...wd......wd......wd...第三章中值定理與導數的應用教學目的：理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。會用二階導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。知道方程近似解的二分法及切線性。教學重點：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數的極值，判斷函數的單調性和求函數極值的方法；3、函數圖形的凹凸性；4、洛必達法則。教學難點：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應用；2、極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數的圖形描繪；4、洛必達法則的靈活運用。§31中值定理一、羅爾定理費馬引理設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義并且在x0處可導如果對任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))那么f(x0)0羅爾定理如果函數yf(x)在閉區間[a,b]上連續在開區間(a,b)內可導且有f(a)f(b)那么在(a,b)內至少在一點使得f()0簡要證明(1)如果f(x)是常函數則f(x)0定理的結論顯然成立(2)如果f(x)不是常函數則f(x)在(ab)內至少有一個最大值點或最小值點不妨設有一最大值點(ab)于是所以f(x)=0.羅爾定理的幾何意義二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數f(x)在閉區間[ab]上連續在開區間(ab)內可導那么在(ab)內至少有一點(a<<b)使得等式f(b)f(a)f()(ba)成立拉格朗日中值定理的幾何意義f()定理的證明引進輔函數令(x)f(x)f(a)(xa)容易驗證函數f(x)適合羅爾定理的條件(a)(b)0(x)在閉區間[ab]上連續在開區間(ab)內可導且(x)f(x)根據羅爾定理可知在開區間(ab)內至少有一點使()0即f()0由此得f()即f(b)f(a)f()(ba)定理證畢f(b)f(a)f()(ba)叫做拉格朗日中值公式這個公式對于b<a也成立拉格朗日中值公式的其它形式設x為區間[ab]內一點xx為這區間內的另一點(x>0或x<0)則在[xxx](x>0)或[xxx](x<0)應用拉格朗日中值公式得f(xx)f(x)f(xx)x(0<<1)如果記f(x)為y則上式又可寫為yf(xx)x(0<<1)試與微分dyf(x)x對比dyf(x)x是函數增量y的近似表達式而f(xx)x是函數增量y的準確表達式作為拉格朗日中值定理的應用我們證明如下定理定理如果函數f(x)在區間I上的導數恒為零那么f(x)在區間I上是一個常數證在區間I上任取兩點x1x2(x1<x2)應用拉格朗日中值定理就得f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2)由假定f()0所以f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)因為x1x2是I上任意兩點所以上面的等式說明f(x)在I上的函數值總是相等的這就是說f(x)在區間I上是一個常數例2證明當x0時證設f(x)ln(1x)顯然f(x)在區間[0x]上滿足拉格朗日中值定理的條件根據定理就有f(x)f(0)f()(x0)0<<x。由于f(0)0因此上式即為又由0x有三、柯西中值定理設曲線弧C由參數方程(axb)表示其中x為參數如果曲線C上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線那么在曲線C上必有一點x使曲線上該點的切線平行于連結曲線端點的弦AB曲線C上點x處的切線的斜率為弦AB的斜率為于是柯西中值定理如果函數f(x)及F(x)在閉區間[ab]上連續在開區間(ab)內可導且F(x)在(ab)內的每一點處均不為零那么在(ab)內至少有一點使等式成立顯然如果取F(x)x那么F(b)F(a)baF(x)1因而柯西中值公式就可以寫成f(b)f(a)f()(ba)(a<<b)這樣就變成了拉格朗日中值公式了§3.3泰勒公式對于一些較復雜的函數為了便于研究往往希望用一些簡單的函數來近似表達由于用多項式表示的函數只要對自變量進展有限次加、減、乘三種運算便能求出它的函數值因此我們經常用多項式來近似表達函數在微分的應用中已經知道當|x|很小時有如下的近似等式ex1xln(1x)x這些都是用一次多項式來近似表達函數的例子但是這種近似表達式還存在著缺乏之處首先是準確度不高這所產生的誤差僅是關于x的高階無窮小其次是用它來作近似計算時不能具體估算出誤差大小因此對于準確度要求較高且需要估計誤差時候就必須用高次多項式來近似表達函數同時給出誤差公式設函數f(x)在含有x0的開區間內具有直到(n1)階導數現在我們希望做的是找出一個關于(xx0)的n次多項式pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n來近似表達f(x)要求pn(x)與f(x)之差是比(xx0)n高階的無窮小并給出誤差|f(x)pn(x)|的具體表達式我們自然希望pn(x)與f(x)在x0的各階導數(直到(n1)階導數)相等這樣就有pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)npn(x)a12a2(xx0)nan(xx0)n1pn(x)2a232a3(xx0)n(n1)an(xx0)n2pn(x)3!a3432a4(xx0)n(n1)(n2)an(xx0)n3pn(n)(x)n!an于是pn(x0)a0pn(x0)a1pn(x0)2!a2pn(x)3!a3pn(n)(x)n!an按要求有f(x0)pn(x0)a0f(x0)pn(x0)a1f(x0)pn(x0)2!a2f(x0)pn(x0)3!a3f(n)(x0)pn(n)(x0)n!an從而有a0f(x0)a1f(x0)(k012n)于是就有pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2(xx0)n泰勒中值定理如果函數f(x)在含有x0的某個開區間(ab)內具有直到(n1)的階導數則當x在(ab)內時f(x)可以表示為(xx0)的一個n次多項式與一個余項Rn(x)之和其中(介于x0與x之間)這里多項式稱為函數f(x)按(xx0)的冪展開的n次近似多項式公式稱為f(x)按(xx0)的冪展開的n階泰勒公式而Rn(x)的表達式其中(介于x與x0之間)稱為拉格朗日型余項當n0時泰勒公式變成拉格朗日中值公式f(x)f(x0)f()(xx0)(在x0與x之間)因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣如果對于某個固定的n當x在區間(ab)內變動時|f(n1)(x)|總不超過一個常數M則有估計式及可見妝xx0時誤差|Rn(x)|是比(xx0)n高階的無窮小即Rn(x)o[(xx0)n]在不需要余項的準確表達式時n階泰勒公式也可寫成當x00時的泰勒公式稱為麥克勞林公式就是或其中由此得近似公式誤差估計式變為例1．寫出函數f(x)ex的n階麥克勞林公式解因為f(x)f(x)f(x)f(n)(x)ex所以f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1于是(0<)并有這時所產性的誤差為|Rn(x)||xn1|<|x|n1當x1時可得e的近似式其誤差為|Rn|<例2．求f(x)sinx的n階麥克勞林公式解因為f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(0)0f(0)1f(0)0f(0)1f(4)(0)0于是當m1、2、3時有近似公式sinxx§34函數單調性與曲線的凹凸性一、函數單調性的判定法如果函數yf(x)在[ab]上單調增加〔單調減少〕那么它的圖形是一條沿x軸正向上升〔下降〕的曲線這時曲線的各點處的切線斜率是非負的〔是非正的〕即yf(x)0(yf(x)0)由此可見函數的單調性與導數的符號有著密切的關系反過來能否用導數的符號來判定函數的單調性呢定理1(函數單調性的判定法)設函數yf(x)在[ab]上連續在(ab)內可導(1)如果在(ab)內f(x)0那么函數yf(x)在[ab]上單調增加(2)如果在(ab)內f(x)0那么函數yf(x)在[ab]上單調減少證明只證(1)在[ab]上任取兩點x1x2(x1x2)應用拉格朗日中值定理得到f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1x2)由于在上式中x2x10因此如果在(ab)內導數f(x)保持正號即f(x)0那么也有f()0于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)0即f(x1)f(x2)這函數yf(x)在[ab]上單調增加注判定法中的閉區間可換成其他各種區間例1判定函數yxsinx在[02]上的單調性解因為在(02)內y1cosx0所以由判定法可知函數yxcosx在[02]上的單調增加例2討論函數yexx1的單調性〔沒指明在什么區間若何辦)解yex1函數yexx1的定義域為()因為在(0)內y0所以函數yexx1在(0]上單調減少因為在(0)內y0所以函數yexx1在[0)上單調增加例3討論函數的單調性解函數的定義域為()當時函數的導數為(x0)函數在x0處不可導當x0時函數的導數不存在因為x0時y0所以函數在(,0]上單調減少因為x0時y0所以函數在[0,)上單調增加如果函數在定義區間上連續除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續那么只要用方程f(x)0的根及導數不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間就能保證f(x)在各個局部區間內保持固定的符號因而函數f(x)在每個局部區間上單調例4確定函數f(x)2x39x212x3的單調區間解這個函數的定義域為:()函數的導數為:f(x)6x218x126(x1)(x2)導數為零的點有兩個x11、x22列表分析(1][12][2)f(x)f(x)↗↘↗函數f(x)在區間(1]和[2)內單調增加在區間[12]上單調減少例5討論函數yx3的單調性解函數的定義域為()函數的導數為y3x2除當x0時y0外在其余各點處均有y0因此函數yx3在區間(0]及[0)內都是單調增加的從而在整個定義域()內是單調增加的在x0處曲線有一水平切線一般地如果f(x)在某區間內的有限個點處為零在其余各點處均為正〔或負〕時那么f(x)在該區間上仍舊是單調增加〔或單調減少〕的例6證明當x1時證明令則因為當x1時f(x)0因此f(x)在[1,)上f(x)單調增加從而當x1時f(x)f(1)由于f(1)0故f(x)f(1)0即也就是(x1)二、曲線的凹凸與拐點凹凸性的概念x1x1x2yxOf(x2)f(x1)x1x2yxOf(x2)f(x1)定義設f(x)在區間I上連續如果對I上任意兩點x1x2恒有那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)如果恒有那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)定義設函數yf(x)在區間I上連續如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區間I上是凹的；如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區間I上是凸的凹凸性的判定定理設f(x)在[ab]上連續在(ab)內具有一階和二階導數那么(1)假設在(ab)內f(x)>0則f(x)在[ab]上的圖形是凹的(2)假設在(ab)內f(x)<0則f(x)在[ab]上的圖形是凸的簡要證明只證(1)設x1x2[ab]且x1x2記由拉格朗日中值公式得兩式相加并應用拉格朗日中值公式得即所以f(x)在[ab]上的圖形是凹的拐點連續曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點確定曲線yf(x)的凹凸區間和拐點的步驟(1)確定函數yf(x)的定義域(2)求出在二階導數f`(x)(3)求使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點(4)判斷或列表判斷確定出曲線凹凸區間和拐點注根據具體情況〔1〕〔3〕步有時省略例1判斷曲線ylnx的凹凸性解因為在函數ylnx的定義域(0)內y<0所以曲線ylnx是凸的例2判斷曲線yx3的凹凸性解y3x2y6x由y0得x0因為當x<0時y<0所以曲線在(0]內為凸的因為當x>0時y>0所以曲線在[0)內為凹的例3求曲線y2x33x22x14的拐點解y6x26x12令y0得因為當時y0當時y0所以點()是曲線的拐點例4求曲線y3x44x31的拐點及凹、凸的區間解(1)函數y3x44x31的定義域為()(2)(3)解方程y0得(4)列表判斷(0)0(02/3)2/3(2/3)f(x)00f(x)111/27在區間(0]和[2/3)上曲線是凹的在區間[02/3]上曲線是凸的點(01)和(2/311/27)是曲線的拐點例5問曲線yx4是否有拐點解y4x3y12x2當x0時y>0在區間()內曲線是凹的因此曲線無拐點例6求曲線的拐點解(1)函數的定義域為()(2)(3)無二階導數為零的點二階導數不存在的點為x0(4)判斷當x<0當y>0當x>0時y<0因此點(00)曲線的拐點§35函數的極值與最大值最小值一、函數的極值及其求法極值的定義定義設函數f(x)在區間(a,b)內有定義x0(a,b)如果在x0的某一去心鄰域內有f(x)f(x0)則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值如果在x0的某一去心鄰域內有f(x)f(x0)則稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義如果在去心鄰域U(x0)內有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值(或極小值)函數的極大值與極小值統稱為函數的極值使函數取得極值的點稱為極值點函數的極大值和極小值概念是局部性的如果f(x0)是函數f(x)的一個極大值那只是就x0附近的一個局部范圍來說f(x0)是f(x)的一個最大值如果就f(x)的整個定義域來說f(x0)不一定是最大值關于極小值也類似極值與水平切線的關系在函數取得極值處曲線上的切線是水平的但曲線上有水平切線的地方函數不一定取得極值定理1(必要條件)設函數f(x)在點x0處可導且在x0處取得極值那么這函數在x0處的導數為零即f(x0)0證為確定起見假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明)根據極大值的定義在x0的某個去心鄰域內對于任何點xf(x)f(x0)均成立于是當xx0時因此f(x0)當xx0時因此從而得到f(x0)0簡要證明假定f(x0)是極大值根據極大值的定義在x0的某個去心鄰域內有f(x)f(x0)于是同時從而得到f(x0)0駐點使導數為零的點(即方程f(x)0的實根)叫函數f(x)的駐點定理１就是說可導函數f(x)的極值點必定是函數的駐點但的過來函數f(x)的駐點卻不一定是極值點考察函數f(x)x3在x0處的情況定理２(第一種充分條件)設函數f(x)在點x0的一個鄰域內連續在x0的左右鄰域內可導(1)如果在x0的某一左鄰域內f(x)0在x0的某一右鄰域內f(x)0那么函數f(x)在x0處取得極大值(2)如果在x0的某一左鄰域內f(x)0在x0的某一右鄰域內f(x)0那么函數f(x)在x0處取得極小值(3)如果在x0的某一鄰域內f(x)不改變符號那么函數f(x)在x0處沒有極值定理２(第一種充分條件)設函數f(x)在含x0的區間(a,b)內連續在(a,x0)及(x0,b)內可導(1)如果在(a,x0)內f(x)0在(x0,b)內f(x)0那么函數f(x)在x0處取得極大值(2)如果在(a,x0)內f(x)0在(x0,b)內f(x)0那么函數f(x)在x0處取得極小值(3)如果在(a,x0)及(x0,b)內f(x)的符號一樣那么函數f(x)在x0處沒有極值定理2(第一充分條件)設函數f(x)在x0連續且在x0的某去心鄰域(x0x0)(x0x0)內可導(1)如果在(x0x0)內f(x)0在(x0x0)內f(x)0那么函數f(x)在x0處取得極大值(2)如果在(x0x0)內f(x)0在(x0x0)內f(x)0那么函數f(x)在x0處取得極小值(3)如果在(x0x0)及(x0x0)內f(x)的符號一樣那么函數f(x)在x0處沒有極值定理2也可簡單地這樣說當x在x0的鄰近漸增地經過x0時如果f(x)的符號由負變正那么f(x)在x0處取得極大值如果f(x)的符號由正變負那么f(x)在x0處取得極小值如果f(x)的符號并不改變那么f(x)在x0處沒有極值(注定理的表達與教材有所不同)確定極值點和極值的步驟(1)求出導數f(x)(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點(3)列表判斷(考察f(x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況以便確定該點是否是極值點如果是極值點還要按定理2確定對應的函數值是極大值還是極小值)(4)確定出函數的所有極值點和極值例1求函數的極值解(1)f(x)在()內連續除x1外處處可導且(2)令f(x)0得駐點x1x1為f(x)的不可導點(3)列表判斷x(1)1(11)1(1)f(x)不可導0f(x)↗0↘↗(4)極大值為f(1)0極小值為定理3(第二種充分條件)設函數f(x)在點x0處具有二階導數且f(x0)0f(x0)0那么(1)當f(x0)0時函數f(x)在x0處取得極大值(1)當f(x0)0時函數f(x)在x0處取得極小值證明在情形(1)由于f(x0)0按二階導數的定義有根據函數極限的局部保號性當x在x0的足夠小的去心鄰域內時但f(x0)0所以上式即從而知道對于這去心鄰域內的x來說f(x)與xx0符號相反因此當xx00即xx0時f(x)0當xx00即xx0時f(x)0根據定理2f(x)在點x0處取得極大值類似地可以證明情形(2)簡要證明在情形(1)由于f(x0)0f(x0)0按二階導數的定義有根據函數極限的局部保號性在x0的某一去心鄰域內有從而在該鄰域內當xx0時f(x)0當xx0時f(x)0根據定理2f(x)在點x0處取得極大值定理3說明如果函數f(x)在駐點x0處的二導數f(x0)0那么該點x0一定是極值點并且可以按二階導數f(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值但如果f(x0)0定理3就不能應用討論函數f(x)x4g(x)x3在點x0是否有極值提示f(x)4x3f(0)0f(x)12x2f(0)0但當x0時f(x)0當x0時f(x)0所以f(0)為極小值g(x)3x2g(0)0g(x)6xg(0)0但g(0)不是極值．例2求函數f(x)(x21)31的極值解(1)f(x)6x(x21)2(2)令f(x)0求得駐點x11x20x31(3)f(x)6(x21)(5x21)(4)因f(0)60所以f(x)在x0處取得極小值極小值為f(0)0(5)因f(1)f(1)0用定理3無法判別因為在1的左右鄰域內f(x)0所以f(x)在1處沒有極值同理f(x)在1處也沒有極值二、最大值最小值問題在工農業生產、工程技術及科學實驗中常常會遇到這樣一類問題在一定條件下若何使“產品最多〞、“用料最省〞、“成本最低〞、“效率最高〞等問題這類問題在數學上有時可歸結為求某一函數〔通常稱為目標函數〕的最大值或最小值問題極值與最值的關系設函數f(x)在閉區間[ab]上連續則函數的最大值和最小值一定存在函數的最大值和最小值有可能在區間的端點取得如果最大值不在區間的端點取得則必在開區間(ab)內取得在這種情況下最大值一定是函數的極大值因此函數在閉區間[ab]上的最大值一定是函數的所有極大值和函數在區間端點的函數值中最大者同理函數在閉區間[ab]上的最小值一定是函數的所有極小值和函數在區間端點的函數值中最小者最大值和最小值的求法設f(x)在(ab)內的駐點和不可導點(它們是可能的極值點)為x1x2xn則對比f(a)f(x1)f(xn)f(b)的大小其中最大的便是函數f(x)在[ab]上的最大值最小的便是函數f(x)在[ab]上的最小值例3求函數f(x)|x23x2|在[34]上的最大值與最小值解在(34)內f(x)的駐點為不可導點為x1和x2由于f(3)20f(1)0f(2)0f(4)6對比可得f(x)在x3處取得它在[34]上的最大值20在x1和x2處取它在[34]上的最小值0例4工廠鐵路線上AB段的距離為100km工廠C距A處為20kmAC垂直于AB為了運輸需要要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3:5為了使貨物從供給站B運到工廠C的運費最省問D點應選在何處解設ADx(km)則DB100x設從B點到C點需要的總運費為y那么y5kCD3kDB(k是某個正數)即3k(100x)(0x100)現在問題就歸結為x在[0100]內取何值時目標函數y的值最小先求y對x的導數解方程y0得x15(km)由于y|x0400ky|x15380k其中以y|x15380k為最小因此當ADx15km時總運費為最省例2工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km,A點到火車站B的距離為100km.欲修一條從工廠到鐵路的公路CD.鐵路與公路每公里運費之比為3:5.為了使火車站B與工廠C間的運費最省,問D點應選在何處解設ADx(km)B與C間的運費為y則y5kCD3kDB(0x100)其中k是某一正數由0得x15由于y|x0400ky|x15380k其中以y|x15380k為最小因此當ADx15km時總運費為最省注意f(x)在一個區間(有限或無限開或閉)內可導且只有一個駐點x0并且這個駐點x0是函數f(x)的極值點那么當f(x0)是極大值時f(x0)就是f(x)在該區間上的最大值當f(x0)是極小值時f(x0)就是f(x)在該區間上的最小值f(f(x0)Oax0bxyf(x)yf(x0)Oax0bxyf(x)y應當指出實際問題中往往根據問題的性質就可以斷定函數f(x)確有最大值或最小值而且一定在定義區間內部取得這時如果f(x)在定義區間內部只有一個駐點x0那么不必討論f(x0)是否是極值就可以斷定f(x0)是最大值或最小值dhb例6把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁問矩形截面的高h和寬b應若何選擇才能使梁的抗彎截面模量W()dhb解b與h有下面的關系h2d2b2因而(0<b<d)這樣W就是自變量b的函數b的變化范圍是(0d)現在問題化為b等于多少時目標函數W取最大值為此求W對b的導數解方程W0得駐點由于梁的最大抗彎截面模量一定存在而且在(0d)內部取得現在函數在(0d)內只有一個駐點所以當時W的值最大這時即解把W表示成b的函數(0<b<d)由得駐點由于梁的最大抗彎截面模量一定存在而且在(0d)內部取得現在函數W在(0d)內只有一個駐點所以當時抗彎截面模量W最大這時§38函數圖形的描繪描繪函數圖形的一般步驟(1)確定函數的定義域并求函數的一階和二階導數(2)求出一階、二階導數為零的點求出一階、二階導數不存在的點(3)列表分析確定曲線的單調性和凹凸性(4)確定曲線的漸近性(5)確定并描出曲線上極值對應的點、拐點、與坐標軸的交點、其它點(6)聯結這些點畫出函數的圖形例1畫出函數yx3x2x1的圖形解(1)函數的定義域為()(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1)f(x)6x22(3x1)f(x)0的根為x1/31f(x)0的根為x1/3(3)列表分析x(1/3)1/3(1/31/3)1/3(1/31)1(1)f(x)00f(x)0f(x)↗極大↘拐點↘極小↗(4)當x時y當x時y(5)計算特殊點f(1/3)32/27f(1/3)16/27f(1)0f(0)1f(1)0f(3/2)5/8(6)描點聯線畫出圖形例2作函數的圖形解(1)函數為偶函數定義域為(,)圖形關于y軸對稱(2)令f(x)0得x0令f(x)0得x1和x1(3)列表x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)f(x)＋＋0－－f(x)＋0－－0＋yf(x)↗拐點↗極大值↘拐點↘(4)曲線有水平漸近線y0(5)先作出區間(0,)內的圖形然后利用對稱性作出區間(,0)內的圖形例3作函數的圖形解(1)函數的定義域為(3)(3)(2)令f(x)0得x3令f(x)0得x6(3)列表分析x(3)(33)3(36)6(6)f(x)0f(x)0f(x)↘↗4極大↘11/3拐點↘(4)x3是曲線的鉛直漸近線y1是曲線的水平漸近線(5)計算特殊點的函數值f(0)=1f(1)8f(9)8f(15)11/4(6)作圖§39曲率一、弧微分設函數f(x)在區間(ab)內具有連續導數在曲線yf(x)上取固定點M0(x0y0)作為度量弧長的基點并規定依x增大的方向作為曲線的正向對曲線上任一點M(xy)規定有向弧段的值s〔簡稱為弧s〕如下s的絕