微專題4概率統計與數列的交匯4.[2024·新高考Ⅰ卷]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人接著投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃狀況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；技法領悟概率問題與數列的交匯，綜合性較強，主要有以下類型1．求通項公式：關鍵是找出概率Pn或數學期望E(Xn)的遞推關系式，然后依據構造法(一般構造等比數列)，求出通項公式．2．求和：主要是數列中的公式求和、錯位求和、裂項求和．3．利用等差、等比數列的性質，探討單調性、最值．[鞏固訓練4][2024·山東煙臺三模]現有甲、乙兩個袋子，每個袋子中均裝有大小、形態、質地完全相同的2個黑球和1個紅球，若每次分別從兩個袋子中隨機摸出1個球相互交換后放袋子中，重復進行n(n∈N*)次此操作．記第n次操作后，甲袋子中紅球的個數為Xn.(1)求X1的分布列和數學期望；(2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1個紅球的概率Pn.微專題4概率統計與數列的交匯[例4](1)解析：記“第2次投籃的人是乙”為事務A，“第1次投籃的人是甲”為事務B，則A＝BA＋A，所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(2)解析：設第i次投籃的人是甲的概率為pi，由題意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋，所以pi＋1－＝(pi－)，又p1－＝＝，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以pi－＝×()i－1，所以pi＝×()i－1.(3)解析：設第i次投籃時甲投籃的次數為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當Xi＝0時，表示第i次投籃的人是乙，當Xi＝1時，表示第i次投籃的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，則E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝×()i－1，所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝×[1＋＋()2＋…＋()n－1]＝＝.[鞏固訓練4](1)解析：由題知，X1的全部可能取值為0、1、2，P(X1＝0)＝＝，P(X1＝1)＝＝，P(X1＝2)＝＝，所以，X1的分布列為X1012P所以，X1的數學期望E(X1)＝0×＋1×＋2×＝1.(2)解析：由題知，P(Xn＋1＝1)＝(1×)P(Xn＝0)＋()P(Xn＝1)＋(×1)P(Xn＝2)，又P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＝1，所以，P(Xn＋1＝1)＝[1－P(Xn＝1)－P(Xn＝2)]＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)，整理得，P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)，所以，P(Xn＋1＝1)－＝－，又因為P(X1＝1)－＝－