2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用3.3.3函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)教案文新人教A版選修1-1科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用3.3.3函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)教案文新人教A版選修1-1教材分析《2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用3.3.3函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)教案文新人教A版選修1-1》課程內(nèi)容緊承前兩節(jié)導數(shù)的概念和計算方法，將導數(shù)應用于實際問題中，特別是研究函數(shù)的最大值與最小值。本節(jié)課通過具體例題，使學生掌握利用導數(shù)研究函數(shù)極值的方法，理解極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系，深化對導數(shù)應用的理性認識。課程強調(diào)對函數(shù)圖像的直觀理解與導數(shù)符號變化的精確描述，結(jié)合實際案例，讓學生在探究中發(fā)現(xiàn)并證明函數(shù)最大（小）值存在的條件，培養(yǎng)邏輯推理和解決實際問題的能力。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模及數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。通過探究導數(shù)在研究函數(shù)最值中的應用，使學生能夠從實際問題中抽象出數(shù)學模型，運用邏輯推理能力分析導數(shù)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，掌握求函數(shù)極值的方法，并運用數(shù)學運算準確求解。同時，注重培養(yǎng)學生的問題發(fā)現(xiàn)與解決能力，激發(fā)學生的創(chuàng)新意識，使其在探索過程中形成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和合作交流的能力，進而全面提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。教學難點與重點1.教學重點

-函數(shù)極值的概念及其與導數(shù)的關(guān)系。

-求解函數(shù)極值的方法和步驟。

-函數(shù)最大（小）值的判定條件及其應用。

-利用導數(shù)求解實際問題的最值。

具體舉例：

-通過圖像直觀展示，讓學生理解函數(shù)在極值點處導數(shù)為零的性質(zhì)。

-以典型函數(shù)為例，引導學生掌握求極值的具體計算方法，如導數(shù)符號變化法。

-通過例題講解，強調(diào)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大（小）值出現(xiàn)在端點或極值點。

-結(jié)合實際情境，如物理運動、經(jīng)濟優(yōu)化等，讓學生學會建立模型并求解最值。

2.教學難點

-理解導數(shù)與函數(shù)圖像之間的內(nèi)在聯(lián)系，尤其是導數(shù)為零點與函數(shù)極值之間的關(guān)系。

-掌握導數(shù)的符號變化與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及如何利用這一關(guān)系判斷函數(shù)的極值類型。

-在實際問題中，如何準確建立數(shù)學模型，并運用導數(shù)知識求解最值。

具體舉例：

-解釋導數(shù)為零的點不一定是極值點，如函數(shù)的拐點，需結(jié)合二階導數(shù)的符號進行判斷。

-通過對比不同函數(shù)圖像，讓學生理解導數(shù)符號由正變負或由負變正時，函數(shù)單調(diào)性的變化，以及這種變化與極值的關(guān)系。

-針對實際問題，指導學生如何提取關(guān)鍵信息，簡化問題，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，進而應用導數(shù)求解最優(yōu)化問題。

-對于復雜的實際問題，引導學生學會分解問題，逐步求解，并強調(diào)在求解過程中檢查每一步的正確性。教學資源準備1.教材：

-確保每位學生都準備了新人教A版選修1-1的數(shù)學教材，以便于跟隨課堂進度學習第三章導數(shù)及其應用的相關(guān)內(nèi)容。

-準備教材中3.3節(jié)的相關(guān)習題和例題，用于課堂講解和課后作業(yè)。

2.輔助材料：

-準備函數(shù)圖像的動態(tài)演示PPT或教學軟件，以便于直觀展示導數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系。

-收集與函數(shù)極值相關(guān)的實際案例圖片、圖表，如物理運動軌跡、經(jīng)濟生產(chǎn)圖表等，增強學生對概念的理解。

-制作或收集有關(guān)導數(shù)應用的微視頻，如解釋導數(shù)在優(yōu)化問題中的應用，用于課堂導入或鞏固環(huán)節(jié)。

3.實驗器材：

-如果條件允許，準備計算器、繪圖儀等實驗器材，讓學生通過實際操作加深對導數(shù)和函數(shù)極值關(guān)系的理解。

-確保實驗器材的安全性和易用性，提前進行測試，避免課堂使用時出現(xiàn)故障。

4.教室布置：

-將教室劃分為講解區(qū)、討論區(qū)和實驗操作區(qū)，為學生提供不同的學習空間。

-講解區(qū)配備多媒體教學設(shè)備，便于展示教學內(nèi)容。

-討論區(qū)設(shè)置成小組形式，便于學生進行合作學習，鼓勵交流與討論。

-實驗操作區(qū)應保證有足夠的空間和設(shè)備，以便學生進行實際操作和觀察。

5.其他準備：

-準備白板、記號筆等教具，用于板書和標注重點內(nèi)容。

-整理相關(guān)教學資源，如教學大綱、學習指導手冊等，以便學生預習和復習。

-確保教室網(wǎng)絡(luò)連接暢通，以便于使用在線資源或?qū)崟r查詢資料。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預習任務：通過學校在線學習平臺，上傳預習PPT和導數(shù)與函數(shù)極值相關(guān)視頻，明確預習目標和要求。

-設(shè)計預習問題：圍繞“導數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系”，設(shè)計問題如“導數(shù)為零的點一定是極值點嗎？”引導學生自主思考。

-監(jiān)控預習進度：通過學習平臺，跟蹤學生的預習完成情況，及時給予反饋。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：學生按照要求，閱讀教材3.3節(jié)內(nèi)容，初步理解導數(shù)在研究函數(shù)極值中的應用。

-思考預習問題：學生針對預習問題，進行獨立思考，記錄自己的理解。

-提交預習成果：學生將預習筆記、疑問等提交至在線平臺。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：培養(yǎng)學生自主學習能力，為課堂學習打下基礎(chǔ)。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺，實現(xiàn)資源的共享和預習進度的監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學生提前接觸極值概念，為課堂學習做好準備。

-培養(yǎng)學生的獨立思考和自主學習能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過展示物體拋物線運動的視頻，引出函數(shù)極值的概念。

-講解知識點：詳細講解導數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，結(jié)合典型函數(shù)圖像解釋。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學生分析具體函數(shù)的極值問題。

-解答疑問：針對學生疑問，進行個別或集體解答。

學生活動：

-聽講并思考：學生認真聽講，思考導數(shù)與極值的關(guān)系。

-參與課堂活動：學生參與小組討論，共同分析函數(shù)極值問題。

-提問與討論：學生針對疑問大膽提問，參與班級討論。

教學方法/手段/資源：

-講授法：通過講解，幫助學生深入理解導數(shù)與極值的關(guān)系。

-實踐活動法：通過小組討論，讓學生在實踐中掌握求極值的方法。

-合作學習法：培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學生理解導數(shù)在研究函數(shù)極值中的應用，掌握求解方法。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學生的動手能力和解決問題的能力。

3.課后拓展應用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)課堂內(nèi)容，布置相關(guān)的習題，鞏固導數(shù)求極值的方法。

-提供拓展資源：推薦與導數(shù)應用相關(guān)的學術(shù)文章和在線教育資源。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學生個性化的反饋和指導。

學生活動：

-完成作業(yè)：學生認真完成作業(yè)，鞏固課堂所學。

-拓展學習：利用提供的資源，進行深入學習，拓寬知識面。

-反思總結(jié)：對自己的學習過程進行反思，提出改進策略。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：引導學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

-反思總結(jié)法：幫助學生認識自己的學習成效，促進自我提升。

作用與目的：

-鞏固課堂所學，提升解題能力。

-通過拓展學習，增加學生對導數(shù)應用的深度和廣度。

-通過反思總結(jié)，培養(yǎng)學生自我評價和自我改進的能力。拓展與延伸1.拓展閱讀材料

-《導數(shù)與函數(shù)極值的應用》：深入探討導數(shù)在求解函數(shù)極值中的應用，包括實際案例分析和高級求解技巧。

-《導數(shù)與最優(yōu)化問題》：介紹導數(shù)在經(jīng)濟學、工程學等領(lǐng)域優(yōu)化問題中的應用，探討如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型并求解。

-《函數(shù)圖像的幾何意義》：從幾何角度分析函數(shù)圖像，探討導數(shù)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，以及如何通過圖像判斷函數(shù)的極值和最值。

-《二階導數(shù)與函數(shù)凹凸性》：介紹二階導數(shù)在判斷函數(shù)凹凸性中的應用，以及凹凸性與函數(shù)極值之間的關(guān)系。

2.課后自主學習和探究

-研究教材中提供的更多函數(shù)極值的例題，嘗試獨立解決，加強對求解方法的理解。

-探索導數(shù)在物理運動學中的應用，如速度、加速度與位移之間的關(guān)系，理解導數(shù)在描述物體運動狀態(tài)中的作用。

-嘗試閱讀一些簡單的科研論文或相關(guān)書籍，了解導數(shù)在科學研究中的最新應用和前沿問題。

-結(jié)合實際生活，發(fā)現(xiàn)身邊的優(yōu)化問題，如最短路徑、最大利潤等，嘗試用導數(shù)知識建立數(shù)學模型并求解。

-參與在線數(shù)學社區(qū)，與其他學生或數(shù)學愛好者交流導數(shù)的學習心得和經(jīng)驗，拓展解題思路。內(nèi)容邏輯關(guān)系①導數(shù)與函數(shù)極值的基本概念

-重點知識點：導數(shù)的定義，函數(shù)極值的定義，導數(shù)為零的點與函數(shù)極值的關(guān)系。

-關(guān)鍵詞：導數(shù)，極值，單調(diào)性，拐點。

-板書設(shè)計：通過函數(shù)圖像，直觀展示導數(shù)與極值之間的關(guān)系，標注導數(shù)為零的點、拐點和極值點。

②導數(shù)在求解極值中的應用

-重點知識點：導數(shù)符號變化法，二階導數(shù)的應用，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理。

-關(guān)鍵詞：符號變化，二階導數(shù)，最值定理。

-板書設(shè)計：以典型函數(shù)為例，逐步演示求解極值的過程，強調(diào)步驟和注意事項。

③實際問題中的導數(shù)應用

-重點知識點：如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如何利用導數(shù)求解最優(yōu)化問題。

-關(guān)鍵詞：數(shù)學建模，最優(yōu)化，實際案例。

-板書設(shè)計：通過具體實際案例，展示如何運用導數(shù)知識解決實際問題，突出建模和求解的步驟。

內(nèi)容邏輯關(guān)系闡述：

①闡述導數(shù)與函數(shù)極值的基本概念，建立學生對導數(shù)和極值之間關(guān)系的初步理解。

②進一步講解導數(shù)在求解極值中的具體應用，使學生掌握實用的求解方法和技巧。

③將理論應用于實際問題的解決中，強化學生對導數(shù)應用的深度理解，培養(yǎng)其解決實際問題的能力。通過這三個方面的內(nèi)容邏輯關(guān)系，幫助學生構(gòu)建完整的知識體系，并能夠?qū)⑺鶎W知識靈活運用。課堂-通過提問和觀察，了解學生對導數(shù)與函數(shù)極值基本概念的理解，以及在實際問題中的應用能力。

-設(shè)計課堂小測試，檢驗學生對導數(shù)符號變化法、最值定理等知識點的掌握程度。

-觀察學生在小組討論和實驗操作中的表現(xiàn)，評估其合作學習和動手能力。

-及時發(fā)現(xiàn)學生在理解上的難點和誤區(qū)，并給予針對性的指導和幫助。

2.作業(yè)評價

-對學生提交的作業(yè)進行認真批改，檢查其對課堂所學知識點的掌握情況。

-點評作業(yè)中的亮點和不足，給予積極的反饋和建議，鼓勵學生繼續(xù)努力。

-通過作業(yè)反饋，了解學生對導數(shù)應用的深度和廣度，為其提供進一步學習的指導和建議。

3.課后反思

-對課堂教學過程進行反思，總結(jié)經(jīng)驗和教訓，不斷優(yōu)化教學方法和策略。

-分析學生的學習情況，評估教學目標的達成程度，為后續(xù)教學提供參考。

-關(guān)注學生的個性化需求，調(diào)整教學計劃，確保每個學生都能在原有基礎(chǔ)上得到提高。

4.階段性評價

-定期進行階段性測試，全面評估學生對導數(shù)知識點的掌握程度。

-根據(jù)測試結(jié)果，調(diào)整教學進度和難度，確保教學目標的實現(xiàn)。

-鼓勵學生進行自我評價和反思，培養(yǎng)其自主學習的能力。

5.家長反饋

-定期與家長溝通，了解學生在家的學習情況，共同關(guān)注學生的學習進步。

-通過家長反饋，發(fā)現(xiàn)學生在學習態(tài)度、方法等方面的問題，家校共同促進學生的全面發(fā)展。課后作業(yè)-求函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

-求函數(shù)f(x)=e^x*cos(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

-已知函數(shù)f(x)=ln(x^2+1)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，求其在該區(qū)間上的最大值和最小值。

-求函數(shù)f(x)=1/x^2-2x+3在區(qū)間(0,+∞)上的最大值和最小值。

-給定函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值。

補充和說明舉例題型：

1.求函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

-解答：首先求導得到f'(x)=3x^2-12x+9。

然后令導數(shù)等于零得到3x^2-12x+9=0，解得x=1。

檢查端點值f(-1)=-1,f(3)=19。

計算極值點處的函數(shù)值f(1)=1。

所以最大值為19，最小值為-1。

2.求函數(shù)f(x)=e^x*cos(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

-解答：首先求導得到f'(x)=e^x*cos(x)-e^x*sin(x)。

然后令導數(shù)等于零得到e^x*cos(x)-e^x*sin(x)=0，解得x=π/4。

檢查端點值f(0)=1,f(π)=-1。

計算極值點處的函數(shù)值f(π/4)=√2/2*e^(π/4)。

所以最大值為√2/2*e^(π/4)，最小值為-1。

3.已知函數(shù)f(x)=ln(x^2+1)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，求其在該區(qū)間上的最大值和最小值。

-解答：由于函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，所以最大值出現(xiàn)在右端點x=1，最小值出現(xiàn)在左端點x=0。

計算得到f(1)=ln(2)，f(0)=ln(1)=0。

所以最大值為ln(2)，最小值為0。

4.求函數(shù)f(x)=1/x^2-2x+3在區(qū)間(0,+∞)上的最大值和最小值。

-解答：首先求導得到f'(x)=-2/x^3-2。

然后令導數(shù)等于零得到-