可以啟智，讀書可以明理，讀書可以醫(yī)愚”，讀書不但可以讓人增長智慧，開拓視野，而且還能讓人明事理，知榮辱．某校為營造書香校園，計劃購進個某品牌書架，已知該品牌書架的單價為元個，經(jīng)過與廠家協(xié)商，廠家給出兩種優(yōu)惠方案：方案一：所有書架均按原價的八折銷售；方案二：若一次購買不超過個，則每個書架按原價的九折銷售；若一次購買超過個，則前個打九折，超過的部分每個書架的價格在九折的基礎上再降低元．(1)分別求方案一實際付款金額（元）和方案二實際付款金額（元）與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當時，請分別求出兩種方案的實際付款金額，并判斷選擇哪種方案對學校來說更省錢．【答案】(1)，；(2)選擇方案一更省錢．【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；（）根據(jù)題意分別列出兩種方案的函數(shù)關(guān)系式即可；（）將分別代入（）中兩種方案的函數(shù)關(guān)系式，計算比較即可．【詳解】（1）解：由題意可得：，當時，，當時，，∴，；（2）解：當時，（元），（元），∴，∴選擇方案一更省錢．考點四：一次函數(shù)的應用——最大利潤問題例4.（23-24九年級下·寧夏銀川·期中）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：購進6千克甲種水果和10千克乙種水果共需110元；乙種水果每千克的進價比甲種水果多3元．(1)求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？(2)已知甲、乙兩種水果的售價分別為7元/千克和11元/千克，若水果店購進這兩種水果共200千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果的3倍．則水果店應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)甲種水果的進價為5元/，乙種水果進價為8元/(2)水果店應購進甲水果，購進乙水果才能獲得最大利潤，最大利潤是450元【分析】（1）設甲種水果的進價為x元/，則乙種水果進價為元/，列方程解答即可．（2）設購進甲水果m，則乙水果，利潤為y元.，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．本題考查了一元一次方程的應用，一次函數(shù)的性質(zhì)的應用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設甲種水果的進價為x元/，則乙種水果進價為元/（元）答：甲種水果的進價為5元/，乙種水果進價為8元/.（2）設購進甲水果m，則乙水果，利潤為y元.∵，∴，∴，∴，又∵，∴y隨m的增大而減小.∴當時，y最大，最大值為450元.【變式4-1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）“讀萬卷書，行萬里路”，最美的風景在路上．為了讓同學們在實踐中增長見識、提高學習興趣、陶冶情操，某中學組織八年級師生共600人開展研學活動，現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人輛）4560租金（元/輛）8001200倘若甲、乙兩種客車都需要租用，每位師生都有座位且座位沒有剩余，設租x輛甲型客車，租車總費用為y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)請你設計一種租車方案，要求費用最?。敬鸢浮?1)(2)租用甲種客車12輛，乙種客車1輛，費用最省【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用，綜合性強，解決問題的關(guān)鍵在于找到的取值范圍，才能確定方案．本題較為靈活，計算量略微有些大，考查了學生的推理能力、計算能力．（1）設租用甲種客車輛，則乙種客車是輛，利用公式：總租金甲的總租金乙的總租金，即可列出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）依題意得：（為整數(shù)）（2）依題意得：，解之，得，為整數(shù)，且為整數(shù)，中，，y隨x的增大而減小，的值為12時，y有最小值，為，此時，租用甲種客車12輛，乙種客車1輛，費用最省．【變式4-2】（2024·河南南陽·二模）為扎實推進“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，某鎮(zhèn)已將區(qū)域內(nèi)特色農(nóng)產(chǎn)品：水晶梨和鷹嘴桃發(fā)展成品牌農(nóng)業(yè)，形成“專業(yè)合作+基地+農(nóng)戶”產(chǎn)銷一條龍服務的產(chǎn)業(yè)經(jīng)營模式，促進農(nóng)民增收．甲商場從該鎮(zhèn)購買500斤水晶梨和300斤鷹嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的單價比鷹嘴桃的單價少1元．(1)水晶梨和鷹嘴桃的單價分別是多少元？(2)若該商場一次性購買這兩種水果1200斤，并且在一天內(nèi)分別以水晶梨每斤8元，鷹嘴桃每斤10元的價格全部售出，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)商場每天最多能售出鷹嘴桃600斤，若商場購買鷹嘴桃的數(shù)量為n斤，總利潤為w元，求w關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并求出購買的鷹嘴桃為多少斤時，商場的利潤最大，最大利潤為多少元．【答案】(1)水晶梨和鷹嘴桃的單價分別是5元，6元(2)；購買的鷹嘴桃為600斤時，商場的利潤最大，登大利潤為4200元【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，一次函數(shù)的實際應用：（1）設鷹嘴桃的單價為x元，則水晶梨的單價為元，根據(jù)購買500斤水晶梨和300斤鷹嘴桃共用了4300元列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意可得購買水晶梨的數(shù)量為斤，則可求出，據(jù)此利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設鷹嘴桃的單價為x元，則水晶梨的單價為元，依題意，得，解得，則（元），答：水晶梨和鷹嘴桃的單價分別是5元，6元；（2）解：∵商場購買鷹嘴桃的數(shù)量為n斤，購買水晶梨的數(shù)量為斤，依題意，得，∵，∴w隨著n的增大而增大，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)商場每天最多能售出鷹嘴桃600斤，，∴當時．w有最大值，最大值為，購買的鷹嘴桃為600斤時，商場的利潤最大，登大利潤為4200元．【變式4-3】（23-24八年級下·黑龍江綏化·期中）動畫片《喜羊羊與灰太狼》正在熱播中．某企業(yè)獲得了生產(chǎn)羊公仔和狼公仔的專利．為了滿足市場需求，該企業(yè)現(xiàn)在開始生產(chǎn)羊和狼兩種類別的公仔，每天共生產(chǎn)450只；兩種公仔成本和售價如下表所示，設每天生產(chǎn)羊公仔x只，共獲利y元．(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果該企業(yè)每天投入成本不超過10000元，那么每天要獲利最多，應生產(chǎn)羊公仔和狼公仔各多少只？類別成本（元/只）售價（元/只）羊公仔2023狼公仔3035【答案】(1)(2)應生產(chǎn)羊公仔350，狼公仔100只【分析】本題考查了一次函數(shù)的實際應用，一元一次不等式的實際應用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，（1）設每天生產(chǎn)羊公仔x只，則每天生產(chǎn)狼公仔只，根據(jù)總利潤=羊公仔利潤+狼公仔利潤，即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題意，列出不等式，求出x的取值范圍，再結(jié)合一次函數(shù)的增減性，即可解答．【詳解】（1）解：設每天生產(chǎn)羊公仔x只，則每天生產(chǎn)狼公仔只，根據(jù)題意可得：，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）解：根據(jù)題意可得：，解得：，∵，，∴y隨x的增大而減小，∴當時，y有最大值，∴（只），答：應生產(chǎn)羊公仔350，狼公仔100只．考點五：一次函數(shù)的應用——行程問題例5.（23-24八年級下·吉林長春·期中）一列城際快車從甲地出發(fā)勻速開往乙地，一列貨運慢車從乙地出發(fā)勻速開往甲地．如圖是快、慢兩車離乙地的路程與快車行駛時間之間的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象回答下列問題：(1)甲、乙兩地之間的距離為________．(2)當時，求慢車離乙地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)直接寫出在慢車行駛過程中，兩車相距時x的值．【答案】(1)600；(2)；(3)或【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是基礎，結(jié)合題意理解圖形是解題的關(guān)鍵．（1）由圖象直接得出結(jié)論；（2）由圖象可知圖象經(jīng)過，，利用待定系數(shù)法分別求得；（3）同（2）求出快車離乙地的路程與之間的函數(shù)關(guān)系式，令，解方程即可．【詳解】（1）解：由圖象可知，甲、乙兩地之間的距離為，故答案為：600；（2）當時，設慢車離乙地的路程與之間的函數(shù)關(guān)系式為把，代入解析式得：，解得，∴慢車離乙地的路程與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3）設快車離乙地的路程與之間的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入解析式得：，解得，∴快車離乙地的路程與之間的函數(shù)關(guān)系式為，當兩車相距50時，，解得或，∴當或時，兩車相距．【變式5-1】（2024·河南信陽·三模）共享電動車是一種新理念下的交通工具，給我們的出行提供了方便．現(xiàn)有兩種品牌的共享電動車，收費與騎行時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中品牌的收費方式對應，品牌的收費方式對應．(1)品牌共享電動車騎行分鐘后，每分鐘收費________元；(2)當時，寫出的函數(shù)關(guān)系式為________；(3)如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為，那么小明選擇哪個品牌的共享電動車更省錢？可以省多少？【答案】(1)(2)(3)小明選擇品牌共享電動車更省錢，可以省元【分析】本題主要考查一次函數(shù)的實際運用，理解一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象可得騎行10分鐘后的路程和費用，由此即可求解；（2）根據(jù)的圖象，運用待定系數(shù)法即可求解；（3）分別算出兩種品牌的費用進行比較即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，（元），（），∴（元/），故答案為；（2）解：設時，，且函數(shù)圖象過，∴，解得，，∴，故答案為：；（3）解：，∴，設品牌的費用為，且圖象過，∴，解得，，∴，∴當時，品牌的費用為（元），品牌的費用為（元），∵，且（元），∴小明選擇品牌的共享電動車更省錢，可以省元．【變式5-2】（2024·浙江金華·三模）隨著“體育進公園”提檔改造的不斷推進，金華沿江綠道成為這座城市的一個超大型“體育場”．在筆直的綠道上，平平和安安分別從相距a千米的甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，兩人相遇后，一起聊天停留b分鐘后，各自按原速度原方向繼續(xù)前行，分別到達乙地、甲地后原地休息．兩人之間的距離s（千米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．(1)根據(jù)圖象信息，______，______．(2)求平平和安安的速度．(3)求線段AB所在直線的函數(shù)表達式．【答案】(1)15，10(2)平平的速度為0.3千米分鐘，安安的速度為0.2千米分鐘；(3)線段所在直線的函數(shù)表達式為．【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握時間、速度、路程之間的數(shù)量關(guān)系和待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意直接寫出、的值即可；（2）當時平平到達乙地，根據(jù)“速度路程時間”計算平平的速度；設安安的速度為千米分鐘，根據(jù)二人相遇時兩人路程之和為甲、乙兩地之間的距離列方程并求解即可；（3）根據(jù)“路程速度時間”求出時安安離乙地的距離，從而求出點的坐標；設分鐘時安安到達甲地，根據(jù)“路程速度時間”列方程并求解，從而求得點的坐標；利用待定系數(shù)法求出線段所在直線的函數(shù)表達式即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，．故答案為：15，10；（2）解：平平的速度為（千米分鐘）；設安安的速度為千米分鐘，當二人相遇時，得，解得，平平的速度為0.3千米分鐘，安安的速度為0.2千米分鐘；（3）解：當時，平平到達乙地，此時安安離乙地的距離為（千米），．設分鐘時安安到達甲地．根據(jù)“路程速度時間”，得，解得，．設線段所在直線的函數(shù)表達式為、為常數(shù)，且．將點和分別代入，得，解得，線段所在直線的函數(shù)表達式為．【變式5-3】（2024·吉林長春·一模）小明和小紅兩同學分別從甲地出發(fā)，沿同一條道路騎自行車到乙地參加社會實踐活動，小明同學先從甲地出發(fā)，小時后小紅出發(fā)．小明和小紅距甲地的距離（千米）與小明出發(fā)的時間（小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)小紅同學騎自行車的速度為千米/小時；(2)當時，求小明距甲地的距離與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當小紅到達乙地時，求小明距乙地的距離．【答案】(1)(2)(3)千米【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，理解函數(shù)圖象，掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式時解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)：速度=路程/時間，計算即可．（2）利用待定系數(shù)法求解即可．（3）根據(jù)：速度=路程/時間，解出小紅距甲地距離與之間的函數(shù)關(guān)系式，當小紅到達乙地時，，代入求出相對應的值，將的值代入，可得，即為小明距離甲地的距離，在根據(jù)：小明距離乙地的距離＝甲乙兩地的距離－小明距離甲地的距離，計算即可．【詳解】（1）由圖象可知，小紅同學在小時內(nèi)騎了千米，故其騎自行車的速度為（千米/小時），故答案為．（2）當時，設小明距離甲地的距離與之間的函數(shù)關(guān)系式為（、為常數(shù)，且），點和在直線上，代入到中，可得，解得，∴當時，小明距離甲地的距離與之間的函數(shù)關(guān)系式為．（3）設小紅距離甲地的距離與之間的函數(shù)關(guān)系式為（、為常數(shù)，且），小紅同學騎自行車的速度為千米/小時，且點在直線上，∴，故小紅距離甲地的距離與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，當小紅到達乙地時，，代入解得：，解得：，將帶入到中，解得：，故（千米），∴當小紅到達乙地時，小明距乙地的距離為千米．考點六：一次函數(shù)的應用——幾何問題例6.（23-24八年級下·重慶·期中）在中，，，，動點從點出發(fā)沿著折線運動（含端點），運動速度為每秒2個單位，設運動時間是秒，的長度是，請解答下列問題：(1)請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；(2)在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)根據(jù)圖象直接寫出當時，自變量的取值范圍．【答案】(1)(2)作圖見解析，當時，y隨x的增大而減??；(3)或【分析】本題考查一次函數(shù)的幾何應用，作函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求自變量的取值范圍等．（1）運動路程為，結(jié)合圖形即可求解；（2）先作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可解答；（3）先求出時x的值，結(jié)合圖象即可作答．【詳解】（1）解：由題意可得：當時，，當時，，∴；（2）如圖所示，當時，y隨x的增大而減??；（3）解，令，則或，∴當時，自變量的取值范圍為：或．【變式6-1】（23-24八年級下·江西南昌·階段練習）如圖1所示，正方形中，，點從點出發(fā)，沿折線運動，當它到達點時停止運動，連接，記點運動的路程為，的面積為．(1)當時，寫出與之間的函數(shù)解析式______．當時，寫出與之間的函數(shù)解析式______．(2)根據(jù)自變量的取值范圍，在如圖2所示的平面直角坐標系中畫出點整個運動過程中的函數(shù)圖象；(3)請根據(jù)函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(4)請根據(jù)函數(shù)的圖象，直接寫出當時的取值范圍．【答案】(1)，(2)見解析(3)見解析(4)【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用、從函數(shù)圖象中獲取信息、畫函數(shù)圖象，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）當時，點在上，由題意得，，，再由三角形面積公式即可得解；當時，點在上，則，再由三角形面積公式即可得解；（2）當時，點在上，此時，再根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象即可；（3）由函數(shù)圖象即可得出答案；（4）由函數(shù)圖象即可得出答案．【詳解】（1）解：當時，點在上，，由題意得：，，，∴；當時，點在上，，則，∴；（2）解：當時，點在上，，此時，∴，畫出函數(shù)圖象如圖所示：；（3）解：由圖象可得：當時，隨的增大而增大；（4）解：由圖象可得：當時的取值范圍為：．【變式6-2】（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習）如圖，在中，，，，動點以每秒的速度從點出發(fā)，沿折線方向運動．動點以每秒的速度從點同時出發(fā)，沿折線方向運動．當兩者相遇時停止運動．設運動時間為，點，的距離為．

(1)請直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并注明自變量的取值范圍．(2)在平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)．(3)當點，相距時，求出的值．【答案】(1)(2)作圖見解析，當時，隨的增大而增大（答案不唯一）(3)或【分析】本題考查函數(shù)解析式的求法，勾股定理，函數(shù)圖象的作法及運用；（1）分以及分別求解即可得出答案；（2）根據(jù)函數(shù)解析式直接作圖，根據(jù)圖象可寫出一條性質(zhì)；（3）根據(jù)函數(shù)圖象可得出答案．【詳解】（1）解：在中，，，，．如圖1，當點，分別在，上運動時，運動后，，．

當時，點恰好運動到點處，點恰好運動到點處．，由勾股定理可得，當時，關(guān)于的函數(shù)解析式為．當，兩點都在上運動時，，令，解得，當時，關(guān)于的函數(shù)解析式為，關(guān)于的函數(shù)解析式為．（2）由（1）中得到的函數(shù)解析式可知，當時，；當時，；當時，．如圖2，分別描出對應點然后順次連線．該函數(shù)的一個性質(zhì)：當時，隨的增大而增大（答案不唯一）．（3）當時，分別代入函數(shù)，中，得或，解得或．【變式6-3】（23-24八年級下·海南·期中）如圖，在長方形中，，、點從出發(fā)，沿路線運動，到停止；點的速度為每秒，秒時點改變速度，變?yōu)槊棵?，圖是點出發(fā)秒后，的面積與秒的關(guān)系圖象；

(1)當點在上運動時，的面積會_______，點在上運動時，的面積會______，點在上運動時，的面積會________；填“增大”或“減小”或“不變”(2)根據(jù)圖提供的信息，求出、及圖中的值；(3)設點離開點的路程為，請寫出動點改變速度后與出發(fā)后的運動時間秒的關(guān)系式．(4)當點出發(fā)后幾秒時，的面積是長方形面積的？【答案】(1)增大；不變；減??；(2)；(3)；(4)當點出發(fā)5秒或14.5秒時，的面積是長方形面積的．【分析】此題為一動點運動分析問題，解題時從動點的運動形式上找出規(guī)律，分析不同分段區(qū)間時的運動性質(zhì)，找出等式關(guān)系列出方程組解出方程解析式．（1）根據(jù)函數(shù)圖象及動點運動即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)三角形的面積公式可求a、b及圖②中c的值；（3）確定y與x的等量關(guān)系后列出關(guān)系式即可；（4）結(jié)合題意，分四種情況確定相應的函數(shù)解析式，然后計算的面積，然后將計算出來的數(shù)值代入所求函數(shù)的不同分段，解出對應的x的值，若解出的x值在對應的分段區(qū)間內(nèi)，則x的值即為所求的解，反之則不是．【詳解】（1）解：當點在上運動時，增大，的面積會增大；點在上運動時，的面積會不變；點在上運動時，的面積會減?。还蚀鸢笧椋涸龃?；不變；減??；（2）∵長方形中，，，∴，當點P在上時，得：，∴，，；（3）∵，∴動點P改變速度后y與出發(fā)后的運動時間x（秒）的函數(shù)關(guān)系式為：；（4）①當時，；②當時，；③當x運動到C點時解得：即：時；④當時，；綜上：；∵，①時，，符合題意；②時，，不符合題意，舍去；③時，，不符合題意，舍去；④，，符合題意；所以點P出發(fā)后5秒或秒，的面積是長方形面積的．一、單選題1．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）若關(guān)于x的方程的解為，則直線一定經(jīng)過點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元一次方程解的定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，先把代入方程中得到，進而得到當時，，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程的解是，∴，∴，∴直線解析式為，∴當時，，即直線一定經(jīng)過點，故選：A．2．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）已知等腰三角形的周長是10，底邊長y是腰長x的函數(shù)，則下列圖象中，能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得即，結(jié)合三角形的存在性質(zhì)，，轉(zhuǎn)化得，得到，畫圖象解答即可．本題考查了一次函數(shù)的圖象，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握一次函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得即，根據(jù)三角形的存在性質(zhì)，，即，解得，故選D．3．（23-24八年級下·河北衡水·階段練習）“這么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野外宿營活動，有兩種優(yōu)惠方案：方案一：以團隊為單位辦理會員卡（會員卡花費a元），所有人都按半價優(yōu)惠；方案二：所有人都按六折優(yōu)惠．某團隊有x人參加該活動，購票總花費為y元，這兩種方案中y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法不正確的是（

）A． B．原票價為400元/人C．方案二中y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 D．若方案一比方案二更優(yōu)惠，則【答案】D【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應用，從圖象中有效的獲取信息，求出兩種方案的解析式，逐一進行判斷即可．【詳解】解：由圖象可知：會員卡的費用為400元，∴；故選項A正確；方案二：2人花費480元，∴單人票價為240元，∴原票價為：元，方案二的解析式為：；故選項B，C正確；由題意，得：方案一的解析式為：，當，即：時，方案一比方案二更優(yōu)惠；故選項D錯誤；故選D．4．（2024·湖北宜昌·模擬預測）為了探究浮力的大小與哪些因素有關(guān)，物理實驗小組進行了測浮力的實驗．如圖甲，先將一個長方體鐵塊放在玻璃燒杯上方，再向下緩緩移動，移動過程中記錄彈簧測力計的示數(shù)（單位：）與鐵塊下降的高度（單位：）之間的關(guān)系如圖乙所示．下列說法不正確的是（

）A．鐵塊的高度為B．鐵塊入水之前，燒杯內(nèi)水的高度為C．當鐵塊下降的高度為時，該鐵塊所受到的浮力為D．當彈簧測力計的示數(shù)為時，此時鐵塊距離燒杯底【答案】C【分析】本題考查函數(shù)圖象．關(guān)鍵是得到圖象中關(guān)鍵點表示的意義．用到的知識點為：浮力重力拉力．圖2中點表示鐵塊未移動時，拉力為，那么鐵塊的重力為，此時鐵塊下表面與燒杯上端平齊；因為水平面保持不變．那么段鐵塊移動的距離即為鐵塊的高度，為，可判斷A正確，不符合題意；表示鐵塊向下移動時，拉力為，此時鐵塊下表面與水面平齊；鐵塊繼續(xù)向下移動，水向外流出，水平面保持不變．表示鐵塊上表面剛好浸入水中，拉力為．燒杯高度為，鐵塊從燒杯口到下表面接觸水時移動了，所以燒杯內(nèi)水的高度為，可判斷B正確，不符合題意；當鐵塊下降高度為時，由于出水口的存在，由圖2可知，鐵塊的一半剛好浸入水中，拉力的大小為，那么所受到的浮力重力拉力為，故C錯誤，符合題意；設，代入，得，將代入，得，，故D正確，不符合題意；．【詳解】解：∵燒杯有出水口，∴水平面在鐵塊下移過程中保持不變．∴鐵塊的高度為段鐵塊移動的距離為，故A正確，不符合題意；∵燒杯高度為，鐵塊從燒杯口到下表面接觸水時移動了，∴燒杯內(nèi)水的高度為，故B正確，不符合題意；∵當鐵塊下降高度為時，鐵塊的一半剛好浸入水中，∴拉力的大小為，∵鐵塊的重力為，∴鐵塊所受到的浮力為，故C錯誤，符合題意．設，代入，得，將代入，得，，故D正確，不符合題意故選：C．二、填空題5．（23-24八年級下·山東濱州·期中）如圖，直線與直線相交于點，則關(guān)于x的方程的解為．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，首先利用函數(shù)解析式求出m的值，然后再根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點橫坐標就是關(guān)于x的方程的解可得答案．【詳解】解：∵直線與直線相交于點，∴，∴，∴，∴當時，，∴關(guān)于x的方程的解是，故答案為：．6．（2024·山東濟南·一模）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡．雅西高速是連接雅安和西昌的高速公路，被國內(nèi)外專家學者公認為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、科技含量最高的山區(qū)高速公路之一，全長240km．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，線段表示貨車離西昌距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系，線段表示轎車離西昌距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系，則貨車出發(fā)小時后與轎車相遇．【答案】//【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，求出兩個函數(shù)解析式成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)函數(shù)圖像以及待定系數(shù)法求得兩函數(shù)解析式，然后聯(lián)立求解即可．【詳解】解：由待定系數(shù)法可得：貨車離西昌距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系；轎車離西昌距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系為，聯(lián)立和，解得：．所以貨車出發(fā)后與轎車相遇．故答案為．7．（23-24八年級下·河南南陽·期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A、B，點C是x軸上的一個動點，將直線沿直線翻折，當點A的對應點D恰好落在y軸上時，點C的橫坐標為．【答案】或【分析】本題考查一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，折疊，以及勾股定理．熟練掌握折疊的性質(zhì)，利用勾股定理解三角形，是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：先求出，兩點的坐標，根據(jù)折疊，得到，，進而求出的長度，在中，利用勾股定理進行求解，得到的長，即可得解．【詳解】解：，當時，；當時，；，，，，將沿所在直線折疊后，點A恰好落在y軸上正半軸點D處，如圖，連接，，，，在中，，即：，，點在軸的負半軸上，．將沿所在直線折疊后，點A恰好落在y軸上負半軸點D處，如圖，連接，同理可得：，，∴，，∴，∴，∴，綜上：或．故答案為：或．8．（23-24八年級下·河南周口·期中）如圖，直線與軸和軸分別交于，兩點，射線于點．若是射線上的一個動點，是軸上的一個動點，且以，，為頂點的三角形與全等，則的長為．【答案】或4【分析】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，三角形全等的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與坐標軸的交點是解題的關(guān)鍵．構(gòu)造一線三直角模型全等一次，為斜邊全等一次，得到兩個答案即可．【詳解】解：∵直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，當時，，當時，，∴，，∵，∴，∴，如圖，當時