第四章圖形的相似回顧與思考數學九年級上冊BS版要點回顧典例講練目錄CONTENTS數學九年級上冊BS版01要點回顧

等于

ad

＝

bc

ad

＝

bc

BC

AC

2.平行線分線段成比例.（1）定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段

成比例.（2）推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的

對應線段成比例.（3）基本圖形：3.相似三角形的判定及性質.（1）相似三角形的判定.①定理一：兩角分別

的兩個三角形相似（最常用的判

定）.②定理二：兩邊成比例且

相等的兩個三角形相似.③定理三：三邊

的兩個三角形相似.相等

夾角

成比例

（2）相似多邊形的判定：每個角對應相等、每條邊對應成比例

的多邊形相似.（3）相似三角形（多邊形）的性質.①定理一：相似三角形

的比、

?的

比和

的比都等于相似比.②定理二：相似三角形（多邊形）的周長比等于

?，

面積比等于

?.對應高

對應角平分線

對應中線

相似比

相似比的平方

4.圖形的位似.（1）一般地，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點

P

，

P

'所

在的直線都經過同一點

O

，且有

OP

'＝

k

·

OP

（

k

≠0），那么這

樣的兩個多邊形叫做

，這個點

O

叫做

?

，

k

就是這兩個相似多邊形的相似比，每組位似對應點與位

似中心共線.（2）位似多邊形除具有相似多邊形的所有性質外，還具有下列

性質：①對應頂點的連線經過位似中心；②對應邊平行或在同

一條直線上；

③對應頂點到位似中心的距離之比等于相似比.位似多邊形

位似中

心

數學九年級上冊BS版02典例講練要點一

成比例線段與黃金分割

（1）下面四組線段中，成比例的是（

B

）A.

a

＝2，

b

＝3，

c

＝4，

d

＝5B.

a

＝1，

b

＝2，

c

＝2，

d

＝4C.

a

＝4，

b

＝6，

c

＝5，

d

＝10D.

a

＝

，

b

＝

，

c

＝3，

d

＝

B【思路導航】若其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘

積，則四條線段成比例線段.對選項進行一一分析，排除錯誤

答案.

【點撥】根據成比例線段的定義，注意在相乘的時候，最長的

和最短的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等.若線段帶

單位，注意單位要統一.（2）已知點

P

是線段

MN

的黃金分割點，當

MN

＝1時，

PM

的

長是

?.【思路導航】分

PM

＞

PN

和

PM

＜

PN

兩種情況，根據黃金

比計算.

1.已知線段

a

，

b

，

c

，

d

是成比例線段，其中

b

＝3cm，

d

＝4

cm，

c

＝6cm，則線段

a

的長度可能為（

B

）A.5cmB.2cmC.4cmD.1cm2.若樂器上一根弦

AB

＝80cm，兩端點

A

，

B

固定在樂器板面

上，期間支撐點

C

是

AB

的黃金分割點（

AC

＞

BC

），則

BC

的

長是（

C

）A.（40

－40）cmB.（40

－80）cmC.（120－40

）cmD.（120＋40

）cmBC要點二

平行線分線段成比例

如圖，已知直線

l1∥

l2∥

l3，

AC

分別交

l1，

l2，

l3于點

A

，

B

，

C

；

DF

分別交

l1，

l2，

l3于點

D

，

E

，

F

，

AC

與

DF

交于點

O

，且

DE

＝3，

EF

＝6，

AB

＝4.（1）求

AC

的長；

【思路導航】（1）利用平行線分線段成比例定理，列出比例式

解答；（2）利用相似三角形的性質，列出比例式解答.

【點撥】此題考查了平行線分線段成比例與相似三角形的性

質，這兩者有所區別.其中，第（2）問涉及

BE

，

CF

，但

BE

，

CF

并不是被平行線截得的線段，考慮利用相似三角形的性質進

行解答.

如圖，在△

ABC

中，已知

DE

∥

BC

，

EF

∥

AB

，且

AD

∶

DB

＝

3∶2，

BC

＝25，求

FC

的長.解：∵

DE

∥

BC

，∴

EC

∶

AE

＝

BD

∶

AD

.

∵

EF

∥

AB

，∴

EC

∶

AE

＝

FC

∶

BF

.

∴

FC

∶

BF

＝

BD

∶

AD

.

∵

AD

∶

DB

＝3∶2，∴

BD

∶

AD

＝2∶3.∴

FC

∶

BF

＝2∶3.∴

FC

∶

BC

＝2∶5，即

FC

∶25＝2∶5.∴

FC

＝10.要點三

相似多邊形

如圖，已知四邊形

ABCD

∽四邊形

A1

B1

C1

D1，∠

A

＝80°，

∠

B

＝75°，∠

C

＝125°，求∠

D1的度數以及

x

的值.

【思路導航】根據四邊形的內角和等于360°求出∠

D

的度數，

再根據相似多邊形的對應角相等可得∠

D1＝∠

D

；根據相似多

邊形對應邊成比例列式即可求得

x

的值.

【點撥】本題考查了相似多邊形的性質，主要利用了相似多邊

形對應角相等、對應邊成比例的性質，熟記性質是解題的關鍵.

如圖，已知四邊形

ABCD

∽四邊形

A

'

B

'

C

'

D

'，求

x

，

y

的值以及

∠

C

'的度數.

要點四

相似三角形的性質與判定

（1）如圖，點

P

是正方形

ABCD

的邊

AB

上一點（不與點

A

，

B

重合），連接

PD

并將線段

PD

繞點

P

按順時針方向旋轉

90°得到線段

PE

，

PE

交邊

BC

于點

F

，連接

BE

，

DF

.

解：①∵四邊形

ABCD

是正方形，∴∠

A

＝∠

PBC

＝90°，

AB

＝

AD

.

∴∠

ADP

＋∠

APD

＝90°.由題意可知，∠

DPE

＝90°，∴∠

APD

＋∠

FPB

＝90°.∴∠

FPB

＝∠

ADP

＝32°.

【點撥】本題主要考查了正方形的性質，以及三角形相似的判

定與性質，正確應用三角形相似的性質是解題的關鍵.（2）如圖，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝10cm，

BC

＝8

cm.點

P

從點

C

出發，以2cm/s的速度沿

CA

向點

A

勻速運動，同

時點

Q

從點

B

出發，以1cm/s的速度沿

BC

向點

C

勻速運動，當

一個點到達終點時，另一個點隨之停止.經過幾秒，△

PCQ

與△

ABC

相似？【思路導航】根據相似三角形的判定分兩種情況討論，再求出

時間即可.解：設經過

t

s，△

PCQ

與△

ABC

相似.∵∠

C

＝∠

C

，∴分為兩種情況：

【點撥】本題考查相似三角形中的動點問題，解決此類問題時

一定要注意三角形相似時的對應邊，若對應邊不確定時，要注

意進行分類討論.

1.如圖，在正方形

ABCD

中，點

M

是

BC

邊上的任意一點，連接

AM

并將線段

AM

繞點

M

按順時針方向旋轉90°得到線段

NM

，與

CD

交于點

Q

.

在

CD

邊上取點

P

使

CP

＝

BM

，連接

NP

，

BP

，

AQ

.

（1）求證：

BP

＝

MN

；

（2）若△

MCQ

∽△

AMQ

，求證：

BM

＝

MC

.

2.如圖，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

＝10cm，

BC

＝16

cm.點

D

從點

A

出發沿

AB

方向向點

B

勻速運動，同時點

E

從點

B

出發沿

BC

方向向點

C

勻速運動，它們的速度均為1cm/s，連接

DE

.

設運動時間為

t

（s）（0＜

t

＜10）.解答下列問題：（1）當

t

為何值時，△

BDE

的面積為7.5cm2？

（2）在點

D

，

E

的運動過程中，是否存在時間

t

，使得△

BDE

與△

ABC

相似？若存在，請求出對應的

t

的值；若不存在，請說

明理由.

要點五

相似三角形的實際應用

學習了相似三角形的相關知識后，小明和同學們想利用

“標桿”測量大樓的高度.如圖1，小明站立在地面點

F

處，他的

同學在點

B

處豎立“標桿”

AB

，使小明的頭頂點

E

、桿頂點

A

、樓頂點

C

在一條直線上（點

F

，

B

，

D

也在一條直線上）.已

知小明的身高

EF

＝1.5m，“標桿”

AB

＝2.5m，

BD

＝23m，

FB

＝2m.圖1（1）求大樓

CD

的高度（

CD

垂直于地面

BD

）；圖1（2）如圖2，小明站在原來的位置，同學們通過移動標桿，可

以用同樣的方法測得樓

CD

上點

G

的高度

GD

＝11.5m，則相對

于第一次測量，標桿

AB

應該向大樓方向移動多少米？圖2【思路導航】（1）過點

E

作

EH

⊥

CD

于點

H

，交

AB

于點

J

，則

四邊形

EFBJ

和四邊形

EFDH

都是矩形，利用相似三角形的性質

求出

CH

，即可得出結論；（2）過點

E

作

ET

⊥

CD

于點

T

，交

移動后的標桿于點

R

，利用相似三角形的性質求解即可.解：（1）如圖1，過點

E

作

EH

⊥

CD

于點

H

，交

AB

于點

J

，則

四邊形

EFBJ

和四邊形

EFDH

都是矩形.∴

BJ

＝

DH

＝

EF

＝1.5m，

EJ

＝

FB

＝2m，

JH

＝

BD

＝23m.∵

AB

＝2.5m，圖1∴

AJ

＝

AB

－

BJ

＝2.5－1.5＝1（m）.∵

AJ

∥

CH

，∴△

EAJ

∽△

ECH

.

∴

CH

＝12.5m.∴

CD

＝

CH

＋

DH

＝12.5＋1.5＝14（m）.故大樓

CD

的高度為14m.（2）設標桿

AB

移動至

A1

B1處.如圖2，過點

E

作

ET

⊥

CD

于點

T

，交

A1

B1于點

R

.

設

B1

F

＝

x

m.∵

A1

R

∥

GT

，∴△

EA1

R

∽△

EGT

.

∴

x

＝2.5.∴標桿

AB

應該向大樓方向移動2.5－2＝0.5（m）.圖2圖2【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是學

會添加常用輔助線，構造相似三角形.屬于中考?？碱}型.

如圖，小丁家窗外有一堵圍墻

AB

，由于圍墻的遮擋，清晨太陽

光恰好從窗戶的最高點

C

射進房間地面的

D

處，中午太陽光恰

好能從窗戶的最低點

E

射進房間地面的

F

處，

AB

⊥

BD

于點

B

，

CE

⊥

BD

于點

O

，小丁測得

OE

＝1m，

CE

＝1.5m，

OF

＝1.2

m，

OD

＝12m，求圍墻

AB

的高度.

要點六

圖形的位似

如圖，在平面直角坐標系中，已知△

ABC

三個頂點的坐標

分別為

A

（2，1），

B

（1，4），

C

（3，2）.請解答下列問

題：（1）畫出△

ABC

關于

y

軸對稱的△

A1

B1

C1，并直接寫出點

C1的

坐標；（2）以原點

O

為位似中心，相似比為1∶2，在

y

軸的右側，畫

出△

ABC

放大后的△

A2

B2

C2，并直接寫出點

C2的坐標；（3）若點

D

（

a

，

b

）在線段

BC

上，請直接寫出經過（2）的

變化后點

D

的對應點

D2的坐標.【思路導航】（1）依據軸對稱的性質，即可得到△

ABC

關于

y

軸對稱的△

A1

B1

C1，進而得出點

C1的坐標；（2）依據以原點

O

為位似中心，相似比為1∶2，即可得出△

ABC

放大后的△

A2

B2

C2，進而得到點

C2的坐標；（3）依據以原點

O

為位似中心，相

似比為1∶2，即可得出點

D