1.3空間向量及其運算的坐標表示【考點梳理】考點一空間直角坐標系1．空間直角坐標系及相關概念(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.(2)相關概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．2．右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．考點二空間一點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序實數(shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．考點三空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數(shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．考點四空間向量的坐標運算設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考點五空間向量的平行、垂直及模、夾角設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).考點六空間兩點間的距離公式設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【題型歸納】題型一：空間向量的正交分解問題1．（2021·全國·高二期中）已知向量是空間向量的一組基底，向量，，是空間向量的另外一組基底，若一向量在基底下的坐標為，，，則向量在基底，，下的坐標為（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（2021·山東棗莊·高二期中）已知，，，若，，共面，則z的值是（

）A． B．5 C． D．93．（2022·山西·臨汾第一中學校高二期末）已知向量，則與共線的一個單位向量（

）A． B． C． D．題型二：空間向量的坐標運算問題4．（2022·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知向量，則（

）A． B． C． D．5．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．6．（2022·廣東·普寧市華僑中學高二階段練習）在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．不確定題型三：空間向量的模長的坐標問題7．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學高二（理））設、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．8．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高二（理））若向量，，則（

）A． B． C． D．9．（2021·全國·高二）已知向量，，若與夾角為，則的值為（

）A． B． C．－1 D．1題型四：空間向量的平行的坐標表示問題10．（2022·江蘇徐州·高二期中）已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C． D．11．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，則m的值為（

）A．－2 B．2 C． D．12．（2022·江西·南昌十中高二期中（理））設，向量，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型五：空間向量的垂直的坐標表示問題13．（2022·江蘇·濱海縣五汛中學高二期中）已知向量，，，且向量與互相垂直，則的值是（

）A．1 B． C． D．014．（2022·全國·高二課時練習）若空間兩直線與的方向向量分別為和，則兩直線與垂直的充要條件為（

）A．，，（） B．存在實數(shù)k，使得C． D．15．（2022·江蘇省江浦高級中學高二期中）在空間直角坐標系中，，，，若，則實數(shù)的值為（

）A．3 B． C． D．題型六：空間向量的夾角余弦的坐標問題16．（2022·全國·高二）邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點，是正方形的中心，則的大小為（

）A． B． C． D．17．（2021·重慶市實驗中學）空間三點，，，則（

）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．平面的一個法向量是 D．與夾角的余弦值18．（2021·廣東·高二期中）已知向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型七：空間直線的方向向量問題19．（2022·吉林·農(nóng)安縣教師進修學校高二期末）若，在直線l上，則直線l的一個方向向量為（

）A． B． C． D．20．（2022·全國·高二）已知直線的方向向量，直線的方向向量，且，則的值是（

）A． B．6 C．14 D．21．（2020·廣東·中山市華僑中學高二期末）兩直線和的夾角的余弦是（

）A． B． C． D．題型八：空間向量的坐標運算的綜合問題22．（2022·江蘇·濱海縣五汛中學高二期中）已知點，，，設，．(1)求，夾角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．23．（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，點，.(1)求；(2)若直線AB上存在一點E，使得，其中O為原點，求E點的坐標.24．（2021·廣東外語外貿(mào)大學實驗中學高二期中）已知空間三點，設．(1)若，求；(2)求夾角的余弦值；(3)若與的夾角是鈍角，求k的取值范圍．【雙基達標】一、單選題25．（2022·湖北·丹江口市二中高二期末）已知，，，則下列結論正確的是（

）．A．， B．，C．， D．以上都不對26．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知向量，，若，則（

）A．1 B． C． D．227．（2022·湖北·宜昌市夷陵中學高二階段練習）下列四個結論正確的是（

）A．任意向量，若，則或B．若空間中點O，A，B，C滿足，則A，B，C三點共線C．空間中任意向量都滿足D．已知向量，若，則為鈍角28．（2022·江蘇·泰州中學高二期中）若點，，在同一條直線上，則（

）A．21 B．4 C．4 D．1029．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知向量，，且，則的值為（

）A． B． C．或 D．或30．（2022·江西撫州·高二期末（理））在空間直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．31．（2022·江蘇宿遷·高二期中）已知.(1)求；(2)求與夾角的余弦值；(3)當時，求實數(shù)的值.32．（2022·江蘇無錫·高二期末）定義：設是空間的一個基底，若向量，則稱有序實數(shù)組為向量在基底下的坐標．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標為．(1)求向量在基底下的坐標；(2)求向量在基底下的模．【高分突破】一：單選題33．（2022·廣東惠州·高二期末）已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．34．（2022·安徽宿州·高二期末）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A． B． C．1 D．35．（2022·湖南懷化·高二期末）若向量則（

）A． B．3 C． D．36．（2022·安徽省臨泉第一中學高二期末）在平行六面體中，，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．37．（2021·山東·臨沭縣教育和體育局高二期中）若向量，且與的夾角余弦值為，則實數(shù)等于（

）A．0 B．－ C．0或－ D．0或38．（2021·安徽省渦陽第一中學高二階段練習）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題39．（2022·江蘇宿遷·高二期中）已知正方體的棱長為1，分別在上，并滿足，設，設的重心為G，下列說法正確的是（

）A．向量可以構成一組基底B．當時，C．當時，在平面上的投影向量的模長為D．對任意實數(shù)，總有40．（2022·福建龍巖·高二期中）對于非零空間向量，，，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是（

）A．若，則，的夾角是鈍角B．若，，則C．若，則D．若，，，則，，可以作為空間中的一組基底41．（2022·福建三明·高二期末）已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則（

）A．點的坐標為（2，0，2） B．C．的中點坐標為（1，1，1） D．點關于y軸的對稱點為（－2，2，－2）42．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二階段練習）下列關于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若非零向量，，滿足，，則有B．若向量，與空間任意向量都不能構成基底，則C．空間向量，夾角的余弦值為D．已知，，若與垂直，則43．（2022·福建省華安縣第一中學高二階段練習）已知空間向量，，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．與夾角的余弦值為44．（2021·浙江臺州·高二期末）下列說法正確的是（

）A．若G是四面體OABC的底面三角形ABC的重心，則B．在四面體OABC中，若，則A，B，C，G四點共面C．已知平行六面體的棱長均為1，且，則對角線的長為D．若向量，則稱（m，n，k）為在基底下的坐標．已知向量在單位正交基底下的坐標為（1，2，3），則在基底下的坐標為45．（2022·全國·高二期末）關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．已知三棱錐，點為平面上的一點，且，則B．已知向量，不共線，若，，則，，共面C．已知向量，則存在向量可以與，構成空間的一個基底D．已知空間兩點，，若向量，且，則三、填空題46．（2022·江蘇連云港·高二期末）已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，則=___________．47．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二階段練習）已知空間三點A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.48．（2022·全國·高二單元測試）已知，，．若、、三向量共面，則實數(shù)______．49．（2022·江蘇宿遷·高二期中）設空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對任意的的最小值是2，則的最小值是_________．50．（2022·全國·高二單元測試）若空間兩個單位向量、與的夾角都等于，則______．51．（2022·廣東汕尾·高二期末）在空間直角坐標系中，向量為平面ABC的一個法向量，其中，，則向量的坐標為______．52．（2022·湖北·武漢市第十九中學高二期末）已知、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實數(shù)、，的最小值為______．四、解答題53．（2022·福建龍巖·高二期中）已知空間中三點，，．(1)若，，三點共線，求的值；(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．54．（2021·重慶市南華中學校高二）已知空間向量，,．(1)若，求；(2)若，求的值．55．（2021·重慶市求精中學校高二）已知空間的一個基底為，且，，且的橫坐標為正數(shù)(1)求的坐標(2)若向量，且，求的值56．（2021·山東省濰坊第四中學高二）如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．（1）求的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求證：A1B⊥C1M.57．（2021·河北保定·高二期中）已知，.(1)求；(2)求?的值使得與z軸垂直，且.【答案詳解】1．A【詳解】解：因為向量在基底下的坐標為，，，則，設向量在基底，，下的坐標為，，，則，所以，解得，所以向量在基底，，下的坐標為．故選：．2．D【詳解】解：∵，，，，，共面，∴，即，∴，解得．故選：D.3．B【詳解】設，由已知可得，解得.因此，或.故選：B.4．B【詳解】故選：B.5．A【詳解】由題意，空間向量，，，可得，則.故選：A.6．A【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A7．D【詳解】因為，則，解得，則，因為，則，解得，即，所以，，因此，.故選：D.8．C【詳解】由已知可得，故．故選：C.9．A【詳解】解：因為，，且與夾角為，則，，所以，可知，解得：.故選：A.10．C【詳解】因為向量，，且，所以，解得：.故選：C11．C【解析】【分析】根據(jù)向量共線的性質即可求解.【詳解】因為，所以，解得，故選：C.12．A【解析】【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標表示求出y和x即可．【詳解】，∥，∴.故選：A.13．B【詳解】，因為向量與互相垂直，故，故，故選：B14．C【解析】【分析】由空間直線垂直時方向向量，即可確定充要條件.【詳解】由空間直線垂直的判定知：.當時，即，兩直線與垂直.而A、B、D說明與平行.故選：C15．A【解析】【分析】由空間向量垂直的坐標表示計算．【詳解】由題意，，，，因為，所以，．故選：A．16．B【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O為原點，分別以OB、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系則，，，，又，則故選：B17．C【詳解】解：空間中三點，，，所以，，，對于A：，與不是共線向量，故A錯誤；對于B，，的單位向量是，故B錯誤；對于C，，，設平面的一個法向量為，則，取，得，故C正確．對于D，，，與夾角的余弦值是：，故D錯誤；故選：C．18．B【詳解】解：因為向量，的夾角為鈍角，所以，且不共線，則，得，當時，，∴的取值范圍為.故選：B.19．C【詳解】因為，在直線l上，所以直線l的一個方向向量為.故選：C.20．A【詳解】∵，∴，∴，∴，，∴.故選：A．21．B【詳解】由題意兩直線的方向向量分別為，，，∵兩直線夾角為銳角或直角，∴所求余弦值為．故選：B．22．(1)(2)或.(3)【解析】(1)，，故.(2)由（1）可得，，因為向量，垂直，故，整理得到：，故或.(3)由（1）可得不共線，故，均不為零向量，若向量，平行，則存在非零常數(shù)，使得，整理得到：，因為不共線，故，故或，故.23．(1)5(2)【解析】(1)解：因為，，所以，所以；(2)解：設，由，，得，則，故，因為，所以，即，解得，所以，設，則，所以，解得，所以.24．(1)或；(2)(3)【解析】(1)設，則，則，因為，則，即，所以，解得，則或；(2)由于，則，所以；(3)設與的夾角為，則為鈍角，所以且，即且，又，，，所以，解得且即k的取值范圍為25．C【解析】【分析】利用空間向量的坐標運算法則即可求解.【詳解】因為，所以；因為，所以，故選：C.26．D【解析】【分析】由空間平行向量，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即，有，所以，所以，則故選：D27．B【解析】【分析】A選項，也可以是，；B選項，利用向量線性運算得到，從而得到三點共線；C選項可以舉出反例；D選項，求出為鈍角時的取值范圍，從而得到答案.【詳解】則或或，，故A錯誤；若空間中點O，A，B，C滿足，即，所以，化簡得：，則A，B，C三點共線，B正確；設。則不滿足，C錯誤；，則，令得：，當時，，此時反向，要想為鈍角，則且，故D錯誤.故選：B28．C【解析】【分析】若∥，則．【詳解】，∵點，，在同一條直線上∴∥則解得∴故選：C．29．C【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的性質得，代入數(shù)值解方程組即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得或.故選：C.30．C【解析】【分析】根據(jù)點關于原點對稱的性質即可知答案.【詳解】由點關于原點對稱，則對稱點坐標為該點對應坐標的相反數(shù)，所以.故選：C31．(1)-10(2)(3)或【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標運算律,即可求解.（2）根據(jù)空間向量的夾角公式,代入求解.（3）由,轉化為數(shù)量積為0即可.(1)；(2)；(3)當時，，得，，或.32．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)向量在基底下的坐標為，得出向量在基底下的坐標；（2）根據(jù)向量在基底下的坐標直接計算模即可．(1)因為向量在基底下的坐標為，則，所以向量在基底下的坐標為.(2)因為向量在基底下的坐標為，所以向量在基底下的模為.33．C【解析】【分析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C34．B【解析】【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B35．D【解析】【分析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標運算求得【詳解】由于向量，，所以.故故選：D36．C【解析】【分析】利用空間向量基本定理用表示出，然后對等式兩邊平方化簡結合已知條件可求得結果【詳解】因為，，，，，所以，所以.故選：C.37．C【解析】【分析】由空間向量夾角余弦的坐標表示直接計算可得.【詳解】由題知，即，解得或.故選：C38．B【解析】【分析】取的中點，連接，根據(jù)等腰三角形的性質以及面面垂直的性質證明兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出各點坐標以及和的坐標，由空間向量夾角公式計算即可求解.【詳解】取的中點，連接，因為，所以又因為平面平面，平面平面，面，所以平面，又因為，，可得兩兩垂直，所以以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為是等腰直角三角形，，為等邊三角形，可得，，，，所以，，所以，設異面直線與所成角為，則所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：B.39．AD【解析】【分析】根據(jù)基底向量的要求不共體可以判斷A正確，B、C、D通過建立空間直角坐標系結合空間向量的坐標運算進行運算判斷正誤．【詳解】，顯然不共面，∴向量可以構成一組基底，A正確；如圖建立空間直角坐標系，則，當時，，則,∴，Ｂ不正確；,當時，,在平面上的投影向量為，，Ｃ不正確；對任意實數(shù)，，則，，,，D正確．故選：AD．40．BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量夾角的定義、空間向量數(shù)量積的坐標表示公式，結合空間向量數(shù)量積的運算性質、空間向量基底的定義逐一判斷即可.【詳解】A：當，時，顯然，因為，所以，的夾角是平角，故本選項命題是假命題；B：因為，所以，因此本選項命題是真命題；C：當，，時，顯然，但是，因此本選項命題是假命題；D：假設，，是共面向量，所以有，顯然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作為空間中的一組基底，所以本選項命題是真命題，故選：BD41．BCD【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標系，可求點的坐標，由此判斷A;求出的坐標，可判斷B;利用中點坐標公式求得的中點坐標，可判斷C;根據(jù)空間點關于坐標軸的對稱點的特點可判斷D.【詳解】根據(jù)題意可知點的坐標為，故A錯誤；由空間直角坐標系可知：,故B正確；由空間直角坐標系可知：,故的中點坐標為（1，1，1），故C正確；點坐標為，關于于y軸的對稱點為（－2，2，－2），故D正確，故選：BCD42．BCD【解析】【分析】對于A：與的位置關系不確定，根據(jù)空間向量基本定理判斷B，根據(jù)空間向量夾角的坐標運算判斷C，求出與的坐標，再根據(jù)得到方程，解得即可；【詳解】解：對于A，若非零向量滿足，則與的位置關系不確定，也有可能平行，故A錯誤；對于B，若向量與空間任意向量都不能構成基底，則只能兩個向量是共線向量，故，故B正確；對于C：因為，，所以，，，設與的夾角為，則，故C正確；對于D：因為，，所以，，因為與垂直，所以，即，解得，故D正確；故選：BCD43．BCD【解析】【分析】由空間向量平行的性質及空間向量模長，數(shù)量積，夾角的坐標運算進行判斷即可.【詳解】對于A選項：，不存在，使得，故A錯誤；對于B選項：，，故B正確；對于C選項：，，則，故C正確；對于D選項：，，所以，故D正確；故選：BCD.44．ACD【解析】【分析】A令，，，，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐標表示即可判斷；B根據(jù)空間向量共面的結論即可判斷；C由，應用向量的運算律求的模即可；D用基底及對應坐標表示出向量即可判斷.【詳解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，∴，，，，，∴成立，正確；B：由，而，故A，B，C，G四點不共面，錯誤；C：如下圖，，∴，又且棱長為1，∴，則，正確；D：在基底下坐標為，則，故在基底下坐標為（1，2，3），正確.故選：ACD.45．AB【解析】【分析】對于A.由向量共面的判定方法直接判斷；對于B.由向量共面的判定方法直接判斷；對于C.按照基底的定義直接判斷；對于D.計算出，即可判斷.【詳解】對于A.根據(jù)向量共面的判定方法，只需，解得：.故A正確；對于B.因為已知向量，不共線，且，，，所以，所以，，共面.故B正確；對于C.按照基底的定義，不共面的三個向量才能作為基底，因為，所以不存在向量可以與，構成空間的一個基底.故C錯誤；對于D.因為空間兩點，，所以又向量，且，所以.故D錯誤故選：AB46．2【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算與數(shù)量積公式求解即可【詳解】因為，故答案為：247．【解析】【分析】先求得，再根據(jù)投影向量的模的公式求解即可【詳解】由題，，故在上的投影向量的模故答案為：48．【解析】【分析】由題意可得，存在實數(shù)x，y，使，列出方程組，即可求得答案.【詳解】因為不平行，且、、三向量共面，所以存在實數(shù)x，y，使，所以，解得，故答案為：49．【解析】【分析】以方向為軸，垂直于方向為軸建立空間直角坐標系，根據(jù)條件求得坐標，由的表達式即可求得最小值.【詳解】以方向為軸建立空間直角坐標系，則，，設則，當時的最小值是，取則又因為是任意值，所以的最小值是.取則又因為是任意值，所以的最小值是.故