專題3.8函數、方程與不等式的關系（專題訓練卷）一、單選題1．（2023·山西晉中·高三（理））已知集合，，則等于（）A． B． C． D．2．（2023·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的區間為（）A． B． C． D．3.（2023·河南南陽市·南陽中學）若不等式的解集為，則函數的圖象可以為（）A． B．C． D．4．已知函數，若實數a滿足f(a)＝f(a－1)，則f（）＝()A．2 B．4C．6 D．85．（2023·合肥市第六中學）已知函數滿足∶當時，，當時，，若，且，設，則()A．沒有最小值 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為6．（2023·天津高一期末）已知函數，若關于的方程有三個不同的實根，則數的取值范圍是（）A． B． C． D．7.（2023·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．8.（2023·全國高一專題練習）已知函數，若存在兩相異實數使，且，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國）已知二次函數的圖象過原點，且，，則的可能是（）A．20 B．21 C．30 D．3210.（2023·普寧市普師高級中學）如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標為，與軸的交點在，之間（包含端點），則下列結論正確的是（）A．當時， B．C． D．11．（2023·全國高一課時練習）已知關于的方程，則下列結論中正確的是（）A．方程有一個正根一個負根的充要條件是B．方程有兩個正根的充要條件是C．方程無實數根的必要條件是D．當時，方程的兩個實數根之和為012.（2023·遼寧高三月考）已知定義域為的函數滿足是奇函數，為偶函數，當，，則（）A．是偶函數 B．的圖象關于對稱C．在上有3個實數根 D．三、填空題13．（2023·浙江高考真題）已知，函數若，則___________.14.（2023·江蘇省高三其他）設表示不超過實數的最大整數(如，)，則函數的零點個數為_______.15．（2023·上海高三三模）函數，如果方程有四個不同的實數解、、、，則．16．（2023·懷仁市第一中學校（文））在下列命題中，正確命題的序號為___________.（寫出所有正確命題的序號）①函數的最小值為；②已知定義在上周期為4的函數滿足，則一定為偶函數；③定義在上的函數既是奇函數又是以2為周期的周期函數，則；④已知函數，若，則.四、解答題17.（2023·福建上杭一中高三月考）已知冪函數（）是偶函數，且在上單調遞增．（1）求函數的解析式；（2）若，求的取值范圍；18．（2023·全國高三專題練習）已知，，，試比較實數a?b?c的大小關系.19．（2023·全國高三專題練習）求二元函數的最小值．20．（2023·重慶市第二十九中學校）設函數．（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若，求的最小值．21．（2023·云南省玉溪第一中學高一月考）已知函數．（1）若的解集為，求實數，的值；（2）當時，若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．22．（2023·浙江師范大學附屬東陽花園外國語學校高二月考）已知函數，若對于任意的與，且有，均滿足：（1）求a的取值范圍？（2）當，函數的最小值為M（a），對于給定范圍內的實數a，求得M（a）的最小值.專題3.8函數、方程與不等式的關系（專題訓練卷）一、單選題1．（2023·山西晉中·高三（理））已知集合，，則等于（）A． B． C． D．答案：A分析：分別解出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，所以.故選：A.2．（2023·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的區間為（）A． B． C． D．答案：B【解析】由函數的單調性和函數零點存在定理，即可判斷零點所在的區間．【詳解】函數在上為增函數，由，（1），（1）結合函數零點存在定理可得方程的解在，內．故選：．3.（2023·河南南陽市·南陽中學）若不等式的解集為，則函數的圖象可以為（）A． B．C． D．答案：C分析：由題可得和是方程的兩個根，求出，再根據二次函數的性質即可得出.【詳解】由題可得和是方程的兩個根，且，，解得，則，則函數圖象開口向下，與軸交于.故選：C.4．已知函數，若實數a滿足f(a)＝f(a－1)，則f（）＝()A．2 B．4C．6 D．8答案：D【解析】(1)由題意得a>0.當0<a<1時，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝，解得a＝，則f（）＝f(4)＝8.當a≥1時，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．故選D.5．（2023·合肥市第六中學）已知函數滿足∶當時，，當時，，若，且，設，則()A．沒有最小值 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為答案：B分析：根據已知條件，首先利用表示出，然后根據已知條件求出的取值范圍，最后利用一元二次函數并結合的取值范圍即可求解.【詳解】∵且，則，且，∴，即由，∴，又∵，∴當時，，當時，，故有最小值.故選：B.6．（2023·天津高一期末）已知函數，若關于的方程有三個不同的實根，則數的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A【解析】作出函數的圖像和直線，如圖所示，當，函數的圖像和直線有三個交點，所以.故選：A7.（2023·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A分析：分析函數的單調性，解出不等式，再根據條件列出不等式即可得解.【詳解】當時，，則在上遞減，當時，，則在上遞減，于是得在上是減函數，因此，不等式等價于，解得，依題意，存在，使成立，從而得，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A8.（2023·全國高一專題練習）已知函數，若存在兩相異實數使，且，則的最小值為（）A． B． C． D．答案：B分析：由題設可得，又即為方程兩個不等的實根，即有，結合、得，即可求其最小值.【詳解】由題意知：當有，∵知：是兩個不等的實根.∴，而，∵，即，∴，令，則，∴當時，的最小值為.故選：B二、多選題9．（2023·全國）已知二次函數的圖象過原點，且，，則的可能是（）A．20 B．21 C．30 D．32答案：BC分析：由題意設，求得，（1），（3），設，求得，，再由不等式的性質，即可得到所求范圍，從而判斷出結果．【詳解】解：二次函數的圖象過原點，設，由，（1），可得，，又（3），設，可得，，解得，，則（3）（1），，（1），可得（3）．即（3）的取值范圍是，，符合條件只有選項BC.故選：BC．10.（2023·普寧市普師高級中學）如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標為，與軸的交點在，之間（包含端點），則下列結論正確的是（）A．當時， B．C． D．答案：AC分析：根據二次函數的性質可得函數與軸的另一交點為，結合函數圖象及對稱軸即可判斷；【詳解】解：依題意拋物線與軸交于點，頂點坐標為，所以函數與軸的另一交點為，所以當時，，故A正確；當時，，故B錯誤；拋物線與軸交于點，且，，，，，，，，，所以C正確，D錯誤；故選：AC．11．（2023·全國高一課時練習）已知關于的方程，則下列結論中正確的是（）A．方程有一個正根一個負根的充要條件是B．方程有兩個正根的充要條件是C．方程無實數根的必要條件是D．當時，方程的兩個實數根之和為0答案：ABC分析：根據一元二次方程根與系數的關系，結合根的分布情況、對應二次函數的性質判斷各選項的正誤即可.【詳解】A選項中，方程有一個正根一個負根則即；同時時方程有一個正根一個負根；是方程有一個正根一個負根的充要條件.B選項中，方程有兩個正根則即；同時時方程有兩個正根；是方程有兩個正根的充要條件.C選項中，方程無實數根則即；而時方程可能無實根也可能有實根；故是方程無實數根的必要條件.D選項中，時知方程無實根；故選：ABC12.（2023·遼寧高三月考）已知定義域為的函數滿足是奇函數，為偶函數，當，，則（）A．是偶函數 B．的圖象關于對稱C．在上有3個實數根 D．答案：BC【解析】由為偶函數，得到的圖象關于對稱，可判定B正確；由是奇函數，得到函數關于點對稱，得到和，根據題意，求得，可判定D不正確；由，可判定A不正確；由，可判定C正確.【詳解】根據題意，可得函數的定義域為，由函數為偶函數，可得函數的圖象關于對稱，即，所以B正確；由函數是奇函數，可得函數的圖象關于點對稱，即，可得，則，即函數是以8為周期的周期函數，當時，，可得，即，所以D不正確；由函數是以8為周期的周期函數，可得，因為，令，可得，所以，所以函數一定不是偶函數，所以A不正確；當時，，所以，由，可得，又由，所以C正確.故選：BC.三、填空題13．（2023·浙江高考真題）已知，函數若，則___________.答案：2分析：由題意結合函數的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.14.（2023·江蘇省高三其他）設表示不超過實數的最大整數(如，)，則函數的零點個數為_______.答案：2【解析】函數的零點即方程的根，函數的零點個數，即方程的根的個數..當時，.當時，或或（舍）.當時，，方程無解.綜上，方程的根為，1.所以方程有2個根，即函數有2個零點.故答案為：2.15．（2023·上海高三三模）函數，如果方程有四個不同的實數解、、、，則．答案：4【解析】作出函數的圖象，方程有四個不同的實數解，等價為和的圖象有4個交點，不妨設它們交點的橫坐標為、、、，且，由、關于原點對稱，、關于對稱，可得，，則．故答案為：4．16．（2023·懷仁市第一中學校（文））在下列命題中，正確命題的序號為___________.（寫出所有正確命題的序號）①函數的最小值為；②已知定義在上周期為4的函數滿足，則一定為偶函數；③定義在上的函數既是奇函數又是以2為周期的周期函數，則；④已知函數，若，則.答案：②③④分析：根據函數性質，逐項分析判斷即可得解.【詳解】①當時，無最小值，故①錯誤；②因為，所以的圖象關于直線對稱，又的周期為4，所以，救函數一定為偶函數，故②正確；③因為是定義在上的奇函數又是以2為周期的周期函數，所以，，，故.又，，所以，故③正確；④因為為奇函數，函數在上單調遞增，若，則，有，所以，故④正確.故答案為：②③④四、解答題17.（2023·福建上杭一中高三月考）已知冪函數（）是偶函數，且在上單調遞增．（1）求函數的解析式；（2）若，求的取值范圍；答案：（1）；（2）.分析：（1）根據冪函數，偶函數的定義以及題意可知，，，即可求出，得到函數的解析式；（2）由偶函數的性質以及函數的單調性可得，即，即可解出．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上單調遞增，為偶函數，∴，即．(2)∵∴，，，∴，即的取值范圍為．18．（2023·全國高三專題練習）已知，，，試比較實數a?b?c的大小關系.答案：分析：由題意化為，則點是拋物線上的點，結合二次函數的圖象與性質，得到，，再利用作差比較得到，即可求解.【詳解】由，可得，則點是拋物線上的點，由，可知是上方的點，如圖所示，故滿足的點應為陰影內的拋物線上除去的點，所以，，又由，所以，綜上可得：.故答案為：.19．（2023·全國高三專題練習）求二元函數的最小值．答案：分析：解法一看成關于x的二次函數，y為參數，利用二次函數的性質求解；解法二由二元函數結構特點，將函數關系看成是點和點的距離，再由點的軌跡是直線，點的軌跡是雙曲線，轉化為直線上的點和雙曲線上的點的距離平方的最小值求解.【詳解】解法一（二次函數極值法）：首先看成關于x的二次函數，y為參數．，頂點在，且開口向上的拋物線．所以（時最小）．解法二（構造法）：由二元函數結構特點，可將函數關系看成是點和點的距離，而點的軌跡是直線，點的軌跡是雙曲線，所以問題就轉化為直線上的點和雙曲線上的點的距離平方的最小值，如圖所示：由圖可知：連線過原點且與直線垂直時，其交點C到點B最近，此時A，B，C三點的坐標是，，，，即的最小值是．20．（2023·重慶市第二十九中學校）設函數．（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若，求的最小值．答案：（1）；（2）．分析：（1）由不等式的解集．，是方程的兩根，由根與系數的關系可求，值；（2）由，得到，將所求變形為展開，利用基本不等式求最小值．【詳解】解：（1）∵的解集為，是的兩根，．（2）由于，，，則可知，得，所以，當且僅當且，即時成立，所以的最小值為.21．（2023·云南省玉溪第一中學高一月考）已知函數．（1）若的解集為，求實數，的值；（2）當時，若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．答案：（1），；（2）.分析：（1）根據一元二次不等式與一元二次方程之間的關系，可將問題轉化為，是一元二次方程的兩根，再根據韋達定理列方程組可解得；（2）不等式恒成立，分離參數可得，令轉化為求最小值即可．【詳解】（1）因為的解集為，所以的解集為，所以2，是一元二次方程的兩根．可得，解得．（2）當時，不等式恒成立，則對于恒成立，令，，則．因為，當且僅當即時取等號，所以，所以，所以的取值范圍為．22．（2023·浙江師范大學附屬東陽花園外國語學校高二月考）已知函數，若對于任意的與，且有，均滿足：（1）求a的取值范圍？（2）當，函數的最小值為M（