第9章平面向量

9.4向量應用

基礎過關練

題組一向量在幾何中的應用

22

1.在直角三角形ABC中，點。是斜邊A8的中點，點P為線段CO的中點，則PA+PB_

PC2

（）

A.2B.4C.5D.10

2.（2021江蘇白塔高級中學月考）在^ABC中，設裕-同2=2詢尻，那么動點M的軌

跡必通過△A3c的（）

A.垂心B.內心C.外心D.重心

3.（2022江蘇南通海門實驗中學期末）如圖所示，在正方形A3CD中，已知|幅=2,若

點N為正方形內（含邊界）任意一點，則而?麗的最大值是.

4.（2021山東煙臺一中月考）如圖，設尸,。分別是梯形A3c。的對角線AC,8D的中

點.

⑴試用向量的方法證明:PQ〃48;

（2）若府|=3面求登的值.

題組二向量在物理中的應用

5.（2021江蘇射陽中學月考）一質點受到平面上的三個力842,冗（單位我）的作用

而處于平衡狀態，已知B產2成90。角，且尸的大小分別為2N和4N,則F3的大

小為（）

A.6NB.2NC.2V5ND.2V7N

6.某人騎車以akm/h的速度向東行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為2a

km/h時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速的大小和方向.

能力提升練

題組一向量在幾何中的應用

1.（2022江蘇太湖高級中學階段檢測）在4ABC中，角A氏C所對的邊分別為a,b,c,

若氏c="=120。,且。是邊上的動點（不含端點），則煙+而）?網+前）的取值范

圍是（）

A.[-8,10）B.[-16,40）

C.[-8,40）D.[-16,48）

2.（2021江蘇鎮江期末）已知點「是^ABC內的一點，刀甘（而+元），則△ABC的面積

與△P3C的面積之比為（）

A.2B.3C.|D.6

3.（2021江蘇泰州中學月考）正方形A3CD的邊長為1,點尸在線段AC上運動，則

Q?（而+而）的取值范圍為_________.

,1^---------------SB

4.（2022江蘇三倉中學期末）如圖，在△A3C中，已知NB4C=12（r,AB=2,AC=4,點D

在BC上，且BD=2DC,E是4c的中點,AQ,BE相交于O點.

（1）求線段的長；

（2）求NEOQ的余弦值.

題組二向量在物理中的應用

5.（多選X2021山東臨胸實驗中學期中）在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個

行李包的情境.假設行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為

尸1尸2,且尸1|=舊2|,b1與B的夾角為。.下列結論中正確的是（）

A.e越大越費力,。越小越省力

B.e的取值范圍為［o,幻

C.當供我寸,|B|二|G|

D.當仇當時，周=|G|

6.(2021江蘇灌云高級中學月考)質量m=2.0kg的木塊，在平行于斜面向上，大小為

10N的拉力廠的作用下，沿傾斜角6=30。的光滑斜面向上滑行了|s|=2.0m的距

離.(g=9.8N/kg)

(1)分別求木塊所受各力對木塊所做的功；

(2)在這個過程中，木塊所受各力對木塊做功的代數和是多少？

答案與分層梯度式解析

第9章平面向量

9.4向量應用

基礎過關練

Pf+PF,引產+|麗|2_方2+而2

,PC2_|PC|2-PC2

_(PC+CA)2+(PC+CB')2

_超__

_2|近1+2無6+畫+麗2

~~

=^^-6=42-6=10.

\PC\2

2.C設BC的中點為O,

則前2一荏2=(而+荏＞(前一而)=2而.近=2詢?玩，即(而-施)?就二詬?近=0,

所以雨，近，

所以動點M在線段BC的中垂線上，

所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心.

故選C.

3.答案4

解析以A為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系，則4(0,0),5(2,0),

設N(x,y)(0S^2,0筑2),

則四=(2,0),而=(x,y),

所VXAB-AN=2xe[0,4],所以布.前的最大值是4.

4.典J1)我:為8。的中點，

：.CB+CD=2CQ.

VP為AC的中點,#.

2PQ=2CQ-2CP^(CB+CD)^CA=CB+CD+AC^AB+'CD.

由而與福共線，可設而=/而，

則2所=(1+2)福

.?質=殍而.①

在梯形ABCD中,|而國而|,.?"齊1,

.,質〃福即PQ//AB.

(2):?向量荏與而反向，

且|而|=3|而|,

.,.屈=-3而，即2=一,將其代入①式，

得麗亭福場

.PQ_1

??——.

AB3

5.答案C

信息提取①一質點受到平面上的三個力尸|出,尸3的作用而處于平衡狀態;②M,尸2成90。角;③的

大小分別為2N,4N.

數學建模以物理中的質點受力平衡問題為背景構建數學模型,求解質點的受力大小.根據向量垂直的

充要條件,向量加法的幾何意義，向量數量積的運算，從而求出力尸3的大小.

解析由題意知尸3=-(尸|+尸2),

二+尸2)]2=理+母+2Q優=4+16=20,

...島|=2通.

故用的大小為24N.

故選C.

6.解析設此人行駛的速度為則間=。,無風時此人感覺到風速為乜設實際風速為v,由題意知，此人所感

到的從正北方向吹來的風速為v-a,

如圖所示，令萬5=-a,麗=-24

由^-PO+OA=PA,mPA=v-a,yJPO+OB=PB,

.?.而”2”,即此人的速度是原來的2倍時所感到的風速.由題意得/已3。=45。/4,8。,胡=4。,從而

△BP。為等腰三角形，

/.PB=PO,ZPOA=ZAPO=45°,

.?.尸0=或。,即|W=或4km/h.

故實際吹來的風是西北風，其大小為aakm/h.

解題模板

用向量法解決物理問題時，正確作出相應的幾何圖形有助于建立數學模型.用向量知識來解決共點

力的問題往往需要把向量平移到同一作用點上.

能力提升練

1.C以所在直線為x軸,BC的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

B0I)C

因為b=c=44=120。,所以40,2),8(2/5,0),C(2g,0),設D(x,0)^e(-273,273),

則說=(-x,2),麗=(-2通-x,0),覺=(2巡-x,0),

所以兩+而)舊+沆)=(-2存2x,2>(2叵2犬,2)=4/-8,

因為xG(-2g,2g),

所以4r-8引-8,40),

所以(而+而)?(育+沆)的取值范圍是[-8,40).

故選C.

2.B如圖，取BC的中點O,連接A。,則點P在線段4。上，過點P作PMLBC于點M,過點A作ANLBC

于點N,

BDMNC

則而三(而+硝，

因為而=：(荏+前)，所以而=：而,

貝"同二3而，因止匕|而|二1而I,即PD=^AD.

易知RtAPDMSRSADN,

因噴啜W

所以S—BJ#N?BC=4N=3

S^PBC^PMBCPM

故選B.

3.答案卜2周

解析以A為坐標原點/B,A￡＞所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系,如圖,

則A(0,0),8(1,0),C(1,1),￡>(0,1),

設P(xj)(081),

貝|J/P=(羽x),PB=(1?x,?x),PO=(?x,l-x),

/.AP-(PB+PD)=(x^c)-(1-2x,1-2x)=2%(1-2x)=-4x2+2x=-4(^x—+^(0<x<l),

/.當x=：時，存?(而+而)有最大值,為:，

當x=I時，9?(而+而)有最小值，為-2,

???欣(而+而)的取值范圍是卜蜀.

4.解析(1)易得麗=荏-同三亞-布，

：.[BE\2=BE2=(^AC-AB'fAC2^AC-AB+AB2\AC\2-\AC\-\AB\COSZBAC+\AB\2=\2,

.?.函=2b，即BE=2V3.

易得而=而+前=同+|尻=南+|(宿福[AC+^AB,

：.[AD\2=AD2=(^AC+^AB^^AC2-^AC-AB+^AB2^\AC\2+^\AC\-\AB\COSZBAC+^\AB\2=^,

.，.麗=率，即A小率.

⑵由(1)知麗AC^ABjD=l^4C+|AB,

：.ADBE=(^AC+:硝G前-硝=萍2,而通-萬2=2_興_4卓22=6

易知NE。。為而與麗的夾角，

和證_6_3回

/.cosNEOD=

I布II前「逅森方一百,

5.AD對于A,根據題意，得|0=尸|+乃|,

故|GF*F+|同2+2圖x|同xcos6=2間2（+c°s。）,解得國F=募篇

由題意知。￡（0㈤時,y=cos6單調遞減，所以。越大越費力,9越小越省力，故A正確;

對于B,由題意知。的取值范圍是（0,兀），故B錯誤；

對于C,當咐時,間2=字所以周=￥。|,故C錯誤;

對于D,當供