專題十函數的奇偶性思維導圖知識要點知識要點1．函數的奇偶性奇偶性定義圖像特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱2.奇(偶)函數的性質(1)奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反．(2)在公共定義域內①兩個奇函數的“和函數”是奇函數，兩個奇函數的“積函數”是偶函數．②兩個偶函數的“和函數”和“積函數”都是偶函數．③一個奇函數，一個偶函數的“積函數”是奇函數．(3)若函數f(x)是奇函數且在x＝0處有定義，則f(0)＝0.3．周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．典例解析典例解析【例1】判斷下列函數的奇偶性：f(x)＝2＋x； (2)f(x)＝＋3；(3)f(x)＝＋2x＋3； (4)f(x)＝【變式訓練1】設函數f(x)＝－4，x∈(－6，6]，那么f(x)是()A．奇函數 B．偶函數C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數【例2】設函數f(x)＝＋bx＋c，對任意實數t都有f(t－1)＝f(－t－1)，那么()A．f(－3)<f(－1)<f(0) B．f(0)<f(－1)<f(－3)C．f(－1)<f(0)<f(－3) D．f(－1)<f(－3)<f(0)【變式訓練2】已知偶函數f(x)在區間[－5，－2]上是單調增函數，且有最大值3，則f(x)在[2，5]上是()A．增函數且有最大值－3B．減函數且有最小值－3C．減函數且有最大值3 D．增函數且有最小值3【例3】已知f(x)是奇函數，在(－∞，0)上是增函數，求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數．【變式訓練3】已知奇函數f(x)，當x<0時，f(x)＝2x－4，則當x>0時，f(x)的解析式．【例4】奇函數f(x)在定義域(－∞，－1]內單調遞減，且f(x)＋f(5－3x)<0，求x的取值范圍．【變式訓練4】函數f(x)＝|x|，g(x)＝－＋1，那么在(－∞，0)上，下列說法正確的是()A．f(x)為增函數，g(x)為減函數B．f(x)為減函數，g(x)為增函數C．f(x)，g(x)都是增函數D．f(x)，g(x)都是減函數【例5】已知f(x)是R上周期為2的函數，且f(1)＝2，f(2)＝3，則f(5)＋f(－2)＝_______.【變式訓練5】已知函數f(x)是定義域在R上的偶函數，對任意x∈R都有f(x＋7)＝f(x)，若f(－4)＝3，則f(－2019)＝________.高考鏈接高考鏈接1．(四川省2015年對口升學考試試題)已知y＝f(x)是R上的奇函數，且f(1)＝3，f(－2)＝－5，則f(－1)＋f(2)＝()A．－2 B．－1 C．1 D．22．下列函數中，為奇函數的是()A．y＝sin B．y＝sin2xC．y＝cos(2x＋π) D．y＝3．函數f(x)＝a＋(m－3)x－5為偶函數的充要條件是()A．a＝0 B．m＝3 C．a＝0且m＝0 D．a<04．(四川省2018年對口升學考試試題)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)．當0<x<1時，f(x)＝x＋1，則f(－1)＋f(0)＋f＝________(用數字作答)．同步精練同步精練選擇題1．定義域為R的四個函數y＝，y＝，y＝x|x|，y＝sin(x－π)中，奇函數的個數是()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．已知f(x)＝3＋(a－1)x＋1為偶函數，則a的值為()A．－1 B．0 C．1 D．23．函數f(x)＝－＋1(x>0)的奇偶性是()A．奇函數 B．偶函數C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數4．函數f(x)＝的奇偶性是()A．奇函數 B．偶函數C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數5．已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，當x>0時，f(x)＝－＋x，則當x<0時，f(x)的解析式為()A．f(x)＝x2－x B．f(x)＝－x2＋xC．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝－x2－x6．已知f(x)是R上的偶函數，且滿足f(x－3)＝f(x)，當x∈(－3，－1)時，f(x)＝＋1，則f(4)＝()A．－5 B．5 C．3 D．－3填空題7．設定義在[－2，2]上的偶函數f(x)在區間[0，2]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實數m的取值范圍是．若函數f(x)＝是奇函數，則a的值為_______．9．設函數f(x)是R上的奇函數，且f(－a)＋f(－b)＋1＝f(a)＋f(b)－1，則f(a)＋f(b)＝________.10．若函數f(x)是定義在[3－a，5]上的奇函數，則a＝________.已知函數f(x)在R上是減函數，則滿足f<f(1)的實數x的取值范圍．12．用定義法證明下列函數的奇偶性．(1)f(x)＝3－； (2)f(x)＝13．定義域相同的奇函數f(x)和偶函數g(x)，滿足f(x)＋g(x)＝，求f(x)與g(x)的解析式．14．已知f(x)＝(x∈R)．(1)求證：函數f(x)是奇函數；(2)求證：函數f(x)是增函數；(3)求函數f(x)在區間[－1，1]上的值域．專題十函數的奇偶性思維導圖知識要點知識要點1．函數的奇偶性奇偶性定義圖像特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱2.奇(偶)函數的性質(1)奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反．(2)在公共定義域內①兩個奇函數的“和函數”是奇函數，兩個奇函數的“積函數”是偶函數．②兩個偶函數的“和函數”和“積函數”都是偶函數．③一個奇函數，一個偶函數的“積函數”是奇函數．(3)若函數f(x)是奇函數且在x＝0處有定義，則f(0)＝0.3．周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．典例解析典例解析【例1】判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝2＋x； (2)f(x)＝＋3；(3)f(x)＝＋2x＋3； (4)f(x)＝【思路點撥】判斷函數的奇偶性，分兩步：①定義域是否關于原點對稱，若不對稱，是非奇非偶函數；②若定義域關于原點對稱，判斷f(－x)與f(x)、－f(x)是否相等．若f(－x)＝f(x)，是偶函數；若f(－x)＝－f(x)，是奇函數；若前兩個式子都不成立，是非奇非偶函數．答案：解：(1)定義域為R，f(－x)＝－f(x)，所以為奇函數．(2)定義域為R，f(－x)＝f(x)，所以為偶函數．(3)定義域為R，但f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以為非奇非偶函數．(4)定義域為x≠－1，不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數．【變式訓練1】設函數f(x)＝－4，x∈(－6，6]，那么f(x)是(D)A．奇函數 B．偶函數C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數【例2】設函數f(x)＝＋bx＋c，對任意實數t都有f(t－1)＝f(－t－1)，那么(C)A．f(－3)<f(－1)<f(0) B．f(0)<f(－1)<f(－3)C．f(－1)<f(0)<f(－3) D．f(－1)<f(－3)<f(0)【思路點撥】二次函數的對稱軸，開口，畫簡圖．【變式訓練2】已知偶函數f(x)在區間[－5，－2]上是單調增函數，且有最大值3，則f(x)在[2，5]上是(C)A．增函數且有最大值－3B．減函數且有最小值－3C．減函數且有最大值3 D．增函數且有最小值3【例3】已知f(x)是奇函數，在(－∞，0)上是增函數，求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數．【思路點撥】綜合利用奇函數、增函數的性質，建立兩個關于原點對稱區間上，任意函數值大小的關系．答案：證明：設x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則－x1，－x2∈(－∞，0)，且－x1>－x2，∵f(x)是R上的增函數，∴f(－x1)>f(－x2)，又f(x)是奇函數，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，得f(x1)<f(x2)，故在(0，＋∞)是增函數．【變式訓練3】已知奇函數f(x)，當x<0時，f(x)＝2x－4，則當x>0時，f(x)的解析式．解：設x>0?－x<0，∴f(－x)＝－2x－4，又f(－x)＝－f(x)?f(x)＝2x＋4.【例4】奇函數f(x)在定義域(－∞，－1]內單調遞減，且f(x)＋f(5－3x)<0，求x的取值范圍．【思路點撥】利用函數的奇偶性和單調性以及函數的三要素等基本概念解決問題．答案：解：由函數是奇函數知f(x)<f(3x－5)，∴?x≤－1，∴x的取值范圍為(－∞，－1]．【變式訓練4】函數f(x)＝|x|，g(x)＝－＋1，那么在(－∞，0)上，下列說法正確的是(B)A．f(x)為增函數，g(x)為減函數B．f(x)為減函數，g(x)為增函數C．f(x)，g(x)都是增函數D．f(x)，g(x)都是減函數【提示】利用絕對值和二次函數的圖像可得答案．【例5】已知f(x)是R上周期為2的函數，且f(1)＝2，f(2)＝3，則f(5)＋f(－2)＝___5_____.【思路點撥】函數的周期性，主要運用f(x＋T)＝f(x)，將未知區間上的值轉化為已知區間上的值．∵f(x)是周期為2的函數，∴f(5)＝f(2×2＋1)＝f(1)，f(－2)＝f[(－2)＋2×2]＝f(2)．【變式訓練5】已知函數f(x)是定義域在R上的偶函數，對任意x∈R都有f(x＋7)＝f(x)，若f(－4)＝3，則f(－2019)＝___3_____.【提示】周期為7，f(－2019)＝f(－288×7－3)＝f(－3)＝f(－7＋4)＝f(4)＝f(－4)＝3.高考鏈接高考鏈接1．(四川省2015年對口升學考試試題)已知y＝f(x)是R上的奇函數，且f(1)＝3，f(－2)＝－5，則f(－1)＋f(2)＝(D)A．－2 B．－1 C．1 D．2【提示】f(－1)＋f(2)＝－f(1)－f(－2)＝－3＋5＝2.2．下列函數中，為奇函數的是(B)A．y＝sin B．y＝sin2xC．y＝cos(2x＋π) D．y＝【提示】奇偶函數的定義，誘導公式．3．函數f(x)＝a＋(m－3)x－5為偶函數的充要條件是(B)A．a＝0 B．m＝3 C．a＝0且m＝0 D．a<04．(四川省2018年對口升學考試試題)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)．當0<x<1時，f(x)＝x＋1，則f(－1)＋f(0)＋f＝________(用數字作答)．【提示】f(x)在R上為奇函數，f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，因此周期為2，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，又f(x)為奇函數，f(－1)＝－f(1)，∴f(－1)＝0，同步精練同步精練選擇題1．定義域為R的四個函數y＝，y＝，y＝x|x|，y＝sin(x－π)中，奇函數的個數是(B)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．已知f(x)＝3＋(a－1)x＋1為偶函數，則a的值為(C)A．－1 B．0 C．1 D．2【提示】∵f(－x)＝f(x)，∴a－1＝0，a＝1.3．函數f(x)＝－＋1(x>0)的奇偶性是(C)A．奇函數 B．偶函數C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數【提示】定義域不關于原點對稱．4．函數f(x)＝的奇偶性是(B)A．奇函數 B．偶函數C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數【提示】∵定義域為(－∞，－2]∪[2，＋∞)，且f(－x)＝f(x)，∴函數f(x)為偶函數．5．已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，當x>0時，f(x)＝－＋x，則當x<0時，f(x)的解析式為(C)A．f(x)＝－x B．f(x)＝－＋xC．f(x)＝＋x D．f(x)＝－－x【提示】當x<0時，－x>0，∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－－x，又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝＋x，∴當x<0時，f(x)＝＋x.6．已知f(x)是R上的偶函數，且滿足f(x－3)＝f(x)，當x∈(－3，－1)時，f(x)＝＋1，則f(4)＝(B)A．－5 B．5 C．3 D．－3【提示】f(x)周期為－3，f(4)＝f(4－3×2)＝f(－2)＝5.填空題7．設定義在[－2，2]上的偶函數f(x)在區間[0，2]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實數m的取值范圍是．【提示】∵f(x)是偶函數，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)．又當x∈[0，2]時，f(x)是減函數，∴解得－1≤m＜若函數f(x)＝是奇函數，則a的值為___0_____．【提示】f(x)＋f(－x)＝0.9．設函數f(x)是R上的奇函數，且f(－a)＋f(－b)＋1＝f(a)＋f(b)－1，則f(a)＋f(b)＝____1____.【提示】∵f(x)為奇函數，∴－f