高中數(shù)學(xué)必修4所有知識總結(jié)

第一章三角函數(shù)

i.i周期現(xiàn)象與周期函數(shù)

周期函數(shù)定義的理解要掌握三個條件，即存在不為0的常數(shù)T；x必須是定義域內(nèi)的任意值；

f(x+T)=f(x)。

[展示投影]練習(xí)：

(1)已知函數(shù)f(x)滿足對定義域內(nèi)的任意x,均存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x)。

求：f(x+2T),f(x+3T)

略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x),f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)

⑵已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函數(shù)，且f(1)=2005,求f(11)

略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(l+5)=f(l)=2005

(3)已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù),且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8)

略解：f(8)=f(2+2X3)=f(2)=f(-l+3)=f(-l)=-f(l)=-2

角的概念的推廣

1、正角、負(fù)角、零角的概念(打開課件第一版，演示正角、負(fù)角、零角的形成過程).

我們規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角。一條射線由原來的位置04,繞著它的端點。按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)到終止位置,就形成角a.旋轉(zhuǎn)開始時的射線必叫做角的始邊，()B叫終邊，射線的端點°叫做叫a

的頂點.按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們認(rèn)為這時它也形成了一個

角，并把這個角叫做零角，如果a是零角，那么a=0。。鐘表的時針和分針在旋轉(zhuǎn)時所形成的角總是負(fù)角.

過去我們研究了0°?360。范圍的角.如果我們將角a的終邊0B繼續(xù)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周、兩周……

而形成的角分別得到390。，750°……的角.角的概念經(jīng)過這樣的推廣以后，就包括正角、負(fù)角和零角.

2.象限角、坐標(biāo)軸上的角的概念.

由于角是一個平面圖形，所以今后我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，我們使角的頂點與原點重合，角的始邊

與x軸的非負(fù)半軸(包括原點)重合，那么角的終邊(除端點外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限

角.300°、一60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不

屬于任一象限.

3.終邊相同的表示方法.

如果將終邊0B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一圈、兩圈……，分別得到390°,750°……的角，這些角的終邊與30°角

的終邊相同，只是轉(zhuǎn)過的圈數(shù)不同，它們可以用30°角來表示，如390°=30°十360°,750°=30°十2X

360°由此可以發(fā)現(xiàn)，上面旋轉(zhuǎn)所得到的所有的角（記為B）,都可以表示成一個0°到360°的角與k（kdZ）個

周角的和,即:P=30°+k?360°（keZ）.如果我們把6的集合記為S,那么S={BB=30°十k?360°,

kEZ}.容易看出：所有與30°角終邊相同的角，連同30。角（k=0）在內(nèi)，都是集合S的元素；反過來，集合

S的任一元素顯然與30°角終邊相同。

（三）、鞏固深化，發(fā)展思維

例1.判斷下列各角是第幾象限角.

（1）—60°；（2）585°；（3）—950°12'.

例2.在直角坐標(biāo)系中，寫出終邊在y軸上的角的集合（a用0。?360°的角表示）.

例3.寫出與60°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式一360°W6<270。的元素B寫出來.

1.3弧度制

1.1弧度的角的定義.

我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角，叫做1弧度的角（打開課件）.弧AB的長等于半徑r,則弧AB所對

的圓心角就是1弧度的角，弧度的單位記作rad。

2.弧度制的定義：一般地，（板書）正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是。;

角a的弧度數(shù)的絕對值ia|=），其中1是以角a作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑，這種以弧度作為

r

單位來度量角的單位制，叫做弧度制.

3.角度制與弧度制的換算.

27r7t

現(xiàn)在我們知道：1個周角=360°=——r,所以，360°=2nrad,由此可以得到180°=nrad,1°=---

r180

1QQ

^0.01745rad,lrad=（—）°457.30°=57°18'。

71

說明：在進行角度與弧度的換算時，關(guān)鍵要抓住180°=nrad這一關(guān)系式.

（三）、鞏固深化，發(fā)展思維

1.例題講評

34

例1.把45°化成弧度。例2.把——rad化成度。

5

例3.利用弧度制證明扇形面積公式S=」lr,其中1是扇形的弧長，r是圓的半徑。

2

2.學(xué)生課堂練習(xí)：（1）填表

度0°45°60°180°360°

71713兀

弧度

~65T

說明：一些特殊角的弧度數(shù)，大家要熟記，免得每次遇到都要去進行換算.

（2）用弧度制寫出終邊落在y軸上和x軸上的角集合。

練習(xí)1：1、已知銳角二終邊上一點尸（3,4）,求a角的正弦值。

2、已知「（一2,-3）是角a終邊上一點，求sina的值。

3、已知角a的終邊落在直線）'=2x上，求sina的值。

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練習(xí)2

1.下列角中終邊與330°相同的角是（）

A.30°B.-30°C.630°D.-630°

2.下列命題正確的是（）

A.終邊相同角一定相等B.第一象限的角都是銳角C.銳角都是第一象限的角D.小于9（F的角都是銳角

3.如果一扇形的弧長為27icm,半徑等于2cm,則扇形所對圓心角為（）

71D.也

A.兀B.2nC.—

22

4.若a是第四象限角，則180°+a一定是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

5.一個半徑為R的扇形，它的周長為4R,則這個扇形所含弓形的面積為（）

\（1A,1,1,,1,

A.-2--sin2/?-B.-R2sin2C.-R2D.R2--R2sin2

2\2J222

6.若a角的終邊落在第三或第四象限，則a2的終邊落在（）

2

A.第一或第三象限B.第二或第四象限C.第一或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限

二、填空題

7.若三角形的三個內(nèi)角的比等于2:3:7,則各內(nèi)角的弧度數(shù)分別為.

8.將時鐘撥快了10分鐘，則時針轉(zhuǎn)了度，分針轉(zhuǎn)了弧度.

9.若角a的終邊為第二象限的角平分線，則a的集合為

10.已知a是第二象限角，且|a+2區(qū)4,則a的范圍是.

三、解答題

11.在0°與360°范圍內(nèi)，找出與卜列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角？

(1)-120u(2)640°(3)-95(02'

12.寫出角的終邊在下圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(這括邊界)

13.單位圓上兩個動點M,N,同時從尸(1,0)點出發(fā)，沿圓周運動，M點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三弧度/秒，N點

6

按順時針方向旋轉(zhuǎn)四弧度/秒，試求它們出發(fā)后第三次相遇時的位置和各自走過的弧度.

3

14.如圖，圓上一點A以逆時針方向作勻速圓周運動，已知點A每分鐘轉(zhuǎn)過。角(0＜。?兀)，經(jīng)過2分鐘到

達(dá)第三象限，經(jīng)過14分鐘回到原來位置，求。的大小.

15.在扇形A08中，408=90°,弧A8的長為/,求此扇形內(nèi)切圓的面積.B

1.4.1單位圓與正弦函數(shù)

在初中，我們學(xué)習(xí)了銳角a的正弦函數(shù)值：sina=^_,如圖：sinA=@,由于

斜邊

a是直角邊，c是斜邊，所sinAG(O,1)。由于我們通常都是將角放到平面直角坐

標(biāo)系中，我們來看看會發(fā)生什么？

7T

在直角坐標(biāo)系中，(如圖所示)，設(shè)角a(ae(0,-))的終邊與

2

b

半經(jīng)為r的圓交于點P(a,b),則角a的正弦值是：sina=—.根

r

據(jù)相似三角形的知識可知，對于確定的角a,都不會隨圓的半經(jīng)

r

的改變而改變。為簡單起見，令r=l(即為單位圓)，那么sina=b,

也就是說，若角a的終邊與單位圓相交于P,則點P的縱坐標(biāo)b就

是角a的正弦函數(shù)。

直角三角形顯然不能包含所有的角，那么，我們可以仿照銳角正弦函數(shù)的定義.你認(rèn)為該如何定義任意角

的正弦函數(shù)?

一般地，在直角坐標(biāo)系中(如上圖)，對任意角a,它的終邊與單位圓交于點P(a,b),我們可以唯一確

定點P(a,b)的縱坐標(biāo)b,所以P點的縱坐標(biāo)b是角a的函數(shù)，稱為正弦函數(shù)，記作y=sina(aGR)。通常

我們用X,y分別表示自變量與因變量，將正弦函數(shù)表示為y=sinx.正弦函數(shù)值有時也叫正弦值.

終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(2kn+a)=sina(keZ),說明對于任意一個角a,每增加2n的

整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值不變。所以，正弦函數(shù)是隨角的變化而周期性變化的，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kn(keZ,

kWO)為正弦函數(shù)的周期。

2n是正弦函數(shù)的正周期中最小的一個，稱為最小正周期。一般地，對于周期函數(shù)f(x),如果它所有的周

期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期。

2

例1.若點P(—3,y)是a終邊上一點，且sina=----,求y值.

3

例2.若角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在函數(shù)y=—3x(xWO)

的圖像上，則sina=

1.4.2正弦函數(shù)y=sinx的圖像

,y

1、正弦函數(shù)線MPa

正弦函數(shù)的一種幾何表示.如右圖所示，、

①MP是帶有方向的線段，這樣的線段叫有向線段.MP是從M-P,而PM(|\)

則是從P-M。②不論哪種情況，都有MP=y.③依正弦定義，有sina07

=MP=y,我們把MP叫做a的正弦線.

3、五點作圖法：由上圖我們不難發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)y=sinx,xe[0,2兀]的圖

像上，起著關(guān)鍵作用的有以下五個關(guān)鍵點：(0,0)(生，1)(兀,0)(至-1)(2兀,0)。描出這五個點后，

22

函數(shù)y=sinx,xe[0,2刊的圖像的形狀就基本上確定了。因此，在精確度要求不太高時，我們常常先找出這五

個關(guān)鍵點，然后用光滑曲線將它們連接起來，就得到這個函數(shù)的簡圖。我們稱這種畫正弦曲線的方法為“五點

法”。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

1.例題探析

例1.用“五點法”畫出下列函數(shù)在區(qū)間［o,2滅］上的簡圖。

(1)y=-sinx(2)y=l+sinx

解：(1)列表

7137c

0JI2兀

X~2T

y=-sinx0-10+10

描點得y=-sinx的圖像：（略，見教材P22）

兀

X071兀32兀

22

y=l+sinx12101

L4.3正弦函數(shù)誘導(dǎo)公式

1、（公式1）sin（360°A+a）=sina

2、對于任一0。到360。的角，有四種可能（其中a為不大于90。的非負(fù)角）

B為第一象限角

為第二象限角川/工音啟、

B…一人(以下設(shè)a為任意角)

B為第三象限角

設(shè)a的終邊與單位圓交于點P(x,力，則180°+a終邊與單位圓交于點P'(-上,-.力，由正弦線可知：sin(180°+a)

=-sina

4.公式3：如圖：在單位圓中作出。與一a角的終邊，

同樣可得：sin(-a)=-sina,

5、公式4：由公式2和公式3可得：

sin(180°-a)=sin[180°+(-a)]=-sin(-a)=sina,

同理可得：sin(180°-a)=sina,

6.公式5：sin(3600-a)=-sina

鞏固深化，發(fā)展思維

1、例題探析

例1.求下列函數(shù)值

7

(1)sin(-1650°)；(2)sin(-150°15,)；(3)sin(--n)

4

例2.化簡：,sin(2：一少in(3：+2__

sin(-兀+a)sin(3%-a)sin(-a-兀)

1.4.4正弦函數(shù)的性質(zhì)

歸納得出結(jié)論：

1.定義域：y=sinx的定義域為R

2.值域：引導(dǎo)回憶單位圓中的正弦函數(shù)線，結(jié)論：|sinx|Wl(有界性)

再看正弦函數(shù)線(圖象)驗證上述結(jié)論，所以y=sinx的值域為[T,1]

77

3.最值：1。對于y=sinx當(dāng)且僅當(dāng)x=2k7t+—,k^Z時yax=1

2ln

71

當(dāng)且僅當(dāng)時x=2k兀一一，k^Z時yin=-1

2m

2°當(dāng)2k;cVxV(2k+l)冗(kwZ)時y=sinx>0

當(dāng)(2kT)兀VxV2k?i(kwZ)時y=sinx<0

4.周期性：(觀察圖象)1。正弦函數(shù)的圖象是有規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的；

2。規(guī)律是：每隔2兀重復(fù)出現(xiàn)一次(或者說每隔2k兀,kcZ重復(fù)出現(xiàn))

3。這個規(guī)律山誘導(dǎo)公式sin(2k;c+x)=sinx也可以說明

結(jié)論：y=sinx的最小正周期為2冗

5.奇偶性

sin(—x)=—sinx(x《R)V=>y=sinx(x《R)是奇函數(shù)

6.單調(diào)性

(keZ),其值從一1增至1；

減區(qū)間為[工+2k——+2kat](kGZ),其值從1減至一1。

22

例、利用五點法畫出函數(shù)y=sinx-l的簡圖，根據(jù)函數(shù)圖像和解析式討論它的性質(zhì)。

練習(xí):

2、若sina是方程2/+x—1=0的根，求sin(3%+a)sin(乃-a)的值。

sin(2〃-a)sin(5%+a)

3化簡?sin(;r_a)siii(_3;r-a)sin(a—九)

4,已知A、B、C是的內(nèi)角，求證：sin(2A+B+C)=-sinAo

2乃

5、若點P在一的終邊上，且OP=2,則點P的坐標(biāo)()

3

A.(1,V3)B.(V3-1)C.(-1-V3)D.(-1,73)

6、若a是三角形的內(nèi)角，月.sina='，則a等于()

2

A.30°B.30°或150°C.60°D.120°或60°

7、下列函數(shù)中，最小值為一1的是()

A.y=2sinx-1B.y=cos-1C.y=l-2sinxD.y=2+cosx

rr

8、將函數(shù)y=sin4x的圖象向左平移五個單位，得到y(tǒng)=sin(4x+°)的圖象，則Q等于()

7t717c71

A.---B.——C.—D.—

123312

9、下列四個命題中，正確的是()

A.第一象限的角必是銳角B.銳角必是第一象限的角

C.終邊相同的角必相等D.第二象限的角必大于第?象限的角

10、用五點法作y=2sin2x的圖象時，首先應(yīng)描出的五點的橫坐標(biāo)可以是()

A.0,—，^，―,2^-B.0,—，^，―，^-C.0,%,2肛3乃,4%D.0,—,—,—

22446323

11.sinx=f-3,則f的取值范圍是

TT

12.函數(shù)y=sin(2x-)取最大值時x的集合是___________________________

6

TT

13.函數(shù)y=-3sin(2x--)+1的周期是_______；值域是_______________

6

■TT

14..函數(shù)y=-3sin(姐-￡)-2的周期是2萬,則常數(shù)CO=

15.函數(shù)y=sinx的遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是

16.函數(shù)y=-sinx的遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是

TT

17.函數(shù)y=sin(2x—7)—l的遞增區(qū)間是

TT

18.函數(shù)y=sin(—2元+§)+1的遞增區(qū)間是(注意7,8兩題的區(qū)別)

19.下列函數(shù)中，奇函數(shù)是偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù)是

(1)y=sinx；(2)y=sinx-1；(3)y=x-sinx；(4)y=x2-sinl^l

(5)y=sinx2+x；(6)y=|sinA'|-5；(7)sin|x|+|sinA-|-sinx2

1.5余弦函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式

1.余弦函數(shù)的定義：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角a與單位圓交于點P(a,b),

那么點P的橫坐標(biāo)a叫做角。余弦函數(shù)，記作：a=cosa(aGR).y4

P(a,b)

通常我們用X,y分別表示自變量與因變量，將余弦函數(shù)表示

為y=cosx(x6R).

如圖，有向線段0M稱為角a的余弦線。

其實，由相似三角形的知識，我們知道，只要」知角a

的終邊上任意一點P的坐標(biāo)(a,b),求出|OP,記為r,則

角a的正弦和余弦分別為：sina=-,cosa=—.

2.余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式

從右圖不難看出，角a和角2n+a,2Jt—a,(―a)的終邊

與單位圓的交點的橫坐標(biāo)是相同的，所以，它們的余弦函數(shù)值相等；

角a和角工+a,Ji-a的終邊與單位圓的交點的橫坐標(biāo)是相反數(shù)，

所以，它們的余弦函數(shù)值互為相反數(shù)。

由此歸納出公式：

cos(2n+a)=cosa

cos(—a)=cosa

cos(2n—a)=cosa

cos(n+a)=—cosa

cos(n—a)——cosa

觀察右圖，角a與角2JT+a的正弦、余弦函數(shù)值可以得到:

2

sin(—+a)=cosacos(—+a)=-sina

22

以上公式統(tǒng)稱為誘導(dǎo)公式，其中a可以是任意角。利用誘導(dǎo)公式，可以將任意角的正、余弦函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為銳

角的正、余弦函數(shù)問題。

(三)、鞏固深化，發(fā)展思維

1、例題探析

例1.已知角a的終邊經(jīng)過點P(2,-4)(如圖)，求角a的余弦

函數(shù)值。

解：Vx=2,y=—4,r=|OP|=2V5cosa=—=

r5

例2.如果將例1中點P的坐標(biāo)改為(2t,-4t)(t#0),那么怎樣求角a的余弦函數(shù)值。

解：（提示：在r=|0P|=2j?|t|中，分t<0和t>0兩種情況，見教材P31）

求值：(1)COS^X…9兀34

例3.(2)cos—(3)cos(———)

684

cos(27r-a)cos(3%+a)

例4.化簡:

cos(-7t+a)cos(3%-a)cos(-a—兀)

1.5余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（二）、探究新知

1.余弦函數(shù)y=cosx的圖像

(1)y=cosx,XGR與函數(shù)y=sin(x+—)XGR的圖象相同

2

(2)將丫=51、的圖象向左平移與即得丫=^*的圖象

(3)也同樣可用五點法作圖：y=cosxx.[。,加的五個點關(guān)鍵是（。,1）（。）（…D《，。）

(2兀，1)

（4）類似地，由于終邊相同的三角函數(shù)性質(zhì)y=cosxxe[2k7t,2（k+l）;i]keZ,k00的圖像與y=cosx

xe[0,2TI]圖像形狀相同只是位置不同（向左右每次平移2n個單位長度）

y

2.余弦函數(shù)y=cosx的性質(zhì)

觀察上圖可以得到余弦函數(shù)y=cosx有以下性質(zhì)：

(1)定義域：y=cosx的定義域為R

(2)值域:y=cosx的值域為［―1,1］,即有|cosx|Wl(有界性)

(3)最值：對于y=cosx當(dāng)且僅當(dāng)x=2k)t,keZ時y11M=1

當(dāng)且僅當(dāng)時x=2kn+n,keZ時丫環(huán)汨=一1

當(dāng)2k?r-工<x<2kn:+￡(kwZ)時y=cosx>0

22

2k?t+—<x<2kn+—(keZ)時y=cosx<0

22

(4)周期性:y=cosx的最小正周期為2兀

(5)奇偶性

cos(-x)=cosx(xGR)VAy=cosx(xGR)是偶函數(shù)

(6)單調(diào)性

增區(qū)間為［(2k-l)Ji,2kn］(kGZ),其值從-1增至1；

減區(qū)間為［2kn,(2k+l)(keZ),其值從1減至一1。

(三)、鞏固深化，發(fā)展思維

例.請畫出函數(shù)y=cosx-1的簡圖，并根據(jù)圖像討論函數(shù)的性質(zhì)。

練習(xí)

1、在下列各區(qū)間上，函數(shù)y=cos2x單調(diào)遞減的區(qū)間是

7C7C713%71

A.---,—B.——C.D.

44445"

2、(1)函數(shù)y=2cos(W—g)的單調(diào)增區(qū)間是：

3、函數(shù)y=cosx,xeH圖象的一-條對稱軸是()

■jr

A.x軸B.y軸C.直線x=5D.直線尤="

4、不等式cosx<0,x￡［0,2乃］的解集為()

A.B.（0,1）C.713萬

5、已知/(x)=-cosx(x￡R),下面結(jié)論錯誤的是()

A-函數(shù)小)的最小正周期是.B.函數(shù)在區(qū)間［。,自上是增函數(shù)

C.函數(shù)“X)的圖像關(guān)于x=0對稱D.函數(shù)“X)是奇函數(shù)

TT

6、y=COS(2x+y),當(dāng)X=時，,min=；

當(dāng)X=時,'max=；

1.6正切函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)

1、正切函數(shù)的定義：

7T

在直角坐標(biāo)系中，如果角&滿足：aeR,a#一十kr(k￡Z),那么，角。的終邊與單位圓交于點P?,b）,

2

bh

唯一確定比值巳.根據(jù)函數(shù)定義，比值巳是角0的函數(shù)，我們把它叫作角a的正切函數(shù)，記作y=tanQ,其中

aa

71

Q￡R,a#：—+kn,k￡Z.

2

sina7t

比較正、余弦和正切的定義，不難看出：tana=-----(aGR,a#—+kn,kGZ).

cosa2

山此可知，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。

下面，我們給出正切函數(shù)值的一種幾何表示.

如右圖，單位圓與x軸正半軸的交點為A(1,0),任意角a

的終邊與單位圓交于點P,過點A(1,0)作x軸的垂線，與角

的終邊或終邊的延長線相交于T點。從圖中可以看出：

當(dāng)角a位于第一和第三象限時，T點位于x軸的上方；

當(dāng)角a位于第二和第四象限時，T點位于x軸的下方。P

分析可以得知，不論角a的終邊在第幾象限，都可以構(gòu)造兩

個相似三角形，使得角a的正切值與有向線段AT的值相等。因此,

我們稱有向線段AT為角a的正切線。

2.正切函數(shù)的圖象

(1)首先考慮定義域：Xk7T+^(k&z)

(2)為了研究方便，再考慮一下它的周期:

/\sin(x+))-sinx(八口f7t.\

?.?tan(x+7T)=——)------=----------=tanx\xGA,MX手k兀+一,keZ

COS(X+JT)-COSXI2)

y=tanxlxGR,且％w攵乃+耳，％EZ的周期為丁=乃(最小正周期)

(3)因此我們可選擇的區(qū)間作出它的圖象。

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴展，得到正切函數(shù)y=tanxxeR,且xw'+版'(kez)的

7T

從上圖可以看出，正切曲線是由被相互平行的直線x=—+k!t(kwz)隔開的無窮多支曲線組成的，這些直

2

線叫作正切曲線各支的漸近線。

3.正切函數(shù)丫={21^的性質(zhì)

7F

(1)定義域：,XIXW,+%肛kEz>，

(2)值域：R

觀察：當(dāng)x從小于左乃+?(kwz)，x---->%兀+]時，tanx----->oo

當(dāng)x從大于]+z),x----->]+k》時，tanx----->-oo。

(3)周期性：T=兀

(4)奇偶性：tan(-x)=-tanx奇函數(shù)。

(5)單調(diào)性：在開區(qū)間(一5+k匹k萬卜ez內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。

例2、求函數(shù)y=tan(x+?)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.

解：設(shè)f=x+(,則y=tanf的定義域為{*eR且tWk不ez}x+(N左乃+/,

估:"y+］因此,函數(shù)的定義域是［中eR且xw版■+0eZ〕

值域：RL1、4J

,/y=tanf的單調(diào)增區(qū)間是GZ

...---1■攵7T<Xd<3+攵萬37T,71

242----+k兀<x<一+k7r

/a4、4

,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是卜萬-半，/乃+?,keZ

tan(n—a)=—tanatan(Ji+a)=tana

(三)、鞏固深化，發(fā)展思維

tan(2乃一a)tan(3)+a)

例.化簡:

tan(-7i+a)tan(3"-a)tan(—a—4)

2.學(xué)生課堂練習(xí)

教材P45的練習(xí)1、2、3、4

1、正切曲線是先利用平移正切線得丫=1211*J€(-=,二)的圖象,

22

再利用周期性把該段圖象向左、右擴展得到。

2、y=tanx性質(zhì)：

{xIxH—+k7i,keZ}

（1）定義域2；（2）值域：R；⑶周期性：萬；（4）奇偶性：奇函數(shù)，圖象關(guān)于

原點對稱。（5）對稱性：對稱中心：（彳八°）無對稱軸；（6）單調(diào)性：在每一個開區(qū)間

內(nèi)都是單函虬+k兀3+k兀）k€Z

22

⑺漸近線方程X=

k兀+kEZ

練習(xí)

1、y=tanx（xwk萬+eZ）在定義域上的單調(diào)性為（）.

A.在整個定義域上為增函數(shù)

B.在整個定義域上為減函數(shù)

C.在每一個開區(qū)間（~|+版?，/+版MAeZ）上為增函數(shù)

D.在每一個開區(qū)間（-1+2以/+兼砌AwZ）上為增函數(shù)

2、下列各式正確的是().

/13、/17、

AA.tan(一-—^)<tan(一-—4)B.tan(—?萬)〉tan(—34)

「/13、，17、

C.tan(——zr)=tan(——^r)D.大小關(guān)系不確定

3、若tanxWO,則().

JI冗71

A.2k/r--<x<2k7T.keZB.2k7i-^—<x<(2k+\)7T,kGZC.k7i--<x<k7V,k€Z

D.k7T--<X<k7T,kGZ

4、函數(shù)四的定義域為().

tanx

A.且B.{X|XER且工工人乃+工,ZGZ

2

C.{x\xeR且xwk不+7,Awz}D.{x\xeR且xwbr—4,AeZ

5、直線y=a（a為常數(shù)）與正切曲線y=tan的（。為常數(shù)，且?！?）相交的兩相鄰點間的距離為

（）.

A.7VB.—C.-D.與a值有關(guān)

CDco

6、函數(shù)y=tan（工-x）的定義域是（）.

A.<x\x^—,xeRB.——,XG/?

C.lx\x^k7r+—.k^R,x^R>D.ix\xk7v+—7r,keZ9xeR

8、函數(shù)y=tan(ax+2)(awO)的周期為().A.紜B.=C.谷D.-

6a冏\a\a

9、下列函數(shù)不等式中正確的是().

43231315

A,tan—〃>tan—萬B.tan一刀■<tan一萬C.tan(----))<tan(----冗)

775578

/13、/12、

nD.tan(——^r)<tan(——^r)

10、在下列函數(shù)中，同時滿足：①在(0,')上遞增；②以2不為周期；③是奇函數(shù)的是().

x

A.y-tanxB.y-cosxC.y=tanyD.y=-tanx

1.7y=sinx和y=Asinx的圖像，y=sinx和y=sin(x+<t>)的圖像

例1、畫出函數(shù)y=2sinxXGR；y=—sinxXER的圖象(簡圖)。

2

解：由于周期T=2九???不妨在［0,2捫上作圖，列表：

7131

X兀冗

0~2T2

sinx010-10

2sinx020-20

1.j_

—smx000

2—22

作圖:

結(jié)論：

1.y=Asinx,xeR(A>0且Awl)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(O<A<1)到原來

的A倍得到的。2.若A<0可先作y=-Asinx的圖象，再以x軸為對稱軸翻折。

性質(zhì)討論：不變的有定義域、奇偶性、單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性、周期性。變化的有值域、最值、

由上例和練習(xí)可以看出：在函數(shù)y=Asinx(A>0)中，A決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值，通常

稱A為振幅。

rr7T

例2、畫出函數(shù)y二sin(x+—)(XER)和y=sin(x---)(x$R)的圖像(簡圖)。

34

解：由于周期T=2兀???不妨在［0,2捫上作圖，列表：

71713%

07t2K

X+3~2T

71

X712乃7兀5萬

~6~T~6T

乃010-10

sin(x+3)

y=sinx

結(jié)論：尸sin(x+@),x￡R(6M)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點向左平移小(6>0)個單位或向右平移

—6個單位(6<0=得到的。

性質(zhì)討論：不變的有定義域、值域、最值、周期。變化的有奇偶性、單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性

山上例和練習(xí)可以看出：在函數(shù)y=sin(x+6),x￡R(6w0)中，6決定了x=0時的函數(shù)，通常稱6為初

相，x+6為相位。

1、作函數(shù)尸Asin(cox+q))的圖象：(1)用“五點法”作圖。(2)利用變換關(guān)系作圖。

2、函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=Asin(①x+(p)的圖象間的變換關(guān)系。

3、函數(shù)y=Asin(cox+(p)中A、co、(p的物理意義。

4、函數(shù)y=Sinx向左或右平移I<pI個單位y=Sin(x+<p)的圖象橫坐標(biāo)縮短或伸長原來的」■y=Sin(cox+

CD

(P)的圖象縱坐標(biāo)伸長或縮短到原來的A倍y=ASin(sx+(p)的圖象。

5、函數(shù)丫=3sin(3X-7t/3)振幅3,周期2兀/3,頻率3/2兀,初相-兀/3

練習(xí)

1、已知函數(shù)y=3sin(x+n/5)xWR的圖象為C.(1)為了得到函數(shù)y=3sin(x-“/5)

xWR的圖象，只需把C上所有的點()

(A)向左平行移動n/5個單位長度(B)向右平行移動n/5個單位長度

(0向左平行移動2n/5個單位長度(D)向右平行移動231/5個單位長度

2、為了得到函數(shù)y=3sin(2x+n/5),x￡R的圖象，只需把C上所有的點()

(A)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

(B)橫坐標(biāo)縮短到原來的1/2倍，縱坐標(biāo)不變

(C)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變

(D)縱坐標(biāo)伸長到原來的1/2倍，橫坐標(biāo)不變

3、為了得到函數(shù)y=4sin(x+n/5),x￡R的圖象，只需把C上所有的點()

(A)橫坐標(biāo)伸長到原來的4/3倍，縱坐標(biāo)不變

(B)橫坐標(biāo)縮短到原來的3/4倍，縱坐標(biāo)不變

(C)縱坐標(biāo)伸長到原來的4/3倍，橫坐標(biāo)不變

(D)縱坐標(biāo)伸長到原來的3/4倍，橫坐標(biāo)不變

4、用五點法作出函數(shù)的圖象并說明這個圖象可由余弦函數(shù)的圖象經(jīng)過如何變換得到？

y=3cos(—x-^―)

24

1.7函數(shù)y=Asin（cox+6）的性質(zhì)

函數(shù)y=Asin（cox+（p）,xe（其中A>0,co>0）的物理意義:

函數(shù)表示一個振動量時：A：這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”

2兀

T：T往復(fù)振動一次所需的時間，稱