6.2.1排列--6.2.2排列數(shù)備注：資料包含：1.基礎知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：排列的意義理解；排列數(shù)的計算；用排列數(shù)公式證明；排列數(shù)方程和不等式課堂知識小結考點鞏固提升知識歸納1.排列（1）排列定義：一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。（2）排列數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)。用符號表示.（3）排列數(shù)公式：其中，并且特殊的，當時，即有稱為的階乘，通常用表示，即考點講解考點講解考點1：排列的意義理解例1．下列問題中，屬于排列問題的有（

）A．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別擔任正、副班長，共有多少種不同的選取方法B．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加志愿者活動，共有多少種不同的選取方法C．平面上有五個點，任意三點不共線，這五個點最多可確定多少條直線D．從1，2，3，4四個數(shù)字中任選兩個組成一個兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)【方法技巧】根據(jù)排列的定義即可得到結果【變式訓練】1．下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？2．判斷下列問題是不是排列問題，如果是，請列出其所有排列；如果不是，請說明理由．(1)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種機票？(2)從集合中任取兩個相異的元素作為，，可以得到多少個焦點在軸上的橢圓方程？3．甲、乙、丙3人排成一列，有幾種不同的排法？請列出來．考點2：排列數(shù)的計算例2．下列等式正確的是（）A． B．C．！ D．【方法技巧】根據(jù)階乘和排列數(shù)的運算公式，進行推理與判斷選項中的運算是否正確即可．【變式訓練】1．現(xiàn)從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是（

）A．20 B．90 C．120 D．2402．若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．103．已知，則的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．第24屆冬季奧運會于2022年2月4日在北京市和河北省張家口市舉行.現(xiàn)要安排5名志愿者去四個場館參加活動，每名志愿者只能去一個場館.且每個場館只能安排一名志愿者，則不同的分配方法有___________個.（空格處填寫數(shù)字）考點3：用排列數(shù)公式證明例3．求證：(1)；(2)．【方法技巧】（1）利用排列數(shù)公式化簡可證得等式成立；（2）利用排列數(shù)公式化簡可證得等式成立.【變式訓練】1．求證：．2．求證：（1）；（2）.3．（1）求證：；（2）求證：；（3）求和：．考點4：排列數(shù)方程和不等式例4．解不等式：．【方法技巧】根據(jù)排列數(shù)的公式直接求解即可.【變式訓練】1．若A，則（

）A．4 B．5 C．6 D．72．解下列方程：(1)；(2).3．已知（，且）．(1)求的值；(2)若，求n的值．知識小結知識小結1.排列（1）排列定義：一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。（2）排列數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)。用符號表示.（3）排列數(shù)公式：其中，并且特殊的，當時，即有稱為的階乘，通常用表示，即鞏固提升鞏固提升1．從5本不同的書中選出3本分別送3位同學每人一本，不同的方法總數(shù)是（

）A．10 B．60 C．243 D．152．可表示為（

）．A． B． C． D．3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有（

）．A．144種 B．90種 C．260種 D．120種4．已知自然數(shù)滿足，則（

）．A．2 B．3 C．4 D．55．下面問題中，是排列問題的是（

）A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合6．甲乙丙丁4名同學站成一排拍照，若甲不站在兩端，不同排列方式有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．48種7．階乘是基斯頓·卡曼（ChristianKramp）于1808年發(fā)明的一種運算，正整數(shù)n的階乘記為n!，它的值為所有小于或等于n的正整數(shù)的積，即．根據(jù)上述材料，以下說法錯誤的是（

）A． B．C． D．8．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學要與兩位老師站成一排合影留念，則甲同學不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．576種二、多選題9．下列問題中，屬于排列問題的是（

）A．有10個車站，共有多少種不同的車票B．有10個車站，共有多少種不同的票價C．平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段D．從10名同學中選出2名分別參加數(shù)學和物理競賽，有多少種選派方法10．（

）．A． B． C． D．三、填空題11．從某班7名學生干部中選擇2名，分別參加周一早上和周五下午的校門口志愿服務活動，則不同的安排方法數(shù)是___________.（結果用數(shù)字作答）12．___________.（結果用數(shù)字作答）13．在A，B，C，D四位學生中，選出兩人擔任正、副班長，共有選法_______種．14．某學校為貫徹“科學防疫”理念，實行“佩戴口罩，不鄰而坐”制度（每兩個同學不能相鄰）．若該學校的教室一排有10個座位，安排4名同學就坐，則不同的安排方法共有______種．（用數(shù)字作答）四、解答題15．有5名同學站成一排拍照．(1)若甲乙必須站一起，則共有多少種不同的排法？(2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，則共有多少種不同的排法？16．現(xiàn)有4名男生、3名女生站成一排照相．（用數(shù)字作答）(1)兩端是女生，有多少種不同的站法？(2)任意兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方(可以不相鄰)，有多少種不同的站法？6.2.1排列--6.2.2排列數(shù)備注：資料包含：1.基礎知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：排列的意義理解；排列數(shù)的計算；用排列數(shù)公式證明；排列數(shù)方程和不等式課堂知識小結考點鞏固提升知識歸納1.排列（1）排列定義：一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。（2）排列數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)。用符號表示.（3）排列數(shù)公式：其中，并且特殊的，當時，即有稱為的階乘，通常用表示，即考點講解考點講解考點1：排列例1．下列問題中，屬于排列問題的有（

）A．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別擔任正、副班長，共有多少種不同的選取方法B．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加志愿者活動，共有多少種不同的選取方法C．平面上有五個點，任意三點不共線，這五個點最多可確定多少條直線D．從1，2，3，4四個數(shù)字中任選兩個組成一個兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)【答案】AD【詳解】對于A，因為兩名同學擔任的是正、副班長，所以是排列問題，A正確；對于B，因為兩名同學參加的志愿者活動與順序無關，所以不是排列問題，B錯誤；對于C，五個點中任取兩個點，不涉及順序問題，因此不是排列問題，C錯誤；對于D，四個數(shù)字中任取兩個組成兩位數(shù)，與順序有關，是排列問題，D正確．故選：AD【方法技巧】根據(jù)排列的定義即可得到結果【變式訓練】1．下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【分析】根據(jù)排列的定義逐個選項辨析即可.【詳解】A中握手次數(shù)的計算與次序無關，不是排列問題；B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關，不是排列問題；C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關，不是排列問題；D中，選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D2．判斷下列問題是不是排列問題，如果是，請列出其所有排列；如果不是，請說明理由．(1)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種機票？(2)從集合中任取兩個相異的元素作為，，可以得到多少個焦點在軸上的橢圓方程？【答案】(1)是排列問題，12種(2)不是排列問題，焦點在軸上的橢圓方程已經(jīng)確定了a，b的大小關系．【分析】（1）這是排列問題，機票的起點、終點不同是不同的機票，與順序有關．（2）這不是排列問題，(1)解：這是排列問題．列出每一個起點和終點的情況，如圖所示．故應該有12種機票．(2)解：這不是排列問題．焦點在軸上的橢圓，其方程中的，必有，即取出的兩個數(shù)哪個是，哪個是是確定的．3．甲、乙、丙3人排成一列，有幾種不同的排法？請列出來．【答案】6【詳解】甲、乙、丙3人排成一列，有6種不同的排法，即甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲.考點2：排列數(shù)的計算例2．下列等式正確的是（）A． B．C．！ D．【答案】ACD【詳解】對于A，，選項A正確；對于B，，所以選項B錯誤；對于C，，選項C正確；對于D，?，選項D正確．故選：ACD．【方法技巧】根據(jù)階乘和排列數(shù)的運算公式，進行推理與判斷選項中的運算是否正確即可．【變式訓練】1．現(xiàn)從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是（

）A．20 B．90 C．120 D．240【答案】C【分析】根據(jù)排列可求不同的選派方案的種數(shù).【詳解】共有種不同的選派方案．故選：C.2．若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】由題意，得，化簡可得，解得．故選:B3．已知，則的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】CD【分析】將題設中的方程化為，從而可求的可能取值.【詳解】因為，所以，所以，其中，而，所以的值可能是2或3．故選：CD．4．第24屆冬季奧運會于2022年2月4日在北京市和河北省張家口市舉行.現(xiàn)要安排5名志愿者去四個場館參加活動，每名志愿者只能去一個場館.且每個場館只能安排一名志愿者，則不同的分配方法有___________個.（空格處填寫數(shù)字）【答案】120【分析】根據(jù)排列的概念和排列數(shù)公式，即可求出結果.【詳解】解：從5名志愿者中選4人排列個.故答案為：120考點3：用排列數(shù)公式證明例3．求證：(1)；(2)．解：(1)證明：.(2)證明：.【方法技巧】（1）利用排列數(shù)公式化簡可證得等式成立；（2）利用排列數(shù)公式化簡可證得等式成立.【變式訓練】1．求證：．【答案】證明見詳解【分析】利用排列數(shù)的計算公式即可證明.【詳解】左邊，右邊，所以，即證.2．求證：（1）；（2）.【答案】見詳解.【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的計算公式展開，通過計算即可證明式子成立；（2）利用階乘的計算公式進行展開，通分，通過計算即可證明式子成立.【詳解】（1）左邊右邊，∴結論成立，即；（2）當時，左邊右邊，∴結論成立，即.3．（1）求證：；（2）求證：；（3）求和：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】按照階乘的定義即可求解.【詳解】（1）證明：．（2）證明：．（3）由（2）知，所以；綜上，.考點4：排列數(shù)方程和不等式例4．解不等式：．【答案】．【詳解】由，得，，化簡得，解得，所以．由，得．【方法技巧】根據(jù)排列數(shù)的公式直接求解即可.【變式訓練】1．若A，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式，列出方程，即可求解.【詳解】由排列數(shù)的計算公式，可得，且，因為，即，解得或（舍去）.故選：C.2．解下列方程：(1)；(2).解：(1)由排列數(shù)公式，原方程可化為，化簡得，解得或或或.因為x滿足所以x的取值范圍為.所以原方程的解為．(2)由，得，所以.化簡得，解得，．因為且，所以原方程的解為x=6．3．已知（，且）．(1)求的值；(2)若，求n的值．（1）解：；（2）解：由，得，又，，所以，即，正整數(shù)n為8．知識小結知識小結1.排列（1）排列定義：一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。（2）排列數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)。用符號表示.（3）排列數(shù)公式：其中，并且特殊的，當時，即有稱為的階乘，通常用表示，即鞏固提升鞏固提升1．從5本不同的書中選出3本分別送3位同學每人一本，不同的方法總數(shù)是（

）A．10 B．60 C．243 D．15【答案】B【分析】根據(jù)排列定義即可求解．【詳解】不同的方法總數(shù)是故選：B2．可表示為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)排列公式直接求解．【詳解】．故選：D．3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有（

）．A．144種 B．90種 C．260種 D．120種【答案】A【分析】按照分類分步計數(shù)原理，先排女生，再讓男生去插空即可.【詳解】由3名男生不相鄰知，應該先把3名女生排好，有種排法，再讓3個男生去插空，在3名女生形成的4個空中插入3個男生，共有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知總共有種排法；故選：A．4．已知自然數(shù)滿足，則（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)題意得求解即可.【詳解】因為，所以，由是自然數(shù)且，整理得，解得（舍）或，所以．故選：C．5．下面問題中，是排列問題的是（

）A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合【答案】A【分析】根據(jù)排列與排列數(shù)的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】根據(jù)排列及排列數(shù)的定義，可得：對于A中，由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，符合排列的定義，是排列問題；對于B中，從40人中選5人組成籃球隊，與順序無關的問題，不是排列問題；對于C中，從100人中選2人抽樣調(diào)查，與順序無關的問題，不是排列問題；對于D中，從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合，與順序無關的問題，不是排列問題.故選：A.6．甲乙丙丁4名同學站成一排拍照，若甲不站在兩端，不同排列方式有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】題目關鍵點為甲不站在兩端，則甲站中間2個位置，先排好甲以后，剩余3個位置其余的三位同學進行全排列即可.【詳解】甲站位的排列數(shù)為，其余三位學生的全排列數(shù)為，所有的排列方式有：.故選：B.7．階乘是基斯頓·卡曼（ChristianKramp）于1808年發(fā)明的一種運算，正整數(shù)n的階乘記為n!，它的值為所有小于或等于n的正整數(shù)的積，即．根據(jù)上述材料，以下說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)階乘的定義一一計算各選項的值，即可判斷出答案.【詳解】根據(jù)階乘的定義可得，A正確；，B正確；，C正確；，故D錯誤，故選:D8．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學要與兩位老師站成一排合影留念，則甲同學不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．576種【答案】B【分析】先安排甲同學在第二位、第三位、第四位、第五位，再安排兩位老師，最后安排其他同學，利用分類加法原理、分步計數(shù)原理可得答案.【詳解】若甲同學在第二位，兩位老師可以在第三第四位，或者兩位老師在第四第五位，或者兩位老師在第五第六位，其他同學沒有限制要求，有種；若甲同學在第三位，或者兩位老師可以在第一第二位，或者兩位老師可以在第四第五位，或者兩位老師在第五第六位，其他同學沒有限制要求，有種；若甲同學在第四位，兩位老師可以在第一第二位，或者兩位老師在第二第三位，或者兩位老師在第五第六位，其他同學沒有限制要求，有種；若甲同學在第五位，兩位老師可以在第一第二位，或者兩位老師在第二第三位，或者兩位老師在第三第四位，其他同學沒有限制要求，有種；所以共有種.故選：B.二、多選題9．下列問題中，屬于排列問題的是（

）A．有10個車站，共有多少種不同的車票B．有10個車站，共有多少種不同的票價C．平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段D．從10名同學中選出2名分別參加數(shù)學和物理競賽，有多少種選派方法【答案】ACD【分析】根據(jù)排列的概念逐項判斷即可.【詳解】A：有10個車站，共需要準備多少種車票？相當于從10個不同元素中任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；B：有10個車站，共有多少種不同的票價？相當于從10個不同元素中任取2個并成一組，無順序要求，不屬于排列問題；C：平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？相當于從10個不同元素中任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；D：從10名同學中選出2名分別參加數(shù)學和物理競賽，有多少種選派方法？相當于從10個不同元素中任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題．故選：ACD．10．（

）．A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用排列數(shù)公式化簡，再逐一分析各個選項，計算判斷作答.【詳解】，B正確，C不正確；而，即，A正確，D正確.故選：ABD三、填空題11．從某班7名學生干部中選擇2名，分別參加周一早上和周五下午的校門口志愿服務活動，則不同的安排方法數(shù)是___________.（結果用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，結合排列數(shù)的公式，即可求解.【詳解】從某班7名學生干部中選擇2名，分別參加周一早上和周五下午的校門口志愿服務活動，則不同的安排方法數(shù)是.故答案為：.12．___________.（結果用數(shù)字作答）【答案】6【分析】根據(jù)排列數(shù)的運算性質(zhì)即可得出結果.【詳解】故答案為：.13．在A，B，C，D四位學生中，選出兩