專題02一元二次方程概念、解法、判別式和根與系數的關系知識點1：一元二次方程的概念1.一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．注意：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2．2.一元二次方程的識別：注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．知識點2：一元二次方程的一般形式1.一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．一次項系數b和常數項c可取任意實數，二次項系數a是不等于0的實數，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．注意：要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式．知識點3：一元二次方程的解1.一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．2.一元二次方程的解：一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．知識點4：一元二次方程的解法1．解一元二次方程-直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個非負數．②降次的實質是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程．③方法是根據平方根的意義開平方．2．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數，使二次項系數為1，并把常數項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解．3．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．4．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．5．換元法解一元二次方程（1）解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．（2）我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．知識點5：根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．知識點6：根與系數的關系（1）若二次項系數為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．（2）若二次項系數不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．題型歸納【題型1一元二次方程的定義】滿分技法判斷一個方程是否為一元二次方程,要緊扣概念,不能只看表面形式,要先把方程進行整理,使右邊為0,再觀察其是否具備以下三個條件:①是整式方程;②只含有一個未知數;③未知數的最高次數是2.三個條件缺一不可!1．（2024春?瑤海區校級期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2023春?花山區校級期中）已知關于的方程是一元二次方程，則的值是A． B．2 C．或3 D．33．（2023春?寧國市期中）下列方程中，是關于的一元二次方程的是A． B．、、為常數） C． D．4．（2023春?霍邱縣期末）若是一元二次方程，則的值為A．2 B． C． D．【題型2一元二次方程的一般形式】滿分技法(1)確定一元二次方程二次項系數、一次項系數及常數項時，首先要將方程化為一般形式.(2)指出一元二次方程的各項或各項系數時，要帶上前面的符號，尤其是當系數是負數時，一定不能漏掉“-”!(3)若方程中沒有一次項或常數項,則一次項系數或常數項為0.5．（2024春?蜀山區校級期中）方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別為A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；96．（2023春?宣州區校級期中）一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項分別是A．5，6，8 B．5，6， C．5，， D．5，，87．（2023春?宿松縣期末）一元二次方程化為一般形式后，常數項為A． B．6 C． D．5【題型3一元二次方程的解】滿分技法判斷一個數是否為一元二次方程的根的妙招將已知數分別代入一元二次方程的左右兩邊，若左右兩邊的值相等，則這個數是方程的根，否則不是.8．（2024春?廬陽區校級期中）如果是方程的解，那么常數的值為A．2 B．1 C． D．9．（2024春?瑤海區期中）已知一元二次方程的一個根為，則的值是A．2020 B．2021 C．2023 D．202510．（2024春?廬陽區校級期中）若關于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為A．2024 B．2025 C．2026 D．202711．（2024春?包河區期中）如果關于的一元二次方程的一個解是，那么代數式的值是．【題型4解一元二次方程-直接開平方法】滿分技法用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟第1步:移項,即將方程化為僅左邊含有未知數的完全平方式;第2步:開平方,即若右邊是非負數(若為負數，則方程無實數根)，則根據平方根的意義求解，注意右邊開方后必須取正、負兩個平方根;第3步:寫出一元二次方程的兩個根.12．（2023春?蒙城縣期中）方程的根是A．， B．， C． D．，13．（2022春?定遠縣期末）如果關于的方程可以用直接開平方法求解，那么的取值范圍是A． B． C． D．14．（2023春?廬陽區期末）方程的解是．15．（2022春?定遠縣期末）解方程：．【題型5解一元二次方程-配方法】滿分技法用配方法解一元二次方程的一般步驟第1步:化,把方程化為一元二次方程的一般形式,且使二次項系數為1;第2步:移,使方程左邊是二次項和一次項,右邊是常數項;第3步:配,方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方;第4步:開,當方程的右邊是非負數時,用直接開平方法解方程;第5步:寫,寫出一元二次方程的兩個根!16．（2024春?廬陽區校級期中）一元二次方程，用配方法變形可得A． B． C． D．17．（2024春?大觀區校級期中）用適當的方法解方程：．18．（2021春?廬陽區期末）解方程：．【題型6解一元二次方程-公式法】滿分技法“公式法”的三點注意：(1)使用公式法時，必須先把方程化為一般形式，再確定系數.(2)確定a,b,c的值時,要注意符號,不要遺漏“-”(3)利用公式法解方程時，要先計算b2-4ac的值,只有當b2-4ac≥0時，才能使用求根公式求方程的根.19．（2023春?大觀區校級期末）用求根公式解一元二次方程時，，的值是A．，， B．，， C．，， D．，，20．（2023春?定遠縣期中）用公式法解關于的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．21．（2023春?淮北期末）解方程：．22．（2023春?合肥期末）解方程：．【題型7解一元二次方程-因式分解法】滿分技法因式分解法一般步驟：第1步:移,即移項,將方程的右邊化為0;第2步:分,即將方程的左邊分解成兩個一次因式的積的形式;第3步:化,即令每個因式為0,轉化為兩個一元一次方程;第4步:解,即解這兩個一元一次方程,它們的解就是原一元二次方程的根23．（2014春?合肥期中）已知一元二次方程的兩根分別為，；則這個方程為A． B． C． D．24．（2024春?廬陽區校級期中）一元二次方程的根為A． B． C．， D．，25．（2024春?大觀區校級期中）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程的解，則這個三角形的周長是A．15 B．13 C．11或8 D．11和1326．（2024春?廬陽區校級期中）解方程：．【題型8換元法解一元二次方程】滿分技法換元法，是為了達到“降次”的目的,把高次方程轉化為一元二次方程是解題的關鍵.解題時,把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題簡化，這種方法叫做換元法.換元法體現了整體思想和轉化思想，其關鍵是構造元和換元.27．（2024春?瑤海區校級期中）關于的方程，則的值是A． B．1 C．或1 D．3或28．（2023春?宣州區校級期中）已知、為實數，且滿足，則代數式的值為A．3或 B．3 C．或5 D．529．（2023春?合肥期末）若，則的值為A．2或 B．或6 C．6 D．2【題型9根的判別式】滿分技法判別式”斷“根”三步走：第1步:將一元二次方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),確定系數a,b,c的值,注意a,b,c的值要包含它前面的符號;第2步:計算△=b2-4ac的值;第3步:根據△與0的大小關系判斷方程根的情況.30．（2023春?太湖縣期中）關于的一元二次方程根的情況是A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．有一個實數根 D．沒有實數根31．（2024春?廬陽區校級期中）關于的方程有兩個相等的實數根，若，，是的三邊長，則這個三角形一定是A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形32．（2024春?大觀區校級期中）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是．【題型10根與系數的關系】滿分技法在實數范圍內運用根與系數的關系時，必須注意兩個條件:(1)方程必須是一元二次方程，即二次項系數不為0;(2)方程有實數根,即△≥0.33．（2024春?金安區校級期中）設方程的兩實數根為，，則的值為A． B．1 C． D．234．（2024春?瑤海區校級期中）若、是方程的兩個根，則A．2026 B．2027 C．2024 D．202935．（2024春?安慶期中）若、是一元二次方程的兩根，則的值為．36．（2024春?安慶期中）已知實數、滿足，若關于的一元二次方程的兩個實數根分別為、，則的值．37．（2024春?安慶期中）已知關于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若此方程的兩個實數根，，滿足，求的值．【題型11配方法的應用】滿分技法配方時易出現的錯誤：移項忘記變號.(2)系數化為1時漏項.(3)方程兩邊沒有同時加上一次項系數一半的平方.審題做題時，我們要避免以上問題的出現！38．（2023春?大觀區校級期末）對于多項式，由于，所以有最小值3．已知關于的多項式的最大值為10，則的值為A．1 B． C． D．39．（2023春?貴池區期中）【閱讀材料】把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用．例如：①用配方法因式分解：．解：原式．②求的最小值．解：原式．，，即的最小值為2．請根據上述材料解決下列問題：（1）在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：．（2）因式分解：．（3）求的最小值．（4）用配方法因式分解：．40．（2024春?大觀區校級期中）我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．例：已知可取任何實數，試求二次三項式最小值．解：無論取何實數，總有．，即的最小值是．即無論取何實數，的值總是不小于的實數．問題：（1）已知，求證是正數．知識遷移：（2）如圖，在中，，，，點在邊上，從點向點以的速度移動，點在邊上以的速度從點向點移動．若點，同時出發，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，設的面積為，運動時間為秒，求的最大值．過關檢測1．（2024春?廬陽區校級期中）下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2024春?大觀區校級期中）用配方法解一元二次方程，配方正確的是A． B． C． D．3．（2024春?瑤海區期中）已知三角形的兩邊長為2和5，第三邊滿足方程，則三角形的周長為A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不對4．（2023春?瑤海區期中）一元二次方程根的情況是A．沒有實數根 B．只有一個實數根 C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根5．（2023春?舒城縣校級期中）若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是A． B． C． D．6．（2024春?大觀區校級期中）已知關于的方程的一個根是1，則此方程的另一根為A．0 B．1 C．2 D．37．（2024春?廬陽區校級期中）設、為的兩個實數根，則A．2024 B． C．2021 D．8．（2024春?瑤海區校級期中）如果的值與的值相等，則．9．（2023春?太湖縣期末）把方程化為的形式，則的值是．10．（2023春?界首市期末）將一元二次方程化成的形式．11．（2024春?金安區校級期中）解方程：（1）；（2）．12．（2024春?大觀區校級期中）已知關于的一元二次方程．（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）若的兩邊、的長是方程的兩個實數根，第三邊的長為4，當是等腰三角形時，求的值．13．（2024春?廬陽區校級期中）已知關于的方程．（1）求證：無論取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的一個實數根是1，求的值及方程的另一個實數根．

專題02一元二次方程概念、解法、判別式和根與系數的關系知識點1：一元二次方程的概念1.一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．注意：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2．2.一元二次方程的識別：注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．知識點2：一元二次方程的一般形式1.一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．一次項系數b和常數項c可取任意實數，二次項系數a是不等于0的實數，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．注意：要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式．知識點3：一元二次方程的解1.一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．2.一元二次方程的解：一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．知識點4：一元二次方程的解法1．解一元二次方程-直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個非負數．②降次的實質是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程．③方法是根據平方根的意義開平方．2．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數，使二次項系數為1，并把常數項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解．3．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．4．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．5．換元法解一元二次方程（1）解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．（2）我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．知識點5：根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．知識點6：根與系數的關系（1）若二次項系數為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．（2）若二次項系數不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．題型歸納【題型1一元二次方程的定義】滿分技法判斷一個方程是否為一元二次方程,要緊扣概念,不能只看表面形式,要先把方程進行整理,使右邊為0,再觀察其是否具備以下三個條件:①是整式方程;②只含有一個未知數;③未知數的最高次數是2.三個條件缺一不可!1．（2024春?瑤海區校級期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據一元二次方程的定義逐項判斷即可．【解答】解：．該方程中，當時，它不是一元二次方程，不符合題意；．該方程中含有兩個未知數，不是一元二次方程，不符合題意；．該方程不是整式方程，不符合題意；．該方程符合一元二次方程的定義，符合題意；故選：．【點評】本題考查一元二次方程的定義．判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．2．（2023春?花山區校級期中）已知關于的方程是一元二次方程，則的值是A． B．2 C．或3 D．3【答案】【分析】根據一元二次方程的定義得出且，再求出即可．【解答】解：關于的方程是一元二次方程，且，解得：，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的定義和絕對值，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數，并且所含未知數的項的最高次數是2的整式方程，叫一元二次方程．3．（2023春?寧國市期中）下列方程中，是關于的一元二次方程的是A． B．、、為常數） C． D．【答案】【分析】本題根據一元二次方程的定義解答即可．【解答】解：、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；、，當時，不是一元二次方程，不符合題意；、整理得：，是一元一次方程，不符合題意；、是一元二次方程，符合題意．故選：．【點評】本題考查一元二次方程的定義，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．4．（2023春?霍邱縣期末）若是一元二次方程，則的值為A．2 B． C． D．【答案】【分析】根據一元二次方程的定義進行求解即可．【解答】解：由題意得：，解得：．故選：．【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵在于熟知一元二次方程的定義：一般地，形如、、都是常數，的方程叫做一元二次方程．【題型2一元二次方程的一般形式】滿分技法(1)確定一元二次方程二次項系數、一次項系數及常數項時，首先要將方程化為一般形式.(2)指出一元二次方程的各項或各項系數時，要帶上前面的符號，尤其是當系數是負數時，一定不能漏掉“-”!(3)若方程中沒有一次項或常數項,則一次項系數或常數項為0.5．（2024春?蜀山區校級期中）方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別為A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9【答案】【分析】根據一元二次方程的一般形式求解即可．【解答】解：方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別為3，，．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．6．（2023春?宣州區校級期中）一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項分別是A．5，6，8 B．5，6， C．5，， D．5，，8【答案】【分析】把方程化為一元二次方程的一般形式后，即可寫出各項系數．【解答】解：原方程化為一般形式為：，則二次項系數、一次項系數及常數項分別是5，，8．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，正確化為一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．7．（2023春?宿松縣期末）一元二次方程化為一般形式后，常數項為A． B．6 C． D．5【答案】【分析】方程化為一般形式后，找出常數項即可．【解答】解：方程整理得：，則常數項為5．故選：．【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為：，，為常數且．【題型3一元二次方程的解】滿分技法判斷一個數是否為一元二次方程的根的妙招將已知數分別代入一元二次方程的左右兩邊，若左右兩邊的值相等，則這個數是方程的根，否則不是.8．（2024春?廬陽區校級期中）如果是方程的解，那么常數的值為A．2 B．1 C． D．【答案】【分析】將代入，即可求得常數的值．【解答】解：把代入方程，得，解得：，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解，一元一次方程的解法，解決此題的關鍵是能運用解的定義得出一元一次方程．9．（2024春?瑤海區期中）已知一元二次方程的一個根為，則的值是A．2020 B．2021 C．2023 D．2025【答案】【分析】根據一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：一元二次方程的一個根為，，，．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．10．（2024春?廬陽區校級期中）若關于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】【分析】先將方程，整理得：，然后設，則，再根據題意可得，從而進行計算即可解答．【解答】解：，整理得：，設，，關于的一元二次方程有一根為，有一個根為，，解得：，一元二次方程必有一根為2026，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解，準確熟練地進行是進行計算是解題的關鍵．11．（2024春?包河區期中）如果關于的一元二次方程的一個解是，那么代數式的值是2023．【答案】2023．【分析】根據關于的一元二次方程的一個解是，可以得到的值，然后將所求式子變形，再將的值代入，即可解答本題．【解答】解：關于的一元二次方程的一個解是，，，．故答案為：2023．【點評】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關鍵是明確一元二次方程的解的含義．【題型4解一元二次方程-直接開平方法】滿分技法用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟第1步:移項,即將方程化為僅左邊含有未知數的完全平方式;第2步:開平方,即若右邊是非負數(若為負數，則方程無實數根)，則根據平方根的意義求解，注意右邊開方后必須取正、負兩個平方根;第3步:寫出一元二次方程的兩個根.12．（2023春?蒙城縣期中）方程的根是A．， B．， C． D．，【答案】【分析】利用直接開平方法解方程即可．【解答】解：，，，，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．13．（2022春?定遠縣期末）如果關于的方程可以用直接開平方法求解，那么的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據解一元二次方程直接開平方法，進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：，，故選：．【點評】本題考查了解一元二次方程直接開平方法，熟練掌握負數沒有平方根是解題的關鍵．14．（2023春?廬陽區期末）方程的解是，．【分析】首先移項可得，再兩邊直接開平方即可．【解答】解：，移項得：，兩邊直接開平方得：，，故答案為：，．【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數的項移到等號的左邊，把常數項移項等號的右邊，化成的形式，利用數的開方直接求解．15．（2022春?定遠縣期末）解方程：．【答案】，．【分析】方程整理后，利用直接開平方法求出解即可．【解答】解：方程整理得：，開方得：，解得：，．【點評】此題考查了解一元二次方程直接開平方法，熟練掌握方程的解法是解本題的關鍵．【題型5解一元二次方程-配方法】滿分技法用配方法解一元二次方程的一般步驟第1步:化,把方程化為一元二次方程的一般形式,且使二次項系數為1;第2步:移,使方程左邊是二次項和一次項,右邊是常數項;第3步:配,方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方;第4步:開,當方程的右邊是非負數時,用直接開平方法解方程;第5步:寫,寫出一元二次方程的兩個根!16．（2024春?廬陽區校級期中）一元二次方程，用配方法變形可得A． B． C． D．【答案】【分析】利用配方法將原方程變形即可．【解答】解：，配方得：，即，故選：．【點評】本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．17．（2024春?大觀區校級期中）用適當的方法解方程：．【答案】，．【分析】先移項，把方程化為，再配方得到，再解方程即可．【解答】解：，，則，即，，，．【點評】本題考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步驟”是解本題的關鍵．18．（2021春?廬陽區期末）解方程：．【分析】利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程．【解答】解：，，，所以，．【點評】本題考查了解一元二次方程配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．【題型6解一元二次方程-公式法】滿分技法“公式法”的三點注意：(1)使用公式法時，必須先把方程化為一般形式，再確定系數.(2)確定a,b,c的值時,要注意符號,不要遺漏“-”(3)利用公式法解方程時，要先計算b2-4ac的值,只有當b2-4ac≥0時，才能使用求根公式求方程的根.19．（2023春?大觀區校級期末）用求根公式解一元二次方程時，，的值是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】【分析】先按照未知數的降冪排列，據此可得答案．【解答】解：，，則，，，故選：．【點評】本題主要考查解一元二次方程的一般形式，認知一次項系數二次項系數常數項是解題的關鍵．20．（2023春?定遠縣期中）用公式法解關于的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．【答案】．【分析】根據公式法的公式，可得方程的各項系數，即可解答．【解答】解：根據與，可得，，，從而得到一元二次方程為．故答案為：．【點評】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟記公式是解題的關鍵．21．（2023春?淮北期末）解方程：．【答案】，．【分析】把方程化為一般形式，再利用公式法求解即可．【解答】解：，整理，得．，，，，，，．【點評】本題考查了一元二次方程，掌握求根公式是解答本題的關鍵．22．（2023春?合肥期末）解方程：．【分析】找出，，的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：這里，，，△，，則，．【點評】此題考查了解一元二次方程公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．【題型7解一元二次方程-因式分解法】滿分技法因式分解法一般步驟：第1步:移,即移項,將方程的右邊化為0;第2步:分,即將方程的左邊分解成兩個一次因式的積的形式;第3步:化,即令每個因式為0,轉化為兩個一元一次方程;第4步:解,即解這兩個一元一次方程,它們的解就是原一元二次方程的根23．（2014春?合肥期中）已知一元二次方程的兩根分別為，；則這個方程為A． B． C． D．【分析】由根與系數的關系求得方程，再把方程右邊分解因式即可．【解答】解：方程兩根分別為，，，，方程為．把方程的右邊分解因式得：，故選：．【點評】此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，以及分解因式法解一元二次方程，關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數的關系．兩根之和是，兩根之積為．24．（2024春?廬陽區校級期中）一元二次方程的根為A． B． C．， D．，【答案】【分析】先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：，，，或，所以，．故選：．【點評】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．25．（2024春?大觀區校級期中）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程的解，則這個三角形的周長是A．15 B．13 C．11或8 D．11和13【答案】【分析】根據題意解出方程，繼而利用三邊關系判斷能否組成三角形，即可得出答案．【解答】解：，，解得：，，三角形兩邊長分別為3和6，當第三邊長為2時，不符合構成三角形三邊關系，故此種情況舍去，當第三邊長為4時，符合構成三角形三邊關系，則周長為：，故選：．【點評】本題考查解一元二次方程，三角形三邊關系，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關鍵．26．（2024春?廬陽區校級期中）解方程：．【分析】利用因式分解法解出方程．【解答】解：或，．【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．【題型8換元法解一元二次方程】滿分技法換元法，是為了達到“降次”的目的,把高次方程轉化為一元二次方程是解題的關鍵.解題時,把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題簡化，這種方法叫做換元法.換元法體現了整體思想和轉化思想，其關鍵是構造元和換元.27．（2024春?瑤海區校級期中）關于的方程，則的值是A． B．1 C．或1 D．3或【答案】【分析】設，求出的值，進而可得出結論．【解答】解：設，則此方程可化為，，或，解得，，的值是1或．當時，，△，此方程無解，的值是1．故選：．【點評】本題考查的是換元法解一元二次方程，熟知把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法是解題的關鍵．28．（2023春?宣州區校級期中）已知、為實數，且滿足，則代數式的值為A．3或 B．3 C．或5 D．5【答案】【分析】設，方程化為關于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值．【解答】解：設，方程化為，分解因式得：，可得或，解得：或，，．故選：．【點評】此題考查了換元法解一元二次方程，做題時注意的值為非負數這個隱含條件．29．（2023春?合肥期末）若，則的值為A．2或 B．或6 C．6 D．2【答案】【分析】先設，則方程即可變形為，解方程即可求得即的值．【解答】解：設，則原方程可化為：，分解因式得：，解得：，．是非負數，．故選：．【點評】本題考查了換元法解一元二次方程．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．【題型9根的判別式】滿分技法判別式”斷“根”三步走：第1步:將一元二次方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),確定系數a,b,c的值,注意a,b,c的值要包含它前面的符號;第2步:計算△=b2-4ac的值;第3步:根據△與0的大小關系判斷方程根的情況.30．（2023春?太湖縣期中）關于的一元二次方程根的情況是A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．有一個實數根 D．沒有實數根【答案】【分析】先求出△的值，再判斷出其符號即可．【解答】解：方程整理得：，△，方程有兩個不相等的實數根．故選：．【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與△的關系是解答此題的關鍵．31．（2024春?廬陽區校級期中）關于的方程有兩個相等的實數根，若，，是的三邊長，則這個三角形一定是A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】【分析】由關于的方程有兩個相等的實數根，可得△，整理得，根據勾股定理逆定理判斷的形狀即可．【解答】解：關于的方程有兩個相等的實數根，△，整理得，是直角三角形，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理逆定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．32．（2024春?大觀區校級期中）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是且．【答案】且．【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且△，然后解兩個不等式得到它們的公共解即可．【解答】解：根據題意得且△，解得且．即的取值范圍是且．故答案為：且．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關系：當△時，方程有兩個不相等的實數根；當△時，方程有兩個相等的實數根；當△時，方程無實數根．【題型10根與系數的關系】滿分技法在實數范圍內運用根與系數的關系時，必須注意兩個條件:(1)方程必須是一元二次方程，即二次項系數不為0;(2)方程有實數根,即△≥0.33．（2024春?金安區校級期中）設方程的兩實數根為，，則的值為A． B．1 C． D．2【答案】【分析】直接利用根與系數的關系即可得到答案．【解答】解：方程的兩實數根為，，．故選：．【點評】本題考查一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．掌握一元二次方程根與系數的關鍵是解題的關鍵．34．（2024春?瑤海區校級期中）若、是方程的兩個根，則A．2026 B．2027 C．2024 D．2029【答案】【分析】由題意知，，，根據，代值求解即可．【解答】解：由題意知，，，，，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的根的定義，一元二次方程的根與系數的關系，代數式求值．熟練掌握一元二次方程的根的定義，一元二次方程的根與系數的關系是解題的關鍵．35．（2024春?安慶期中）若、是一元二次方程的兩根，則的值為．【答案】．【分析】由根與系數的關系得出，，代入計算可得．【解答】解：、是一元二次方程的兩根，，，．故答案為：．【點評】本題考查一元二次方程根與系數的關系：若、是一元二次方程的兩根時，，．36．（2024春?安慶期中）已知實數、滿足，若關于的一元二次方程的兩個實數根分別為、，則的值．【答案】．【分析】根據非負數的性質得出，，由一元二次方程根與系數的關系可得，，再將所求式子變形后代入即可得到答案．【解答】解：，，，，，的兩個實數根分別為、，，，．【點評】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握算式平方根和絕對值的非負性，求出，的值和一元二次方程根與系數的關系．37．（2024春?安慶期中）已知關于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若此方程的兩個實數根，，滿足，求的值．【答案】（1）見解析；（2）1或．【分析】（1）通過計算根的判別式的值得到△，然后根據根的判別式的意義得到結論；（2）根據根與系數的關系得，，再利用得到，則，然后解方程，從而得到滿足條件的的值．【解答】（1）證明：△，該方程總有兩個實數根；（2）解：根據根與系數的關系得，，，，，，即，解得，．故的值為1或．【點評】本題考查根與系數的關系及根的判別式，熟知一元二次方程根與系數的關系及根的判別式是解題的關鍵．【題型11配方法的應用】滿分技法配方時易出現的錯誤：移項忘記變號.(2)系數化為1時漏項.(3)方程兩邊沒有同時加上一次項系數一半的平方.審題做題時，我們要避免以上問題的出現！38．（2023春?大觀區校級期末）對于多項式，由于，所以有最小值3．已知關于的多項式的最大值為10，則的值為A．1 B． C． D．【答案】【分析】原式配方后，利用非負數的性質確定出的值即可．【解答】解：原式，當，即時，原式取得最大值，解得．故選：．【點評】此題考查了配方法的應用，以及非負數的性質：偶次方，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．39．（2023春?貴池區期中）【閱讀材料】把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用．例如：①用配方法因式分解：．解：原式．②求的最小值．解：原式．，，即的最小值為2．請根據上述材料解決下列問題：（1）在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：4．（2）因式分解：．（3）求的最小值．（4）用配方法因式分解：．【答案】（1）4；（2）；（3）2；（4）．【分析】（1）根據常數項等于一次項系數的一半進行配方即可；（2）將32化成，前三項配成完全平方式，再利用平方差公式進行因式分解；（3）將式子進行配方，利用偶次方的非負性可得即可得解；（4）先加上，再減去，配成完全平方式，再利用平方差公式進行因式分解．【解答】解：（1），故答案為：4；（2）；（3），，，的最小值為2；（4）；【點評】本題考查了配方法的應用，因式分解的應用，明確如何配方及偶次方的非負性，是解題的關鍵．40．（2024春?大觀區校級期中）我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．例：已知可取任何實數，試求二次三項式最小值．解：無論取何實數，總有．，即的最小值是．即無論取何實數，的值總是不小于的實數．問題：（1）已知，求證是正數．知識遷移：（2）如圖，在中，，，，點在邊上，從點向點以的速度移動，點在邊上以的速度從點向點移動．若點，同時出發，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，設的面積為，運動時間為秒，求的最大值．【答案】（1）見（1）的證明過程．（2）．【分析】（1）配方求最值．（2）先求，再配方求最值．【解答】證明：（1）．．．．是正數．（2）由題意：，，．．．．當時，有最大值．【點評】本題考查利用配方求最值，正確配方是求解本題的關鍵．過關檢測1．（2024春?廬陽區校級期中）下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據一元二次方程的定義進行判斷即可．【解答】解：、是一元一次方程，故本選項不符合題意；、是一元二次方程，故本選項符合題意；、是二元二次方程，故本選項不符合題意；、是分式方程，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數，且未知數的次數是2的整式方程是一元二次方程是解題的關鍵．2．（2024春?大觀區校級期中）用配方法解一元二次方程，配方正確的是A． B． C． D．【分析】移項，系數化成1，再配方，即可得出選項．【解答】解：，，，，，故選：．【點評】本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關鍵．3．（2024春?瑤海區期中）已知三角形的兩邊長為2和5，第三邊滿足方程，則三角形的周長為A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不對【答案】【分析】利用因式分解法求出方程的解，確定出三角形周長即可．【解答】解：方程，分解因式得：，解得：，，當時，，不能構成三角形；當時，三角形周長為．故選：．【點評】此題考查了解一元二次方程因式分解