2.4弦切角的性質(zhì)觀察在圖（１）中，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，有∠ＢＣＥ＝∠Ａ．在圖（２）中，ＤＥ是切線時，∠ＢＣＥ＝∠Ａ仍成立嗎？ＤＤＡＢＣＥ（１）（２）ＡＢＥＤ（Ｃ）猜想：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，CE是⊙O的切線，則∠BCE=∠A.分析：延用從特殊到一般的思路。先分析△ABC為直角三角形時的情形，再將銳角三角形和鈍角三角形的情形化歸為直角三角形的情形。OＡＢＥCOＡＢＥCOＡＢＥC(1)圓心O在△ABC的邊BC上證明:即△ABC為直角三角形ABOCE∵CE為切線，∴∠BCE＝90°又∵∠A是半圓上的圓周角，∴∠A＝90°∴∠BCE＝∠A(2)圓心0在△ABC的內(nèi)部作⊙O的直徑CP,那么

OＡＢＥCP∠PCE=∠PAC=90°∵∠BCE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB.

∠BAC=∠PAC-∠PAB=90°-∠PAB.而∠PAB=∠PCB∴∠BCE=∠BAC(3)圓心0在△ABC的外部,作⊙O的直徑CP,那么

OＡＢＥCP∠PCE=∠PAC=90°∵∠BCE=∠PCE+∠PCB=90°+∠PCB.

∠BAC=∠PAC+∠PAB=90°+∠PAB.而∠PAB=∠PCB∴∠BCE=∠BAC綜上所述，猜想成立。AAAAABBBBBCCCCC下面五個圖中的∠BAC是不是弦切角？××××√1.弦切角:頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫做弦切角。幾何語言:

BA切⊙O于AAC是圓O的弦ＡＢＣＯ2.弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。D∠BAC=∠ADCm例1.如圖已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,

直線CE和⊙O切于點C,AD⊥CE,垂足為D.

求證:AC平分∠BAD.OABCDE12思路一:思路二:連結(jié)OC,由切線性質(zhì),可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可證得∠1=∠2OABCDE312弦切角-------頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角。

一般情況下，弦切角、圓周角、圓心角都是通過它們所夾的（或所對的）同一條弧（或等弧）聯(lián)系起來，因此，當已知有切線時常添線構(gòu)建弦切角或添切點處的半徑應(yīng)用切線的性質(zhì)求解。弦切角定理:

弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.小結(jié)注意：2.5與圓有關(guān)的比例線段探究1:AB是直徑,CD⊥AB交點P.線段PA,PB,PC,PD之間有何關(guān)系?CABPDOACBPDOACBPDOPA·PB=PC·PD1.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。A(C.P)BD探究2:把兩條相交弦的交點P從圓內(nèi)運動到圓上.再到圓外，結(jié)論是否還能成立?PA·PB=PC·PDP在圓外:易證△PAD∽△PCB故PA·PB=PC·PDP在圓上:PA=PC=0,仍有PA·PB=PC·PDAPCBDPAC

2.割線定理

從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.A(B)PODCPA·PB=PC·PD探究3:使割線PB繞P點運動到切線的位置,是否還能成立?APBODCA(B)PODC連接AC,AD易證△PAC∽△PDA

上式可變形為PA2=PC·PD3.切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.故PA·PB=PC·PD仍成立因為A,B重合，探究4:使割線PD繞P點運動到切線的位置,可以得出什么結(jié)論?A(B)PODC易證Rt△OAP≌Rt△OCP.PA=PC4.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.A(B)POC(D)PA2=PC·PD思考:1.由切割線定理能證明切線長定理嗎?如圖由P向圓任作一條割線EF試試.A(B)POC(D)EF思考:2.你能將切線長定理推廣到空間的情形嗎?O

例1.圓內(nèi)的兩條弦AB,CD交于圓內(nèi)一點P,已知PA=PB=4.PC=PD,求CD的長.CDABP解:設(shè)CD=x,則PD=,PC=由相交弦定理,得PA?PB=PC?PD∴4×4=?求得x=10,∴CD=10

例2.E是圓內(nèi)的兩條弦AB,CD的交點,直線EF//CB,交AD的延長線于F,FG切圓于G.

求證:(1)△DFE∽△EFA;

(2)EF=FG

ABCOFGED321△DFE∽△EFAEF2=FA?FD又GF2=FA?FDGF2=EF2EF=FG

例3.如圖,兩圓相交于A,B兩點,P是兩圓公共弦AB上的任一點,從P引兩圓的切線PC,PD.

求證:PC=PDPABDC析：PC2=PA?PB又PD2=PA?PBPC2=PD2PC=PD例4.如圖,AB是⊙O的直徑,過A,B引兩條弦AD和BE,相交于點C,求證:AC?AD+BC?BE=AB2.ABDECOF分析:A,F,C.E四點共圓BC?BE=BF?BA.F,B,D,C四點共圓AC?AD=AF?AB.AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA=AB(AF+BF)=AB2例5.如圖,AB,AC是⊙O的切線,ADE是⊙O的割線,連接CD,BD,BE,CE.

B

A

E

C

O

D問題1

由上述條件能推出哪些結(jié)論?探究1:∠ACD=∠AEC△ADC∽△ACE

⑴CD?AE=AC?CE

⑵同理

BD?AE=AB?BE

⑶因為AC=AB,由⑵⑶可得

BE?CD=BD?CE

⑷圖⑴探究2:

猜想并可證明問題2

在圖(1)中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn),得到圖(2),其中EC交圓于G,DC交圓于F,此時又能推出哪些結(jié)論?

B

A

E

C

O

D圖⑴

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵△ADC∽△ACE

⑸同樣可得⑵⑶⑷證明如下:

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵∵AB2=AD?AE,而AB=AC,∴AC2=AD?AE,即∵∠CAD=∠EAC,(對應(yīng)邊成比例且夾角相等).∴

△ADC∽△ACE⑸

另一方面連接FG由于F,G,E,D四點共圓∴∠CFG=∠AEC,又∵∠ACF=∠AEC,∴∠CFG=∠ACF,∴FG//AC⑹

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵問題3

在圖(2)中,使線段AC繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn),使割線CFD變成切線CD,得到圖(3),此時又能推出哪些結(jié)論?

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑶

P探究3:

可以推出（1）~（6）的所有結(jié)論。

B

A

E

C

O

D

Q

G圖⑶P此外∵AC//DG.∴AD?CE=AE?CG⑺∵

△ACD∽△AEC∴AC?CD=AD?CE⑻由⑺⑻可得：AC?CD=AE?CG

⑼連接BD,BE,延長GC到P,延長BD交AC于Q,則∠PCQ=∠PGD=∠DBE,故C,E,B,Q四點共圓

⑽習(xí)題2.55.如圖,⊙O與⊙O′相交與點A,B.PQ是⊙O的切線,求證:PN2=NM?NQQNPO′OABM6.如圖,PA是⊙O的切線,M是PA的中點,求證:∠MPB=∠MCP∵MA2=MB?MC=PM2∴△MBP∽△PMC∴∠MPB=∠MCPAPCBMO思路：習(xí)題2.5習(xí)題2.57.如圖,AD,BE,CF分別是△ABC三邊的高,H是垂心,AD延長線交△ABC外接圓于點G,

求證:DH=DGACEGBFHD132AECDPBFO習(xí)題2.58.如圖,⊙O直徑AB的延長線與弦CD的延長線交于點P,AE=AC.求證:PF?PO=PA?PB⌒⌒12△POC∽△PDFPF?PO=PD?PC又PD?PC=PB?PAPF?PO=PB?PA思路：習(xí)題2.5

9.將例5的圖(1)作如下變化:以A為中心,把線段AC繞A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度,連接EC并延長與圓相交于F,連接DC并延長與圓相交于G,連接FG,其他條件同例5,能推出哪些結(jié)論?如果∠BAD=∠CAD,又有什么結(jié)論?

B

A

E

C

O

D圖⑴

B

A

EC

O

DFG習(xí)題2.59題將例5的圖(1)作如下變化:以A為中心,把線段AC繞A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度,連接EC并延長與圓相交于F,連接DC并延長與圓相交于G,連接FG,其他條件同例5,你能推出哪些結(jié)論?如果∠BAD=∠CAD,又有什么結(jié)論?

B

A

EC

O

DFGAB2=AD?AE①CF?CE=CD?CG②∴AC2=AD?AE∵AC=AB∵∠CAD=∠EAC,∴

△ADC∽△ACE

∴∠ACD=∠AEC=∠G∴

AC//FG③

如果∠BAD=∠CAD,如圖,

B

A

EC

DFG2134

∵△ABD∽△ACD(?)

=∴

BD=CD

④∴∠ABD=∠ACD∵∠ACD=∠1∠ABD=∠2∴∠1=∠2

⑤∴BD=FD⑥⌒⌒