八年級下冊數學《第十六章二次根式》16.1二次根式知識點一知識點一二次根式的定義◆二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”稱為二次根號，a為被開方數.1、二次根式的條件：①含有二次根號；②被開方數是一個非負數；2、被開方數a既可以是一個數，又可以是一個含有字母的式子.【注意】二次根式的定義是從形式來界定的，必須含有二次根號“”，不能從化簡結果上判斷，如4，9是二次根式；“”的根指數是2，一般把根指數2省略，不要誤認為根指數是1或沒有知識點二知識點二二次根式有意義的條件◆二次根式有意義的條件是：被開方數（式）為非負數，反之也成立.即：a有意義=>a≥0,a無意義，a＜0.◆【規律方法】二次根式有無意義的條件：1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非負數．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．3．如果一個式子中含有二次根式且被開方數中含有零指數冪或負整數指數冪，那么它有意義的條件是：底數不為0.知識點三知識點三二次根式的性質◆1、a的性質：a≥0；◆2、（a）2（a≥0）的性質：（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）．◆3、a2的性質：a2=|a|◆4、（a）2（a≥0）與a2的區別與聯系.（a）2（a≥0）a區別取值范圍a≥0a為任意實數表示的意義表示非負數a的算術平方根的平方表示a2的算術平方根運算順序先開平方后平方先平方后開平方運算結果（a）2＝a（a≥0）讀法讀作：“根號a的平方”或“a的算術平方根的平方”讀作：“根號”或“a的平方的算術平方根”聯系（1）結果都是非負數；（2）當a≥0時，a2＝（a）知識點四知識點四代數式◆1、定義：用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數或字母連接起來的式子，稱為代數式.【注意】代數式式數或字母之間的運算關系，代數式中只能含運算符號，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等關系符號.◆2、列代數式的常用方法：①直接法：根據問題的語言敘述直接寫出代數式；②公式法：根據公式列出代數式；③探究規律法：將一組數或一組圖形的排列規律用代數式表示出來.題型一二次根式的識別題型一二次根式的識別【例題1】（2021秋?古縣期末）下列各式中，是二次根式的是（）n2 B．?4 C．38 解題技巧提煉判斷一個式子是否為二次根式，要緊扣滿足二次根式的兩個條件：（1）含有二次根號“”；（2）被開方數是非負數，兩個條件缺一不可.【變式1-1】（2021秋?九臺區期末）下列各式中，不是二次根式的是（）A．8 B．?2 C．b2+1 【變式1-2】（2022春?合川區校級期中）下列式子一定是二次根式的是（）A．?5 B．π C．a3 D．【變式1-3】（2021春?海淀區校級期末）下列各式：3?27，?4，2a?1（a＜12【變式1-4】下列各式中，二次根式有（）?3，0.5，0，23，a2+1，x+1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-5】（2022秋?詔安縣期中）給出下列各式：①32；②6；③?12；④?m（m≤0）；⑤a2+1；⑥A．2 B．3 C．4 D．5題型二二次根式有意義的條件題型二二次根式有意義的條件【例題2】（2022春?欽北區校級月考）若代數式xx?1在實數范圍內有意義，則xA．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1解題技巧提煉求式子有意義時字母的取值范圍方法：第一步,明確式子有意義的條件，對于單個的二次根式，只需滿足被開方數為非負數；對于含有多個二次根式的，則必須滿足多個被開方數同時為非負數;對于零指數冪,則必須滿足底數不能為零;對于含有分式的、滿足分母不能為零.第二步,利用使式子有意義的所有條件,建立不等式或不等式組；第三步,求出不等式或不等式組的解集,即為字母的取值范圍.【變式2-1】（2022?徐州）若x?2有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【變式2-2】（2021春?白云區期末）當x滿足一定條件時，式子x?3x?3是（）A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3【變式2-3】（2021春?黔西南州期末）式子2xx?1A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【變式2-4】（2020秋?朝陽區校級期中）無論a取何值，下列各式中一定有意義的是（）A．a B．a2?1 C．a+1 【變式2-5】若代數式(x?2)02?x?1有意義，則x的取值范圍是【變式2-6】求下列式子有意義的x的取值范圍.（1）14?3x（2）3?xx?2（3）x?3x?2（4）?x題型三利用二次根式的性質計算題型三利用二次根式的性質計算【例題3】（2021秋?高臺縣期末）下列式子正確的是（）A．(?9)2=?9 B．25=±5 C．3(?1)解題技巧提煉運用（a）2（a≥0），a2=|a（1）計算（a）2，直接運用（a）2＝a；（2）計算a2①去掉根號及被開方數的指數，寫成絕對值的形式，即a2=|a②去掉絕對值符號，根據絕對值的意義進行化簡.【變式3-1】下列結論正確的是（）A．?(?6)2=?6 C．(?16)2=±6 D．﹣（?【變式3-2】化簡：（1）=；（2）；（3）；（4）；【變式3-3】計算：(7A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【變式3-4】（2022?谷城縣二模）計算：(1?2)2=【變式3-5】（2021秋?安岳縣期末）當x＝2時，二次根式2+7x的值是．【變式3-6】（2022秋?蓮湖區校級月考）計算下列各式：（1）279；（2）0.81?0.04；（3）【變式3-7】（2022春?乾安縣期末）計算：32=，0．72=，02=，（1）根據計算結果，回答：a2一定等于a（2）利用你總結的規律，計算(3.14?π)題型四二次根式的非負性應用題型四二次根式的非負性應用【例題4】已知a、b、c滿足2|a﹣1|+2a?b+（c+b）2＝0，求2a+b﹣解題技巧提煉二次根式a（a≥0）、絕對值|a|、完全平方式（a±b）2都是非負數，當幾個非負數的和為0，則它們均為0.【變式4-1】（2021春?安順期中）已知y=x?1+1?xA．1 B．78 C．?54【變式4-2】（2021春?寧津縣期末）在△ABC中，a、b、c為三角形的三邊，化簡(a?b+c)2?2|c﹣a﹣A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【變式4-3】（2021秋?安居區期末）若x＜1，則化簡(x?2)2+A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x【變式4-4】（2012秋?瀘縣期中）若x，y都是實數，且滿足y＜x?1+1?x【變式4-5】（2022秋?榮縣校級月考）已知一個三角形的三邊長分別為5，2a﹣1，10，化簡：(a?8)2【變式4-6】（2021?零陵區校級自主招生）若化簡|1﹣x|?x2?8x+16的結果為2x﹣5，則x的取值范圍是【變式4-7】已知實數a滿足|2010?a|+a?2011=a，求a﹣2010題型五利用數軸和二次根式的性質進行化簡題型五利用數軸和二次根式的性質進行化簡【例題5】實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡|a|+(a?bA．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b解題技巧提煉本題運用了數學結合思想，利用數軸由“形”的位置來確定“數（式）”的符號，充分體現了“數”與“形”是一個互相依存、不可分割的有機整體，解答含有二次根式的化簡類題目的關鍵是確保去掉根號后的結果是非負數.【變式5-1】（2022秋?天府新區月考）已知實數a，b在數軸上的對應點如圖，則(a+b)2?(a?b)【變式5-2】（2021春?東城區校級期末）如果數軸上表示a、b兩個數的點都在原點的左側，且a在b的左側，則|a﹣b|+(a+b)2的值為【變式5-3】（2021秋?碑林區校級期中）如圖，實數a、b在數軸上的位置，化簡a2【變式5-4】實數a，b，c在數軸上的對應點如圖所示，化簡a+|a+b|?c2?|b【變式5-5】（2021春?秦安縣校級期末）已知實數在數軸上的對應點如圖所示，化簡a2題型六代數式題型六代數式【例題6】下列各式中，代數式有（）①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=12（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32A．8個B．7個C．6個D．5個解題技巧提煉用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數或字母連接起來的式子，稱為代數式.列代數式的方法有：（1）直接法；（2）公式法；（3）探究規律法.代數式書寫時要注意規范寫法.【變式6-1】（2021秋?唐山期末）下列代數式書寫正確的是（）A．a4 B．m÷n C．112x D．x（b【變式6-2】（2021秋?富川縣期末）用代數式表示“a的2倍與b的差的平方”，正確的是（）A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2【變式6-3】（2021秋?蒸湘區校級期中）在下列各式中，是代數式的有（）①﹣2x2；②x+y=0

；??

③4x2﹣1；

④0

；??

⑤x﹣1＞0

；?

⑥3x+2A．6個B．4個C．3個D．2個【變式6-4】（2021秋?寬城縣期末）代數式a2?1A．a的平方與b的倒數的差 B．a與b的倒數的差的平方 C．a的平方與b的差的倒數 D．a與b的差的平方的倒數【變式6-5】（2021秋?玉屏縣期末）用字母表示如圖所示的陰影部分的面積是（）A．b(a+b)?14π(aC．ab?12π(八年級下冊數學《第十六章二次根式》16.1二次根式知識點一知識點一二次根式的定義◆二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”稱為二次根號，a為被開方數.1、二次根式的條件：①含有二次根號；②被開方數是一個非負數；2、被開方數a既可以是一個數，又可以是一個含有字母的式子.【注意】二次根式的定義是從形式來界定的，必須含有二次根號“”，不能從化簡結果上判斷，如4，9是二次根式；“”的根指數是2，一般把根指數2省略，不要誤認為根指數是1或沒有知識點二知識點二二次根式有意義的條件◆二次根式有意義的條件是：被開方數（式）為非負數，反之也成立.即：a有意義=>a≥0,a無意義，a＜0.◆【規律方法】二次根式有無意義的條件：1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非負數．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．3．如果一個式子中含有二次根式且被開方數中含有零指數冪或負整數指數冪，那么它有意義的條件是：底數不為0.知識點三知識點三二次根式的性質◆1、a的性質：a≥0；◆2、（a）2（a≥0）的性質：（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）．◆3、a2的性質：a2=|a|◆4、（a）2（a≥0）與a2的區別與聯系.（a）2（a≥0）a區別取值范圍a≥0a為任意實數表示的意義表示非負數a的算術平方根的平方表示a2的算術平方根運算順序先開平方后平方先平方后開平方運算結果（a）2＝a（a≥0）讀法讀作：“根號a的平方”或“a的算術平方根的平方”讀作：“根號”或“a的平方的算術平方根”聯系（1）結果都是非負數；（2）當a≥0時，a2＝（a）知識點四知識點四代數式◆1、定義：用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數或字母連接起來的式子，稱為代數式.【注意】代數式式數或字母之間的運算關系，代數式中只能含運算符號，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等關系符號.◆2、列代數式的常用方法：①直接法：根據問題的語言敘述直接寫出代數式；②公式法：根據公式列出代數式；③探究規律法：將一組數或一組圖形的排列規律用代數式表示出來.題型一二次根式的識別題型一二次根式的識別【例題1】（2021秋?古縣期末）下列各式中，是二次根式的是（）A．n2 B．?4 C．38 【分析】根據形如a（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．【解答】解：A、被開方數n2≥0，故A是二次根式；B、D被開方數小于0，無意義，故B、D不是二次根式；C、是三次根式，故C不是二次根式；故選：A．【點評】本題考查了二次根式的定義，注意二次根式的被開方數是非負數，根指數是2．解題技巧提煉判斷一個式子是否為二次根式，要緊扣滿足二次根式的兩個條件：（1）含有二次根號“”；（2）被開方數是非負數，兩個條件缺一不可.【變式1-1】（2021秋?九臺區期末）下列各式中，不是二次根式的是（）A．8 B．?2 C．b2+1 【分析】根據二次根式的概念，形如a（a≥0）的式子是二次根式，逐一判斷即可得到答案．【解答】解：A、8是二次根式，不合題意；B、∵﹣2＜0，∴?2不是二次根式，符合題意；C、b2D、13故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式的定義，正確掌握二次根式的定義是解題關鍵．【變式1-2】（2022春?合川區校級期中）下列式子一定是二次根式的是（）A．?5 B．π C．a3 D．【分析】根據二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A、﹣5＜0，二次根式無意義，故此選項不符合題意；B、π是無理數，不是二次根式，故此選項不合題意；C、當a＜0時，二次根式無意義，故此選項不合題意；D、7是二次根式，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查二次根式的定義，掌握二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式是解題的關鍵．【變式1-3】（2021春?海淀區校級期末）下列各式：3?27，?4，2a?1（a＜12【分析】一般地，形如a（a≥0）的代數式叫做二次根式．【解答】解：3?27，?4，2a?1（一是三次方根，二，三根號里面的數小于0，第四個可以變為（a+1）2．故是二次根式的有a2【點評】此題主要考查：當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數．【變式1-4】下列各式中，二次根式有（）?3，0.5，0，23，a2+1，x+1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據二次根式的定義：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式，即可解答．【解答】解：下列各式中：?3，0.5，0，23，a2+1，x+1是二次根式的有0.5，0，23，a共有4個，故選：D．【點評】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關鍵．【變式1-5】（2022秋?詔安縣期中）給出下列各式：①32；②6；③?12；④?m（m≤0）；⑤a2+1；⑥A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據二次根式的定義即可作出判斷．【解答】解：①∵3＞0，∴32是二次根式；②6不是二次根式；③∵﹣12＜0，∴?12不是二次根式；④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴?m是二次根式；⑤∵a2+1＞0，∴a2⑥35所以二次根式有3個．故選：B．【點評】本題考查的是二次根式的定義，解題時，要注意：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．題型二二次根式有意義的條件題型二二次根式有意義的條件【例題2】（2022春?欽北區校級月考）若代數式xx?1在實數范圍內有意義，則xA．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1【分析】根據二次根式有意義的條件，分式有意義的條件即可得出答案．【解答】解：∵x≥0，x﹣1≠0，∴x≥0且x≠1．故選：D．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數是非負數，分式的分母不等于0是解題的關鍵．解題技巧提煉求式子有意義時字母的取值范圍方法：第一步,明確式子有意義的條件，對于單個的二次根式，只需滿足被開方數為非負數；對于含有多個二次根式的，則必須滿足多個被開方數同時為非負數;對于零指數冪,則必須滿足底數不能為零;對于含有分式的、滿足分母不能為零.第二步,利用使式子有意義的所有條件,建立不等式或不等式組；第三步,求出不等式或不等式組的解集,即為字母的取值范圍.【變式2-1】（2022?徐州）若x?2有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【分析】根據二次根式有意義，被開方數大于等于0，列不等式求解．【解答】解：根據題意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故選：B．【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件的知識點，代數式的意義一般從三個方面考慮：（1）當代數式是整式時，字母可取全體實數；（2）當代數式是分式時，分式的分母不能為0；（3）當代數式是二次根式時，被開方數為非負數．【變式2-2】（2021春?白云區期末）當x滿足一定條件時，式子x?3x?3是（）A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3【分析】代數式中主要有二次根式和分式兩部分．根據二次根式和分式有意義的條件：被開方數大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可．【解答】解：由題可得：x﹣3≥0且x﹣3≠0，解得x≥3，x≠3，∴x＞3，即當x＞3時，式子x?3x?3故選：B．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，注意：分式應考慮分式的分母不能為0；二次根式應考慮被開方數是非負數．【變式2-3】（2021春?黔西南州期末）式子2xx?1A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：式子2xx?1在實數范圍內有意義的條件是：x解得：x＞1．故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關鍵．【變式2-4】無論a取何值，下列各式中一定有意義的是（）A．a B．a2?1 C．a+1 【分析】根據二次根式中的被開方數是非負數判斷即可．【解答】解：A.a不一定有意義，不合題意；B.a2C.a+1不一定有意義，不合題意；D.a2故選：D．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵．【變式2-5】（2020秋?淇濱區校級月考）若代數式(x?2)02?x?1有意義，則x的取值范圍是【分析】根據零指數冪：a0＝1（a≠0）可得x﹣2≠0，根據二次根式和分式有意義的條件可得x﹣1≥0，且x﹣1≠4，再解不等式即可．【解答】解：∵代數式(x?2)0∴x﹣2≠0且x﹣1≥0且x﹣1≠4，解得x≥1且x≠2且x≠5，∴x的取值范圍是x≥1且x≠2且x≠5，故答案為：x≥1且x≠2且x≠5．【點評】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件和零次冪，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數，分式有意義的條件是分母不等于零．【變式2-6】求下列式子有意義的x的取值范圍.（1）14?3x（2）3?xx?2（3）x?3x?2（4）?x【分析】（1）（2）（3）根據二次根式的性質和分式的意義，由被開方數大于等于0，分母不等于0可知；（4）（5）（6）根據二次根式的意義，被開方數是非負數可知．【解答】解：（1）根據二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，解得x＜4所以x的取值范圍是x＜4（2）根據二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數3﹣x≥0，解得x≤3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．所以x的取值范圍是x≤3且x≠2．（3）根據二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數x﹣3≥0，解得x≥3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．因為大于或等于3的數中不包含2這個數，所以x的取值范圍是x≥3．（4）根據題意得：﹣x2≥0，∵x2≥0，∴x2＝0，解得x＝0．∴x的取值范圍是x＝0；（5）根據題意得：2x2+1≥0，∵x2≥0，∴2x2+1＞0，故x的取值范圍是任意實數；（6）根據題意得：2x﹣3≥0，解得x≥32x﹣3≤0，解得x≤3綜上，可知x=3∴x的取值范圍是x=3【點評】本題主要考查了二次根式的意義和性質．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．當二次根式在分母上時還要考慮分母不等于零，此時被開方數大于0．題型三利用二次根式的性質計算題型三利用二次根式的性質計算【例題3】（2021秋?高臺縣期末）下列式子正確的是（）A．(?9)2=?9 B．25=±5 C．3(?1)【分析】利用開平方的性質和開立方的性質計算．【解答】解：根據二次根式的性質：A、(?9)2=9，故B、25=5，故BC、屬于立方根的運算，故C正確；D、(?2)2故選：C．【點評】此題主要考查二次根式的化簡，正確理解算術平方根的意義，注意符號的處理．解題技巧提煉運用（a）2（a≥0），a2=|a（1）計算（a）2，直接運用（a）2＝a；（2）計算a2①去掉根號及被開方數的指數，寫成絕對值的形式，即a2=|a②去掉絕對值符號，根據絕對值的意義進行化簡.【變式3-1】下列結論正確的是（）A．?(?6)2=?6 C．(?16)2=±6 D．﹣（?【分析】根據二次根式的性質即可求出答案【解答】解：B．原式=?3，故BC．原式＝16，故C錯誤；D．原式=?1625，故故選：A．【點評】本題考查二次根式的性質，解題的關鍵熟練運用二次根式的性質．【變式3-2】化簡：（1）=；（2）；（3）；（4）；【分析】直接利用二次根式的（a）2＝a（a≥0）性質化簡求解.【解答】（1）(17（2）(23)2=22（3）；（4）﹣(3)【點評】本題考查二次根式的性質，解題的關鍵熟練運用二次根式的性質．【變式3-3】計算：(7A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【分析】根據二次根式的性質1和性質2化簡可得．【解答】解：原式＝7﹣4＝3，故選：A．【點評】本題主要考查二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是掌握二次根式的性質1和性質2．【變式3-4】（2022?谷城縣二模）計算：(1?2)2=【分析】判斷1和2的大小，根據二次根式的性質化簡即可．【解答】解：∵1＜2∴1?2∴(1?2故答案為：2?【點評】本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．【變式3-5】（2021秋?安岳縣期末）當x＝2時，二次根式2+7x的值是．【分析】把x＝2代入二次根式計算可得答案．【解答】解：當x＝2時，2+7x=故答案為：4．【點評】此題考查的是二次根式的定義，正確代入數值是解決此題關鍵．【變式3-6】（2022秋?蓮湖區校級月考）計算下列各式：（1）279；（2）0.81?0.04；（3）【分析】（1）根據二次根式的性質，進行計算即可解答；（2）根據二次根式的性質，進行計算即可解答；（3）根據二次根式的性質，進行計算即可解答；（4）根據二次根式的性質，進行計算即可解答．【解答】解：（1）2=25=5（2）0.81＝0.9﹣0.2＝0.7；（3）4=(41+40)×(41?40)=81＝9；（4）1?=16=4【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式3-7】（2022春?乾安縣期末）計算：32=，0．72=，02=，（1）根據計算結果，回答：a2一定等于a（2）利用你總結的規律，計算(3.14?π)【分析】根據二次根式的性質a2=|【解答】解：計算：32=3，0．72=0.7，0故答案為：3；0.7；0；6；34（1）a2不一定等于a發現的規律是：a2=|（2）(3.14?π＝|3.14﹣π|＝π﹣3.14．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，熟練掌握二次根式的性質a2=|題型四二次根式的非負性應用題型四二次根式的非負性應用【例題4】已知a、b、c滿足2|a﹣1|+2a?b+（c+b）2＝0，求2a+b﹣【分析】利用非負數之和為零，則各自為零，進而求出a，b，c的值求出答案．【解答】解：∵2|a﹣1|+2a?b+（c+b）又∵|a﹣1|≥0，2a?b≥0，（c+b）2∴a?1=02a?b=0∴a=1b=2∴2a+b﹣c＝2+2+2＝6．【點評】此題主要考查了非負數的性質，正確得出a，b，c的值是解題關鍵．解題技巧提煉二次根式a（a≥0）、絕對值|a|、完全平方式（a±b）2都是非負數，當幾個非負數的和為0，則它們均為0.【變式4-1】（2021春?安順期中）已知y=x?1+1?xA．1 B．78 C．?54【分析】先根據二次根式的性質求出x、y的值，再代入代數式計算即可．【解答】解：因為y=x?1+1?x即x≥1x≤1，解得x＝1，所以y所以，2x+y5x?2y故選：D．【點評】本題考查了二次根式的意義和實數的運算能力．解決此題的關鍵是要先根據二次根式意義求出x，y的值再代入所求的代數式中求值．本題中涉及到簡單的一元一次不等式組的解法，要會靈活運用．【變式4-2】（2021春?寧津縣期末）在△ABC中，a、b、c為三角形的三邊，化簡(a?b+c)2?2|c﹣a﹣A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根據三角形的三邊關系得到根號內或絕對值內的式子的符號，再根據二次根式或絕對值的性質化簡．【解答】解：∵a、b、c為三角形的三邊，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴(a?b+c)2?2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3故選：B．【點評】本題主要考查二次根式的化簡方法與運用：a＞0時，a2=a；a＜0時，a2=?a；絕對值的性質：負數的絕對值等于它的相反數；正數的絕對值等于它本身；0的絕對值是0．【變式4-3】（2021秋?安居區期末）若x＜1，則化簡(x?2)2+A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x【分析】由已知可得x﹣2＜﹣1＜0，4﹣x＞3＞0，原式可化為|x﹣2|+4﹣x，根據絕對值的定義進行計算即可得出答案．【解答】解：∵x＜1，∴x﹣2＜﹣1＜0，﹣x＞﹣1，∴4﹣x＞﹣1+4，即4﹣x＞3＞0，∴(x?2)2+＝|x﹣2|+4﹣x＝﹣（x﹣2）+4﹣x＝﹣x+2+4﹣x＝6﹣2x．故選：D．【點評】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，熟練應用二次根式的性質與化簡的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．【變式4-4】（2012秋?瀘縣期中）若x，y都是實數，且滿足y＜x?1+1?x【分析】要化簡，先確定題中各式在實數范圍內有意義，應把握好以下幾點：一是分母不能為零；二是二次根號下為非負數．【解答】解：依題意，有x?1≥01?x≥0，得x＝1，此時y＜所以1﹣y＞1所以|1?y|y?1【點評】正數的絕對值是它本身，負數的絕對值等于它的相反數．【變式4-5】（2022秋?榮縣校級月考）已知一個三角形的三邊長分別為5，2a﹣1，10，化簡：(a?8)2【分析】先根據三角形的三邊關系判斷a的取值范圍，再化簡求值．【解答】解：由題意得：10﹣5＜2a﹣1＜10+5，解得：3＜a＜8，∴(a?8)＝8﹣a﹣（a﹣2）＝8﹣a﹣a+2＝10﹣2a．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，三角形的三邊關系是解題的關鍵．【變式4-6】（2021?零陵區校級自主招生）若化簡|1﹣x|?x2?8x+16的結果為2x﹣5，則x的取值范圍是【分析】根據x的取值化簡絕對值和二次根式的性質分析．【解答】解：∵|1﹣x|?＝|1﹣x|?＝2x﹣5，則|1﹣x|?(x?4)2=x即1﹣x≤0，x﹣4≤0，解得1≤x≤4．【點評】此題難點不是根據x的取值化簡絕對值和二次根式，而是由絕對值和二次根式得化簡值求x的取值范圍．所以要求對絕對值的代數定義和二次根式的性質熟練、靈活掌握．【變式4-7】已知實數a滿足|2010?a|+a?2011=a，求a﹣2010【分析】根據被開方數大于等于0列式求出a的取值范圍，再去掉絕對值號，然后兩邊平方整理即可得解．【解答】解：根據題意得，a﹣2011≥0，解得a≥2011，去掉絕對值號得，a﹣2010+a?2011=所以，a?2011=兩邊平方得，a﹣2011＝20102，所以，a﹣20102＝2011．【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數是非負數，求出a的取值范圍并去掉絕對值號是解題的關鍵．題型五利用數軸和二次根式的性質進行化簡題型五利用數軸和二次根式的性質進行化簡【例題5】實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡|a|+(a?bA．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【分析】直接利用數軸上a，b的位置，進而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用絕對值以及二次根式的性質化簡得出答案．【解答】解：由圖可知：a＜0，a﹣b＜0，則|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．故選：A．【點評】此題主要考查了二次根式的性質以及實數與數軸，正確得出各項符號是解題關鍵．解題技巧提煉本題運用了數學結合思想，利用數軸由“形”的位置來確定“數（式）”的符號，充分體現了“數”與“形”是一個互相依存、不可分割的有機整體，解答含有二次根式的化簡類題目的關鍵是確保去掉根號后的結果是非負數.【變式5-1】（2022秋?天府新區月考）已知實數a，b在數軸上的對應點如圖，則(a+b)2?(a?b)【分析】利用數軸得出a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，進而化簡得出即可．【解答】解：由數軸可得出：a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，故(a+b＝﹣（a+b）+（a﹣b）+a＝a﹣2b．故答案為：a﹣2b．【點評】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確得出各項符號是解題關鍵．【變式5-2】（2021春?東城區校級期末）如果數軸上表示a、b兩個數的點都在原點的左側，且a在b的左側，則|a﹣b|+(a+b)2的值為【分析】先根據數軸確定a，b的大小．再運用二次根式的性質化簡．【解答】解：∵a、b兩個數的點都在原點的左側，且a在b的左側，即a＜b＜0，∴|a﹣b|+(a+b)2=b﹣a﹣（a+b）＝b﹣a﹣a﹣故答案為：﹣2a．【點評】本題主要考查了二次根式的性質與化簡及實數與數軸，解題的關鍵是確定a，b的大小．【變式5-3】（2021秋?碑林區校級期中）如圖，實數a、b在數軸上的位置，化簡a2【分析】根據數軸表示數的方法得到a＜0＜b，再根據二次根式的性質得原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，然后去絕對值后合并即可．【解答】解：∵a＜0＜b，∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡：a2=|【變式5-4】實數a，b，c在數軸上的對應點如圖所示，化簡a+|a+b|?c2?|b【分析】根據數軸，確定a、b、c的正負，確定a+b、b﹣c的正負，然后再化簡．【解答】解：由數軸知：a＞0，b＜c＜0，|a|＜|b|，∵a+b＜0，b﹣c＜0∴原式＝a﹣（a+b）﹣|c|+（b﹣c）＝a﹣a﹣b+c+b﹣c＝0．【點評】本題考查了數軸的相關知識，絕對值、二次根式的化簡．兩數相加，取決于絕對值較大的加數的符號，大數減小數為正，小數減大數為負．【變式5-5】（2021春?秦安縣校級期末）已知實數在數軸上的對應點如圖所示，化簡a2【分析】直接利用數軸得出a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，進而化簡得出答案．【解答】解：由數軸可得：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．【