章末復(fù)習(xí)課第二章

直線和圓的方程隨堂演練一、兩直線的平行與垂直二、兩直線的交點(diǎn)與距離問題三、直線與圓的位置關(guān)系內(nèi)容索引四、圓與圓的位置關(guān)系知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)一、兩直線的平行與垂直1.判斷兩直線平行、垂直的方法(1)若不重合的直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1＝k2?l1∥l2.(2)若直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1·k2＝－1?l1⊥l2.(討論兩直線平行、垂直不要遺漏直線斜率不存在的情況)2.討論兩直線的平行、垂直關(guān)系，可以提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).3當(dāng)2－2a＝－a，即a＝2時(shí)，∴AB和CD不平行；即a2－2a－3＝0.∴a＝3或a＝－1.∴AB與CD平行.∴AB與CD重合.∴當(dāng)a＝3時(shí)，直線AB和直線CD平行.∴AB與CD平行.∴AB與CD重合.∴當(dāng)a＝3時(shí)，直線AB和直線CD平行.(2)若點(diǎn)A(4，－1)在直線l1：ax－y＋1＝0上，則l1與l2：2x－y－3＝0的位置關(guān)系是______.解析將點(diǎn)A(4，－1)的坐標(biāo)代入ax－y＋1＝0，垂直反思感悟一般式方程下兩直線的平行與垂直：已知兩直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知直線l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為_____.(2)已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，則m＝____.解析因?yàn)橹本€x＋my＋6＝0與(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，－3－1二、兩直線的交點(diǎn)與距離問題1.兩條直線的位置關(guān)系的研究以兩直線的交點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過交點(diǎn)與距離涵蓋直線的所有問題.2.兩直線的交點(diǎn)與距離問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1.兩條直線的位置關(guān)系的研究以兩直線的交點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過交點(diǎn)與距離涵蓋直線的所有問題.2.兩直線的交點(diǎn)與距離問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).例2

(1)若點(diǎn)(1，a)到直線y＝x＋1的距離是

則實(shí)數(shù)a的值為A.－1 B.5C.－1或5 D.－3或3√解得a＝－1或a＝5，∴實(shí)數(shù)a的值為－1或5.(2)過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.解設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2

(1)設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是關(guān)于x的方程x2＋x－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這兩條直線之間的距離為√解析根據(jù)a，b是關(guān)于x的方程x2＋x－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，(2)已知直線l過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且點(diǎn)P(0,4)到直線l的距離為2，則這樣的直線l的條數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3√所以滿足條件的直線l有2條.故選C.方法二依題意，設(shè)經(jīng)過直線l1與l2交點(diǎn)的直線l的方程為2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.代入得直線l的方程為y＝2或4x－3y＋2＝0，故選C.三、直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑長(zhǎng)為r.若d<r，則直線和圓相交；若d＝r，則直線和圓相切；若d>r，則直線和圓相離.(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，其判別式為Δ.Δ＝0?直線與圓相切；Δ>0?直線與圓相交；Δ<0?直線與圓相離.2.研究直線與圓的位置關(guān)系，集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).例3

已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)當(dāng)m∈R時(shí)，證明l與C總相交；證明直線的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，由點(diǎn)斜式可知，直線恒過點(diǎn)P(4，－3).由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交.(2)m取何值時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短？并求此弦長(zhǎng).解圓的方程可化為(x－3)2＋(y＋6)2＝25.如圖，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度最短.此時(shí)PC⊥l，反思感悟直線與圓問題的類型(1)求切線方程：可以利用待定系數(shù)法結(jié)合圖形或代數(shù)法求得.(2)弦長(zhǎng)問題：常用幾何法(垂徑定理)，也可用代數(shù)法結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解.跟蹤訓(xùn)練3已知圓C關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱，且過點(diǎn)P(－2,2)和原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程；解由題意知，直線x＋y＋2＝0過圓C的圓心，設(shè)圓心C(a，－a－2).由題意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.因?yàn)閳A心C(－2,0)，半徑r＝2，所以圓C的方程為(x＋2)2＋y2＝4.(2)相互垂直的兩條直線l1，l2都過點(diǎn)A(－1,0)，若l1，l2被圓C所截得的弦長(zhǎng)相等，求此時(shí)直線l1的方程.解由題意知，直線l1，l2的斜率存在且不為0，所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由題意，得圓心C到直線l1，l2的距離相等，所以直線l1的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.四、圓與圓的位置關(guān)系1.圓與圓的位置關(guān)系：一般利用圓心間距離與兩半徑和與差的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.2.圓與圓的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).例4

已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0與圓C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)證明圓C1與圓C2相切，并求過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程；解把圓C1與圓C2都化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.所以圓C1與圓C2相切.即3x－2y－3＝0，就是過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程.(2)求過點(diǎn)(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點(diǎn)的圓的方程.解由圓系方程，可設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.反思感悟兩圓的公共弦問題(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長(zhǎng)的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.跟蹤訓(xùn)練4

(1)已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為____________.解析AB的中垂線即為圓C1、圓C2的連心線C1C2.又C1(3,0)，C2(0,3)，所以C1C2所在直線的方程為x＋y－3＝0.x＋y－3＝0(2)已知圓C1：x2＋y2－4x＋2y＝0與圓C2：x2＋y2－2y－4＝0.①求證：兩圓相交；證明圓C1的方程可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圓C2的方程可化為x2＋(y－1)2＝5，∴兩圓相交.②求兩圓公共弦所在直線的方程.解將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0.隨堂演練1.若直線3x＋4y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.－5<m<15 B.m<－5或m>15C.m<4或m>13 D.4<m<13√1234解析圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圓心為(1，－2)，半徑為2，∴m<－5或m>15.故選B.2.“m＝－2”是“直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：x＋my－3＝0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析若直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：x＋my－3＝0平行，則m2＝4，可得m＝±2.當(dāng)m＝2時(shí)，直線l1：2x＋4y－6＝0，直線l2：x＋2y－3＝0，兩直線重合，不符合題意.所以“直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：x＋my－3＝0平行”等價(jià)于“m＝－2”.所以“m＝－2”是“直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：x＋my－3＝0平行”的充要條件.12343.(多選)點(diǎn)P是直線x＋y－3＝0上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)P向圓O：x2＋y2＝4作切線，則切線長(zhǎng)可能為√1234√√解析根據(jù)題意，由點(diǎn)P向圓O：x2＋y2＝4作切線，設(shè)T為切點(diǎn)，圓O：x2＋y2＝4，其圓心為(0,0)，半徑r＝2，當(dāng)|PO|最小時(shí)，|PT|最小，4.(多選)以下四個(gè)命題表述正確的是A.直線mx＋4y－12＝0(m∈R)恒過定點(diǎn)(0,3)B.圓C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線4x－3y＋3＝0的距離為2C.圓C1：x2＋y2＋2x＝0與圓C2：x2＋y2－4x－8y＋4＝0恰有三條公切線D.兩圓x2＋y2＋4x－4y＝0與x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦所在的直線方程

為x＋2y＋6＝01234√√解析對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x＝0時(shí)y＝3，所以直線過定點(diǎn)(0,3)，故A選項(xiàng)正確；1234備用工具&資料4.(多選)以下四個(gè)命題表述正確的是A.直線mx＋4y－12＝0(m∈R)恒過定點(diǎn)(0,3)B.圓C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線4x－3y＋3＝0的距離為2C.圓C1：x2＋y2＋2x＝0與圓C2：x2＋y2－4x－8y＋4＝0恰有三條公切線D.兩圓x2＋y2＋4x－4y＝0與x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦所在的直線方程

為x＋2y＋6＝01234√√2.“m＝－2”是“直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：x＋my