2023～2024學年度高二下學期期末聯考試卷數學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第三冊，集合與常用邏輯用語，不等式，函數．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B．C． D．2．命題“”的否定是（）A． B．C． D．3．設隨機變量，若，則（）A． B． C． D．4．五人站成一排拍照，其中甲、乙必須相鄰且兩人均不能站兩端，則不同的站法有（）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種5．若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．6．對數函數與二次函數在同一坐標系內的圖象可能是（）A． B． C． D．7．某人外出，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8T若澆水，盆栽枯醬的概率為0.2．若鄰居澆水的概率為，該人回來時盆栽沒有枯萎的概率為0.74，則實數的值為（）A．0.9 B．0.85C．0.8 D．0.758．函數若關于的方程恰有兩個不同實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列四個命題中是假命題的為（）A．B．集合與集合是同一個集合C．“為空集”是“與至少有一個為空集”的充要條件D．已知，則是的充分不必要條件10．已知，且，則（）A． B．C． D．11．設隨機變量，函數沒有零點的概率是，則下列說法正確的是（）附：若，則．A．隨機變量的數學期望是1 B．隨機變量的方差是2C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中項的系數為______．13．已知為偶函數，且在上單調遞增，若，則實數的取值范圍是______．14．一質點在平面內每次只能向左或向右跳動1個單位，且第1次向左跳動．若前一次向左跳動，則后一次向左跳動的概率為；若前一次向右跳動，則后一次向左跳動的概率為．記第次向左跳動的概率為，則____________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）（1）已知，求的最小值；（2）求函數的定義域．16．（本小題滿分15分）電視劇《慶余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和騰訊視頻雙平臺開播以來，其收視率一路飆升，《慶余年2》劇組為了解該劇的收視情況，在喜歡看電視的居民中隨機抽取了1000名居民進行調查，其中，男性居民和女性居民人數之比為，且觀看本劇的居民比沒有觀看本劇的居民多800人，沒有觀看本劇的女性居民有50人．（1）完成列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否觀看《慶余年2》與性別有關聯？男性居民女性居民總計看過《慶余年2》沒看過《慶余年2》50總計1000（2）在這1000名居民中，按性別比例用分層隨機抽樣的方法從看過《慶余年2》的居民中隨機抽取9人，并從這9人中隨機抽取3人采訪其觀劇感受，記這3人中男性居民的人數為，求的分布列和數學期望．附：，其中．0.010.0050.0016.6357.87910.82817．（本小題滿分15分）腦機接口，即指在人或動物大腦與外部設備之間創建的直接連接，實現腦與設備的信息交換．近日埃隆．馬斯克宣布，腦機接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申請，該試驗可以實現意念控制手機和電腦．未來10到20年，我國腦機接口產業將產生數百億元的經濟價值．為了適應市場需求，同時兼顧企業盈利的預期，某科技公司決定增加一定數量的研發人員，經過調研，得到年收益增量（單位：億元）與研發人員增量（人）的10組數據．現用模型①，②分別進行擬合，由此得到相應的經驗回歸方程，并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖．根據收集到的數據，計算得到下表數據，其中．7.52.2582.504.5012.142.88（1）根據殘差圖，判斷應選擇哪個模型；（無需說明理由）（2）根據（1）中所選模型，求出關于的經驗回歸方程；并用該模型預測，要使年收益增量超過8億元，研發人員增量至少多少人？（精確到1）附：對于一組具有線性相關關系的數據，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為18．（本小題滿分17分）已知函數為偶函數．（1）求的值；（2）設函數，是否存在實數，使得函數在區間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．19．（本小題滿分17分）對于定義在上的函數和，若對任意給定的，不等式都成立，則稱函數是函數的“從屬函數”．（1）若函數是函數的“從屬函數”，且是偶函數，求證：是偶函數；（2）設，求證：當時，函數是函數的“從屬函數”；（3）若定義在上的函數和的圖象均為一條連續曲線，且函數是函數的“從屬函數”，求證：“函數在上是嚴格增函數或嚴格減函數”是“函數在上是嚴格增函數或嚴格減函數”的必要不充分條件．2023～2024學年度高二下學期期末聯考試卷?數學參考答案、提示及評分細則1．B ，所以．故選B．2．C 命題“”中含有全稱量詞，故該命題的否定需要將全稱量詞改為存在量詞，且只否定結論，不否定條件，所以該命題的否定為“”．故選C．3．D 由題意知，，解得，所以．故選D．4．C 由題意，首先將甲、乙兩人捆綁，有種方法，其次將捆綁后的甲、乙安排在中間2個位置，有種方法，最后將剩余3人全排列，有種方法，所以不同的站法有種．故選C．5．B 的解集為，即恒成立，當時，即，不符合題意；當時，則解得．綜上所述，實數的取值范圍是．故選B．6．A選項A、B中，由對數函數圖象得，則二次函數中二次項系數，其對應方程的兩個根為，選項A中，由圖象得，從而，選項A可能；選項B中，由圖象得，與相矛盾，選項B不可能；選項C、D中，由對數函數的圖象得，則，二次函數圖象開口向下，．不可能；選項C中，由圖象與軸的交點的位置得，與相矛盾，選項C不可能．故選A．7．A記為事件“盆栽沒有枯萎”，為事件“鄰居給盆栽澆水”，由題意可得，由對立事件的概率公式可得，由全概率公式可得，解得．故選A．8．B 作出的圖象如下圖：可化為，解得或，由圖可知無解，故問題等價于有兩個不相等實數根，由圖象可得．故選B．9．BCD 對于A，當時，，故，A為真命題；對于B，集合與集合不是同一個集合，B為假命題；對于C，不妨設，此時“為空集”，但不滿足“與至少有一個為空集”，故充分性不成立，C為假命題；對于D，，解得或2，不妨設，滿足，但不能推出，則不是的充分條件，D為假命題．故選BCD．10．BCD 對于A，因為，所以，當且僅當時，等號成立，A錯誤；對于，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，則，B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，C正確；對于D，，故，當且僅當時，等號成立，D正確．故選BCD．11．ACD 當函數沒有零點時，，得，又因為沒有零點的概率是，所以，由正態曲線的對稱性知，所以，即，故A正確，B錯誤；又，所以，故C正確；又，所以，所以，故D正確．故選ACD．12．15 的二項展開式的通項，令，得，所以的展開式的項的系數為．13． 因為為偶函數，所以函數的圖象關于對稱，又在上單調遞增，，所以，解得．14． 由題意，得，由，設，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，所以15．解：（1）因為，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為8．（2）對于函數，則即解得或，所以函數的定義域為．16．解：（1）列聯表如下：男性居民女性居民總計看過《慶余年2》400500900沒看過《慶余年2》5050100總計4505501000零假設為：是否觀看《慶余年2》與性別無關聯，由列聯表中的數據，得，依據小概率值的獨立性檢驗，可以推斷成立，因此可以認為是否觀看《慶余年2》與性別無關聯．（2）按性別比例用分層隨機抽樣的方法從看過《慶余年2》的居民中隨機抽取9人，則男性居民抽取4人，女性居民抽取人，的可能取值為，．所以的分布列為012317．解：（1）選擇模型②．（2）根據模型②，令與可用線性回歸來擬合，有．則所以則關于的經驗回歸方程為．所以關于的經驗回歸方程為．由題意，，解得，又為整數，所以．所以，要使年收益增量超過8億元，研發人員增量至少為10人．18．解：（1）由題意知函數的定義域為，因為為偶函數，所以對任意的恒成立，即，即，即對任意的恒成立，所以，解得．（2）由（1）知，，則，令，則，其對稱軸為，①當，即時，在上單調遞減，所以，由，解得，不滿足，此時不存在符合題意的值．②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，由，解得，或，又，所以．③當，即時，在上單調遞增，所以，由，解得，不滿足，此時不存在符合題意的值．綜上所述，存在，使得函數在區間上的最小值為．19．證明：（1）因為是上的偶函數，故對任意的都有，又是的“從屬函數”，所以恒成立，即對任意的成立，故是偶函數．（2）不妨設，當時，在上是嚴格增函數，有而，所以，因此，當時，函數是函數的“從屬函數”．（3）舉反例證明不具備充分性．令，顯然在上是嚴格增函數，因為，所以函數是函數的“從屬函數”，但在上不是單調函數．因此是嚴格增函數或嚴格減