.4充分條件與必要條件1．4.1充分條件與必要條件學問點一命題及真假的推斷1．下列命題：①若xy＝1，則x，y互為倒數；②平面內，四條邊相等的四邊形是正方形；③平行四邊形是梯形；④若ac2>bc2，則a>b.其中真命題的序號是________(填序號)．答案①④解析①④是真命題；②平面內，四條邊相等的四邊形是菱形，但不確定是正方形；③平行四邊形不是梯形．2．推斷下列語句是否是命題，若是，并推斷其真假．(1)x∈R，x2＋4x＋4≥0；(2)實數的平方是正數；(3)若x＋y和xy都是有理數，則x，y都是有理數；(4)60x＋9>4；(5)若x∈N，則x2＋4x＋7>0.解(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，對于x∈R，可以推斷此陳述句的真假，故它是命題，且是真命題．(2)該語句是命題.0的平方還是0，不是正數．故實數的平方是正數是假命題．(3)該語句是命題.eq\r(3)＋(－eq\r(3))和eq\r(3)×(－eq\r(3))都是有理數，但eq\r(3)，－eq\r(3)都是無理數，所以它是假命題．(4)這種含有未知數的語句，未知數的取值是否使不等式恒成立無法確定，不能推斷其真假，所以它不是命題．(5)因為當x∈N時，x2＋4x＋7>0恒成立，所以該語句是命題，且是真命題．學問點二充分條件與必要條件3．若a∈R，則“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件，也不是必要條件D．無法推斷答案A解析當a＝1時，|a|＝1成立，但當|a|＝1時，a＝±1，所以a＝1不確定成立，所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分條件．故選A.4．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既不是充分條件，也不是必要條件D．既是充分條件，也是必要條件答案C解析∵－2＜x＜1eq\o(?,/)x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1eq\o(?,/)－2＜x＜1.∴“－2＜x＜1”既不是“x＞1或x＜－1”的充分條件，也不是“x>1或x<－1”的必要條件．5．“a>b”是“a>|b|”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件答案B解析當a＝1，b＝－2時，滿意a＞b，但a＞|b|不成立，即充分性不成立．因為a>|b|≥b，所以必要性成立．故“a＞b”是“a＞|b|”的必要條件但不是充分條件．6．“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件答案A解析當x>1時，eq\f(1,x)<1成立；當x<0時，也滿意eq\f(1,x)<1，故“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的充分條件但不是必要條件．7．若p：a∈M∪N，q：a∈M，則p是q的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件答案B解析由a∈M∪Neq\o(?,/)a∈M，但a∈M?a∈M∪N，即peq\o(?,/)q，但q?p.8．“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的________條件．答案必要條件但不是充分解析由兩個三角形全等可得兩個三角形面積相等．反之不成立．所以“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的必要條件但不是充分條件．9．設集合M＝{1,2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的________條件．答案充分條件但不是必要解析當a＝1時，N＝{1}，此時N?M；當N?M時，a2＝1或a2＝2，解得a＝1或－1或eq\r(2)或－eq\r(2).故“a＝1”是“N?M”的充分條件但不是必要條件．10．給出下列四組命題：(1)p：兩個三角形相像，q：兩個三角形全等；(2)p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；(3)p：A?B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.試分別指出p是q的什么條件．解(1)∵兩個三角形相像eq\o(?,/)兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相像，∴p是q的必要條件但不是充分條件．(2)∵矩形的對角線相等，∴p?q，而對角線相等的四邊形不確定是矩形，∴qeq\o(?,/)p.∴p是q的充分條件但不是必要條件．(3)∵p?q，且q?p，∴p既是q的充分條件，又是q的必要條件．(4)∵peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，∴p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件．學問點三充分條件、必要條件的應用11．已知p：－4<x－a<4，q：2<x<3，若q是p的充分條件，則a的取值范圍為()A．1<a<6 B．－1<a<6C．1≤a≤6 D．－1≤a≤6答案D解析p：a－4<x<a＋4，q：2<x<3，由于q是p的充分條件，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤6.12．(多選)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要條件但不是充分條件，則a的值可能為()A．2B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)答案BC解析p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，當a＝0時，方程無解；當a≠0時，x＝－eq\f(1,a).由題意知peq\o(\s\up7(\a\vs4\al(?)),\s\do5(/))q，q?p，故a＝0舍去；當a≠0時，應有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).綜上可知，a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).故選BC.13．若a－1<x<a＋1成立的充分條件但不是必要條件是eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，則a的取值范圍為()A.eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)C．a<eq\f(1,2)或a>eq\f(3,2) D．a≤eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2)答案B解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤\f(1,2)，,a＋1>\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1<\f(1,2)，,a＋1≥\f(3,2)，))解得eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2).14．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一個充分條件但不是必要條件，則實數m的取值范圍是________．答案{m|m>1}解析由題意，得AB，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－1，,m＋1>2，))解得m>1.15．已知p：x<－1，q：x≤a.若p是q的必要條件但不是充分條件，則a的取值范圍是________，若p是q的充分條件但不是必要條件，則a的取值范圍是________．答案{a|a<－1}{a|a≥－1}解析若p是q的必要條件但不是充分條件，則{x|x≤a}{x|x<－1}，則a<－1.若p是q的充分條件但不是必要條件，則{x|x<－1}{x|x≤a}，則a≥－1.16．已知p：a≤x≤a＋1，q：0<x<4，若p是q的充分條件但不是必要條件，則a的取值范圍是________．答案0<a<3解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0<x<4}．∵p是q的充分條件但不是必要條件，∴MN，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a＋1<4，))解得0<a<3.17．已知p：－1<x<3，q：k－2≤x≤k＋5，若p是q的充分條件但不是必要條件，求實數k的取值范圍．解因為p是q的充分條件但不是必要條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2≤－1，,k＋5≥3，))解得－2≤k≤1，所以實數k的取值范圍為{k|－2≤k≤1}．18．設命題p：“a－1≤x≤a＋1”，命題q：“2≤x≤3”．(1)當a＝0時，推斷p是q的什么條件；(2)若p是q的必要條件但不是充分條件，求實數a的取值范圍．解(1)當a＝0時，命題p：“－1≤x≤1”，命題q：“2≤x≤3”，明顯p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件．(2)命題p：“a－1≤x≤a＋1”，命題q：“2≤x≤3”．因為p是q的必要條件但不是充分條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥3，,a－1<2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>3，,a－1≤2，))解得2≤a≤3，所以實數a的取值范圍是2≤a≤3.19．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．(1)若p是q的必要條件但不是充分條件，求實數m的取值范圍；(2)若p是q的充分條件但不是必要條件，求實數m的取值范圍．解(1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因為p是q的必要條件但不是充分條件，所以q是p的充分條件但不是必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10.))解得m≤3.又m>0，所以實數m的取值范圍為{m|0<m≤3}．(2)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因為p是q的充分條件但不是必要條件，設p代表的集合為A，q代表的集合為B，所以AB.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))解得m>9或m≥9，所以m≥9，即實數m的取值范圍是{m|m≥9}．易錯點推斷充分、必要條件時忽視隱含條件致錯推斷下列說法是否正確，假如不正確，分析錯誤的緣由．(1)x2＝x＋2是xeq\r(x＋2)＝x2的充分條件；(2)x2＝x＋2是xeq\r(x＋2)＝x2的必要條件．易錯分析本題簡單忽視題目中的隱含條件致誤．正解(1)x2＝x＋2?x＝±eq\r(x＋2)，x＝±eq\r(x＋2)?x2＝±xeq\r(x＋2)，故x2＝x＋2eq\o(?,/)x2＝xeq\r(x＋2).故說法錯誤．(2)xeq\r(x＋2)＝x2?x＝0或eq\r(x＋2)＝x(其中x為正數)，故xeq\r(x＋2)＝x2eq\o(?,/)x2＝x＋2.故說法錯誤．一、單項選擇題1．錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件答案B解析“便宜沒好貨”的意思是“好貨”確定“不便宜”，所以“不便宜”是“好貨”的必要條件．2．設a，b∈R，則“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件答案A解析若(a－b)·a2<0，則必有a－b<0，即a<b；而當a<b時，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分條件但不是必要條件．3．設集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，則“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件答案B解析因為M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要條件但不是充分條件．故選B.4．設x∈R，則“|x|<1”是“x3＜1”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件答案A解析由|x|<1，得－1<x<1，所以－1<x3<1；由x3<1，得x<1，不能推出－1<x<1.所以“|x|<1”是“x3<1”的充分條件但不是必要條件．故選A.5．使|x|＝x成立的一個必要條件但不是充分條件是()A．x≥0B．x2≥－xC.eq\r(x)≥0D.eq\f(1,x)>0答案B解析由|x|＝x，得x≥0.選項A和C是必要條件也是充分條件，不符合題意；選項D是充分條件但不是必要條件，不符合題意．選項B滿意題意，故選B.6．已知p：4x＋m<0，q：x>2或x<－1，若p是q的充分條件但不是必要條件，則m的取值范圍為()A．m>4B．m<4C．m≥4D．m≤4答案C解析p：4x＋m<0，即x<－eq\f(m,4)，因為p是q的充分條件但不是必要條件，所以－eq\f(m,4)≤－1，即m≥4.7．王昌齡是盛唐聞名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關．黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最終一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的()A．必要條件B．充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件答案A解析由題意可知“返回家鄉”可以推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的必要條件．8．設x，y是兩個實數，則“x，y中至少有一個大于1”的一個充分條件但不是必要條件是()A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1答案B解析A項，x＋y＝2時，令x＝y＝1，不符合命題；而命題“x，y中至少有一個大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y≠2，所以既不是充分條件，也不是必要條件；B項，x＋y＞2時，若x，y都不大于1，則x＋y≤2沖突，可得x，y中至少有一個大于1；若“x，y中至少有一個大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y＜2，所以是充分條件但不是必要條件；C項，x2＋y2＞2時，令x＝－2，y＝0，不符合命題；若“x，y中至少有一個大于1”，令x＝1.1，y＝0，x2＋y2＜2，所以既不是充分條件，也不是必要條件；D項，xy＞1時，令x＝－1，y＝－2，不符合命題；若“x，y中至少有一個大于1”，令x＝－1，y＝2，xy＜1，所以既不是充分條件，也不是必要條件．二、多項選擇題9．下列不等式中，是|x|<1的一個充分條件的是()A．x<1 B．0<x<1C．－1<x<0 D．－1<x<1答案BCD解析由于|x|<1，即－1<x<1，x<1eq\o(?,/)－1<x<1，故A錯誤；0<x<1?－1<x<1，故B正確；－1<x<0?－1<x<1，故C正確；D明顯正確，故選BCD.10．下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y B．若x2＝1，則x＝1C．若x＝y，則eq\r(x)＝eq\r(y) D．若x<y，則x2<y2答案BC解析p是q的必要條件，則q是p的充分條件．對于A，當x＝y＝0時，推不出eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，A不正確；對于B，x＝1?x2＝1，B正確；對于C，eq\r(x)＝eq\r(y)?x＝y，C正確；對于D，令x＝－2，y＝－3，則x2<y2eq\o(?,/)x<y，D不正確．故選BC.11．下面四個條件中，使a>b成立的充分條件但不是必要條件是()A．a≥b＋1 B．a>2bC．a2>b2 D．a>|b|答案AD解析對于A，由a≥b＋1>b，從而a≥b＋1?a>b；反之，若a＝4，b＝3.5，則4>3.5eq\o(?,/)4≥3.5＋1，故a>beq\o(?,/)a≥b＋1，故A正確；對于B，當a＝－3，b＝－2時，－3>－4eq\o(?,/)－3>－2，故B錯誤；對于C，若a＝－4，b＝3，則(－4)2>32eq\o(?,/)－4>3，故C錯誤；對于D，由a>|b|≥b，從而a>|b|?a>b，反之，若a＝1，b＝－2，則1>－2eq\o(?,/)1>|－2|，故a>beq\o(?,/)a>|b|，故D正確．故選AD.12．下列說法正確的是()A．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要條件但不是充分條件B．設a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要條件但不是充分條件C．“a<－1”是“方程x2＋x＋a＝0有一個正根和一個負根”的充分條件但不是必要條件D．“A≠?”是“A∩B≠?”的充分條件但不是必要條件答案BC解析當x≥2且y≥2時，x2＋y2≥4，當x2＋y2≥4時卻不確定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分條件但不是必要條件，故A錯誤；因為“ab＝0”是“a＝0”的必要條件但不是充分條件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要條件但不是充分條件，故B正確；由“方程x2＋x＋a＝0有一個正根和一個負根”，得a<0，所以“a<－1”是“方程x2＋x＋a＝0有一個正根和一個負根”的充分條件但不是必要條件，故C正確；由“A≠?”得不到“A∩B≠?”，即“A≠?”不是“A∩B≠?”的充分條件，由“A∩B≠?”可知“A≠?”，即“A≠?”是“A∩B≠?”的必要條件，故“A≠?”是“A∩B≠?”的必要條件但不是充分條件，故D錯誤．故選BC.三、填空題13．“a和b都是偶數”是“a＋b也是偶數”的________條件．答案充分條件但不是必要解析當a和b都是偶數時，則a＋b也是偶數；當a＋b為偶數時，a，b可以都為奇數．14．“a為素數”________“a為奇數”的充分條件(填“是”或“不是”)．答案不是解析素數是除了1和它本身以外不再有其他因數的數，奇數是不能被2整除的數．當a＝2時，a為素數，但a是偶數不是奇數．所以“a為素數”不是“a為奇數”的充分條件．15．設p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分條件，則實數m的取值范圍為________．答案m≥4解析令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因為p是q的充分條件，所以A?B.所以m≥4.16．已知P＝{x|－a－4<x<a＋4}，Q＝{x||x|<6}．若P＝Q，則a＝________；若“x∈P”是“x∈Q”的充分條件但不是必要條件，則a的取值范圍為________．答案2a<2解析Q＝{x||x|<6}＝{x|－6<x<6}，若P＝Q，則a＋4＝6，a＝2.若“x∈P”是“x∈Q”的充分條件但不是必要條件，則PQ，則需滿意a＋4<6，得a<2.四、解答題17．指出下列命題中，p是q的什么條件．(1)p：數a能被6整除，q：數a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形．解(1)數a能被6整除，則確定能被3整除，反之不確定成立．即p?q，qeq\o(?,/)p，∴p是q的充分條件但不是必要條件．(2)∵x2>1?x>1或x<－1，∴p?q，且qeq\o(?,/)p.∴p是q的充分條件但不是必要條件．(3)△ABC中，有兩個角相等時為等腰三角形，不確定為正三角形，即peq\o(?,/)q，且q?p，∴p是q的必要條件但不是充分條件．18．已知條件p：x<1－a或x>1＋a和條件q：x<eq\f(1,2)或x>1，求使p是q的充分條件但不是必要條件的最小正整數a.解依題意a>0.由條件p：x<1