與三角形有關的范圍(最值)問題題型一已知三角形的一角求取值范圍[典例1](2020·浙江高考)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知2bsinA－3a＝0.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范圍．[解](1)由正弦定理，得2sinBsinA＝3sinA，因為sinA≠0，0＜B＜π2，故sinB＝32，B＝(2)由A＋B＋C＝π，得C＝2π3－由△ABC是銳角三角形，得A∈π6由cosC＝cos2π3?A＝－12cosA＋cosA＋cosB＋cosC＝32sinA＋12cosA＝sinA+π6故cosA＋cosB＋cosC的取值范圍是3+題中的三角形形狀是銳角三角形，對角度有更細致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時候可以轉化為角的關系，消元后使得式子里只有一個角，轉化為求三角函數取值范圍問題．[跟進訓練]1．若△ABC的面積為34(a2＋c2－b2)，且C為鈍角，則B＝________；c60°(2，＋∞)[由已知得34(a2＋c2－b2)＝12acsinB，所以3a2+c2?b22ac＝sinB，由余弦定理得3cosB＝sinB，所以tanB＝3，所以B＝60°.又C＞90°，B＝60°，所以A＜30°，且A＋C＝120°，所以ca＝sinCsinA＝sin120°?AsinA＝【教師備選資源】1．已知在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝π3，則bA．54，3C．54，2D[因為A＝π3b2+c2＝4＝4＝43因為0<B<所以π6<B<π2，π6<2B所以12<sin2B?π6≤1，53即b2+c2．(2023·山東煙臺二模)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acsinB＝b2－(a－c)2.(1)求sinB；(2)求b2[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得acsinB＝b2－(a－c)2＝－2accosB＋2ac，由ac≠0，得sinB＋2cosB＝2，即cosB＝1－12sinB又因為sin2B＋cos2B＝1，所以sin2B＋1?1即5sin2B－4sinB＝0，在△ABC中，sinB＞0，所以sinB＝45(2)由(1)知sinB＝45cosB＝1－12sinB＝1－12×得b2＝a2＋c2－65ac所以b2a2+c2＝a2+當且僅當a＝c時等號成立．所以b2a2題型二已知三角形的一角及其對邊求取值范圍[典例2](2020·全國Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周長的最大值．[四字解題]讀想算思BC＝3，求最值的求法基本不等式余弦定理及AC·AB≤AC+轉化化歸、函數與方程△ABC周長的最大值三角函數利用正弦定理把BC，AC，AB表示成三角函數，再求最值[解](1)由正弦定理和已知條件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－12因為0＜A＜π，所以A＝2π(2)法一(基本不等式)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC＋AB)2－AC·AB＝9.因為AC·AB≤AC+AB22(當且僅當AC＝AB時取等號)，所以9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－AC+AB22＝解得AC＋AB≤23(當且僅當AC＝AB時取等號)，所以△ABC周長L＝AC＋AB＋BC≤3＋23，所以△ABC周長的最大值為3＋23.法二(三角函數法)：由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝從而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB+又0＜B＜π3所以當B＝π6時，△ABC周長取得最大值3＋23本題的求解可采用兩種思路：思路一是借助余弦定理及AC·AB≤AC+AB22求周長的范圍；思路二是借助正弦定理把AC，AB表示成三角函數，利用三角函數的性質求最值．重視在余弦定理中利用基本不等式，體現a＋b，ab，a2＋[跟進訓練]2．(2023·山東菏澤二模)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知△ABC的外接圓半徑R＝22，且tanB＋tanC＝2sin(1)求B和b的值；(2)求AC邊上高的最大值．[解](1)∵tanB＋tanC＝2sin∴sinBcosB即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∴sinA＝2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝22，∵0＜B＜π，∴B＝π由正弦定理得bsinB＝2R，∴b＝2R·sinB＝2×22(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得42＝a2＋c2－2ac，由基本不等式可得16＝a2＋c2－2ac≥2ac－2ac，當且僅當a＝c時取等號，∴ac≤162?2＝8(2＋∴S△ABC＝12acsinB＝24ac≤24×8(2＋2又S△ABC＝12·b·h，∴h≤2＋22∴AC邊上高的最大值為2＋22.題型三已知三角形的一角及其鄰邊求取值范圍[典例3]已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA+C2＝b(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．[解](1)由題設及正弦定理得sinAsinA+C2＝sinB因為sinA≠0，所以sinA+C2由A＋B＋C＝180°，可得sinA+C2故cosB2＝2sinB2cos因為cosB2≠0，故sinB2＝12(2)由題設及(1)知S△ABC＝34a由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.結合A＋C＝120°，得30°＜C<90°，故12＜a＜2，從而38＜S△ABC＜因此，△ABC面積的取值范圍是38本例由于含有附加條件“△ABC為銳角三角形”，故不能利用基本不等式求解，可以將邊轉化成三角函數后進行求解，求解思路類似于典例2．銳角三角形中求最值或范圍盡量向角轉化，因為用基本不等式無法轉化銳角三角形這個條件．[跟進訓練]3．在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，c＝2，A＝π3，則a＋b(1＋3，4＋23)[因為c＝2，A＝π3則由正弦定理，可得a＝csinAsinC＝3sinC，所以a＋b＝3＝1＋31+＝1＋3tan由△ABC是銳角三角形，可得0<C<π2，0<2π3－C<π2，則π6所以π12<C2<π4，2－3<tan所以1＋3<a＋b<4＋23.]題型四已知三角形中角(或邊)的關系求取值范圍[典例4](12分)(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+(1)若C＝2π3，求(2)求a2[規范解答](1)因為cosA1+sinA＝sin2B1+cos2B＝2sincosB2cos2B＝sinBcos而0＜B＜π3，所以B＝π6.(2)由(1)知，sinB＝－cosC＞0，所以π2＜C＜π，0＜B＜π而sinB＝－cosC＝sinC?π2，↓關鍵點：由此發現所以C＝π2＋B，所以A＝π2－2B.所以a2+b2↓切入點：實現＝cos＝2＝4cos2B＋2cos2B≥28－5＝42－5，·······················11分當且僅當cos2B＝22時取等號，所以a2+b2c2的最小值為4本題第(1)問難度較小，可以從中體會由角B，C的關系求B，進而發現求解第(2)問需要的角A，B，C的關系，再采用消元思想求解，解題的關鍵點是“sinB＝－cosC＝sinC?π2”[跟進訓練]4．(1)(2024·河南安陽模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝2B，則3a?cb的取值范圍為(A．(3，4] B．7C．3，134(2)(2024·山東煙臺模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角B的平分線交AC于點D，BD＝1且b＝2，則△ABC周長的最小值為________．(1)C(2)2＋22[(1)∵A＝2B，B＋2B＋C＝π，∴B∈0，π3，sinA＝sin2B＝2sinBcosB，sinC＝sin(A＋B)＝sin3B＝3sinB－4sin由正弦定理可得3a?cb＝3sinA?sinCsinB＝6sincosB?3令cosB＝t∈12，1，則3a?cb＝－4t由二次函數性質知－4t2＋6t＋1∈3，∴3a?cb∈3(2)因為∠ABC的平分線交AC于點D，BD＝1，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，即12acsin∠ABC＝12BD·c·sin∠ABC2+12BD因為sin∠ABC2≠2accos∠ABC2＝a＋c即cos∠ABC2＝a+c2ac，所以cos∠ABC＝2cos2由余弦定理的推論得，cos∠ABC＝a2所以2a+c2ac整理得(a＋c)2＝ac[(a＋c)2－4]，所以(a＋c)2＝ac[(a＋c)2－4]≤a+c24·[(a＋整理得(a＋c)2≥8，所以a＋c≥22，當且僅當a＝c＝2時等號成立，所以△ABC周長的最小值為2＋22.【教師備選資源】(2024·山東濟南期中)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，m＝(b，a)，n＝cosA+C2，(1)若c＝4，b＝7a，求△ABC的周長；(2)若BM＝2MA，|CM|＝6，求a＋c的取值范圍．[解](1)因為m∥n，所以bcos3π2+A＝由正弦定理得，sinBsinA＝sinAcosA+又sinA≠0，則sinB＝cosA+C2＝cosπ即2sinB2cosB2＝sin而sinB2≠故cosB2＝12，則B＝由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得7a2＝a2＋16－2a×4×?1整理可得3a2－2a－8＝0，解得a＝2或a＝－43(舍去)，則b＝27故△ABC的周長為6＋27.(2)設∠BCM＝α∈0，π3，∠BMC＝π由正弦定理得